精品解析：2025届青海省海东市高三三模数学试卷

高三数学试卷 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：高考全部内容． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 马拉松爱好者小丽月份每个月的跑步里程（单位：公里）如下表所示，则小丽7月份每个月的跑步里程的分位数为（ ） 月份 7月 8月 9月 10月 11月 12月 跑步里程 310 254 220 210 248 300 A. 210公里 B. 251公里 C. 254公里 D. 248公里 3. 已知向量，，若与垂直，则（ ） A. B. C. 3 D. 2 4. 已知点在直线上，则（ ） A. B. C. D. 5. 曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 6. 给定一个数列，记，则把数列称为的一阶差数列.若数列的一阶差数列的通项公式为，则（ ） A. 556 B. 557 C. 292 D. 291 7. 已知抛物线的焦点为，是抛物线上一点，以点为圆心的圆与直线相切于点．若，则圆的标准方程为（ ） A. B. C D. 8. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，则（ ） A. B. C. D. 10. 定义在上的函数满足，，则（ ） A. B. C. D. 2为的一个周期 11. 已知某平面图形由如图所示四个全等的等腰，，，拼成，其中线段，，的中点均为点，且．若将该平面图形绕着直线旋转半周所围成的几何体记为，将该平面图形绕着直线旋转半周所围成的几何体记为，直线直线，则（ ） A. 的体积为 B. 的表面积为 C. 经过两次旋转后，点所有的运动轨迹总长为 D. 的体积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，，，，成等比数列，则______，______． 13. 已知复数是关于的方程的一个根，则__________. 14. 双曲线的左、右焦点分别为是双曲线C右支上一点，且直线的斜率为是面积为的直角三角形，则双曲线C的实半轴长为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 在中，内角所对的边分别为，且. （1）求的值； （2）若，求的长. 16. 已知椭圆，椭圆以椭圆的短轴为长轴，且与椭圆有相同的焦距．椭圆的左、右焦点分别为，，直线与椭圆交于，两点． （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线的方程为，求； （3）若直线过坐标原点，且四边形是矩形，求四边形的面积． 17. 某兴趣小组调查了某校100名学生100米短跑成绩的情况，其中有60名学生的短跑成绩合格．这100名学生中有45名学生每周的锻炼时间超过5小时，60名短跑成绩合格的学生中有35名学生每周的锻炼时间超过5小时． （1）根据所给数据，完成以下表格，依据小概率值的独立性检验，是否可以推断学生短跑成绩合格与每周的锻炼时间超过5小时有关？ 单位：人 每周锻炼时间 短跑成绩 合计 短跑成绩合格 短跑成绩不合格 每周的锻炼时间超过5小时 每周的锻炼时间不超过5小时 合计 （2）正确的跑步姿势和起跑技巧等都可以让跑步者更好地发挥自己的能力．现对短跑成绩不合格的学生进行跑步技巧培训，已知每周的锻炼时间超过5小时的学生参加跑步技巧培训后，学生的短跑成绩合格的概率为，每周的锻炼时间不超过5小时的学生参加跑步技巧培训后，学生的短跑成绩合格的概率为．用频率代替概率，从短跑成绩不合格的学生中随机抽取1名学生（记为甲）进行跑步技巧培训． ①求学生甲参加培训后短跑成绩合格的概率； ②已知学生甲参加培训后短跑成绩合格，求学生甲每周的锻炼时间不超过5小时的概率． 参考公式与数据：，其中． 0.01 0.005 0.001 6.635 7.879 10.828 18. 已知函数，． （1）求的极值； （2）当时，讨论单调区间； （3）若，，求的取值范围． 19. 空间直角坐标系中，任何一个平面的方程都能表示成（其中均为常数，），为该平面的一个法向量.已知球的半径为4，点均在球的球面上，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示.平面内的点在球面上，点在轴上的投影在轴的正半轴上，，过直线作球的截面，使得平面平面，设截面与球球面的交线为圆（为线段的中点）. （1）求点的坐标. （2）若平面，证明：平面平面. （3）已知点在平面内，设线段在平面内绕着点逆时针旋转弧度至，点在圆上，且，过作平面，垂足为点. ①用表示点的坐标； ②若，求点到平面距离的最大值； ③若，当直线与平面所成角最小时，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学试卷 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．本试卷主要考试内容：高考全部内容． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用列举法表示集合，再利用交集的定义求解. 【详解】依题意，，而，所以. 故选：B 2. 马拉松爱好者小丽月份每个月的跑步里程（单位：公里）如下表所示，则小丽7月份每个月的跑步里程的分位数为（ ） 月份 7月 8月 9月 10月 11月 12月 跑步里程 310 254 220 210 248 300 A. 210公里 B. 251公里 C. 254公里 D. 248公里 【答案】C 【解析】 【分析】根据百分位数的公式计算即可. 【详解】将小丽月份每个月的跑步里程从小到大排列：. 因为6，所以小丽月份每个月的跑步里程的分位数为254公里. 故选：C. 3. 已知向量，，若与垂直，则（ ） A. B. C. 3 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量垂直的坐标表示求出，再利用坐标求出模. 【详解】向量，，则， 又与垂直，则，解得，， 所以. 故选：A 4. 已知点在直线上，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，求得，结合两角和的正切公式，进行运算，即可求解. 【详解】由点在直线上，可得，解得， 则. 故选：C. 5. 曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出函数解析式，再利用导数的几何意义求出切线方程. 【详解】由，得，求导得，则， 所以所求切线方程为，即. 故选：B 6. 给定一个数列，记，则把数列称为的一阶差数列.若数列的一阶差数列的通项公式为，则（ ） A. 556 B. 557 C. 292 D. 291 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意得到数列的递推关系式，利用累加法结合分组求和可求出. 【详解】根据题意，， 则， 即，又因为，故. 故选：C. 7. 已知抛物线的焦点为，是抛物线上一点，以点为圆心的圆与直线相切于点．若，则圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据点在抛物线上和，结合抛物线定义列方程组可解得和，即可得出抛物线的方程. 【详解】过点作垂直于直线，垂足为，则， 由，得，解得，由是抛物线上一点， 得，因此，， 所以圆的标准方程为. 故选：A 8. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】构造函数，利用导数确定单调性，进而比较大小. 【详解】令函数，求导得， 函数在上单调递增，， 因此，而， 因此，又函数在R上单调递增， 所以. 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据给定等式，利用赋值法逐项求解. 【详解】对于A，令，得，A正确； 对于B，令，得，B正确； 对于C，令，得，C错误； 对于D，由选项BC，得，D正确. 故选：ABD 10. 定义在上的函数满足，，则（ ） A. B. C. D. 2为的一个周期 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据给定条件求得函数的周期，再逐项分析判断. 【详解】对于D，由，得，则2为的一个周期，D正确； 对于A，，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，，C正确. 故选：ACD 11. 已知某平面图形由如图所示的四个全等的等腰，，，拼成，其中线段，，的中点均为点，且．若将该平面图形绕着直线旋转半周所围成的几何体记为，将该平面图形绕着直线旋转半周所围成的几何体记为，直线直线，则（ ） A. 的体积为 B. 的表面积为 C. 经过两次旋转后，点所有的运动轨迹总长为 D. 的体积为 【答案】AD 【解析】 【分析】该平面图形绕着直线旋转半周所围成的几何体为2个圆台挖去2个圆锥，根据圆台和圆锥的体积公式计算可判断；该平面图形绕着直线旋转半周所围成的几何体为2个大圆锥挖去2个小圆锥，根据圆锥的侧面积、体积公式可判断；该平面图形绕着直线旋转半周，点的运动轨迹为半径为3的半圆，该平面图形绕着直线旋转半周，点的运动轨迹为半径为的半圆，根据圆面积公式可判断； 【详解】 如图，过点作直线的垂线，垂足为，过点作直线的垂线，垂足为， 由题意得， 所以，即， 所以，所以， 对于：该平面图形绕着直线旋转半周所围成的几何体为2个圆台挖去2个圆锥， 其中圆台的2个底面半径分别为，高为， 圆锥的底面半径为，高为， 所以的体积为，故正确； 对于：该平面图形绕着直线旋转半周所围成的几何体为2个大圆锥挖去2个小圆锥， 其中大圆锥的底面半径为，母线长为，高为， 小圆锥的底面半径为，母线长为，高为， 则的表面积为2个大圆锥和2个小圆锥的侧面积组成， 所以的表面积为，故错误； 对于：该平面图形绕着直线旋转半周，点的运动轨迹为半径为3的半圆， 该平面图形绕着直线旋转半周，点的运动轨迹为半径为的半圆， 所以经过两次旋转后，点所有的运动轨迹总长为，故错误； 对于：由知的体积为，故正确. 故选：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是根据旋转体的特征判断出几何体、的形状，再根据台体、锥体的体积公式、侧面积公式等计算即可. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12 已知，，，，成等比数列，则______，______． 【答案】 ①. ②. 9 【解析】 【分析】根据给定条件，利用等比中项意义，列式求解. 【详解】依题意，，解得. 故答案为：；9 13. 已知复数是关于的方程的一个根，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意解出方程的解得到复数，然后求解模长即可. 【详解】由题意得，则，所以， 所以. 故答案为：. 14. 双曲线的左、右焦点分别为是双曲线C右支上一点，且直线的斜率为是面积为的直角三角形，则双曲线C的实半轴长为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】通过已知点所在象限和，利用直线斜率求出三角函数值，再借助正弦定理得到线段比例关系，结合三角形面积求出线段长度，最后根据双曲线定义求出的值． 【详解】由题可知，点P在第四象限，． 设．由，求得． 因为，所以，求得，即． 由正弦定理可得． 设，得．由， 得，则，， 又，解得． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 在中，内角所对的边分别为，且. （1）求的值； （2）若，求的长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理以及三角恒等变换计算可得； （2）利用余弦定理计算可得，再由向量定比分点以及余弦定理计算可得的长. 【小问1详解】 依题意可得， 得. 因为，所以， 则， 因为，所以，所以 【小问2详解】 由题意得， 解得（负根已舍去）. 因为，所以， 所以由余弦定理可得. 16. 已知椭圆，椭圆以椭圆的短轴为长轴，且与椭圆有相同的焦距．椭圆的左、右焦点分别为，，直线与椭圆交于，两点． （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线的方程为，求； （3）若直线过坐标原点，且四边形是矩形，求四边形面积． 【答案】（1）； （2）； （3）2. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，求出椭圆的即可. （2）联立直线与椭圆方程，利用弦长公式计算即得. （3）根据给定条件，利用椭圆的定义求解. 【小问1详解】 椭圆的长半轴长为，短半轴长为2，半焦距为， 依题意，椭圆的焦点在轴上，其长半轴长，半焦距，则短半轴长， 所以椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 由消去并整理得，设， 则，所以. 【小问3详解】 由（1）知，，由四边形是矩形，得， 则，而， 所以四边形的面积. 17. 某兴趣小组调查了某校100名学生100米短跑成绩的情况，其中有60名学生的短跑成绩合格．这100名学生中有45名学生每周的锻炼时间超过5小时，60名短跑成绩合格的学生中有35名学生每周的锻炼时间超过5小时． （1）根据所给数据，完成以下表格，依据小概率值的独立性检验，是否可以推断学生短跑成绩合格与每周的锻炼时间超过5小时有关？ 单位：人 每周的锻炼时间 短跑成绩 合计 短跑成绩合格 短跑成绩不合格 每周的锻炼时间超过5小时 每周的锻炼时间不超过5小时 合计 （2）正确的跑步姿势和起跑技巧等都可以让跑步者更好地发挥自己的能力．现对短跑成绩不合格的学生进行跑步技巧培训，已知每周的锻炼时间超过5小时的学生参加跑步技巧培训后，学生的短跑成绩合格的概率为，每周的锻炼时间不超过5小时的学生参加跑步技巧培训后，学生的短跑成绩合格的概率为．用频率代替概率，从短跑成绩不合格的学生中随机抽取1名学生（记为甲）进行跑步技巧培训． ①求学生甲参加培训后短跑成绩合格的概率； ②已知学生甲参加培训后短跑成绩合格，求学生甲每周锻炼时间不超过5小时的概率． 参考公式与数据：，其中． 0.01 0.005 0.001 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）列联表见解析，能推断. （2）①；②. 【解析】 【分析】（1）完善列联表，求出的观测值并与临界值比对得解. （2）①利用全概率公式求解；②利用条件概率公式求解. 小问1详解】 列联表如下： 单位：人 每周的锻炼时间 短跑成绩 合计 短跑成绩合格 短跑成绩不合格 每周的锻炼时间超过5小时 35 10 45 每周的锻炼时间不超过5小时 25 30 55 合计 60 40 100 零假设学生短跑成绩合格与每周的锻炼时间超过5小时无关， 根据表格中的数据，经计算得， 依据小概率值的独立性检验，可以推断不成立， 即认为学生短跑成绩合格与每周的锻炼时间超过5小时有关，此推断犯错误的概率不超过0.005. 【小问2详解】 ①设事件“学生甲参加培训后短跑成绩合格”，事件“学生甲每周的锻炼时间超过5小时， 短跑成绩不合格”，事件“学生甲每周的锻炼时间不超过5小时，短跑成绩不合格”， 则， 于是, 所以学生甲参加培训后短跑成绩合格的概率为. ②学生甲每周的锻炼时间不超过5小时的概率为： . 18. 已知函数，． （1）求的极值； （2）当时，讨论的单调区间； （3）若，，求的取值范围． 【答案】（1）极小值为，无极大值； （2）单调递减区间为，无递增区间； （3） 【解析】 【分析】（1）求定义域，求导，得到函数单调性，求出在处取得极小值，极小值为，无极大值； （2）求定义域，求导，得到导函数小于0恒成立，故单调递减区间为，无递增区间； （3）变形得到，构造，则，求导，考虑和两种情况，结合单调性，得到不等式，求出答案. 【小问1详解】 的定义域为， 故， 令，即，解得， 令，即，解得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得极小值，极小值为，无极大值； 【小问2详解】 ，，定义域为， ， 故的单调递减区间为，无递增区间； 【小问3详解】 ，，即， 所以， 其中，令，则， ， 若，则，其中在恒成立， 故在上单调递增， 所以，即， 令，，则， 故在上单调递增， 故，即，所以，与取交集，故， 若，，， 当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 且时，恒成立，时，恒成立， 所以，满足要求， 综上， 19. 空间直角坐标系中，任何一个平面的方程都能表示成（其中均为常数，），为该平面的一个法向量.已知球的半径为4，点均在球的球面上，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示.平面内的点在球面上，点在轴上的投影在轴的正半轴上，，过直线作球的截面，使得平面平面，设截面与球球面的交线为圆（为线段的中点）. （1）求点的坐标. （2）若平面，证明：平面平面. （3）已知点在平面内，设线段在平面内绕着点逆时针旋转弧度至，点在圆上，且，过作平面，垂足为点. ①用表示点的坐标； ②若，求点到平面距离的最大值； ③若，当直线与平面所成的角最小时，求的值. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）①；②；③ 【解析】 【分析】（1）根据几何特征及边长计算即可； （2）分别得出平面法向量根据证明； （3）①根据几何特征及边长计算即可；②应用点到平面距离公式结合三角函数值域即可得出最值；③结合线面角公式及二次函数值域即可求值. 【小问1详解】 连接，过作，交于点.根据题意易得为等边三角形，所以， 则，所以. 【小问2详解】 连接，根据球的性质可得平面， 则即为平面的一个法向量. 因为，所以. 平面的一个法向量为， 因为， 所以，故平面平面. 【小问3详解】 ①当时，过点作交于， 过点作交于，过点作交 于，过点作交于，过点作交于，则， ， 则， 同理可得当时，. ②因为点在平面内，所以，则平面的一个法向量为. ， 点到平面的距离， 当，即时，取得最大值，最大值为. ③易得平面的一个法向量为. 因为，所以. 设直线与平面所成的角为， 则 ， 令，则， 则 ， 当，即时，最小，即直线与平面所成的角最小. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $