精品解析：青海海东市2026届高三下学期5月模拟数学试卷

高三数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集，，则集合可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】已知，， 故集合可以为. 2. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的除法运算求出复数的代数形式，然后可得共轭复数. 【详解】由题意， 所以 故选：A. 3. 已知是奇函数，当时，，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【详解】已知是奇函数，则对任意，都有，因此. 因为，代入时的解析式， 得 ， 因此. 4. 2026人形机器人半程马拉松于4月19日开跑，有300多台机器人参赛．某人形机器人行走时，踝关节摆动高度（单位：cm）随时间（单位：s）的变化满足，已知该机器人踝关节完成一次完整的摆动动作需要的时间为1.2s，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将实际摆动周期转化为正弦型函数的周期，利用周期公式直接计算. 【详解】机器人踝关节完成一次完整摆动的时长对应函数的周期，即. 由正弦型函数周期关系， 可得，， 代入周期数值，. 5. 已知数列的前项和，则（ ） A. 2025 B. 2026 C. 2027 D. 【答案】B 【解析】 【详解】可知. 6. 已知，均为锐角，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【详解】因为均为锐角，正弦函数在上单调递增， 所以若，可得，因此，充分性成立； 由，且，根据正弦等式性质，则或 ， 即或 . 举反例：取​，满足是锐角， 且，但， 因此推不出，必要性不成立. 综上，“”是“”的充分不必要条件. 7. 已知双曲线的右焦点为，为坐标原点，直线与双曲线的一条渐近线交于点，若，则的离心率为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】双曲线的渐近线为，直线与渐近线的交点坐标为， 则，依题意有即， 因为，于是可得，的离心率为. 8. 在中，，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先对两边同时平方，再结合向量模长公式和向量数量积的运算律进行化简，最后根据余弦定理求出. 【详解】因为，所以， 又因为， 所以， 即，对于，恒成立， 所以该二次函数的判别式， 即，所以，即， 因为，所以， 所以. 根据余弦定理， 将，代入可得： ， 再根据正弦定理，可得，即，解得. ，则，所以，所以为锐角，所以. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在上且位于第一象限，，则（ ） A. 的周长为16 B. C. D. 直线的斜率为 【答案】AC 【解析】 【详解】根据题意可得，点，点， 对于A选项，的周长为，故A选项正确； 对于B选项，因为，解得，故B选项错误； 对于C选项，根据B选项方程解得，故C选项正确； 对于D选项因为，， 因为P点在第一象限所以设P点坐标为， 则，解得， 则直线的斜率为，故D选项错误. 10. 已知函数，则（ ） A. 的定义域为 B. 的值域为 C. 在上单调递增 D. 存在，使得函数恰有两个零点 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A选项，使得根号下的数非负即可；对于B选项，结合函数的单调性以及定义域来确定；对于C选项，由两单调递增函数相加仍为单调递增函数即可求解；对于D选项，由函数零点以及函数值域求解即可 【详解】对于A选项，，解得，故A正确； 对于B选项，由可得，， 令，解得，进一步可得， 正根为，当时，对应极值点有， 此时在上单调递增，在单调递减， 所以函数在区间上的最大值为，最小值为， 当时，，该区间内的最小值为 ， 因此区间内所有实数都无法被取到， 函数图象如图所示， 所以值域不可能是全体实数，故B错误； 对于C选项，因为在上单调递增，在上单调递增， 所以在上单调递增，故C正确； 对于D选项， 当时，在区间上单调递增，在单调递减， 且 ，最大值为， 当时，在恰好有两个不同的解， 同时，所有的定义域区间内的最大值都小于， 所有的定义域区间内的最小值都大于， 所以此时总共有个零点，区间， 所以确实存在满足条件的，故D正确. 11. 已知数列的通项公式为，数列的通项公式为．若，当时，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】当时，由不等式性质可得的范围，结合条件可得的范围并进一步转为的范围，再利用极限思想得到，于是有且，依次判断各项即可. 【详解】当时，因为，由不等式性质可得 即， 依题意有①，②，将②中的换成 得，结合①即有③， 已知，故有，两边同时除以， 得即， 该式对任意大于的整数均成立，当时，，因此必有 ，也即，若， 不会趋于常数，只有且才有，C错误，D正确， 于是可得即③对也成立，B正确， 同时也可得，A正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 某市开展餐饮消费调查，比较预制菜餐厅与传统现炒餐厅的翻台率（每天每桌接待顾客批次），得到预制菜餐厅的平均翻台率为3.2次/（桌•天），传统现炒餐厅的平均翻台率为2.4次/（桌•天）．已知该市餐饮协会数据显示，全市营业餐厅中，预制菜餐厅约占40%，其余的都是传统现炒餐厅，据此估计，全市餐厅的平均翻台率约为________次/（桌•天）． 【答案】 【解析】 【详解】确定两类餐厅的权重与对应平均翻台率： 预制菜餐厅的占比为,对应平均翻台率次/(桌天). 传统现炒餐厅的占比为. 对应平均翻台率次/(桌天). 所以. 即全市餐厅的平均翻台率约为2.72次/(桌天). 13. 已知函数没有极值点，则________． 【答案】 【解析】 【分析】三次函数没有极值点的充要条件是其导函数对应的二次函数判别式，通过代数变形推导参数、的唯一取值，最终代入计算得到的结果. 【详解】因为 所以， 因为函数的三次项系数为正，函数无极值点， 所以导函数方程的判别式满足， 即 ， 因为恒成立， 所以当且仅当时，，满足三次函数无极值点的条件. 所以，因此. 14. 如图，在三棱锥中，，，，，则该三棱锥的体积为______． 【答案】 【解析】 【分析】取中点，连接，，可得，根据余弦定理求出，在中利用勾股定理逆定理得到，进而可得平面，故三棱锥的体积，代入计算即可. 【详解】取中点，连接，. 在中，，，为中点，所以， ，. 在中，， 则. 在中，， 所以. 在中，， 所以为直角三角形，且. 又，平面，，所以平面. ， 所以三棱锥的体积. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，内角，，所对的边分别为，，，，，． （1）求； （2）点在边上，若的面积为，求． 【答案】（1）4 （2）3 【解析】 【分析】（1）由正弦定理以及余弦定理求解即可. （2）由求解，由三角形面积公式求解，再由余弦定理求解即可. 【小问1详解】 因为，由正弦定理可得，因为，所以，即， 由余弦定理可得，所以，解得. 【小问2详解】 因为，所以，因为，，所以， 所以， 由三角形的面积公式可得，解得， 由余弦定理可得，代入可得. 16. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，，，分别是，，的中点，点在线段上，平面，，，，． （1）证明：平面． （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据图形特点，建立空间直角坐标系，利用点的坐标求与面的法向量垂直，可证明线面平行. （2）按照空间坐标系的运算求解直线与平面所成角的正弦值． 【小问1详解】 在四棱锥中，底面是矩形，平面，以为坐标原点， 过且垂直的直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴， 由题意知，轴两两互相垂直，建立空间直角坐标系. 由题意得，，， ，，， 得到，，， 设平面的法向量为， 则，得到，令，解得，， 得到，可得， 又直线不在平面内，可得平面. 【小问2详解】 因为，，所以，， 设平面的法向量为， 则有法向量与平面的向量，都垂直， 可得，，令，解得，， 得到，而， 设直线与平面所成角为，可得， 故直线与平面所成角的正弦值为. 17. 甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛共3局，获胜局数多的人赢得本次比赛．已知第一局比赛甲、乙获胜的概率分别为0.6，0.4，此后，若上一局甲获胜，则本局比赛甲、乙获胜的概率分别为0.7，0.3，若上一局乙获胜，则本局比赛甲、乙获胜的概率分别为0.5，0.5． （1）求甲赢得本次比赛的概率； （2）用表示甲获胜的局数，求的分布列与期望． 【答案】（1）0.65 （2）分布列为： X 0 1 2 3 P 0.1 0.25 0.356 0.294 期望为 【解析】 【分析】（1）分情况讨论然后将所有的情况的概率相加即可， （2）分别计算甲赢得局数的概率然后列表填入，根据期望公式计算出期望值. 【小问1详解】 甲赢得本次比赛的第一种情况为前两局胜利，则概率为， 第二种情况为第1局和第3局胜利，则概率为， 第三种情况为第1局输剩余2局赢，则概率为， 故甲赢得本次比赛的概率为 【小问2详解】 甲赢0局的概率为， 赢1局的概率为， 赢2局的概率为， 赢3局的概率为， X 0 1 2 3 P 0.1 0.25 0.356 0.294 则期望为 18. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若，，求的取值范围； （3）证明：，，． 【答案】（1）； （2）； （3）见解析. 【解析】 【分析】（1）先求出切点坐标，切线斜率，然后用点斜式方程求出切线方程； （2）利用分离参数法求，只需要，恒成立，从而求出； （3）先证明：，， ，再左右两边累加可证明原不等式. 【小问1详解】 当 时， ， ， ，， ，即，整理得：； 【小问2详解】 ，，， 则， 当 时，左边为 0，右边为 ，等号成立； 当 时，，不等式可化为：，令 ，，则 ， ， 令 ，，则 ， 因此 在 单调递增，且 ，故 时 ，即 ， 在 单调递增，故 ， 由洛必达法则得 ，因此 ，故 ， 所以 的取值范围是 ； 【小问3详解】 先证明：，，， 构造函数 ，其中 ， 所以 在 上单调递增，, 所以当 ， 即 ，，令， 把 代入上式： ， 所以，，，即， 所以，，，， 累加得：> 所以> 所以，，. 19. 已知为坐标原点，抛物线的焦点为，过点的直线与交于，两点，当时，． （1）求的方程． （2）记过点且与相切的直线为，过点作直线的垂线交于另一点，求的最小值． （3）是否存在定圆，使得以为直径的圆始终与圆相切？若存在，求圆的方程；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）使用抛物线通径的定义求解； （2）设直线的方程并与抛物线方程联立，消元，韦达定理解出斜率，再设直线的方程并与抛物线联立消元后，构造函数，使用导数求解； （3）使用圆与圆相切的条件求解. 【小问1详解】 由题意可知，当时，线段是抛物线的通径，，解得，所以的方程为： 【小问2详解】 设点，由题意知直线的斜率存在， 设方程：，代入得，所以方程为： 消元得，令，又，解得，所以的方程为：， 因为直线与直线垂直，所以斜率为，的方程为， 代入，，整理得，设， 由韦达定理，， 则，令，， ，，令，得， 当时，，是减函数；当时，，是增函数， 所以，即的最小值为：. 【小问3详解】 焦点，设直线的方程为：，联立得，设，由韦达定理得，，则，设以为直径的圆圆心为点，圆心，因为，所以半径，设圆心，半径为， 若圆与圆相切，则，平方后得， 若，整理得， 解得，不符合题意 若，整理得， 解得，符合题意 综上，存在定圆，使得以为直径的圆始终与圆相切， 圆的方程为：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集，，则集合可能为（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知是奇函数，当时，，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 4. 2026人形机器人半程马拉松于4月19日开跑，有300多台机器人参赛．某人形机器人行走时，踝关节摆动高度（单位：cm）随时间（单位：s）的变化满足，已知该机器人踝关节完成一次完整的摆动动作需要的时间为1.2s，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知数列的前项和，则（ ） A. 2025 B. 2026 C. 2027 D. 6. 已知，均为锐角，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 已知双曲线的右焦点为，为坐标原点，直线与双曲线的一条渐近线交于点，若，则的离心率为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 8. 在中，，若，，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在上且位于第一象限，，则（ ） A. 的周长为16 B. C. D. 直线的斜率为 10. 已知函数，则（ ） A. 的定义域为 B. 的值域为 C. 在上单调递增 D. 存在，使得函数恰有两个零点 11. 已知数列的通项公式为，数列的通项公式为．若，当时，，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 某市开展餐饮消费调查，比较预制菜餐厅与传统现炒餐厅的翻台率（每天每桌接待顾客批次），得到预制菜餐厅的平均翻台率为3.2次/（桌•天），传统现炒餐厅的平均翻台率为2.4次/（桌•天）．已知该市餐饮协会数据显示，全市营业餐厅中，预制菜餐厅约占40%，其余的都是传统现炒餐厅，据此估计，全市餐厅的平均翻台率约为________次/（桌•天）． 13. 已知函数没有极值点，则________． 14. 如图，在三棱锥中，，，，，则该三棱锥的体积为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，内角，，所对的边分别为，，，，，． （1）求； （2）点在边上，若的面积为，求． 16. 如图，在四棱锥中，底面是矩形，，，分别是，，的中点，点在线段上，平面，，，，． （1）证明：平面． （2）求直线与平面所成角的正弦值． 17. 甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛共3局，获胜局数多的人赢得本次比赛．已知第一局比赛甲、乙获胜的概率分别为0.6，0.4，此后，若上一局甲获胜，则本局比赛甲、乙获胜的概率分别为0.7，0.3，若上一局乙获胜，则本局比赛甲、乙获胜的概率分别为0.5，0.5． （1）求甲赢得本次比赛的概率； （2）用表示甲获胜的局数，求的分布列与期望． 18. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若，，求的取值范围； （3）证明：，，． 19. 已知为坐标原点，抛物线的焦点为，过点的直线与交于，两点，当时，． （1）求的方程． （2）记过点且与相切的直线为，过点作直线的垂线交于另一点，求的最小值． （3）是否存在定圆，使得以为直径的圆始终与圆相切？若存在，求圆的方程；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $