平面向量基本定理及向量坐标运算 课件-2027届高考数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“平面向量基本定理及坐标运算”专题，依据课标要求覆盖基本定理、坐标运算、共线条件等核心考点，通过“五个高考关键点”分模块梳理，对接高考评价体系，分析坐标运算、共线应用等高频考点权重，归纳选择、填空等常考题型，体现备考针对性与实用性。 课件亮点在于“真题训练+方法导引+素养提升”策略，结合2024上海卷向量共线题、2022全国乙卷模长计算等真题，用“坐标法”“爪形三角形”模型突破几何综合题，培养数学思维与逻辑推理能力，帮助学生掌握参数求解技巧，教师可据此精准复习，提升备考效率。

数 学 构建知识体系 形成关键能力 提高学科素养 精准高效备考 高考能力梯级集训 第2节　平面向量基本定理及向量坐标运算 返回目录 目录 1 2 3 基础满分练 课前 自检自测·夯基固本 能力高分练 课中 关键能力·可视思维 素养提升练 课中 高考定向·捕捉热点 第2节　平面向量基本定理及向量坐标运算 基础 满分练 课前 自检自测·夯基固本 五个高考关键点 关键点1 平面向量基本定理的理解与应用 1.若{e1,e2}是平面内的一个基底,则下列四组向量中可以作为平面向量基底的是(　　)[命题点❷] A.{e1-2e2,2e2-e1} B.{2e1+3e2,2e2+3e1} C.{3e1+2e2,4e2+6e1} D.{e1-2e2,e2-e1} B 返回目录 解析:对于A,e1-2e2=-(2e2-e1),所以两向量共线,即不能构成一组基底,故A错误;对于B,设2e1+3e2=λ(2e2+3e1),则显然无解,则向量2e1+3e2与向量2e2+3e1不共线,即能构成一组基底,故B正确;对于C,3e1+2e2=(4e2+6e1),所以两向量共线,即不能构成一组基底,故C错误;对于D,e1-2e2=-2(e2-e1),所以两向量共线,即不能构成一组基底,故D错误.故选B. 返回目录 2.(2025·湖北恩施期末)在△ABC中,D为BC的中点,E为AD的中点,则=(　　) [命题点❶❻] A.- B. C. D.- A 解析:=-)=-,故选A. 返回目录 关键点2 向量的坐标运算 3.(人教A版必修第二册教材习题改编)已知向量a=(1,2),b=(-3,4),则3a+4b=(　　)[命题点❸] A.(-3,6) B.(-3,10) C.(-9,22) D.(-9,18) C 解析:因为a=(1,2),b=(-3,4),所以3a+4b=(3,6)+(-12,16)=(-9,22).故选C. 返回目录 4.(人教A版必修第二册教材习题改编)已知点A(2,-1),B(4,1),向量=(4,3),则向量=　　　　　.[命题点❹] (2,1) 解析:由条件可得=(2,2),所以=(4,3)-(2,2)=(2,1). 返回目录 关键点3 向量共线的坐标表示及应用 5.已知向量=(2,2),则与共线且反向的单位向量为(　　) [命题点❸❺] A.() B. (-,-) C.()或(-,-) D.(2,2) B 解析:与共线且反向的单位向量为-=-=(-,-).故选B. 返回目录 6.(人教A版必修第二册教材习题改编)已知A(-1,-1),B(x,3),C(2,5)三点共线,则x=(　　)[命题点❺] A.1 B.3 C.-1 D.-2 A 解析:依题意,=(x+1,4),=(3,6),且,则6(x+1)=3×4,所以x=1.故选A. 返回目录 关键点4 向量坐标运算与几何图形的综合 7. 如图,向量=(4,-1),=(2,4),若A1,A2,A3,A4为线段AB的5等分点,则=(　　)[命题点❻] A. (3,) B.(6,3) C.(12,6) D.(8,6) C 返回目录 解析:取A2A3的中点为M,则M也是A1A4,AB的中点,故=2 =2=2,因此=4=2()=(12,6).故选C. 返回目录 关键点5 向量与其他知识融合 8.已知三个力F1=(3,4),F2=(2,-5),F3=(3,1)同时作用于某质点上,若对该质点再施加一个力F4,该质点恰好达到平衡状态(合力为零),则F4=(　　) [命题点❸] A.(8,0) B.(8,-8) C.(-8,0) D.(-8,8) C 解析: 由题意,作用在该质点上的三个力F1=(3,4),F2=(2,-5),F3=(3,1),则F1+F2+F3=(3+2+3,4-5+1)=(8,0). 想要该质点恰好达到平衡状态,只需F4=-(8,0)=(-8,0).故选C. 返回目录 回归教材•考教衔接 1.平面向量基本定理 (1)定理:如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2.[❶] (2)基底:若e1,e2不共线,我们把{e1,e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.[❷] 　 选定基底,其他向量用基向量唯一表示 返回目录 2.坐标运算 (1)平面向量的坐标运算[❸] 已知a=(x1,y1),b=(x2,y2). 向量的加法运算 a+b=(x1+x2,y1+y2) 向量的减法运算 a-b=(x1-x2,y1-y2) 向量的数乘运算 λa=(λx1,λy1) 向量的模 |a|= 返回目录 (2)向量坐标的求法[❹] 已知A(x1,y1),B(x2,y2),则=(x2-x1,y2-y1),||=. 在向量端点坐标确定的情况下求向量坐标、两点间距离 3.平面向量共线的坐标表示[❺] 设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠0,则a∥b⇔a=λb(λ∈R)⇔x1y2-x2y1=0. 返回目录 4.“爪形三角形”[❻] 在△ABC中,D是BC上的点,且=λ,则=λ+(1-λ).特别地,若D为线段BC的中点,则. 返回目录 【常用结论】 1.已知△ABC的顶点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),则由)可得△ABC的重心G的坐标为(). 2.如图,已知P为△ABC内一点,则有S△PBC·+S△PAC·+S△PAB·=0. 返回目录 能力 高分练 课中 关键能力•可视思维 考点1　平面向量基本定理的应用 命题视角:命题多以几何图形为载体,结合线段比例,考查用指定基底表示目标向量及参数求解,凸显定理工具性. 例1 (1)(2025·江苏苏州期末)如图,在△ABC中,M,N分别是边AC,BC的中点,AN与BM相交于点G,设=a,=b,则=(　　) A.b-a B.a-b C.a-b D.b-a D 返回目录 考点1 考点2 考点3 解析:由题意可得G为三角形重心,所以) =)+)+=b-a.故选D. 返回目录 考点1 考点2 考点3 (2)(2025·江苏镇江模拟)在平行四边形ABCD中,,2,若=λ+μ,则实数λ+μ等于(　　) A. B. C. D. A 解析:因为,2,所以,将上述两式乘系数相加消去可得4=2+3,所以,所以λ+μ=故选A. 返回目录 考点1 考点2 考点3 对点训练1 (2025·福建福州期中)在△ABC中,点D在BC边上,BD=2DC.记=a,=b,则=(　　) A.-a+b B.a-b C.a-b D.-a-b A 解析:根据题意,在△ABD中,=b-a, 故b-a, 又在△ADC中,=b+b-a=b-a.故选A. 返回目录 考点1 考点2 考点3 解题思维路径 返回目录 考点1 考点2 考点3 方法导引 1.应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算. 2.用平面向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一个基底,并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式,再通过向量的运算来解决.注意同一个向量在不同基底下的分解是不同的,但在每个基底下的分解都是唯一的. 返回目录 考点1 考点2 考点3 考点2　平面向量的坐标运算 命题视角:命题多结合坐标表示,考查加、减、数乘运算及共线的坐标应用,常与几何图形或参数求解结合. 例2 (1)(2025·江苏盐城期中)已知点A(-1,1),B(2,-1),若直线AB上的点D满足=2,则点D坐标为(　　) A.(5,-2) B.(6,-2) C.(4,-3) D.(5,-3) D 返回目录 考点1 考点2 考点3 解析:令坐标原点为O,由=2,得=2(), 则=2,而点A(-1,1),B(2,-1), 因此=(4,-2)-(-1,1)=(5,-3),所以D点坐标为(5,-3).故选D. 返回目录 考点1 考点2 考点3 (2)如图,在直角梯形ABCD中,AB∥DC,AD⊥DC,AD=DC=2AB,E为AD的中点,若=λ+μ(λ,μ∈R),则λ+μ的值为　　　　.  返回目录 考点1 考点2 考点3 解析:建立如图所示的平面直角坐标系,则D(0,0).不妨设AB=1,则CD=AD=2,∴C(2,0),A(0,2),B(1,2),E(0,1),=(-2,2),=(-2,1),=(1,2). =+, ∴(-2,2)=λ(-2,1)+μ(1,2), 解得故λ+μ= 返回目录 考点1 考点2 考点3 对点训练2 (1)(2025·河南郑州名校联盟)已知A,B,C,D为平面内不同的四点,若=2-3,且=(-2,1),则=(　　) A.(4,-2) B.(-4,2) C.(6,-3) D.(-6,3) D 解析:由=2-3,得=3-3,即=3,又=(-2,1),所以=3=(-6,3).故选D. 返回目录 考点1 考点2 考点3 (2)(2025·四川成都模拟)在正方形ABCD中,M是BC的中点.若=λ+μ(λ,μ∈R),则λ+μ的值为(　　) A. B. C. D.2 B 返回目录 考点1 考点2 考点3 解析:在正方形ABCD中,以A为原点,AB,AD所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系,如图. 设AB=2,则B(2,0),C(2,2),D(0,2),M(2,1),=(2,2),=(2,1),=(-2,2), +=(2λ-2μ,λ+2μ), 因为=+,所以 解得所以λ+μ=,故λ+μ的值为 返回目录 考点1 考点2 考点3 关键能力思维链 返回目录 考点1 考点2 考点3 方法导引 平面向量坐标运算的技巧 (1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的,若已知有向线段两端点的坐标,则应先求向量的坐标. (2)解题过程中,常利用向量相等其坐标相同这一原则,通过列方程(组)来进行求解. 返回目录 考点1 考点2 考点3 考点3　向量共线的坐标表示 命题视角:围绕向量共线的充要条件x1y2-x2y1=0,考查向量是否共线、求参数值或解决与共线相关的平面几何问题. 例3 (1)(2025·广东广州期中)已知向量a=(1,2),b=(2,0),c=(0,1),若a∥(b+λc),则λ=(　　) A.- B. C.4 D.2 C 解析:已知b=(2,0),c=(0,1),可得b+λc=(2,0)+(0,λ)=(2,λ). 已知a=(1,2),且a∥(b+λc),所以1×λ-2×2=0,即λ-4=0,解得λ=4.故选C. 返回目录 考点1 考点2 考点3 (2)(一题多解)已知点A(4,0),B(4,4),C(2,6),O为坐标原点,则AC与OB的交点P的坐标为　　　　.  (3,3) 解析: (方法1)=(4,0),=(4,4),=(2,6),由O,P,B三点共线,可设==(4λ,4λ),λ∈R,则=(4λ-4,4λ). 又=(-2,6),由共线,得(4λ-4)×6-4λ×(-2)=0,解得λ=,所以=(3,3),所以点P的坐标为(3,3). (方法2)设点P(x,y),则=(x,y),因为=(4,4),且共线,所以,即x=y.又=(x-4,y),=(-2,6),且共线,所以(x-4)×6-y×(-2)=0,解得x=y=3,所以点P的坐标为(3,3). 返回目录 考点1 考点2 考点3 对点训练3 (1)(2025·陕西渭南二模)已知向量a=(2,1),b=(x,2),若(a-2b)∥b,则实数x=(　　) A. B.4 C. D. B 解析:由题意a-2b=(2-2x,-3),又(a-2b)∥b,所以2(2-2x)=-3x,解得x=4.故选B. 返回目录 考点1 考点2 考点3 (2)已知点O(0,0),A(0,5),B(4,3),,AD与BC交于点M,则点M的坐标为　　　　.  (,2) 返回目录 考点1 考点2 考点3 解析:因为点O(0,0),A(0,5),B(4,3),所以点C(0,),D(2,),=(2,-). 设点M的坐标为(x,y),则=(x,y-5).因为A,M,D三点共线,所以-x-2(y-5)=0,即7x+4y=20. 而=(x,y-),=(4,), 因为C,M,B三点共线,所以x-4(y-)=0,即7x-16y=-20. 由解得 所以点M的坐标为(,2). 返回目录 考点1 考点2 考点3 关键能力思维链 返回目录 考点1 考点2 考点3 方法导引 向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行,也可以由平行求参数.当两向量的坐标均非零时,也可以利用坐标对应成比例来求解. 返回目录 考点1 考点2 考点3 素养 提升练 课中 高考定向•捕捉热点 命题趋势1:近年高考中平面向量聚焦线性运算、坐标表示,逐步加强与几何、代数等知识综合考查. 1.(2024·上海,5)已知向量a=(2,5),b=(6,k),a∥b,则k=　　　　　.  15 解析:由a∥b,得,即5×6=2×k,解得k=15. 返回目录 2.(2022·全国乙,文3)已知向量a=(2,1),b=(-2,4),则|a-b|=(　　) A.2 B.3 C.4 D.5 D 解析:由题设得a-b=(4,-3),则|a-b|==5.故选D. 返回目录 命题趋势2:融合平面向量坐标运算与几何图形、函数方程进行考查,创新系数求解、向量分解试题情境. 3.(2025·北京延庆期中)已知平行四边形ABCD的三个顶点A(-2,1), B(2,2),C(4,5),而且A,B,C,D按逆时针方向排列,则线段AD的长度为　　　　,点D的坐标为　　　　.  (0,4) 解析:由题意,在平行四边形ABCD中,A(-2,1),B(2,2),C(4,5),所以AD=BC==(-4,-1),所以 =(4,5)+(-4,-1)=(0,4),即D(0,4). 返回目录 4.(2025·新高考Ⅰ,6)帆船比赛中,运动员可借助风力计测定风速的大小与方向,测出的结果在航海学中称为视风风速.视风风速对应的向量是真风风速对应的向量与船行风风速对应的向量之和,其中船行风风速对应的向量与船速对应的向量大小相等、方向相反.图1给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图2所示(线段长度代表速度大小,单位:m/s),则该时刻的真风为(　　) 返回目录 级数 名称 风速大小(单位:m/s) 2 轻风 1.6~3.3 3 微风 3.4~5.4 4 和风 5.5~7.9 5 劲风 8.0~10.7 图1 图2 A.轻风 B.微风 C.和风 D.劲风 答案:A　 返回目录 解析:由题可知,视风风速为(0,2)-(3,3)=(-3,-1),船速为(3,3)-(2,0)=(1,3).因为船行风风速与船速大小相等,方向相反,则船行风风速为(-1,-3). 又视风风速是真风风速和船行风风速的和向量,所以真风风速为 (-3,-1)-(-1,-3)=(-2,2),故真风风速大小为=22.828.故选A. 返回目录 模块内融合:高中数学中,平面向量基本定理及坐标运算作为工具,常与函数、几何、代数方程融合考查,借助向量语言(坐标、线性组合等)描述事物之间的关系,提升题目的综合性. 5.(2025·河南南阳期末)已知向量a=(2,1),b=(1,2),则|a+λb|的最小值为(　　) A. B. C. D. C 返回目录 解析:由题意可得a+λb=(2,1)+λ(1,2)=(2+λ,1+2λ),所以|a+λb|2=(2+λ)2+(1+2λ)2=5λ2+8λ+5=5(λ+)2+,故当λ=-时,|a+λb|取得最小值故选C. 返回目录 6.(原创)如图,在矩形ABCD中,△ABC满足“勾3股4弦5”,且AB=3,E为AD上一点,BE⊥AC.若=λ+μ,则λ+μ的值为(　　) A. B. C. D. C 返回目录 解析:由题意建立如图所示的直角坐标系,因为AB=3,BC=4,则A(0,3),B(0,0),C(4,0). 设E(a,3),则=(4,-3),=(a,3),因为BE⊥AC, 所以=4a-9=0,解得a= 由=+,得(,3)=λ(0,3)+μ(4,0),所以解得所以λ+μ=故选C. 返回目录 模块外融合:强化向量新定义(如“向量系”“特殊运算”),融合实际场景(如物理力的合成、路径规划),增加跨学科融合(如物理矢量、计算机坐标算法),注重用向量建模解题. 7.(原创)蜜蜂蜂房是由严格的正六棱柱构成的,它的一端是平整的六边形开口.六边形开口可记为图中的正六边形ABCDEF,其中O为正六边形ABCDEF的中心,设=a,=b,若=3,则=________　　　　(用a,b表示).  -a+b 返回目录 解析:连接FC,BE(图略),因为=3,由正六边形的性质可知,所以),)=,所以=-)+=-(-)+(-)==-a+b. 返回目录 $