精品解析：云南昆明市云南大学附属中学星耀学校2025-2026学年高三下学期期中考试数学试卷

云南大学附属中学星耀学校2025-2026学年（下）期中考试 高三数学试卷 命题人：陈东 审题人：袁明凡 （考试时间：120分钟 总分：150分） 班级______姓名______学号______成绩______ 诚信誓言：我以我的荣誉起誓，在本次考试中，诚实守信，成绩真实. 学生签名：______ 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 集合，则图中阴影部分所表示的集合为（ ） A. B. C. D. 2. 在复平面内，向量对应的复数为，向量对应的复数为，则向量对应的复数为（ ） A. B. C. D. 3. 若空间中三条不同的直线，，满足，，则是，，共面的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 记为等比数列的前项和，已知，若的公比小于零，则（ ） A. 15 B. C. 31 D. 61 5. 已知点在双曲线上，且点到的两条渐近线的距离之积等于，则的离心率为（ ） A. 3 B. 2 C. D. 6. 已知函数，若函数与的图象关于直线对称，且，则（ ） A. B. C. D. 7. 随机抛掷质地均匀的两枚骰子，向上点数分别记为和，则直线与圆有2个公共点的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知正数a，b满足 则 ab=（ ） A. 20 B. 21 C. 22 D. 23 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 记为等差数列的前项和，若，，则（ ） A. B. 公差 C. D. 若，则 10. 设为坐标原点，直线的倾斜角为且过抛物线：的焦点，且与交于，两点，，以为直径画圆与的准线交于点，则（ ） A. 中点的横坐标是 B. C. D. 11. 已知定义在上的函数为偶函数，且满足，当时，，则下列说法正确的是（ ） A. 为周期函数 B. 的图象关于点对称 C. 当时， D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，二项式的展开式中所有项的系数和为64，则展开式中的常数项为__________. 13. 玉琮是一种内圆外方的筒型玉器，是古人用于祭祀的礼器.假定某玉琮中间内空，形状对称；如图所示，圆筒内径长，外径长，筒高，中部是棱长为的正方体的一部分，圆筒的外侧面内切于正方体的侧面，则该玉琮的体积为__________. 14. 若函数在内有且只有一个零点，则在上的最大值与最小值的和为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知、、分别为三个内角、、的对边，且． （1）求； （2）若，求外接圆的面积． 16. 如图，在多面体中，平面平面，四边形是直角梯形，，，，且． （1）证明：平面． （2）求多面体的体积． （3）求平面与平面夹角的余弦值． 17. 2025年9月3日在天安门广场举行纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵式，这不仅是一场军事盛宴，更是一次民族精神的洗礼．某中学为了增强学生的爱国主义情怀，减轻学习压力，决定组织一次军事知识竞赛．为了了解学生喜欢军事是否与性别有关，随机抽取了100名学生进行调查，已知女生中有15名喜欢军事，男生中有的人喜欢军事，喜欢军事的学生中有是男生．参加竞赛的学生从喜欢军事的学生中选取，测试题型分为选择题与填空题两种，每次由电脑随机选出一道，选择题与填空题出现的频率之比为，已知学生答对选择题的概率为，答对填空题的概率为，每次答题互不影响． 喜欢军事 不喜欢军事 合计 男生 女生 15 合计 （1）根据已知条件补充完整上表，并根据小概率值的独立性检验，分析该校学生喜欢军事是否与性别有关； （2）若每位学生答3题，求该学生答对题数X的分布列和数学期望． 附：，其中． 18. 已知. （1）当时，求关于的函数在处的切线方程； （2）当时，在上的解集非空，求的取值范围； （3）若对于任意的，都有成立，求的最小值. 19. 椭圆的光学性质是：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线过椭圆的另一个焦点.已知椭圆（）的左顶点为，点在E上，且在x轴的上方，从E的左焦点发出的光线，经过E反射后，交E于点.按照如下方式依次构造点和（）：光线经过E反射后，交E于点；光线经过E反射后，交E于点. （1）求E的方程； （2）设直线的斜率为，求证：数列是等比数列，并求出其公比； （3）求证：直线恒过定点，并求出该定点的坐标. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 云南大学附属中学星耀学校2025-2026学年（下）期中考试 高三数学试卷 命题人：陈东 审题人：袁明凡 （考试时间：120分钟 总分：150分） 班级______姓名______学号______成绩______ 诚信誓言：我以我的荣誉起誓，在本次考试中，诚实守信，成绩真实. 学生签名：______ 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 集合，则图中阴影部分所表示的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】设全集为，由图可知阴影部分可表示为， 可知，则 2. 在复平面内，向量对应的复数为，向量对应的复数为，则向量对应的复数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合向量的线性运算，利用复数的线性运算求解即可. 【详解】因为向量对应的复数为，向量对应的复数为， 所以， 又 ， 所以向量对应的复数为． 3. 若空间中三条不同的直线，，满足，，则是，，共面的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】通过特例说明不能推出，，共面，即充分性不成立；再由平面几何知识得出同一平面内的直线不平行必相交，推出一定成立，即必要条件成立，两者综合即可得出结果. 【详解】 如图所示：满足，，且，但是， 所以可知是，，共面的不充分条件； 当，，共面时，由平面几何知识可知同一平面内的直线不平行必相交， 又因为，，所以必然有， 即是，，共面的必要条件， 综上可知是，，共面的必要不充分条件. 故选：B. 4. 记为等比数列的前项和，已知，若的公比小于零，则（ ） A. 15 B. C. 31 D. 61 【答案】D 【解析】 【分析】设等比数列的公比为，根据等比数列前项和的定义求得，进而结合等比数列求和公式运算求解. 【详解】设等比数列的公比为，， 因为，则， 即，得或（舍去）， 所以. 故选：D. 5. 已知点在双曲线上，且点到的两条渐近线的距离之积等于，则的离心率为（ ） A. 3 B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，将点坐标代入双曲线方程中可得.求出点坐标代入双曲线的两条渐近线的距离之积，结合化简可得的其次方程，即可求解离心率. 【详解】设. ∵点在双曲线上，，即. 又双曲线的两条渐近线分别为和， 点到双曲线的两条渐近线的距离之积为： ， ，即. 又，，，. 故选：D. 6. 已知函数，若函数与的图象关于直线对称，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据两函数图象关于直线对称及得到，结合的范围代入求解即可. 【详解】由题意知，所以，所以. 因为，所以，所以，解得. 7. 随机抛掷质地均匀的两枚骰子，向上点数分别记为和，则直线与圆有2个公共点的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由已知可得，直线，圆的圆心为，半径， 则圆心到直线的距离为． 因为直线与圆有2个公共点， 所以，整理可得． 若，则；若，则；若，则；若，则； 若，则；若，则， 所以直线与圆有2个公共点的概率是. 8. 已知正数a，b满足 则 ab=（ ） A. 20 B. 21 C. 22 D. 23 【答案】A 【解析】 【分析】通过对已知条件变形，构造单调函数，利用函数唯一性得到与的对数关系，进而代换消元求出. 【详解】由得，即， 令，则定义域，且， 当时，，在单调递增， 由可得，且， 所以，即，所以，得. 【点睛】利用指数与对数的同构构造单调函数，通过函数单调性建立变量关系，实现消元求值. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 记为等差数列的前项和，若，，则（ ） A. B. 公差 C. D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用等差数列的项的基本量运算，结合余弦函数的性质逐一求解判断. 【详解】设等差数列的公差为， 由可得，故A正确； 由可得 ，代入，解得，故B错误； 因，故C正确； 对于D，由上分析，可得，则， 故 ，故D正确. 10. 设为坐标原点，直线的倾斜角为且过抛物线：的焦点，且与交于，两点，，以为直径画圆与的准线交于点，则（ ） A. 中点的横坐标是 B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】依题意设直线的方程为，代入抛物线方程，求出韦达定理，利用弦长公式列方程求得，根据抛物线定义，直线与圆的位置关系判断方法以及三角形面积公式逐一分析计算即可判断. 【详解】因直线的倾斜角为，则其斜率为，又经过抛物线的焦点，故直线的方程可设为， 将其代入消去，整理得， 设，则， 于是，，， 由，解得， 则，， 对于A，中点的横坐标是，故A错误； 对于B，由抛物线的定义，可得， 则，故B正确； 对于C，由A项可知到准线的距离为， 故以为直径的圆与准线相切于点，则轴，于是， ，故C正确； 对于D，，故D错误. 11. 已知定义在上的函数为偶函数，且满足，当时，，则下列说法正确的是（ ） A. 为周期函数 B. 的图象关于点对称 C. 当时， D. 【答案】AC 【解析】 【分析】利用周期函数的定义可判断A；利用对称性的代数定义可判断B;利用周期性与奇偶性以及时的解析式可判断C；利用周期性可计算的值，然后求出的范围可判断D. 【详解】由可得得， 所以，故是周期为4的周期函数，选项A正确； 由和偶函数性质，得， 因此，图象关于直线对称，而非点对称，故选项B错误； 利用和已知区间上的解析式， 当时，，则， 再由偶函数得时， 故当时，选项C正确； 由的周期，， 所以， 又因为为奇函数，当时，，所以， 从而的值域为，在此区间上，所以， 故恒成立，选项D错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，二项式的展开式中所有项的系数和为64，则展开式中的常数项为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据赋值法，结合二项式的通项公式进行求解即可. 【详解】因为二项式的展开式中所有项的系数和为64， 所以，或舍去， 二项式的通项公式为， 令， 所以展开式中的常数项为. 故答案为： 13. 玉琮是一种内圆外方的筒型玉器，是古人用于祭祀的礼器.假定某玉琮中间内空，形状对称；如图所示，圆筒内径长，外径长，筒高，中部是棱长为的正方体的一部分，圆筒的外侧面内切于正方体的侧面，则该玉琮的体积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】玉琮体积可以分为两部分计算:上下圆筒部分和中部正方体挖去圆柱部分，最后减去空心部分的体积. 【详解】因为圆筒内径长为，所以内圆半径. 外径长为，所以外圆半径 上下两段圆筒总高为，加上中部正方体挖去外圆柱后剩余部分: 上下外圆柱体积+中部正方体体积 = 空心是贯通整个玉琮的内圆柱，总高为， 所以玉琮的体积为. 14. 若函数在内有且只有一个零点，则在上的最大值与最小值的和为__________． 【答案】 【解析】 【分析】方法一：利用导数判断函数在上的单调性，确定零点位置，求出参数,再根据函数在上的单调性确定函数最值，即可解出. 【详解】［方法一］：【通性通法】单调性法 求导得， 当时，函数在区间内单调递增，且，所以函数在内无零点； 当时，函数在区间内单调递减，在区间内单调递增． 当时，；当时，． 要使函数在区间内有且仅有一个零点，只需，解得． 于是函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，，所以最大值与最小值之和为． 故答案为：． ［方法二］： 等价转化 由条件知有唯一的正实根，于是．令，则，所以在区间内单调递减，在区间内单调递增，且，当时，；当时，． 只需直线与的图像有一个交点，故，下同方法一． ［方法三］：【最优解】三元基本不等式 同方法二得，，当且仅当时取等号， 要满足条件只需，下同方法一． ［方法四］：等价转化 由条件知有唯一的正实根，即方程有唯一的正实根，整理得，即函数与直线在第一象限内有唯一的交点．于是平移直线与曲线相切时，满足题意，如图． 设切点，因为，于是，解得， 下同方法一． 【整体点评】方法一：利用导数得出函数在上的单调性，确定零点位置，求出参数，进而问题转化为闭区间上的最值问题，从而解出，是该类型题的通性通法； 方法二：利用等价转化思想，函数在上有唯一零点转化为两函数图象有唯一交点，从而求出参数，使问题得解； 方法三：通过三元基本不等式确定取最值条件，从而求出参数，使问题得解，是该题的最优解； 方法四：将函数在上有唯一零点转化为直线与曲线相切，从而求出参数，使问题得解． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知、、分别为三个内角、、的对边，且． （1）求； （2）若，求外接圆的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理结合二倍角的正弦公式化简得出的值，结合角的范围即得； （2）利用正弦定理求出外接圆的半径，结合圆的面积公式可求. 【小问1详解】 因为，由正弦定理可得， 即，即， 因为、，所以，，，则有，故. 【小问2详解】 设外接圆的半径为，由正弦定理，，故， 因此，外接圆的面积为. 16. 如图，在多面体中，平面平面，四边形是直角梯形，，，，且． （1）证明：平面． （2）求多面体的体积． （3）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先由题意求证平面得到，再结合和线面垂直的判定定理即可求证； （2）依次求出和即可求解多面体的体积； （3）建立适当空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，利用平面夹角的向量法公式即可计算求解. 【小问1详解】 证明：因为平面平面，， 且平面平面，平面， 所以平面，平面， 所以，又，，平面， 所以平面； 【小问2详解】 由题意可知，所以由平面得平面， 因为平面，平面，所以， 所以由可知四边形是边长为2的正方形， 所以， 又，所以， 所以多面体的体积为； 【小问3详解】 由平面和可建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以， 因为，平面， 所以平面，所以是平面的一个法向量， 设平面的一个法向量为，则， 所以，取，则， 所以， 平面与平面夹角的余弦值为. 17. 2025年9月3日在天安门广场举行纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵式，这不仅是一场军事盛宴，更是一次民族精神的洗礼．某中学为了增强学生的爱国主义情怀，减轻学习压力，决定组织一次军事知识竞赛．为了了解学生喜欢军事是否与性别有关，随机抽取了100名学生进行调查，已知女生中有15名喜欢军事，男生中有的人喜欢军事，喜欢军事的学生中有是男生．参加竞赛的学生从喜欢军事的学生中选取，测试题型分为选择题与填空题两种，每次由电脑随机选出一道，选择题与填空题出现的频率之比为，已知学生答对选择题的概率为，答对填空题的概率为，每次答题互不影响． 喜欢军事 不喜欢军事 合计 男生 女生 15 合计 （1）根据已知条件补充完整上表，并根据小概率值的独立性检验，分析该校学生喜欢军事是否与性别有关； （2）若每位学生答3题，求该学生答对题数X的分布列和数学期望． 附：，其中． 【答案】（1） 喜欢军事 不喜欢军事 合计 男生 30 20 50 女生 15 35 50 合计 45 55 100 认为该校学生喜欢军事与性别无关． （2） 0 1 2 3 数学期望． 【解析】 【分析】（1）完善列联表，计算进行判断； （2）因为的可能取值为0，1，2，3，且，列出分布列求期望. 【小问1详解】 由题可知喜欢军事的男生与女生人数之比为， 且有15名女生喜欢军事，所以有30名男生喜欢军事， 因为男生中有的人喜欢军事，所以男生共有50名，故不喜欢军事的男生有20名， 完善后的列联表如下： 喜欢军事 不喜欢军事 合计 男生 30 20 50 女生 15 35 50 合计 45 55 100 零假设为：该校学生喜欢军事与性别无关． ， 根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立， 因此可以认为成立，即该校学生喜欢军事与性别无关． 【小问2详解】 学生答对任意一题的概率为， 的可能取值为0，1，2，3，且， ，， ，， 所以的分布列为 0 1 2 3 数学期望． 18. 已知. （1）当时，求关于的函数在处的切线方程； （2）当时，在上的解集非空，求的取值范围； （3）若对于任意的，都有成立，求的最小值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）将代入，利用导数的几何意义求解即可； （2）将问题转化为，使得成立，设，利用导数求出其最大值即可； （3）由题意可得恒成立，即恒成立，其中，设，利用导数求出其最大值即可. 【小问1详解】 当时，， ，， ， 在处的切线方程为； 【小问2详解】 当时，. 在上的解集非空， 等价于，使得成立， 设， 则， 单调递减，， . 【小问3详解】 恒成立，恒成立， 令，则，恒成立， 设， 则，显然，单调递减， ，∴在上，单调递增， 在上，单调递减， ， ，即的最小值为. 19. 椭圆的光学性质是：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线过椭圆的另一个焦点.已知椭圆（）的左顶点为，点在E上，且在x轴的上方，从E的左焦点发出的光线，经过E反射后，交E于点.按照如下方式依次构造点和（）：光线经过E反射后，交E于点；光线经过E反射后，交E于点. （1）求E的方程； （2）设直线的斜率为，求证：数列是等比数列，并求出其公比； （3）求证：直线恒过定点，并求出该定点的坐标. 【答案】（1） （2）数列是等比数列，公比为 （3）直线恒过定点 【解析】 【分析】（1）根据的关系即可求出； （2）设，直线的方程为，联立得到，再求直线的斜率之积，设直线的斜率为，求出即可证明； （3）直线的方程为，根据（2）的结论求出即可证明. 【小问1详解】 由题意得，， 故E的方程为. 【小问2详解】 设，直线的方程为， 由，消去，整理得， ， 直线的斜率之积为 ， 设直线的斜率为，依题意可知均存在且不为零， 由经过E的右焦点，知①， 由经过E的左焦点，知②， ②①得，故数列是等比数列，公比为. 【小问3详解】 直线的方程为，由（2）知， 故，解得， 故直线恒过定点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $