7.1.1 条件概率 课件-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

该高中数学课件聚焦“条件概率”核心内容，涵盖定义、两种求法、乘法公式及性质。课堂导入通过复习古典概型、相互独立事件等旧知，结合班级团员性别、二孩家庭性别等生活化问题，搭建新旧知识衔接的学习支架。 其亮点是以生活实例为载体，通过表格分析和问题抽象培养数学眼光，借助公式推导和逻辑推理发展数学思维，用规范表达和分层训练强化数学语言。如班级数据表格直观展示样本空间缩小，帮助学生理解概念，教师可利用系统资源提升教学效率，学生能深化逻辑推理能力。

7.1.1 条件概率 第六章 计数原理 作者编号：32100 1 彩票摇号试验及抛掷一枚均匀硬币的试验，它们具有如下共同特征： ①有限性：样本点只有有限个； ②等可能性：每个样本点发生的可能性相等. 古典概型概率计算公式： 古典概型 在必修二“概率”一章的学习中，我们学过： 事件A发生的样本数 总样本数 事件A发生的概率P(A)＝ 复习回顾 作者编号：32100 复习回顾 相互独立事件 互斥事件 对立事件 判断方法 概率公式 思考： 如果事件A与B不相互独立 ，如何求P(AB)呢？ 一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响 两个事件 不可能同时发生 两个事件不可能 同时发生，但必 有其中一个发生 作者编号：32100 新知引入 问题1 某个班级有45名学生，其中男生、女生的人数及团员的人数如下表所示. 团员 非团员 合计 男生 16 9 25 女生 14 6 20 合计 30 15 45 在班级里随机选择一人做代表. (1)选到男生的概率是多少? (2)如果已知选到的是团员，那么选到的是男生的概率是多大？ 只与男、女有关，与是否为团员无关 只考虑30名团员中男、女情况 作者编号：32100 新知引入 (1)随机选择一人做代表 ，样本空间Ω包含45个等可能的样本点. 团员 非团员 合计 男生 16 9 25 女生 14 6 20 合计 30 15 45 解析： 在班级里随机选择一人做代表. (1)选到男生的概率是多少? 用B表示事件“选到男生”，由上表可知， n(Ω)＝45， n(B)＝25，根据古典概型可知，选到男生的概率为： 作者编号：32100 新知引入 团员 非团员 合计 男生 16 9 25 女生 14 6 20 合计 30 15 45 解析： (2)如果已知选到的是团员，那么选到的是男生的概率是多大？ 用A表示事件“选到团员”，n(A)＝30，“在选到团员的条件下，选 到男生”的概率相当于以A为样本空间，来考虑事件B发生的概率，记为P(B|A)，此时积事件AB 包含的样本点数n(AB)＝16，根据古典概型可知， 作者编号：32100 新知引入 问题2 假定生男孩和生女孩是等可能的，现考虑有两个小孩的家庭. 随机选择一个家庭，那么 (1)该家庭中两个小孩都是女孩的概率是多大？ (2)如果已经知道这个家庭有女孩，那么两个小孩都是女孩的概率又是多大？ 作者编号：32100 新知引入 问题2 假定生男孩和生女孩是等可能的，现考虑有两个小孩的家庭. 随机选择一个家庭，那么 (1)该家庭中两个小孩都是女孩的概率是多大？ 解析： 用 B表示事件“选择的家庭中两个孩子都是女孩”， 根据古典概型可知 ， 作者编号：32100 新知引入 问题2 假定生男孩和生女孩是等可能的，现考虑有两个小孩的家庭. 随机选择一个家庭，那么 (2)如果已经知道这个家庭有女孩，那么两个小孩都是女孩的概率又是多大？ 解析： 用 A 表示事件“选择的家庭中有女孩”， 根据古典概型可知 ， “在选择的家庭有女孩的条件下，两个小孩都是女孩” 的概率记为P(B|A)， 作者编号：32100 在上面两个问题中，若事件A，B是两个随机事件，我们称 P(B|A)为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率. 问题1 如果已知选到的是团员 ，那么选到的是男生的概率是多少？ 问题2 如果已经知道这个家庭有女孩，那么两个小孩都是女孩的概率又是多大？ 概念生成 作者编号：32100 P(B|A)＝ P (AB) P (A) 概念讲解 因为 n(AB)＝ ， P(AB) P(Ω) n(A)＝ P(A) P(Ω) (Ω指总样本空间) P(B|A)＝ n(AB) n(A) 公式一 先计算n(A)和n(AB) ，两者相除，求P(B|A)； 公式二 知识点一：求条件概率的两种方法 作者编号：32100 由条件概率的定义可知，对任意两个事件A与B，若P(A)＞0，则 我们称上式为概率的乘法公式. P(AB)＝P(A)P(B|A) 概念讲解 知识点二：概率的乘法公式 作者编号：32100 知识应用 1. 已知P(B|A)＝ ,P (A)＝ ,则P (AB)＝ 2. 已知P (AB)＝ ,P (A)＝ ,则P(B|A)为( ) A. B. C. D. B P(AB)＝P(A)P(B|A) P(B|A)＝ P (AB) P (A) 3. 已知春季里，每天甲、乙两地下雨的概率分别为20％与18％，且两地同时下雨的概率为12％，求春季的一天里，已知甲地下雨的条件下，乙地也下雨的概率. 记为事件A 记为事件B 知识应用 概念理解 1. 概率P(AB)与P(B|A)的区别与联系 P(AB)表示在总样本空间 Ω 中，计算 AB 发生的概率； 而P(B|A)表示在缩小的样本空间 A 中，计算 B 发生的概率. 若用古典概率公式表示，则 作者编号：32100 概念理解 2. 概率P(B)与P(B|A)的区别与联系 一般地，P(B|A)与P(B)不一定相等。 若事件 A 与 B 相互独立，即P(AB)＝P(A) P(B)，且 ，则 所以当事件 A 与 B 相互独立时 ，有P(B|A)＝P(B) 作者编号：32100 典例剖析 例1 某校高三(1)班有学生40人，其中共青团员15人，全班分成4个小组，第一小组有学生10人，共青团员4人. 从该班任选一人作学生代表. (1)求选到的是共青团员的概率； (2)已知选到的是共青团员，求他是第一小组学生的概率. 解析： (1) 总的样本空间 n(Ω)＝40， 3 ＝ 8 记“选到的是共青团员”为事件A，n(A)＝15 则选到的是共青团员的概率为 P(A)＝ n(A) n(Ω) 15 40 ＝ 典例剖析 例1 某校高三(1)班有学生40人，其中共青团员15人，全班分成4个小组，第一小组有学生10人，共青团员4人. 从该班任选一人作学生代表. (1)求选到的是共青团员的概率； (2)已知选到的是共青团员，求他是第一小组学生的概率. 解析： (2)记“选到的是第一小组学生”为事件B，则“在选到的是共青团员的条件 下，又是第一小组学生”的概率为 P(B|A)＝ n(AB) n(A) 4 15 ＝ 变式训练 练习1 一批同型号产品由甲、乙两厂生产，产品结构如下表： (1)从这批产品中随意地取一件，则这件产品恰好是次品的概率是_____； (2)已知取出的产品是甲厂生产的，则这件产品恰好是次品的概率是 ． 解：(1)从这批产品中随意地取一件，则这件产品恰好是次品的概率是 (2)已知取出的产品是甲厂生产的，则这件产品恰好是次品的概率是 变式训练 练习2 从一副不含大小王的52张扑克牌中，每次从中随机抽出 1 张扑克牌，抽出的牌不再放回。已知第一次抽到 A 牌，求第二次抽到 A 牌的概率。 设第一次抽到A的事件为B，第二次抽到A的事件为C，此时扑克牌仅 解析： 剩下51张牌,其中有3张A，则已知第一次抽到A牌，第二次抽到A牌的概率为 ►课本P48 典例剖析 例2 在 5 道试题中有 3 道代数题和 2 道几何题，每次从中随机抽出1道题，抽出的题不再放回. 求： (1)第 1 次抽到代数题且第 2 次抽到几何题的概率； (2)在第 1 次抽到代数题的条件下，第 2 次抽到几何题的概率. 分析：把“第 1 次抽到代数题”和“第 2 次抽到几何题”作为两个事件， 那么问题(1)就是求积事件的概率；问题(2)就是求条件概率. 思路: 先求条件概率，再用概率乘法公式求积事件的概率，即 P(AB)＝P(A)P(B|A) ►课本P46 典例剖析 例2 在 5 道试题中有 3 道代数题和 2 道几何题，每次从中随机抽出1道题，抽出的题不再放回. 求： (2)在第 1 次抽到代数题的条件下，第 2 次抽到几何题的概率. 解析： 则“在第 1 次抽到代数题的条件下，第 2 次抽到几何题”的概率就是事件A 发生的条件下，事件B发生的概率. 利用条件概率公式，得 (2)设 A ＝“第 1 次抽到代数题”，B ＝“第 2 次抽到几何题” ►课本P46 典例剖析 例2 在 5 道试题中有 3 道代数题和 2 道几何题，每次从中随机抽出1道题，抽出的题不再放回. 求： (1)第 1 次抽到代数题且第 2 次抽到几何题的概率； 解析： (1)由概率的乘法公式得，“第 1 次抽到代数题且第 2 次抽到几何题” P(AB)＝P(A)P(B|A)＝ 的概率为 ►课本P46 变式训练 练习3 在一个坛子中装有10个除颜色外完全相同的玻璃球，其中有 2 个红球，8 个黄球．现从中任取一球后(不放回)，再取一球．求： (1)第一个球为红球的概率； (2)在第一个球为红球的条件下，第二个球为黄球的概率； (3)第一个球为红球的概率且第二个球为黄球的概率. 解析： (1)设 A＝“第一次抽到红球”， 则P(A)＝ (2)设 B＝“第二次抽到黄球”，在第一个球取得红球的条件下，坛子中还有8个黄球，故再取一球为黄球的概率为 变式训练 练习3 在一个坛子中装有10个除颜色外完全相同的玻璃球，其中有 2 个红球，8 个黄球．现从中任取一球后(不放回)，再取一球．求： (1)第一个球为红球的概率； (2)在第一个球为红球的条件下，第二个球为黄球的概率； (3)第一个球为红球的概率且第二个球为黄球的概率. (3)“第一次抽到红球且第二次抽到黄球”就是事件 AB. 则 P(AB)＝P(A)P(B|A)＝ 解析： 变式训练 练习4 袋子中有 10 个大小相同的小球，其中 7 个白球，3 个黑球. 每次从袋子中随机摸出 1 个球，摸出的球不再放回. 求: (1)在第 1 次摸到白球的条件下，第 2 次摸到白球的概率； (2)两次都摸到白球的概率. ►课本P48 设第 1 次摸到白球为事件A，第 2 次摸到白球为事件B， 解析： (1)第 1 次摸到白球，则只剩9个球，其中 6 个白球，3 个黑球，在这个前提下， 第 2 次摸到白球的概率为P(B|A)＝ (2)两次都摸到白球的概率为 P(AB)＝P(A)P(B|A)＝ 变式训练 练习5 现有 6 个节目准备参加比赛，其中 4 个舞蹈节目，2 个语言类节目，如果不放回地依次抽取 2 个节目，求： (1)第 1 次抽到舞蹈节目的概率； (2)第 1 次和第 2 次都抽到舞蹈节目的概率； (3)在第 1 次抽到舞蹈节目的条件下，第 2 次抽到舞蹈节目的概率. 变式训练 练习5 现有 6 个节目准备参加比赛，其中 4 个舞蹈节目，2 个语言类节目，如果不放回地依次抽取 2 个节目，求： (1)第 1 次抽到舞蹈节目的概率； (3)在第 1 次抽到舞蹈节目的条件下，第 2 次抽到舞蹈节目的概率. 设“第1次抽到舞蹈节目”为事件A，“第2次抽到舞蹈节目”为事件B， (1)第 1 次抽到舞蹈节目的概率为P(A)＝ 解析： (3)在第 1 次抽到舞蹈节目的条件下，第 2 次抽到舞蹈节目的概率为 P(B|A)＝ 变式训练 练习5 现有 6 个节目准备参加比赛，其中 4 个舞蹈节目，2 个语言类节目，如果不放回地依次抽取 2 个节目，求： (2)第 1 次和第 2 次都抽到舞蹈节目的概率； 解析： (2)第 1 次和第 2 次都抽到舞蹈节目为事件AB，则 P(AB)＝P(A)P(B|A)＝ 知识讲解 知识点二：条件概率的性质 条件概率只是缩小了样本空间，因此条件概率同样具有概率的性质. 设P(A)＞0，则 (1)如果 B 和 C 是两个互斥事件，则 (2)设 和 B 互为对立事件，则 ►课本P47 作者编号：32100 典例剖析 例3 在一个袋子中装有 10 个球，设有 1 个红球，2 个黄球，3 个黑球，4 个白球，从中依次摸 2 个球，求在第一个球是红色的条件下，第二个球是黄球或黑球的概率. 解析： 设 A＝“摸出第一个球为红球”，B＝“摸出第二个球为黄球”，C＝ “摸出第二个球为黑球”，则“在第一个球是红球的条件下，第二个球是黄球 ，同理可得， ，所以， 或黑球”的概率就是条件概率P(B∪C|A). 先求 的条件下，坛子中还有9个球，而黄球有2个，故再取一球为黄球的概率为 ：在第一个球取得红球 方法总结 在应用条件概率公式求概率时，如果事件包含的情况较复杂，可将其分解为几个互斥事件的和，然后根据条件概率的性质求解，即若 B 与 C 互斥，那么 P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)，此公式可推广到多个事件互斥的情况． 应用条件概率的性质解题的方法 作者编号：32100 变式训练 练习6 有五瓶墨水，其中红色一瓶，蓝色、黑色各两瓶，某同学从中随机任取两瓶，若取得的两瓶中有一瓶是蓝色，则另一瓶是红色或黑色的概率为 ． 典例剖析 ►课本P47 例4 已知 3 张奖券中只有 1 张有奖， 甲、 乙、丙 3名同学依次不放回地各随机抽取 1 张. 他们中奖的概率与抽奖的次序有关吗？ 分析：要知道中奖概率是否与抽奖次序有关，只要考察甲、乙、丙 3名同学的中奖概率是否相等。 “乙中奖”等价于“甲没中奖且乙中奖”，“丙中奖”等价于“甲和乙都没中奖” 因为只有 1 张有奖，所以 在抽奖问题中，无论是放回随机抽取还是不放回随机抽取，中奖的概率都与抽奖的次序无关. 典例剖析 ►课本P48 例5 银行储蓄卡的密码由6位数字组成. 某人在银行自助取款机上取钱时，忘记了密码的最后1位数字.求： (1)任意按最后1位数字，不超过2次就按对的概率； (2)如果记得密码的最后1位是偶数，不超过2次就按对的概率. 解：设A1表示第一次按对密码，A2表示第二次按对密码 记为事件A 记为事件B 变式训练 练习7 已知随机事件 A，B 的概率 ， ，条件概率 ，则 ________． 课堂总结 1. 条件概率定义. 针对以下内容谈谈你的收获 2. 条件概率的公式及性质 . 作者编号：32100 $