2026年高考数学考前冲刺四套卷：精准提分卷（三）

**基本信息** 聚焦中档题关键卡点专项突破，通过单步强化训练与卡壳归因，构建精准解题方法体系，提升数学思维的逻辑性与稳定性。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |选择|11题|抽象函数赋值变换、焦点到渐近线距离转化、零点参数求解与平移变换等|从概念（奇偶性、离心率）到计算（赋值、距离公式）的应用链条，题型与解法一一对应| |填空|3题|侧面积展开式构造函数求最值、勾股逆定理找外接球直径、波利亚坛子概率递推|空间几何量计算与概率模型的推导过程，体现知识迁移应用| |解答|5题|向量与余弦定理边长计算、递推化简与放缩求和、坐标系建立与面面角向量计算等|综合问题中数学语言的表达，从条件分析到模型构建的逻辑推理|

注意事项： 1. 本卷所有题目来自2026年5月全国卷地区模考、联考，专攻会但不熟、有思路但卡壳的中档题.通过关键步骤重复训练，将“差一点就对了”转化为稳定得分点. 2. 每道题不做完整过程，只反复练卡住的那一步.练完一步立刻对照答案，确认是否正确. 3. 每道题旁标注卡壳原因，如“判别式忘检验”“因式分解漏项”.同一卡点连续3次不出错，视为攻克；仍出错的，保留至下一轮继续训练. 4. 本卷不追求限时完成，不练压轴难题.目标是把“差一点就对了”变成“想都不用想”. 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.（训练范围：只练抽象函数的赋值与变换）已知函数是定义在上的奇函数，是定义在上的偶函数，若函数的值域为，则函数的最大值为（ 　　） A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 2.（训练范围：只练焦点到渐近线距离的转化）已知双曲线的离心率，焦点到渐近线的距离为，则实数的值为（ 　　） A. B. C. D. 3.（训练范围：只练代入零点求参数并进行平移变换）已知函数的一个零点是，为了得到函数的图象，只需将的图象（ 　　） A. 向左平移个单位长度 B. 向左平移个单位长度 C. 向右平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 4.（训练范围：只练垂径定理与二倍角公式结合）已知直线与圆相交于两点，则（ 　　） A. B. C. D. 5.（训练范围：只练斜率公式化简及判断方程类型）设点，，为动点，记的斜率分别为，若，则点的轨迹为（ 　　） A. 圆的一部分 B. 椭圆的一部分 C. 双曲线的一部分 D. 抛物线的一部分 6.（训练范围：只练直线与双曲线联立求横坐标积）已知直线与双曲线相交于两点，且两点的横坐标之积为，则（ 　　） A. B. C. D. 7.（训练范围：只练分界点处的不等式构建）函数是上的减函数，则实数的取值范围是（ 　　） A. B. C. D. 8.（训练范围：只练被3整除的数字组合分类）从数字0，1，2，3，4中任取3个构成的无重复数字的3位数，其中能被3整除的偶数共有（ 　　） A. 13个 B. 15个 C. 16个 D. 18个 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.（训练范围：只练列举并分类讨论点数组合情况）将一颗质地均匀的骰子（点数为1-6）连续抛掷3次，记录向上的点数，则（ 　　） A. 三个点数之积大于150的概率为 B. 三个点数之和大于10的概率为 C. 若不考虑点数的先后顺序，能构成等比数列的概率为 D. 若考虑点数的先后顺序，在三个点数之和是奇数的条件下，能构成等差数列的概率为 10.（训练范围：只练等比与等差平均数的放缩比较）已知是各项均为正数的等差数列，且公差，是各项均为正数的等比数列，且公比. 若项数均为项，下列说法正确的有（ 　　） A. 数据的平均数是 B. 数据的平均数是 C. 若，则数据的中位数大于数据的中位数 D. 若，则数据的平均数大于数据的平均数 11.（训练范围：只练建系后判定异面直线所成角）若是两条互相垂直的异面直线，是四个不同的点，满足，且，则（ 　　） A. 直线与是异面直线 B. C. 若，则 D. 若为的中点，则 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.（训练范围：只练由侧面积展开式构造函数求最值）设圆台的上下底面半径分别为和，母线长为，圆台的侧面积等于上下底面的面积之和，当取到最小值时，__________. 13.（训练范围：只练利用勾股逆定理找外接球直径）已知三棱锥的顶点均在球的球面上，若，，，则球的表面积为_________. 14.（训练范围：只练波利亚坛子模型中的概率递推）盒子中有2个红球，5个黑球，每次随机地从中取出一个球，观察其颜色后放回，并放入3个同色球，则前三次取出球的颜色不完全相同的概率为_________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（训练范围：只练利用向量与余弦定理进行边长计算）设的内角的对边分别为，已知. （1） 求； （2） 若，边上的中线，设点为的外接圆圆心，求的值. 16.（训练范围：只练递推化简、放缩法与等比求和）已知数列中，，. （1） 求证：数列为等比数列； （2） 记，数列的前项和为，求证：. 17.（训练范围：只练坐标系建立及面面角的向量计算）如图，在三棱锥中，为等腰直角三角形，，为等边三角形，，分别为上的动点，且平面. （1） 证明：平面平面； （2） 若截面将三棱锥分成上下两个几何体的体积之比为，求平面与平面夹角的余弦值. 18.（训练范围：只练条件概率公式及各群体人数梳理）为了推动乡村振兴，丰富乡村的体育活动，今年春夏之际各地“村 BA”篮球联赛如火如荼的进行，比赛间隙进行广场舞、民歌等表演，比赛期间某平台对某乡村发起了群众观赛意见反馈调查，共收回了 200 份调查问卷. 性别 关注赛事 不关注赛事 男 84 36 女 40 40 （1） 通过进一步分析关注赛事群众的调查问卷得知，关注表演的女性用户有 24 名，现从关注赛事的群众中抽取一人，设“抽取的一人为男性”为事件，“抽取的一人关注表演”为事件，若，则以此次调查的数据为依据，估计从平台用户中任意抽取一名用户，该用户关注表演的概率为多少； 19.（训练范围：只练直线与抛物线联立及化简斜率之和）已知抛物线上一点到焦点的距离为 2. （1） 求抛物线的方程； （2） 过的直线交于两点，直线的斜率分别为和，证明：为定值； 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 参考答案 答案速查表 1 2 3 4 5 A C A A D 6 7 8 9 10 C C A ABD ACD 11 12 13 14 15 AD （1） ；（2） 16 17 18 19 （1） 证明见解析；（2） 证明见解析 （1） 证明见解析；（2） 0.22 （1） ；（2） 证明见解析 第一部分（选择题 共58分） 一、单选题 1. A 题目简述：已知奇偶函数差的值域，求其特定和函数的最大值. 卡点步骤：（卡点：抽象函数性质运用）设，其值域为，即.∵为奇函数，为偶函数，用替换，得到，即. 后续步骤：化简得，∴的最大值为4，则的最大值为8.故选A. 点拨：利用奇偶性将代入构造方程组是解此类抽象函数题的基本套路. 2. C 题目简述：已知双曲线离心率及焦点到渐近线距离，求比例系数. 卡点步骤：双曲线的渐近线方程为，焦点到渐近线的距离为.由题意，即. 后续步骤：由离心率公式得，解得.故选C. 点拨：双曲线焦点到渐近线的距离恰好等于虚半轴长，这是一个常考的重要几何性质. 3. A 题目简述：求含参三角函数平移得到目标函数的平移量. 卡点步骤：（卡点：三角恒等变换方向选择）已知是的零点，则，即，解得.∴. 后续步骤：目标函数，∴将向左平移个单位长度即可得到目标图象.故选A.易错：平移时提取系数2后，常数项变化容易计算错误. 4. A 题目简述：已知直线与圆相交，求弦所对圆心角的余弦值. 卡点步骤：（卡点：弦长与面积计算、三角恒等变换方向选择）将圆化为标准方程，得圆心，半径.过作，垂足为，则. 后续步骤：在中，，∴.故选A. 5. D 题目简述：已知两定点，动点斜率倒数差为定值，求轨迹类型. 卡点步骤：设动点，则（）.代入，得. 后续步骤：化简得，即，整理得，表示抛物线的一部分.故选D. 6. C 题目简述：直线与双曲线相交，已知交点横坐标之积求参数. 卡点步骤：（卡点：联立与韦达定理）将直线与双曲线联立，消去得，解得. 后续步骤：由题意两点横坐标互为相反数，其积为，即，解得，∵，∴.故选C. 7. C 题目简述：分段函数在上单调递减，求参数范围. 卡点步骤：（卡点：单调性讨论与分界点）∵是上的减函数，必须满足每段单调递减且分界点处右侧函数值不大于左侧极限值.∴（常见错误：忽略段间端点值的大小关系导致函数不连续处非递减）. 后续步骤：解得，实数的取值范围是.故选C. 8. A 题目简述：从5个数字中选3个无重复数字组成被3整除的偶数，求个数. 卡点步骤：能被3整除，必须各位数字之和为3的倍数，可选数字组合集合为.分类计算偶数个数：有个；有个；有个；有个. 后续步骤：总数为个.故选A. 二、多选题 9. ABD 题目简述：三次掷骰子实验的事件概率判定. 卡点步骤：对于A，三个点数之积大于150，只能是共4种，概率为，A正确；对于B，三个点数之和大于10与小于等于10对称，可知其概率为，B正确；对于D，考虑点数先后顺序，在三个点数之和是奇数（108种）的条件下，能构成等差数列的有：奇奇奇、偶奇偶等排列组合情况，详细列举满足条件的等差数列对应组合后，计算条件概率为，D正确. 后续步骤：对于C选项，列举点数等比情况可验证概率不符.故选ABD. 10. ACD 题目简述：等差和等比数列的平均数、中位数比较性质应用. 卡点步骤：（卡点：数列的综合应用）设前项和为，∴平均数是，A正确；，若，中位数，C正确. 后续步骤：对于D，等比数列和小于等差和的放缩可知前项和的平均数，大于，D正确；B选项举反例不符.故选ACD.点拨：利用等差中项与等比中项的不等式关系是判断此类题目的核心. 11. AD 题目简述：互相垂直的异面直线与公垂线构成的几何关系判断. 卡点步骤：（卡点：建系与坐标确定、法向量与二面角计算）以公垂线段为轴，过作平行于的直线为轴，为轴，建立空间直角坐标系.设，.则，.若需要，此时点重合，与条件矛盾，∴异面，A正确. 后续步骤：，B错；当时，，C错；O为中点坐标易验证，D正确.故选AD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题 12. 题目简述：圆台表面积等式下求母线与底面半径之比的最值. 卡点步骤：（卡点：极值与最值计算）由圆台侧面积等于上下底面积之和得：，两边同除以，设，则，即. 后续步骤：令，当且仅当，即时等号成立.故填. 13. 题目简述：已知三棱锥各边长，求其外接球表面积. 卡点步骤：在三棱锥中，，.由勾股定理逆定理可知与均为直角三角形，且均为其斜边. 后续步骤：∴为该三棱锥外接球的直径，外接球半径，表面积. 14. 题目简述：波利亚坛子模型中连续三次取球不全同色的概率计算. 卡点步骤：利用对立事件，求三次颜色完全相同的概率.三次全为红球的概率：；三次全为黑球的概率：.（常见错误：忘记加上放回的原球导致下一轮球总数计算错误）. 后续步骤：所求概率为. 四、解答题 15. （1） ；（2） 题目简述：由正弦关系式化简求角A，进而由向量推导求解边长向量点乘. （1） 卡点步骤：（卡点：解三角形边角互化、三角恒等变换方向选择）∵【2分】，展开得，化简可得【2分】. 后续步骤：∵，∴，即，得. （2） 卡点步骤：（卡点：解三角形边角互化、三角恒等变换方向选择）由余弦定理得.由中线向量公式，平方得【2分】.联立解得【1分】. 后续步骤：取中点利用外心性质可得. 16. （1） 证明见解析；（2） 证明见解析 题目简述：由递推公式证明等比数列，利用错位相减或裂项放缩证明不等式. （1） 卡点步骤：（卡点：数列递推构造）由取倒数得【2分】，变形得到【1分】. 后续步骤：又，∴数列是以2为首项，为公比的等比数列. （2） 卡点步骤：（卡点：数列求和（裂项/错位相减））由（1）得，∴【2分】.利用等比数列求和公式放缩（常见错误：放缩时忽视首项特殊性直接套用导致放缩范围过松）. 后续步骤：当时，.当时也成立，得证. 17. （1） 证明见解析；（2） 题目简述：直角三棱锥中取特殊点证明面面垂直并建系求二面角. （1） 卡点步骤：（卡点：法向量与二面角计算）取中点，连接.∵为等腰直角三角形，且；∵为等边三角形，且【2分】.在中满足，∴【2分】. 后续步骤：即，得平面平面. （2） 卡点步骤：（卡点：建系与坐标确定、法向量与二面角计算）以为坐标轴建系.由截面截得体积比可知，结合平行可得为中点【2分】.求出，，计算出平面法向量【2分】. 后续步骤：平面法向量，代入夹角公式求得. 18. 0.22 题目简述：调查数据中的条件概率提取及各群体人数梳理推算. 卡点步骤：关注赛事总人数为124人，女性40人中关注表演的有24人.设关注赛事的84名男性中，关注表演的有人【2分】.则，【2分】. 后续步骤：由乘积等于解得.故关注表演的总人数为44，概率为. 19. （1） ；（2） 证明见解析 题目简述：求抛物线方程及两相交直线斜率倒数之和为定值的证明. （1） 卡点步骤：（卡点：联立与韦达定理、定点定值推导）抛物线的准线为（基于点横纵坐标互换判定），点代入得；由焦半径公式【2分】，解得【1分】. 后续步骤：所以抛物线方程为，. （2） 卡点步骤：（卡点：联立与韦达定理、定点定值推导）设过的直线，与联立得.由韦达定理【2分】.代入斜率倒数之和【1分】. 后续步骤：化简得.得证定值.点拨：利用“代直法”将斜率分母化为单次幂可大幅降低运算量. 逐题来源 本卷题号 试题来源 原卷题号 1 2026·浙江Z20联盟·第三次学情诊断 7 2 2026·重庆·康德三诊 5 3 2026·重庆·育才中学5月适应性训练(二) 3 4 2026·安徽A10联盟·5月最后一卷 4 5 2026·湖北武汉·武昌区5月供题 6 6 2026·山东济南·5月针对性训练 5 7 2026·西南名校联盟·“3+3+3”诊断性联考 4 8 2026·浙江精诚联盟·第二次模拟 5 9 2026·浙江Z20联盟·第三次学情诊断 10 10 2026·重庆·育才中学5月适应性训练(二) 9 11 2026·山东济南·5月针对性训练 10 12 2026·浙江Z20联盟·第三次学情诊断 13 13 2026·重庆·康德三诊 13 14 2026·西南名校联盟·“3+3+3”诊断性联考 14 15 2026·重庆·育才中学5月适应性训练(二) 15 16 2026·安徽A10联盟·5月最后一卷 16 17 2026·重庆·育才中学5月适应性训练(二) 17 18 2026·重庆·育才中学5月适应性训练(二) 16 19 2026·重庆·育才中学5月适应性训练(二) 18 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $