专题08 图形的平移、翻折、旋转、对称等问题（压轴题专练，4大题型+强化训练）（江苏专用）2026年中考数学终极冲刺讲练测

专题08 图形的平移、翻折、旋转、对称等问题 命题预测 江苏中考常以平移、翻折、旋转、对称为核心几何考点，多结合三角形、四边形、圆综合命题。翻折侧重边角相等、勾股计算；旋转聚焦全等、特殊角与线段定值；对称常结合最值问题。题型以动点动态探究为主，融合相似、三角函数与方程思想，注重几何推理、分类讨论与临界分析，题型灵活，多作为中档及压轴小题、大题关键设问，突出数形结合与几何模型应用。 高频考法 1.图形的平移问题 2.图形的翻折问题 3.图形的旋转问题 4.图形的对称问题 典例·靶向·突破 题型01 图形的平移问题 1．（2025·江苏苏州·一模）（1）如图①，，，．线段沿方向平移，平移的距离为，得到线段，线段沿方向平移，平移的距离为，得到线段，则线段可看作线段沿______方向平移得到，平移的距离为______． （2）如图②，，线段经过关于点的中心对称，得到线段，线段经过关于点的中心对称，得到线段，则线段可看作线段经过一次平移得到（点的对应点为点，点的对应点为点），试写出平移的方向和距离（平移距离用含的代数式表示），并说明理由． （3）如图③，线段绕点按逆时针方向旋转，旋转角为，得到线段，线段绕点按逆时针方向旋转，旋转角为，得到线段．试判断线段能否看作线段经过一次旋转得到（点的对应点为点，点的对应点为点）．如果能，请用尺规作图确定旋转中心（要求：保留作图痕迹，不写作法），并求出旋转角． 2．（2025·江苏苏州·一模）“综合与实践”课上，同学们通过剪拼图形，用数学的眼光看问题，感受图形的变换美！ 【特例感知】 (1)如图1，纸片为矩形，且厘米，厘米，点，分别为边，的中点，沿将纸片剪成两部分，将纸片沿纸片的对角线方向向上平移． ①当纸片平移至点与的中点重合时，两个纸片重叠部分的面积与原矩形纸片的面积之比是________； ②当两个纸片重叠部分的面积与原矩形纸片的面积之比是时，则平移距离为________； 【类比探究】 (2)如图2，当纸片为菱形，，时，将纸片沿其对角线剪开，将纸片沿方向向上平移．当两个纸片重叠部分的面积与纸片的面积之比为时，求平移距离（用含的式子表示）； 【拓展延伸】 (3)如图3，在直角三角形纸片中，，厘米，厘米，取，中点，，将沿剪开，得到四边形和，将绕点顺时针旋转得到．在旋转一周的过程中，求面积的最大值．        题型02 图形的翻折问题 3．（2025·江苏苏州·一模）如图，在中，，，，为的中点，E为边上一点，将沿翻折得到，与交于点F，若的面积是的3倍，则的长为_______． 4．（2025·海南·模拟预测）如图，在菱形中，，，E是上一点，，F是上的动点，连接，，将沿所在直线翻折得到，点到直线的最小距离是______；连接，则的最小值是______． 题型03 图形的旋转问题 5．（2025·江苏苏州·模拟预测）如图1，在中，，，点D，E均在边上（点D在点E的左侧），且． (1)如图1，将绕点A逆时针旋转得到，连接，求证：； (2)如图2，若，求证：； (3)如图3，若，，求线段的长度． 6．（2025·江苏泰州·三模）已知，在中，，，，是直线上一点，将点绕点逆时针旋转得其对应点，当时，则长为_______． 题型04 图形的对称问题 7．（2025·江苏徐州·模拟预测）已知，在等腰中，，，点为中点，为边上一点，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接、． (1)如图，若，，求的长； (2)如图，过点作于点，延长交于点，求证：； (3)如图，在的条件下，为线段上一点，连接，将沿翻折得，点对应点，点为线段与线段的交点，当为等腰三角形时，直接写出的值． 8．（2025·江苏扬州·一模）如图，已知，，将线段绕着点顺时针旋转得到线段，作点关于直线的对称点，连接交直线于点． (1)若，则的度数为______； (2)猜想线段、、之间的数量关系，并证明； (3)若，当长为时，求的面积． 1．（2025·上海·模拟预测）在梯形中，，， ， ．在边上取一点E，满足．将沿方向平移得到（三个顶点依次对应），若点H在边上，则点H到直线的距离是___________． 2．（2025·江苏徐州·一模）综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的旋转”为主题开展数学活动． 在矩形中，是对角线，，，将矩形绕点顺时针旋转得到矩形，其中点分别是点的对应点． (1)如图1，连接，猜想的数量关系并说明理由． (2)如图2，隐去对角线，当点恰好落在边上时，连接交于点． ①求证：． ②若将矩形沿向右平移，使得恰好落在上，则平移的距离为______． (3)若点落在直线上，请直接写出的长． 3．（2025·江苏南通·模拟预测）菱形中，，，点为边上一个动点（不与点、重合），把沿直线折叠，与对应． (1)请用无刻度直尺和圆规在图中作出（不写作法，保留作图痕迹）； (2)若点在的延长线上，求的长； (3)当与菱形的边垂直时，求的长． 4．（2025·江苏徐州·一模）在菱形中，，点在射线上运动（点与点不重合），关于的轴对称图形为．如图，为的外接圆，直线与交于点，连接交于点． (1)若，则____________； (2)当时，连接，判断直线与位置关系，并说明理由； (3)直接写出的外接圆的半径的最小值． 5．（2025·江苏徐州·一模）在综合实践活动课上，同学们以折叠正方形纸片展开数学探究活动． 【操作判断】 操作一：如图①，对折正方形纸片，得到折痕，把纸片展平； 操作二：如图②，在边上选一点，沿折叠，使点落在正方形内部，得到折痕； 操作三：如图③，在边上选一点，沿折叠，使边与边重合，得到折痕把正方形纸片展平，得图④，折痕与的交点分别为．根据以上操作，得 ． 【探究证明】 （1）如图⑤，连接，试判断的形状并证明． （2）如图⑥，连接，过点作的垂线，分别交于点．求证：． 【深入研究】若，直接写出的值． 6．（2025·江苏盐城·一模）数学中的相对运动 【理解运用】 （1）如图，平面直角坐标系中 A 、D 、P 三点的坐标分别为．若线段以 2 个单位/秒的速度沿 x 轴方向向右运动 t 秒， ①若将线段看成静止的，则点 P 以 单位/秒的速度沿 x 轴方向向 运动； ②设平移后线段的对应线段为，当的值最小时，求 t 值； （提示： 的最小值涉及两个动点有点难，但依据相对运动，将 看成静止的，则点 P 为动点，就转化成求 的最小值问题．请根据提示写出求解过程．） 【深入思考】 （2）如图，在（1）的条件下，以为边作，其中点 B 为，点 Q 是边 上的一动点，线段 绕点 Q 按逆时针方向旋转得线段． 当是直角三角形时， 求 的长． 7．（2025·江苏泰州·二模）如图1，将绕点A逆时针旋转得到，M、N分别为这两个平行四边形的对称中心． (1)连接、，当时； ① 求证：平分； ②请仅用无刻度的直尺和圆规在图2中作出符合条件的点E（要求：不写作法，保留作图痕迹）； (2)如图3，当绕点A逆时针旋转一定角度后，连接、，且两直线、互相垂直．若，，，求的面积． 8．（2025·江苏无锡·二模）将先绕点逆时针旋转角，再以点为位似中心，以为相似比进行缩放，得到，且，，我们称这种变换为“平等变换”，规则记作，其中是旋转角大小，． 例如，图1中，，，到的“平等变换”规则是． (1)直接写出下列条件中的“平等变换”规则： ①如图2，，：___________； ②如图3，，，：___________ (2)如图4，，， 求证：经过“平等变换”后，、、三点共线． (3)如图5，，经过“平等变换”后，若点在延长线上，且，请直接写出该变换的规则．___________． 9．（2025·江苏徐州·二模）如图，在中，，．点E在边上，连接，将线段绕点A按顺时针方向旋转得到线段，连接，，是等边三角形，若，则线段的最小值是（    ） A． B． C． D． 10．（2025·江苏南通·一模）综合与探究 问题情境： 矩形中，，的平分线交于点E．将绕点顺时针旋转，得到点A，B的对应点分别为点F，G（点G与点B不重合）． 深入探究： (1)如图1，当点F在边上时，求证：； (2)如图2，当点G在线段上时，连接，，求四边形的面积； (3)当点G在矩形的对角线上时，连接，直接写出的长． 11．（2025·江苏无锡·一模）如图，在菱形纸片中，，，对角线与相交于点，点是对角线上一动点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到，连接，，点是线段的中点． (1)求证：； (2)求面积的最大值； (3)当为等腰三角形时，直接写出线段的长． 12．（2025·江苏徐州·一模）如图，在正方形中，点E，F分别在边和上，且，连接，分别交，于点H，点G，连接，，． (1)若正方形的边长为，则的周长为________； (2)求证：； (3)与存在怎样的位置关系？请说明理由； (4)求证：为定值． 2 / 2 北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 图形的平移、翻折、旋转、对称等问题 命题预测 江苏中考常以平移、翻折、旋转、对称为核心几何考点，多结合三角形、四边形、圆综合命题。翻折侧重边角相等、勾股计算；旋转聚焦全等、特殊角与线段定值；对称常结合最值问题。题型以动点动态探究为主，融合相似、三角函数与方程思想，注重几何推理、分类讨论与临界分析，题型灵活，多作为中档及压轴小题、大题关键设问，突出数形结合与几何模型应用。 高频考法 1.图形的平移问题 2.图形的翻折问题 3.图形的旋转问题 4.图形的对称问题 典例·靶向·突破 题型01 图形的平移问题 1．（2025·江苏苏州·一模）（1）如图①，，，．线段沿方向平移，平移的距离为，得到线段，线段沿方向平移，平移的距离为，得到线段，则线段可看作线段沿______方向平移得到，平移的距离为______． （2）如图②，，线段经过关于点的中心对称，得到线段，线段经过关于点的中心对称，得到线段，则线段可看作线段经过一次平移得到（点的对应点为点，点的对应点为点），试写出平移的方向和距离（平移距离用含的代数式表示），并说明理由． （3）如图③，线段绕点按逆时针方向旋转，旋转角为，得到线段，线段绕点按逆时针方向旋转，旋转角为，得到线段．试判断线段能否看作线段经过一次旋转得到（点的对应点为点，点的对应点为点）．如果能，请用尺规作图确定旋转中心（要求：保留作图痕迹，不写作法），并求出旋转角． 【答案】（1）；；（2）线段可看作线段沿方向，平移得到；（3） 【分析】（1）根据平移的性质进行求解即可； （2）连接，，根据三角形中位线的性质得出，，，，从而证明，，即可得出结论； （3）连接，，分别作，的垂直平分线，则两条垂直平分线的交点，即为所求作的点；根据旋转的性质可得，，进而可得，根据得出，则，即可得出，即可求解． 【详解】解：（1）根据题意可知：线段可看作线段沿方向平移得到，平移的距离为p． （2）连接，，如图所示： 根据中心对称可知：为，的中点，为，的中点， ∴，，，， ∴，， ∴线段可看作线段沿方向，平移得到． （3）如图，点O即为所求作的旋转中心； 如图，延长，交于点，设直线交于M，交于N ∵线段绕旋转得到线段， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即与的夹角为， ∵线段绕点O旋转得到，同理即可得与的夹角为， ∴， ∵旋转， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴. 【点睛】本题考查了平移的性质，旋转的性质，画旋转图形，中位线的性质，四边形内角和，熟练掌握平移与旋转的性质是解题的关键； 2．（2025·江苏苏州·一模）“综合与实践”课上，同学们通过剪拼图形，用数学的眼光看问题，感受图形的变换美！ 【特例感知】 (1)如图1，纸片为矩形，且厘米，厘米，点，分别为边，的中点，沿将纸片剪成两部分，将纸片沿纸片的对角线方向向上平移． ①当纸片平移至点与的中点重合时，两个纸片重叠部分的面积与原矩形纸片的面积之比是________； ②当两个纸片重叠部分的面积与原矩形纸片的面积之比是时，则平移距离为________； 【类比探究】 (2)如图2，当纸片为菱形，，时，将纸片沿其对角线剪开，将纸片沿方向向上平移．当两个纸片重叠部分的面积与纸片的面积之比为时，求平移距离（用含的式子表示）； 【拓展延伸】 (3)如图3，在直角三角形纸片中，，厘米，厘米，取，中点，，将沿剪开，得到四边形和，将绕点顺时针旋转得到．在旋转一周的过程中，求面积的最大值．        【答案】(1)①；②或 (2) (3)144平方厘米 【分析】（1）①先利用平移的性质证明四边形是矩形，再利用等腰直角三角形的性质分别求出和的长，再利用矩形的面积公式计算和的面积，即可求解；②设厘米，则厘米，表示出四边形的面积，再结合题意列出方程，解出的值即可解答； （2）利用平移的性质得到，推出，再利用相似三角形的性质得出，即可求解； （3）过点作于点，利用勾股定理求出厘米，结合点，是，的中点，得出厘米，厘米，厘米，利用旋转的性质得到厘米，厘米，分析可知当最大时，面积最大，结合图形利用线段的性质求出的最大值，即可求出面积的最大值． 【详解】（1）解：①为矩形， 厘米，，， 点，分别为边，的中点， 厘米，厘米， ， ，， 四边形是矩形， 又厘米， 矩形是正方形， ，，厘米， 由平移的性质得，，， ， ， 又， 四边形是矩形， 点与的中点重合， 厘米， ，， 和都是等腰直角三角形，厘米，厘米， 平方厘米， 平方厘米， 的面积与原矩形纸片的面积之比是． 故答案为：． ②由①中的结论得，四边形是矩形，和都是等腰直角三角形， 设厘米，则厘米， 厘米，厘米， ， 的面积与原矩形纸片的面积之比是，平方厘米， ， 解得：，， 平移距离为或． 故答案为：或． （2）解：纸片为菱形，， ，和为等边三角形， 纸片沿方向向上平移， ， ， 两个纸片重叠部分的面积与纸片的面积之比为， ， ， ． （3）解：如图，过点作于点，   ，厘米，厘米， 厘米， 点，是，的中点， 厘米，厘米，厘米， 由旋转的性质得，厘米，厘米， ， 当上的高线最大时，则面积最大， ， 当点和点重合时，且旋转到外侧时，此时最大， 作出示意图如下： ， 此时、、三点共线， 即厘米， 平方厘米， 即面积的最大值为144平方厘米． 【点睛】本题考查了特殊平行四边形的性质与判定、平移的性质、一元二次方程的应用、相似三角形的性质与判定、旋转的性质、直角三角形的性质，熟练掌握相关知识点，学会结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．本题属于几何综合题，需要较强的推理论证和辅助线构造能力，适合有能力解决几何难题的学生． 题型02 图形的翻折问题 3．（2025·江苏苏州·一模）如图，在中，，，，为的中点，E为边上一点，将沿翻折得到，与交于点F，若的面积是的3倍，则的长为_______． 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形，折叠的性质，勾股定理等知识点．在中，由勾股定理可得，则，，，由的面积是的3倍，可知，即，得，过点作于点，结合折叠的性质解直角三角形可求得在中，，，，进而可证得，可得，则，得，由即可求解．根据折叠的性质解直角三角形证得是解决问题的关键． 【详解】解：在中，，，， ∴， 则，， ∵为的中点， ∴， ∵的面积是的3倍， ∴，即， ∴， 由折叠可知，，，，， 过点作于点， 在中，， ， 在中，， ∴，则， ∴， ∴，则， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 4．（2025·海南·模拟预测）如图，在菱形中，，，E是上一点，，F是上的动点，连接，，将沿所在直线翻折得到，点到直线的最小距离是______；连接，则的最小值是______． 【答案】 【分析】根据点的运动轨迹，再结合直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短求解．根据圆外一点到圆上的最短距离为点与圆心形成的线段减去半径的长即可求解． 【详解】解：如图1， ∵， ∴点在以点E为圆心，半径为2的圆弧上运动． 过点E作于点I，当点位于线段与圆弧的交点处时，点到的距离最小，为的长， ∵四边形是菱形，， ∴为等边三角形，， ∵， ∴， ∴， 即点到直线的最小距离是； 如图2，同理，点B'在以点E为圆心，半径为2的圆弧上运动．连接， 当点位于与圆弧的交点处时，的值最小． 过点E作交的延长线于点K， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即的最小值是． 故答案为：，． 【点睛】本题主要考查了折叠的性质、解直角三角形、等边三角形的判定和性质、菱形的性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 题型03 图形的旋转问题 5．（2025·江苏苏州·模拟预测）如图1，在中，，，点D，E均在边上（点D在点E的左侧），且． (1)如图1，将绕点A逆时针旋转得到，连接，求证：； (2)如图2，若，求证：； (3)如图3，若，，求线段的长度． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）由旋转得，由，，可得，进而可得，，根据“边角边”可证； （2）将绕点A逆时针旋转得到，连接，，先求出，进而可得，在中，，根据（1）中的方法，同理可证明，得出，问题得证； （3）将绕点A逆时针旋转得到，连接，，过F点作，交的延长线于点G，可得是等边三角形，根据（1）中的方法可证明：，即，根据旋转的性质有，，再证，利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理解，，问题得解． 【详解】（1）证明：根据旋转的性质，可得：， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴； （2）证明：将绕点A逆时针旋转得到，连接，， ∵，， ∴， 根据旋转的性质，可得：，， ∴， ∴在中，， 根据（1）中的方法，同理可证明， ∴， 又∵， ∴； （3）证明：将绕点A逆时针旋转得到，连接，，过F点作，交的延长线于点G，如图， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， 根据（1）中的方法可证明：， ∴， 根据旋转的性质有：，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ， ∴， ∵在中，， ∴， 解得：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，以及含30度角的直角三角形的性质等知识，合理作出相应的辅助线是解答本题的关键． 6．（2025·江苏泰州·三模）已知，在中，，，，是直线上一点，将点绕点逆时针旋转得其对应点，当时，则长为_______． 【答案】或 【分析】通过连接辅助线，利用旋转性质和全等三角形的判定，确定点的运动轨迹，再分情况结合等腰直角三角形、勾股定理求解长． 【详解】解：连接、，取的中点，作直线． ∵将点绕点逆时针旋转得对应点， ∴，，为等边三角形． ∵，，， ∴． ∵是中点，，， ∴，． ∵， ∴． 在和中， ， ∴． ∴， ∴，点在直线上运动． 情况一：点在的延长线上． ∵，是中点， ∴． ∵， ∴． 在中，， ∴． 情况二：点在线段上． 同理，， ∴． 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质，熟练掌握旋转性质和全等三角形判定是解题的关键． 题型04 图形的对称问题 7．（2025·江苏徐州·模拟预测）已知，在等腰中，，，点为中点，为边上一点，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接、． (1)如图，若，，求的长； (2)如图，过点作于点，延长交于点，求证：； (3)如图，在的条件下，为线段上一点，连接，将沿翻折得，点对应点，点为线段与线段的交点，当为等腰三角形时，直接写出的值． 【答案】(1)； (2)见解析； (3)或． 【分析】利用可证，根据全等三角形对应边相等，可知，因为中，，，点为中点，可知，，，利用含角的直角三角形的性质可得，利用勾股定理可以求出，根据等腰三角形的三线合一定理可得，从而可以求出，利用勾股定理可得； 过点作交的延长线于点，交于点，连接，，构造全等三角形，利用全等三角形的性质可证结论成立； 因为为等腰三角形，所以要分三种情况求解，情况一、当时；情况二、当时；情况三、当时． 【详解】（1）解：，将绕点逆时针旋转得到， ， ，， ， ， 在和中，， ， ， ，， 点为中点，， ，， ， ， ， ， ， ； （2）解：过点作交的延长线于点，交于点，连接，， ，，，， ，，， ，， 由得， ，， ， ， 与为等边三角形， ，， ，， 在和中，， ， ，， 在与中，， ， ， ，， 在和中，， ， ； （3）解：当时，如下图所示， ， ，， ，，， ， 将沿翻折得， ，，， 即， 解得：， ， 由得，， ， 过点作， ， ， ， ， ， ， ， ； 当时，如下图所示， ， ， ，与题意矛盾，舍去； 当时，如下图所示， ， ， ， ，， 过点作， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 综上所述，或． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，勾股定理解三角形，含角的直角三角形的性质及等腰三角形的性质，解决本题的关键是作辅助线构造全等三角形和直角三角形，利用全等三角形的性质和直角三角形的性质找边、角之间的关系． 8．（2025·江苏扬州·一模）如图，已知，，将线段绕着点顺时针旋转得到线段，作点关于直线的对称点，连接交直线于点． (1)若，则的度数为______； (2)猜想线段、、之间的数量关系，并证明； (3)若，当长为时，求的面积． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【分析】（）连接，设与直线的交点为，由等腰三角形的性质可得，即得，再根据轴对称的性质得，，即得，，，进而根据角的和差即可求解； （）证明，得，，进而得，即得为等腰直角三角形，得到，过点作于，可得，为等腰直角三角形，设，，则，，，据此即可求证； （）利用（）的结论解答即可求解． 【详解】（1）解：连接，设与直线的交点为， 由旋转得，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵点和点关于直线的对称， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：，证明如下： 由旋转得，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵点和点关于直线的对称， ∴，， ∴，，， ∴， ∴，， ∵，，， ∴，， ∴， ∴，，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 过点作于，则，， ∴，为等腰直角三角形， 设，，则，，， ∵，， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， 由（）得，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，旋转的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定和性质，完全平方公式的应用，正确作出辅助线是解题的关键． 1．（2025·上海·模拟预测）在梯形中，，， ， ．在边上取一点E，满足．将沿方向平移得到（三个顶点依次对应），若点H在边上，则点H到直线的距离是___________． 【答案】 【分析】延长交于P，连，作于，证，得，推出；根据，求出，，得到为的中点；证即可求解； 【详解】解：延长交于P，连，作于， ∵， ∴， ， ， ， ∴， ∴； ∵， ， ； 则为的中点； 由平移可知：， ∴，； ∵， ∴； ∴，即：； ， 故答案为： 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算、利用平移的性质求解，综合性较强，需要学生具备扎实的几何基础． 2．（2025·江苏徐州·一模）综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的旋转”为主题开展数学活动． 在矩形中，是对角线，，，将矩形绕点顺时针旋转得到矩形，其中点分别是点的对应点． (1)如图1，连接，猜想的数量关系并说明理由． (2)如图2，隐去对角线，当点恰好落在边上时，连接交于点． ①求证：． ②若将矩形沿向右平移，使得恰好落在上，则平移的距离为______． (3)若点落在直线上，请直接写出的长． 【答案】(1)，理由见解析 (2)①见解析；② (3)或 【分析】（1）由旋转的性质可得，，，，，进而证明，即可得出； （2）①过点作于点，连接，由旋转的性质可得，，可得，进而得，得，由旋转可知，因此，进而证明，即可得出结论； ②过点作于点，根据题意，若将矩形沿向右平移，使得恰好落在上，则平移的距离为的长度，先证明，得，由①得，，即，求出即可； （3）分两种情况进行讨论，第一种情况，过点作于点，过点作于点，易得四边形是矩形，根据等面积法和勾股定理即可求出的长； 第二种情况，过点作交的延长线于点，过点作交的延长线于点，易得四边形是矩形，根据等面积法和勾股定理即可求出的长． 【详解】（1），理由如下： 矩形中，，是对角线，，， ， ， 由旋转的性质可得，，，， ， ， ； （2）证明：如图所示，过点作于点，连接， 由旋转的性质可得，， ， ， ， ， 又，， ， 由旋转可知，， ， ，， ， ； ②如图所示，过点作于点， 根据题意，若将矩形沿向右平移，使得恰好落在上，则平移的距离为的长度， 由旋转的性质可得，，， ， ， 又，， ， ， ， 由①得，， ； （3）分两种情况进行讨论， 第一种情况，如图所示，过点作于点，过点作于点， ，，矩形， 四边形是矩形， ，即， ， ， ，， ，， ； 第二种情况，如图所示，过点作交的延长线于点，过点作交的延长线于点， ，，矩形， 四边形是矩形， ，即， ， ， ，， ，， ， 综上所述，的长为或 ． 【点睛】本题考查了图形的变换—旋转、矩形的判定及性质、全等三角形的判定及性质、相似三角形的判定及性质、角平分线的性质定理、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点，具备一定的画图能力，会用分类讨论的思想是解题的关键． 3．（2025·江苏南通·模拟预测）菱形中，，，点为边上一个动点（不与点、重合），把沿直线折叠，与对应． (1)请用无刻度直尺和圆规在图中作出（不写作法，保留作图痕迹）； (2)若点在的延长线上，求的长； (3)当与菱形的边垂直时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)3 (3)或 【分析】（1）利用尺规作图作，在上截取，连接，即为所求； （2）根据菱形的性质可得， ，由折叠可知，，，，在中，解直角三角形得，，即可求解； （3）根据菱形的性质可得，，，由折叠可知，，，，，可得， 分两种：当时，当时，分别解直角三角形即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）菱形中，，， ∴， 由折叠可知，，，， ∵点在的延长线上， ∴， 在中，， ∴，， ∴； （3）菱形中，，，， 由折叠可知，，，，， ∴， 当时，垂足为， 在中，，则， ∴， 在中，， ∴； 当时，垂足为，过点作， ∵， ∴，则， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，设，， ∴， 又∵， ∴，则， ∴； 综上，的长为或． 【点睛】本题考查尺规作图——作一个角等于已知角，折叠的性质，菱形的性质，解直角三角形，勾股定理，等腰直角三角形的性质等知识点，理解相关图形的性质，作出图形是解决问题的关键． 4．（2025·江苏徐州·一模）在菱形中，，点在射线上运动（点与点不重合），关于的轴对称图形为．如图，为的外接圆，直线与交于点，连接交于点． (1)若，则____________； (2)当时，连接，判断直线与位置关系，并说明理由； (3)直接写出的外接圆的半径的最小值． 【答案】(1)15 (2)直线与相切，理由见解析 (3)r的最小值为 【分析】（1）利用轴对称的性质，圆周角定理解答即可得出结论； （2）过点E作于点H，利用菱形的性质，轴对称的性质和相似三角形的判定与性质求得，利用直角三角形的边角关系定理，等腰直角三角形的判定与性质，圆周角定理得到，则为圆的直径，利用等腰三角形的性质，圆周角定理，三角形的内角和定理，通过计算求得，则，最后利用圆的切线的判定定理解答即可； （2）利用点的轨迹得到的外接圆为以为弦，所对的圆周角为的圆，则当取得最小值时，的外接圆的半径r取得最小值，过点D作于点E，利用轴对称的性质，菱形的性质，等边三角形的判定与性质得到的长，则结论可求． 【详解】（1）解：∵关于的轴对称图形为， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：直线与相切，理由： 过点E作于点H，如图， ∵四边形为菱形， ∴， ∵关于的轴对称图形为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为圆的直径， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为圆的直径， ∴直线与相切； （3）解：的外接圆的半径r的最小值为． 由题意得：， ∴的外接圆为以为弦，弦所对的圆周角为的圆， ∴当取得最小值时，的外接圆的半径r取得最小值， ∵点E在射线上运动， ∴当时，取得最小值， 过点D作于点E，如图， 此时点与点B重合，为的外接圆的直径， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴的外接圆的半径r的最小值． 【点睛】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，圆的切线的判定定理，菱形的性质，等边三角形的判定与性质，轴对称的性质，直角三角形的性质，直角三角形的边角关系定理，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握轴对称的性质和菱形的性质是解题的关键． 5．（2025·江苏徐州·一模）在综合实践活动课上，同学们以折叠正方形纸片展开数学探究活动． 【操作判断】 操作一：如图①，对折正方形纸片，得到折痕，把纸片展平； 操作二：如图②，在边上选一点，沿折叠，使点落在正方形内部，得到折痕； 操作三：如图③，在边上选一点，沿折叠，使边与边重合，得到折痕把正方形纸片展平，得图④，折痕与的交点分别为．根据以上操作，得 ． 【探究证明】 （1）如图⑤，连接，试判断的形状并证明． （2）如图⑥，连接，过点作的垂线，分别交于点．求证：． 【深入研究】若，直接写出的值． 【答案】[操作判断]；[ 探究证明]（1）等腰直角三角形，证明见解析；（2）见解析；[深入研究] 【分析】[操作判断] 根据正方形的性质以及折叠的性质即可求解； [ 探究证明]（1）先证明，再证明，则，继而得到，因此，，即是等腰直角三角形； （2）由翻折得，，由，得到，故，因此，而由，得到，则，因此； [深入研究] 结合 [ 探究证明]（1）中，，根据勾股定理可求出，由[ 探究证明]（2）知：，则，证明，然后根据相似三角形的性质求解即可． 【详解】[操作判断] 解：如图， 由题意得，， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， 故答案为：45； [ 探究证明] （1）解：是等腰直角三角形 理由：如图， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴是等腰直角三角形； （2）证明：如图， 由翻折得，， ∵四边形是正方形， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； [深入研究] 解：由[ 探究证明]（1）知：，， ∴， 由[ 探究证明]（2）知：， ∴， 由[ 探究证明]（1）知：， ∴， 由翻折得， 又， ∴， ∴，即， 解得． 【点睛】本题考查了正方形背景下的折叠问题，相似三角形的判定与性质，正方形的性质，折叠的性质，等腰三角形的判定，解直角三角形，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 6．（2025·江苏盐城·一模）数学中的相对运动 【理解运用】 （1）如图，平面直角坐标系中 A 、D 、P 三点的坐标分别为．若线段以 2 个单位/秒的速度沿 x 轴方向向右运动 t 秒， ①若将线段看成静止的，则点 P 以 单位/秒的速度沿 x 轴方向向 运动； ②设平移后线段的对应线段为，当的值最小时，求 t 值； （提示： 的最小值涉及两个动点有点难，但依据相对运动，将 看成静止的，则点 P 为动点，就转化成求 的最小值问题．请根据提示写出求解过程．） 【深入思考】 （2）如图，在（1）的条件下，以为边作，其中点 B 为，点 Q 是边 上的一动点，线段 绕点 Q 按逆时针方向旋转得线段． 当是直角三角形时， 求 的长． 【答案】（1）①2，左；②（2）或或 【分析】（1）①根据“相对运动”的概念和性质，即可获得答案；②依据相对运动，将看成静止的，则点P为动点，取点关于直线轴的对称点，则，利用待定系数法解得直线的解析式；当点运动到直线上，即点，，三点共线时，可有取最小值，确定此时点的横坐标，可确定点运动距离，然后求解即可； （2）过点作于点，首先根据题意确定，的值，结合平行四边形的性质确定，进而可得，的长度，由旋转的性质可得，然后分、、三种情况，分别求解即可． 【详解】解：（1）①若将线段看成静止的，则点 P 以2单位/秒的速度沿 x 轴方向向左运动． 故答案为：2，左； ②依据相对运动，将 看成静止的，则点 P 为动点， 如下图，取点关于直线轴的对称点， 则， ∵， ∴， 设直线的解析式为， 将点，代入， 可得，解得， ∴直线的解析式为， 当点运动到直线上，如图，即点，，三点共线时， 可有取最小值， 此时，将其代入直线， 可得，解得， ∴点运动路程， ∴； （2）过点作于点，如下图， ∵， ∴，，， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵，即， ∴， ∴， ∴， 根据题意，点 Q 是边 上的一动点，线段 绕点 Q 按逆时针方向旋转得线段， 则， ∴， ∵是直角三角形， 可分三种情况讨论， ①当时，如下图， ∵， ∴点与点重合， ∴； ②当时，如下图，延长交于点， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 解得或， 当时，， 当时，； ③当时，点在的延长线上，不符合题意． 综上所述，的长为或或． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形，最短路径、一次函数的应用、平行四边形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，解题关键是运用数形结合和分类讨论的思想分析问题． 7．（2025·江苏泰州·二模）如图1，将绕点A逆时针旋转得到，M、N分别为这两个平行四边形的对称中心． (1)连接、，当时； ① 求证：平分； ②请仅用无刻度的直尺和圆规在图2中作出符合条件的点E（要求：不写作法，保留作图痕迹）； (2)如图3，当绕点A逆时针旋转一定角度后，连接、，且两直线、互相垂直．若，，，求的面积． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)或 【分析】本题考查了基本作图，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，平行四边形的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键； （1）①直接根据证明得出即可得证； ②根据旋转可得，根据中心对称可得，作即可求解，或作，即可作出点； （2）过作，垂足为，则 ，证明得出，，，进而勾股定理求得，分类讨论，分别结合图形，再求得的面积，即可求解． 【详解】（1）证明：①依题意可知：旋转到位置， ∴， 在与中 ， ， ， 平分； ②如图，点为所求作的点； （2）， ， ，， ， 过作，垂足为，则 ∵是平行四边形的中心， ∴， ∴，， ∵ ∴， ∴ ，，， 由勾股定理得， 第一种情况：如图1所示 ， ， 第二种情况：如图2所示 ， ， 综上，的面积为或． 8．（2025·江苏无锡·二模）将先绕点逆时针旋转角，再以点为位似中心，以为相似比进行缩放，得到，且，，我们称这种变换为“平等变换”，规则记作，其中是旋转角大小，． 例如，图1中，，，到的“平等变换”规则是． (1)直接写出下列条件中的“平等变换”规则： ①如图2，，：___________； ②如图3，，，：___________ (2)如图4，，， 求证：经过“平等变换”后，、、三点共线． (3)如图5，，经过“平等变换”后，若点在延长线上，且，请直接写出该变换的规则．___________． 【答案】(1)①；② (2)见解析 (3) 【分析】（1）①根据“平等变换”的定义可得，，即可解答；②作于点，利用三角函数的知识求出的长和的度数，再根据“平等变换”的定义可得，，即可解答； （2）取的中点，连接、，设，根据“平等变换”的定义和三角函数的知识求出的度数，并表示出，再利用等边三角形的性质与判定证出，即可证明； （3）根据“平等变换”的定义可得，利用得到，利用三角形内角和定理列出方程，求出的值，设，，利用相似三角形的性质得到，代入数据得出方程，再结合，转化为关于的方程，解出的值，即可解答． 【详解】（1）解：①如图2，设经过“平等变换”后得到，则，， 由题意得，， ，， ， ， ， ， ， “平等变换”规则是． 故答案为：； ②如图3，设经过“平等变换”后得到，则，， 作于点，则， 在中，，， ，， ， ， 在中，， ， 由题意得，， ，， ， ， ， ， ， “平等变换”规则是． 故答案为：． （2）证明：如图4，取的中点，连接、， ，， ， 设，则， ， 经过“平等变换”后得到， ，，， 在中，， ， ， ， 点是的中点， ， ， 又， 是等边三角形， ，， ， ， ， 、、三点共线． （3）解：经过“平等变换”后得到， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得：， 设，， 则， ，， 四边形是平行四边形， ， 由题意得，， ，即， ， ， ， 解得：，（舍去负值）， “平等变换”规则是． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了新定义、旋转的性质、位似变换、解直角三角形、等边三角形的性质与判定、相似三角形的性质与判定、一元二次方程的应用，弄清“平等变换”的规则是解题的关键．本题属于几何综合题，需要较强的几何推理能力，适合有能力解决几何难题的学生． 9．（2025·江苏徐州·二模）如图，在中，，．点E在边上，连接，将线段绕点A按顺时针方向旋转得到线段，连接，，是等边三角形，若，则线段的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，确定当时，线段取最小值，根据等边三角形的性质可得和，过点作于点，交于点，根据勾股定理，三角形的中位线，等腰三角形的三线合一求出的长度，证明，利用相似三角形的对应边成比例即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，当时，线段取最小值， ∵线段绕点按顺时针方向旋转得到线段， ， ∵是等边三角形， ， ， ， 即， ， ， ∴当时，线段取最小值， 过点作于点，交于点， ， ∴， 由勾股定理得， 根据等腰三角形的三线合一可得，点是中点，且， ， ， ， 在 中，由勾股定理得， ， ， ， ， ， ， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，勾股定理，线段的最值问题，等腰三角形的性质等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质和作辅助线． 10．（2025·江苏南通·一模）综合与探究 问题情境： 矩形中，，的平分线交于点E．将绕点顺时针旋转，得到点A，B的对应点分别为点F，G（点G与点B不重合）． 深入探究： (1)如图1，当点F在边上时，求证：； (2)如图2，当点G在线段上时，连接，，求四边形的面积； (3)当点G在矩形的对角线上时，连接，直接写出的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)或 【分析】（1）先根据旋转的性质可得，根据等腰三角形的性质可得，再根据三角形的内角和定理可得，然后根据矩形的性质可得，由此即可得证； （2）设交于点，先证出，根据全等三角形的性质可得，，则，再证出，根据相似三角形的性质可得的长，然后利用勾股定理求出的长，最后根据四边形的面积等于求解即可得； （3）分两种情况：①若点在对角线上时，过点作于，先证出点在同一条直线上，再求出的长，从而可得的长，然后利用勾股定理求解即可得；②若点在对角线上时，过点作于，过点作于，先根据等腰三角形的性质、勾股定理求出的长，再证出，根据相似三角形的性质可得的长，从而可得的长，然后利用勾股定理求解即可得． 【详解】（1）证明：绕点旋转得到， ， ∴， ． ． 矩形中，， ， ∴， ． （2）解：如图，设交于点． 四边形是矩形，， ，， ， ∴，， 平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的面积为 ． （3）解：①如图，若点在对角线上时，过点作于． 平分， ∴点到的距离等于的长度． 由旋转的性质得：， ∴， ∴， ∴， ∴点在同一条直线上， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵在矩形中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②如图，若点在对角线上时，过点作于，过点作于， ∵在矩形中，， ∴， ∴， 由上已得：， ∴（等腰三角形的三线合一）， 在中，， ∴在中，， ∴，，， 由旋转的性质得：，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 综上，的长为或． 【点睛】本题考查了矩形的性质、旋转的性质、解直角三角形、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，较难的是题（3），正确分两种情况讨论是解题关键． 11．（2025·江苏无锡·一模）如图，在菱形纸片中，，，对角线与相交于点，点是对角线上一动点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到，连接，，点是线段的中点． (1)求证：； (2)求面积的最大值； (3)当为等腰三角形时，直接写出线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【分析】（1）利用菱形的性质结合旋转的性质可得，易证，即可得出结论； （2）过点F作于点H，由题意得，则当面积最大时，面积最大，利用菱形的性质结合勾股定理求出，设，则，，求出，利用二次函数的性质即可解答； （3）解：连接，设，则，求出，； 分时，过点D作于点P，过点E作于点M，时，过点E作于点M，，三种情况讨论，利用等腰三角形的性质结合勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形，， ∴， 由旋转的性质得：， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：过点F作于点H， ∵点是线段的中点， ∴，则当面积最大时，面积最大， ∵四边形是菱形，， ∴， ∴， 由（1）知， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是菱形，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则，， ∴， ∴， 当，即点重合时，面积最大，最大值为， ∴面积的最大值为：； （3）解：连接， 由旋转的性质得：，， ∴是等腰三角形， ∴， ∵点是线段的中点， ∴平分，， ∴， 设，则， ∴， ∴； 如图，当时，过点D作于点P，过点E作于点M， 则，， 设，则，， ∵， ∴， 整理得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 令，则， 解得：或， ∴或， 当时，， 当时，（舍去）； 如图，当时，过点E作于点M， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴，即， 解得：（负值舍去）， ∴； 当时， ∵点是线段的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，显然矛盾，故不存在； 综上，当为等腰三角形时，线段的长为或． 【点睛】本题考查了旋转的性质、菱形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，解直角三角形等，二次函数的性质熟练掌握和应用相关的性质与定理是解题的关键． 12．（2025·江苏徐州·一模）如图，在正方形中，点E，F分别在边和上，且，连接，分别交，于点H，点G，连接，，． (1)若正方形的边长为，则的周长为________； (2)求证：； (3)与存在怎样的位置关系？请说明理由； (4)求证：为定值． 【答案】(1)8 (2)见解析 (3)，理由见解析 (4)见解析 【分析】（1）将绕点顺时针旋转得到，根据旋转及正方形的性质可证明，得，进而可得答案； （2）结合题意，由正方形的性质可知，，得，进而可证明结论； （3）根据正方形的性质可知，由（2）可知，，得，可证得，从而得，即可得结论； （4）根据正方形的性质可知，由（2）可知，，得，即，证得，得，由（2）可知，得．同理可得，得，由即可证明结论． 【详解】（1）解：在正方形中，，， 将绕点顺时针旋转得到， 则，，，， ∵， ∴点、、在同一直线上， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 则的周长， 故答案为：8； （2）证明：四边形为正方形，，． ，， ， ． （3），理由如下： 四边形为正方形， ． 由（2）可知，， ， ． ，即． （4）证明：四边形ABCD为正方形， ， 由（2）可知，， ， ， ， ， ． 由（2）可知， ，即． 同理可得， ，即． ． 【点睛】本题考查相似三角形的判定及性质，正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定及性质，证明，利用相似三角形的性质转化边之间的关系是解决的关键． 2 / 2 北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $