精品解析：广东韶关市永翔实验中学2025-2026学年高二下学期5月期中数学试题

高二数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册至选择性必修第三册第六章第二节． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 函数在上的平均变化率为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 6 【答案】B 【解析】 【详解】． 2. 市图书馆古籍修复志愿队有15名男志愿者和12名女志愿者（均已完成基础培训），现要从男、女志愿者中各选1人，组成见习搭档协助修复师完成线装古籍的辅助工作，则不同的搭档组合种数为（ ） A. 27 B. 66 C. 105 D. 180 【答案】D 【解析】 【分析】根据分步乘法计数原理求解即可. 【详解】根据分步乘法计数原理可得不同的搭档组合种数为． 3. 下列求导正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】，A正确． ，B错误． ，C错误． ，D错误． 4. 如图，点A，B，C，D，E，F六等分圆的圆周，从，这6个向量中随机抽取2个向量，则这2个向量不共线的取法种数为（ ） A. 9 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】随机抽取2个向量的取法数为， 共线的取法数为：3， 向量不共线的取法种数为：． 5. 若等差数列的公差不为，且成公比为的等比数列，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【详解】设的公差为，由，得，所以 ． 因为，所以．因为，所以，解得则 ． 6. 若曲线在点处的切线与曲线相切，则正数（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【详解】设 ，则，则. 所以曲线在点处的切线方程为 ，即 ． 由得 ，则 ，解得（舍去）或． 7. 若，其中，则满足题意的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 4个 D. 无数个 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，通过复数的乘方运算，结合其三角函数恒等变换即可求解. 【详解】由题意得 ． 因为，所以， 因为，所以 ，则或 ， 解得或， 故满足题意的有2个． 8. 已知函数，关于的方程有且仅有4个不同的实根，则正数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求导，分析函数的单调性，作出函数的图象，解方程得或，数形结合求出结果. 【详解】易得． 当或时，，在区间单调递增； 当时，，在区间单调递减． ．作出的图象，如图所示． 方程可化为 ，得或． 因为，所以且，解得． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若函数有极大值点和极小值点，则其导函数的大致图象可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【详解】对于A，因为是的极大值点，则，由图知 ，所以A错误， 对于B，当时，，当时，，当且仅当时取等号， 当时，，所以为的极大值点，为的极小值点，所以B正确， 对于C，当时，，当时，， 当时，，所以为的极大值点，为的极小值点，所以C正确， 对于D，当时，，当时，，为的极小值点，所以D错误． 10. 已知正整数m，n满足，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 若，则 D. 若，则 【答案】BCD 【解析】 【详解】 ，故，故A错误； ，故B正确； 由有意义可得，，又，故或， 显然时，时成立，故，故C正确； 因为，为正整数，故 或 ，解得或（舍去）， 故，故D正确． 11. 在空间直角坐标系中，已知正四面体的四个顶点的坐标为，，，，点在四面体外接球的球面上，且平面，点在四面体内切球的球面上，则下列结论正确的有（ ） A. B. 的最大值是最小值的2倍 C. 四面体外接球的体积为 D. 当取得最小值时，点的坐标为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据外接球体积公式、勾股定理、空间向量坐标的线性表示等知识逐项计算判断即可. 【详解】四面体的直观图如图所示．设顶点在底面上的射影为，连接， 则平面，连接并延长，交于点，易得为的中点． 因为，所以，所以， 则，则，A正确． 设四面体外接球的球心为，则在上，设， 则，解得，所以四面体外接球的半径为3， 四面体外接球的体积为，C错误． 易得四面体内切球的半径，内切球的球心为， 则的最大值为，最小值为，B正确． 因为平面，所以， 又因为，所以， 解得或（舍去），． 当取得最小值时，，即， 得，D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数，则______． 【答案】1 【解析】 【详解】由题意得 ，则 ，解得． 13. 已知函数在上单调递增，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】利用导数求出函数的单调递增区间，再借助集合的包含关系列式求解. 【详解】由函数，求导得， 由，得，即函数的递增区间为， 由函数在上单调递增，得 ，即 ，解得， 所以的取值范围是． 14. 图中矩形的个数为______． 【答案】82 【解析】 【分析】根据题意，分别在矩形、、、和中利用分步乘法计数原理进行计算即可. 【详解】在矩形中，含有矩形的个数为； 在矩形中，含有矩形的个数为； 在矩形中，含有矩形的个数为． 除去上面考虑的情况，在矩形中，含有矩形的个数为； 在矩形中，含有矩形的个数为． 故图中矩形的个数为 ． 故答案为：82. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数，且在处的瞬时变化率为0． （1）求的值； （2）求在上的值域． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求导，根据求值； （2）求导，根据导数得到函数的单调性，求其在上的最值，得到值域. 【小问1详解】 由，得． 因为在处的瞬时变化率为0，所以 ， 解得． 【小问2详解】 由（1）得 ． 当时，，则在上单调递增， 所以当时，取得最大值， ， 当时，取得最小值， ， 所以在上的值域为． 16. 已知双曲线的焦距为，离心率为． （1）求的方程． （2）已知数列是正项数列，，点在上． （ⅰ）证明为等比数列，并求的通项公式； （ⅱ）过点且斜率为1的直线与的另一个交点为，求． 【答案】（1） （2）（ⅰ）证明见解析，；（ii） 【解析】 【分析】（1）根据双曲线离心率公式，结合双曲线焦距定义进行求解即可； （2）（ⅰ）将点代入双曲线化简得到，即可证得为等比数列，进而求得的通项公式； （ⅱ）求得得直线方程，并与方程联立求交点坐标即可得解. 【小问1详解】 因为双曲线C：（，）的焦距为，离心率， 所以有 ； 【小问2详解】 （ⅰ）因为点在上，所以 ， 即， 所以是以2为首项，2为公比的等比数列， 则． （ⅱ）由（ⅰ）易得，所以， 则直线的方程为． 由得，解得或． 因为，所以， 所以． ． 17. 为落实教育部“银龄讲学计划”“乡村教师支持计划”，推进县域义务教育优质均衡发展，某省教育厅组织名优秀教师（名银龄教师和甲、乙、丙等名青年骨干教师，且这名青年骨干教师不是银龄教师），按照以下要求将其分配到省内个乡村振兴重点帮扶县的三所新建乡村学校任教． （1）要求分配名银龄教师和名青年骨干教师给校，分配名银龄教师和名青年骨干教师给校，分配名青年骨干教师给校，问共有多少种不同的分配方案？ （2）要求至少分配名教师给每所学校，且至少分配名银龄教师给每所学校，青年骨干教师甲、乙、丙被分到同一所学校，问共有多少种不同的分配方案？ （3）要求三所学校中，其中分配名教师（含名银龄教师）给所学校，各分配名教师给另外所学校，问共有多少种不同的分配方案？ 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用分步乘法计数原理即可求解； （2）先安排银龄教师，再将甲、乙、丙合并为一组，与剩余人形成三组，最后分配求解； （3）先将名教师按人数分为三组，再分配即可. 【小问1详解】 分配名银龄教师和名青年骨干教师给校，有 种分配方案， 再从剩下的教师中分配名银龄教师和名青年骨干教师给校，有种分配方案， 最后剩余的名青年骨干教师都被分到校，有种分配方案， 所以共有种分配方案． 【小问2详解】 解法一：至少分配名银龄教师给每所学校，有种分配方案， 青年骨干教师甲、乙、丙被分到同一所学校，剩余的名青年骨干教师分别被分到另外所学校，有种分配方案， 所以共有种分配方案． 解法二：将这名优秀教师分成三组，名银龄教师与甲、乙、丙为一组，剩余名银龄教师与名青年骨干教师分为两组， 每组各名银龄教师与名青年骨干教师，有 种分组方案， 再将这组分配到所学校，有种分配方案， 所以共有种分配方案． 【小问3详解】 名教师按人数分为三组，其中人组中包含名银龄教师和名青年骨干教师，有 种分组方案， 所以共有 种分配方案． 【点睛】本题考查排列组合的实际应用，考查逻辑推理的核心素养． 18. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）若的极大值大于，求的取值范围． 【答案】（1） （2）答案见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）利用导数求斜率，然后可得切线方程； （2）求导，然后对分类讨论即可； （3）利用（2）中结论表示出极大值，根据题意解不等式即可. 【小问1详解】 当时，， 则 ， 所以曲线在点处的切线方程为 ，即． 【小问2详解】 的定义域为． 若，则当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增． 若，则当或时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增． 若，则恒成立，所以在上单调递增． 若，则当或时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增． 【小问3详解】 由（2）得当或时，无极大值． 当时，的极大值为， 则 ，得 ． 设 ，则 ， 所以在上单调递增． 因为，所以由 ，得，所以． 当时，的极大值为，则 ， 解得，因为，所以 ，则满足题意． 综上，的取值范围是． 19. 若函数及其导函数的定义域都为，对任意恒成立，则称为“系超越函数”． （1）试判断函数是否为“系超越函数”． （2）证明：函数为“系超越函数”． （3）若为“系超越函数”，证明：当时，存在唯一的实数，使得． 【答案】（1）是 （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用函数新定义，证明即可； （2）利用函数新定义，根据函数的单调性证明 即可； （3）根据函数的新定义，构造新函数 ，证明存在唯一的，使得即可. 【小问1详解】 ，则与的定义域都为， 则 ， 所以是“2系超越函数”． 【小问2详解】 解法一： ， 则 ， 所以要证是“1系超越函数”，即证 ，即证 ， 即证 ． 设，则 ，当时，单调递增，当时， 单调递减，所以 ，则，所以． 设 ，则，当时，单调递增，当时，单调递减，所以 ，所以， 所以 ，得证． 解法二： ， 则 ， 所以要证是“1系超越函数”，即证 ，即证 ，即证 ． 设 ，则，易得在上单调递增， 当时，． 因为，所以 ，所以， 所以存在唯一的，使得，即， 所以当时，单调递减，当时，单调递增， 所以，得证． 【小问3详解】 要证明当时，存在唯一的实数， 使得， 即证明， 设 ，则， 若，则，所以在上单调递增， 当时，，当时，， 所以存在唯一的，使得， 即存在唯一的 ， 因为为“1系超越函数”，所以的定义域为，且对任意， 恒成立， 设 ，则 ，所以在上单调递增， 即存在唯一的，使得， 因此存在唯一的，使得，即存在唯一的实数 ， 使得， 即． 【点睛】本题考查新定义与导数的综合，考查逻辑推理与数学运算的核心素养． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册至选择性必修第三册第六章第二节． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 函数在上的平均变化率为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 6 2. 市图书馆古籍修复志愿队有15名男志愿者和12名女志愿者（均已完成基础培训），现要从男、女志愿者中各选1人，组成见习搭档协助修复师完成线装古籍的辅助工作，则不同的搭档组合种数为（ ） A. 27 B. 66 C. 105 D. 180 3. 下列求导正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，点A，B，C，D，E，F六等分圆的圆周，从，这6个向量中随机抽取2个向量，则这2个向量不共线的取法种数为（ ） A. 9 B. C. D. 5. 若等差数列的公差不为，且成公比为的等比数列，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 6. 若曲线在点处的切线与曲线相切，则正数（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 7. 若，其中，则满足题意的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 4个 D. 无数个 8. 已知函数，关于的方程有且仅有4个不同的实根，则正数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若函数有极大值点和极小值点，则其导函数的大致图象可能为（ ） A. B. C. D. 10. 已知正整数m，n满足，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 若，则 D. 若，则 11. 在空间直角坐标系中，已知正四面体的四个顶点的坐标为，，，，点在四面体外接球的球面上，且平面，点在四面体内切球的球面上，则下列结论正确的有（ ） A. B. 的最大值是最小值的2倍 C. 四面体外接球的体积为 D. 当取得最小值时，点的坐标为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数，则______． 13. 已知函数在上单调递增，则的取值范围是______． 14. 图中矩形的个数为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数，且在处的瞬时变化率为0． （1）求的值； （2）求在上的值域． 16. 已知双曲线的焦距为，离心率为． （1）求的方程． （2）已知数列是正项数列，，点在上． （ⅰ）证明为等比数列，并求的通项公式； （ⅱ）过点且斜率为1的直线与的另一个交点为，求． 17. 为落实教育部“银龄讲学计划”“乡村教师支持计划”，推进县域义务教育优质均衡发展，某省教育厅组织名优秀教师（名银龄教师和甲、乙、丙等名青年骨干教师，且这名青年骨干教师不是银龄教师），按照以下要求将其分配到省内个乡村振兴重点帮扶县的三所新建乡村学校任教． （1）要求分配名银龄教师和名青年骨干教师给校，分配名银龄教师和名青年骨干教师给校，分配名青年骨干教师给校，问共有多少种不同的分配方案？ （2）要求至少分配名教师给每所学校，且至少分配名银龄教师给每所学校，青年骨干教师甲、乙、丙被分到同一所学校，问共有多少种不同的分配方案？ （3）要求三所学校中，其中分配名教师（含名银龄教师）给所学校，各分配名教师给另外所学校，问共有多少种不同的分配方案？ 18. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）若的极大值大于，求的取值范围． 19. 若函数及其导函数的定义域都为，对任意恒成立，则称为“系超越函数”． （1）试判断函数是否为“系超越函数”． （2）证明：函数为“系超越函数”． （3）若为“系超越函数”，证明：当时，存在唯一的实数，使得． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $