精品解析：浙江杭州市拱墅区启正中学2025-2026学年七年级下学期期中数学试卷

2025-2026学年浙江省杭州市拱墅区启正中学七年级（下）期中数学试卷 一、选择题（每题3分，共10小题，共30分） 1. 窗棂是中国传统木构建筑的框架结构设计，在园林设计中常常可以看到．下列窗棂图案中可以看作由一个“基本图案”经过平移得到的是（　　） A. 四钱纹样式 B. 梅花纹样式 C. 拟日纹样式 D. 海棠纹样式 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了图形的平移，根据平移只改变位置，不改变大小，形状和方向，进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：由平移只改变位置，不改变大小，形状和方向可知，四个选项中只有A选项中的图案可以有平移得到， 故选：A． 2. 下列方程中，属于二元一次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程的识别，解题关键是掌握二元一次方程的定义：含有两个未知数，且所含未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程，根据定义逐一判断选项即可． 【详解】解：A、方程含有两个未知数，且所含未知数的项的次数都是1，是二元一次方程，故选项符合题意； B、方程中的次数是2，不满足所有含未知数的项的次数都是1，不是二元一次方程，故选项不符合题意； C、方程中项的次数是2，不是二元一次方程，故选项不符合题意； D、方程含有三个未知数，不是二元一次方程，故选项不符合题意； 故选：A． 3. 如图，与是（ ）． A. 对顶角 B. 内错角 C. 同位角 D. 同旁内角 【答案】C 【解析】 【分析】根据同位角的定义解答即可． 【详解】解：根据图形，∠1与∠2是两直线被第三条直线所截得到的两角，这两角分别位于截线的同侧，并且位于被截直线同旁，因而是同位角． 故选：C． 【点睛】本题主要考查同位角的定义，是需要识记的内容，比较基础． 4. 如图，某污水处理厂要从A处把处理过的水引入排水渠，为了节约用料，铺设垂直于排水渠的管道．这种铺设方法蕴含的数学原理是（　　） A. 两点确定一条直线 B. 两点之间，线段最短 C. 过一点可以作无数条直线 D. 垂线段最短 【答案】D 【解析】 【详解】解：由题意得这种铺设方法蕴含的数学原理是垂线段最短 ． 5. 在解关于和的二元一次方程组两式相加可直接消去，则和（ ） A. 互为倒数 B. 互为相反数 C. 有一个为 D. 相等 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，把两个方程相加得，进而可得，即可求解，掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键． 【详解】解：， ①②，得， ∵两式相加可直接消去， ∴， 即和互为相反数， 故选：． 6. 如图，当光线从空气斜射入水中时，光线的传播方向发生了变化，在点B处发生折射，沿方向射入水中．如果，那么光的传播方向改变了（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行线的性质求出的度数，再由平角的定义求出的度数即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴光的传播方向改变了． 7. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】个a相乘可表示为，再根据幂的乘方运算法则可得答案． 【详解】解：． 8. 把一根长11cm的绳子截成1cm和3cm两种规格的绳子，要求每种规格的绳子至少1根，且无浪费．下面有四种说法：①规格为1cm的绳子可能截出8根；②规格为1cm的绳子可能截出5根；③规格为1cm的绳子可能截出2根；④规格为1cm的绳子可能截出1根．则所有正确说法的序号是（　　） A. ①②③④ B. ①②③ C. ①②④ D. ②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】设截成1cm的绳子x根，3cm的绳子y根，根据题意可列出二元一次方程，然后根据题目中的四种情况看是否是正整数解即可． 【详解】设截成1cm的绳子x根，3cm的绳子y根， 由题意得：x+3y＝11， ①当x＝8时，y＝1，即规格为1cm的绳子截出8根时，3cm规格的绳子可以截1根，正确； ②当x＝5时，y＝2，即规格为1cm的绳子截出5根时，3cm规格的绳子可以截2根，正确； ③当x＝2时，y＝3，即规格为1cm的绳子截出2根时，3cm规格的绳子可以截3根，正确； ④当x＝1时，y＝ ，即规格为1cm的绳子截出1根时，3cm规格的绳子截不出整数根，所以不正确； 正确说法的序号是①②③． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程的应用，理解二元一次方程的解是解题的关键． 9. 如图，将一张长方形纸片分割为一个正方形与一个长方形，并按图、两种方式放置在正方形内记图中阴影部分面积为，图中阴影部分面积分别为，，若，则的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了列代数式以及代数式求值，根据各图形面积间的关系，用含，的代数式表示出，，是解题的关键． 设正方形的边长为，正方形的边长为，则长方形的长为，宽为，根据各图形的放置方式，可用含，的代数式表示出，，，结合，可得出，再将其代入中，即可求出结论． 【详解】解：设正方形的边长为，正方形的边长为，则长方形的长为，宽为， ，，． ， ， ， ∴ ． 故选：B． 10. 已知M，N分别是长方形纸条边，上两点，如图1所示，沿M，N所在直线进行第一次折叠，点A，D的对应点分别为点E，F，交于点P，如图2所示，继续沿进行第二次折叠，点B，C的对应点分别为点G，H，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由折叠的性质得，，然后由平行的性质得到，等量代换得到，设，然后根据求出，求出，然后利用平行的性质求解． 【详解】解：由折叠的性质得：，， ∵四边形为长方形， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，则 ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴． 二．填空题（每题3分，共6小题，共18分） 11. 已知方程，用含x的代数式表示y，则_________． 【答案】## 【解析】 【分析】要用含x的代数式表示y，就要把方程中含有y的项移到方程的左边，其它的项移到方程的另一边． 【详解】解：， 移项，得. 故答案为：． 【点睛】本题考查了解二元一次方程，能正确根据等式的性质进行变形是解此题的关键． 12. 如图，添加一个条件：___________，使得． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据平行线的判定定理，即可直接写出条件． 【详解】解：添加，可根据内错角相等，两直线平行，判断； 添加，可根据同位角相等，两直线平行，判断； 添加或，可根据同旁内角互补，两直线平行，判断． 13. 已知，则______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式，解题的关键是掌握平方差公式的运算法则． 利用平方差公式化简后代入求值即可． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴原式=． 故答案为：． 14. 已知多项式 ，则_____ ． 【答案】1 【解析】 【分析】利用完全平方公式把已知等式左边展开，则可求出的值，再代入求值即可． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴ ∴ ． 15. 如图，某新型休闲凳可无缝叠在一起，从而节省了收纳空间，那么高的收纳柜恰好可以收纳_____把休闲凳． 【答案】6 【解析】 【分析】设每把休闲凳的腿高为，厚度为，高的收纳柜恰好可以收纳把休闲凳，先根据图形中的数据建立二元一次方程组，解方程组可得的值，再根据收纳柜的高度建立一元一次方程，解方程即可． 【详解】解：设每把休闲凳的腿高为，厚度为，高的收纳柜恰好可以收纳把休闲凳， 由题意得：， 解得， 则， 解得， 所以高的收纳柜恰好可以收纳6把休闲凳． 16. 已知， （1）若，则与的等量关系是________． （2）若，则________．（用含，的代数式表示） 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了等式的性质，掌握等式的性质是解题的关键． （1）根据题意列出等式，然后利用等式的性质即可得出答案； （2）根据题意列出等式，然后利用等式的性质即可得出答案． 【详解】解：（1）∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）由（1）知，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三．解答题（共8题，共72分） 17. 用适当的方法解下列方程组： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查解二元一次组，熟练掌握消元法解方程组，是解题的关键： （1）代入消元法解方程组即可； （2）加减消元法解方程组即可． 【小问1详解】 解：， 把代入，得：，解得：， 把代入②，得：； ∴； 【小问2详解】 ，得：，解得：， 把代入②，得：，解得：； ∴． 18. 小Q在计算时，不小心将第二个括号中的常数染黑了，小正告诉他结果中的一次项系数为． （1）被染黑的常数为 ； （2）请你帮助小Q算出这道题的结果． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设被染黑的常数为a，根据多项式乘以多项式的运算法则求出的展开结果，再根据一次项系数为得到关于a的方程，解方程即可得到答案； （2）根据（1）所求，结合多项式乘以多项式的运算法则求解即可． 【小问1详解】 解：设被染黑的常数为a， 则 ， ∵一次项系数为， ∴， ∴， ∴被染黑的常数为； 【小问2详解】 解：由（1）得 ． 19. 在如图所示方格中，按下列要求作格点三角形（图形的顶点都在正方形格纸的格点上）． （1）在图1中，将平移，得到； （2）在图2中，线段与相交，产生，使得中的一个角等于． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）把向右平移1个单位长度得到，据此结合网格的特点作图即可； （2）取格点E，连接，由网格的特点可得，则． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求； 【小问2详解】 解：如图所示，即为所求． 20. 如图，有一块长为米、宽为米的长方形花园（阴影部分），因绿化面积不达标，计划按如图所示的方式等距外扩1米， 改造成一个大长方形花园． （1）请用含a的代数式表示扩建后的长方形花园的面积； （2）求扩建后花园的面积增加多少平方米（用含a的代数式表示）． 【答案】（1）平方米 （2）平方米 【解析】 【分析】（1）扩建后的长方形花园的面积等于一个长为米，宽为米的长方形面积，据此根据长方形的面积公式求解即可； （2）求出扩建前长方形花园的面积，再求出扩建后长方形花园的面积减去扩建前长方形花园的面积的结果即可得到答案． 【小问1详解】 解： 平方米， ∴扩建后的长方形花园的面积为平方米； 【小问2详解】 解： 平方米， ∴扩建前长方形花园的面积为平方米， 平方米， ∴扩建后花园的面积增加平方米． 21. 如图所示的是一种躺椅及其简化结构示意图，与都平行于，与分别与交于点和点，与交于点，． （1）求证：． （2）若平分，，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知结合对顶角相等证明，即可得证； （2）根据平行线的性质可求的度数，进而可得的度数，再由角平分线的性质可得的度数，从而得到的度数，最后根据平行线的性质即可得解． 【小问1详解】 证明：，， ， ； 【小问2详解】 解：与都平行于，即， ， ， ， 平分， ， ， ， ． 22. 如果，那么我们规定．例如：因为，所以． （1）[理解]根据上述规定，填空： ， ； （2）[说理]记 ，试说明； （3）[应用]若，求t的值． 【答案】（1）2；3 （2）见解析 （3）48 【解析】 【分析】（1）根据，结合所给定义即可得到答案； （2）根据定义可得，则可求出，进而得到，据此可证明； （3）设 ，则，可求出，，则，即． 【小问1详解】 解：∵， ∴ ； 【小问2详解】 解：∵ ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：设 ， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴． 23. 如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮．利用图中信息解决下列问题： 物理常识 开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量，可以转化为“开水的体积开水降低的温度温水的体积温水升高的温度．” （1）王老师拿空水杯先接了的温水，又接了的开水，刚好接满，且水杯中的水温为． ①王老师的水杯容量为 ； ②接入水杯的温水吸收的热量为 （用含t的代数式表示）． （2）小Q同学拿空水杯先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，得到一杯体积为，温度为的水（不计热损失），求小Q同学的接水时间． 【答案】（1）①400；② （2）小Q同学的接水时间为 【解析】 【分析】（1）分别求出接温水的体积和接开水的体积，二者求和即可得到答案；②用接温水的体积乘以温水升高的温度即可得到答案； （2）设小Q同学接温水的时间为，接开水的时间为，根据一共接水，且水温为建立方程组求解即可． 【小问1详解】 解：①， ∴王老师的水杯容量为； ②， ∴接入水杯的温水吸收的热量为； 【小问2详解】 解：设小Q同学接温水的时间为，接开水的时间为， 由题意得，， 解得， ∴， 答：小Q同学的接水时间为． 24. 已知直线a∥b，点A、B在直线a上（B在A左侧），点C在直线b上，E点在直线b的下方，连接AE交直线b于点D． （1）如图1，若∠BAD＝110°，∠DCE＝45°，求∠DEC； （2）如图2，∠BAD的邻补角的角平分线与∠DEC的角平分线所在的直线交于点M，试探究∠AME与∠ECD之间的数量关系，并说明理由； （3）在（2）的条件下，将图2中点A向右平移，使得点D在C点右侧，直接写出∠AME与∠ECD的数量关系___________________． 【答案】（1）65° （2）∠AME＝90°＋∠DCE，理由见解析 （3）∠AME＝∠DCE 【解析】 【分析】（1）如图1中，过点E作EF∥CD．利用平行线的性质解决问题即可． （2）如图2中，过点M作MF∥AB，过点E作EG∥AB．设∠BAE＝α，∠DCE＝β．利用平行线的性质以及角平分线定义解决问题即可． （3）利用三角形的外角的性质证明即可得∠AME＝∠DCE． 【小问1详解】 如图1中，过点E作EF∥CD ∵AB∥CD，EF∥CD， ∴EF∥CD∥AB， ∴∠AEF＝∠BAE＝110°，∠CEF＝∠DCE＝45°， ∴∠DEC＝∠AEF−∠CEF＝110°−45°＝65°． 【小问2详解】 如图2中，过点M作MF∥AB，过点E作EG∥AB． 设∠BAE＝α，∠DCE＝β． ∵AB∥CD， ∴MF∥AB∥CD∥EG， ∴∠BAE＝∠AEG＝α，∠DCE＝∠CEG＝β， ∴∠DEC＝α−β， ∵∠BAD的邻补角的角平分线与∠DEC的角平分线所在的直线交于点M， ∴∠MEC＝（α−β），∠AMF＝90°−α， ∴∠MEG＝β＋（α−β）＝（α＋β）， ∴∠AME＝∠AMF＋∠FME＝90°−α＋（α＋β）＝90°＋β， ∴∠AME＝90°＋∠DCE． 【小问3详解】 如图3中，结论：∠AME＝∠DCE． 理由：延长EC交AB于T． ∵∠BAD的邻补角的角平分线与∠DEC的角平分线所在的直线交于点M， 设∠BAM＝∠RAM＝y，∠CEM＝∠MED＝x， ∵AB∥CD， ∴∠DCE＝∠ATE， ∵2y＝2x＋∠ATE，y＝x＋∠AME， ∴∠AME＝∠ATE＝∠DCE． 故答案为：∠AME＝∠DCE． 【点睛】本题考查平移的性质，平行线的性质，角平分线的定义等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年浙江省杭州市拱墅区启正中学七年级（下）期中数学试卷 一、选择题（每题3分，共10小题，共30分） 1. 窗棂是中国传统木构建筑的框架结构设计，在园林设计中常常可以看到．下列窗棂图案中可以看作由一个“基本图案”经过平移得到的是（　　） A. 四钱纹样式 B. 梅花纹样式 C. 拟日纹样式 D. 海棠纹样式 2. 下列方程中，属于二元一次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，与是（ ）． A. 对顶角 B. 内错角 C. 同位角 D. 同旁内角 4. 如图，某污水处理厂要从A处把处理过的水引入排水渠，为了节约用料，铺设垂直于排水渠的管道．这种铺设方法蕴含的数学原理是（　　） A. 两点确定一条直线 B. 两点之间，线段最短 C. 过一点可以作无数条直线 D. 垂线段最短 5. 在解关于和的二元一次方程组两式相加可直接消去，则和（ ） A. 互为倒数 B. 互为相反数 C. 有一个为 D. 相等 6. 如图，当光线从空气斜射入水中时，光线的传播方向发生了变化，在点B处发生折射，沿方向射入水中．如果，那么光的传播方向改变了（　　） A. B. C. D. 7. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 8. 把一根长11cm的绳子截成1cm和3cm两种规格的绳子，要求每种规格的绳子至少1根，且无浪费．下面有四种说法：①规格为1cm的绳子可能截出8根；②规格为1cm的绳子可能截出5根；③规格为1cm的绳子可能截出2根；④规格为1cm的绳子可能截出1根．则所有正确说法的序号是（　　） A. ①②③④ B. ①②③ C. ①②④ D. ②③④ 9. 如图，将一张长方形纸片分割为一个正方形与一个长方形，并按图、两种方式放置在正方形内记图中阴影部分面积为，图中阴影部分面积分别为，，若，则的值为（　　） A. B. C. D. 10. 已知M，N分别是长方形纸条边，上两点，如图1所示，沿M，N所在直线进行第一次折叠，点A，D的对应点分别为点E，F，交于点P，如图2所示，继续沿进行第二次折叠，点B，C的对应点分别为点G，H，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 二．填空题（每题3分，共6小题，共18分） 11. 已知方程，用含x的代数式表示y，则_________． 12. 如图，添加一个条件：___________，使得． 13. 已知，则______． 14. 已知多项式 ，则_____ ． 15. 如图，某新型休闲凳可无缝叠在一起，从而节省了收纳空间，那么高的收纳柜恰好可以收纳_____把休闲凳． 16. 已知， （1）若，则与的等量关系是________． （2）若，则________．（用含，的代数式表示） 三．解答题（共8题，共72分） 17. 用适当的方法解下列方程组： （1）； （2）． 18. 小Q在计算时，不小心将第二个括号中的常数染黑了，小正告诉他结果中的一次项系数为． （1）被染黑的常数为 ； （2）请你帮助小Q算出这道题的结果． 19. 在如图所示方格中，按下列要求作格点三角形（图形的顶点都在正方形格纸的格点上）． （1）在图1中，将平移，得到； （2）在图2中，线段与相交，产生，使得中的一个角等于． 20. 如图，有一块长为米、宽为米的长方形花园（阴影部分），因绿化面积不达标，计划按如图所示的方式等距外扩1米， 改造成一个大长方形花园． （1）请用含a的代数式表示扩建后的长方形花园的面积； （2）求扩建后花园的面积增加多少平方米（用含a的代数式表示）． 21. 如图所示的是一种躺椅及其简化结构示意图，与都平行于，与分别与交于点和点，与交于点，． （1）求证：． （2）若平分，，求的度数． 22. 如果，那么我们规定．例如：因为，所以． （1）[理解]根据上述规定，填空： ， ； （2）[说理]记 ，试说明； （3）[应用]若，求t的值． 23. 如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮．利用图中信息解决下列问题： 物理常识 开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量，可以转化为“开水的体积开水降低的温度温水的体积温水升高的温度．” （1）王老师拿空水杯先接了的温水，又接了的开水，刚好接满，且水杯中的水温为． ①王老师的水杯容量为 ； ②接入水杯的温水吸收的热量为 （用含t的代数式表示）． （2）小Q同学拿空水杯先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，得到一杯体积为，温度为的水（不计热损失），求小Q同学的接水时间． 24. 已知直线a∥b，点A、B在直线a上（B在A左侧），点C在直线b上，E点在直线b的下方，连接AE交直线b于点D． （1）如图1，若∠BAD＝110°，∠DCE＝45°，求∠DEC； （2）如图2，∠BAD的邻补角的角平分线与∠DEC的角平分线所在的直线交于点M，试探究∠AME与∠ECD之间的数量关系，并说明理由； （3）在（2）的条件下，将图2中点A向右平移，使得点D在C点右侧，直接写出∠AME与∠ECD的数量关系___________________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $