第二节 平面向量基本定理及坐标表示 课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦平面向量基本定理、坐标表示与运算、共线的坐标表示等核心考点，依据高考评价体系明确掌握定理、坐标运算及共线判定的考查要求，通过梳理知识网络、分析近五年考点分布（如基底判断占25%、坐标运算占40%），归纳选择、填空、解答等常考题型，体现备考针对性。 课件亮点在于“真题改编+分层训练+素养提升”，如以教材例题改编的平行四边形顶点坐标求解题为载体，运用坐标法和方程思想突破共线问题，培养数学思维和运算能力。设置“易错点警示”（如向量坐标与终点坐标混淆）和“解题模板”，帮助学生掌握得分技巧，教师可据此优化复习策略，提升备考效率。

第二节 第五章　平面向量与复数 平面向量基本定理及坐标表示 【目标要求】　1.掌握平面向量基本定理.2.借助平面直角坐标系,掌握平面向量的正交分解及坐标表示.3.会用坐标表示平面向量的加、减运算与数乘运算.4.能用坐标表示平面向量共线. 1.平面向量的基本定理 如果e1,e2是同一平面内的两个_____________向量,那么对于这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数λ1,λ2,使a=_____________.若e1,e2不共线,把{e1,e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底. 不共线 λ1e1+λ2e2 2.平面向量的坐标运算 (1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模 设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a+b=____________,a-b=____________,λa=_________,|a|=__________. (x1+x2,y1+y2) (x1-x2,y1-y2) (λx1,λy1) (2)向量坐标的求法 ①若向量的起点是坐标原点,则终点坐标即为向量的坐标.②设A(x1,y1),B(x2,y2),则 =_____________,||=________________________. (x2-x1,y2-y1) 3.平面向量共线的坐标表示 设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠0,则a∥b⇔　　　　　　. [微点清]　当且仅当x2y2≠0时,a∥b与=等价,即两个不平行于坐标轴的共线向量的对应坐标成比例. x1y2-x2y1=0 1.若a与b不共线,且λa+μb=0,则λ=μ=0. 2.已知P为线段AB的中点,若A(x1,y1),B(x2,y2),则P点坐标为. 3.已知△ABC的顶点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),则△ABC的重心G的坐标为. 1.思考辨析(对的打“√”,错的打“×”) (1)向量的坐标就是向量终点的坐标.(　　) (2)设{a,b}是平面内的一个基底,若实数λ1,μ1,λ2,μ2满足λ1a+μ1b=λ2a+μ2b,则λ1=λ2,μ1=μ2.(　　) (3)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b的充要条件可以表示成=.(　　) (4)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a=b⇔x1=x2且y1=y2.(　　) 2.下列各组向量中,可以作为基底的是(　　) A.e1=(0,0),e2=(1,-2) B.e1=(-1,2),e2=(5,7) C.e1=(3,5),e2=(6,10) D.e1=(-2,3),e2= 两个不共线的非零向量构成一个基底,A中向量e1为零向量,C、D中两向量共线,B中e1≠0,e2≠0,且e1与e2不共线.故选B. 解析 3.(人A必二P31例7改编)已知a=(4,2),b=(6,y),且a∥b,则y=__________. 因为a∥b,所以4y-2×6=0,解得y=3. 解析 3 4.(北师大必二P100例1改编)如图,在▱ABCD中,点E,F分别为BC,DC的中点,=a,=b,则=_________,=________(用a,b表示). 根据题意,得==b,=-=-a,所以=+=b-a.同理=+=-=a-b. 解析 b-a a-b 5.(人A必二P30例5改编)已知▱ABCD的顶点A(-1,-2),B(3,-1),C(5,6),则顶点D的坐标为_____________. 设D(x,y),则由=,得(4,1)=(5-x,6-y),即即D(1,5). 解析 (1,5) 【例1】　(1)(2026·盐城模拟)若{a,b}是平面内的一个基底,则下列四组向量中能作为平面向量的基底的是(　　) A.a-b,b-a B.2a+b,a+b C.2b-3a,6a-4b D.a+b,a-b 考点一 平面向量基本定理的应用 A选项,b-a=-(a-b),所以a-b,b-a共线,不能作为基底.B选项,2a+b= 2,所以2a+b,a+b共线,不能作为基底.C选项,6a-4b=-2(2b-3a),所以2b-3a,6a-4b共线,不能作为基底.D选项,易知a+b,a-b不共线,可以作为基底. 解析 (2)如图,在平行四边形ABCD中,点E在线段BD上,且=m(m∈R),若=λ+μ(λ,μ∈R),且λ+2μ=0,则m=________. 在平行四边形ABCD中,因为=m,所以-=m(-),所以=+.又==-.所以=(-)+,所以=(1+m)+(1-m).又=λ+μ,所以λ=1+m,μ=1-m,又λ+2μ=0,所以1+m+2(1-m)=0,解得m=3. 解析 3 平面向量基本定理解决问题的一般思路 1.先选择一个基底,并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式,再通过向量的运算来解决. 2.在基底未给出的情况下,合理地选取基底会给解题带来方便,另外,要熟练运用平面几何的一些性质定理. 【训练1】　(1)(2026·武汉模拟)在正六边形ABCDEF中,用和表示,则=(　　) A.-+ B.-+ C.-+ D.-+ 设正六边形ABCDEF的边长为2,如图,设AD,EC交于点O,则OD=1,AO=3,则=,则=+=(+)+(+)=- +.故选B. 解析 (2)在△ABC中,=,=(+),点P为AE与BF的交点,=λ +μ,则λ-μ=_______. 因为=(+),所以F为AC的中点,由B,P,F三点共线,可设=k(0<k<1),即-=k(-),整理得=k+(1-k)=(1-k)+k.因为=,所以-=-,即=+. 解析 由A,P,E三点共线,可得=m=m=m+m(0< m<1),所以=+,则λ=,μ=,λ-μ=. 解析 (1)已知点A(0,1),B(3,2),向量=(-4,-3),则向量=(　　) A.(-7,-4) B.(7,4) C.(-1,4) D.(1,4) 考点二 平面向量的坐标表示………………自练自悟 由已知A(0,1),B(3,2),得到=(3,1),因为=(-4,-3),所以=-=(-4,-3)-(3,1)=(-7,-4). 解析 (2)如图,在7×5正方形网格中,向量a,b满足a⊥b, 则-+=(　　) A.2a+b B.-2a-b C.-3a+b D.3a-b 以题图中向量a,b的始点为坐标原点,a所在直线为x轴,b所在直线为y轴建立平面直角坐标系(图略),则a=(1,0),b=(0,2),C(2,5),D(5,4).-+=+==(-3,1).令=xa+yb,得到(-3,1)=x(1,0)+y(0,2)= (x,2y),解得x=-3,y=.所以-+=-3a+b. 解析 (3)设O(0,0),A(0,3),B(6,0),=-2,则||=(　　) A. B.2 C.2 D. 设P(x,y),则=(x-6,y),=(x,y-3),因为=-2,所以(x-6,y)=-2(x,y-3),所以即P(2,2),则=(2,2),||= =2.故选B. 解析 (4)如图,在直角梯形ABCD中,AB∥DC,AD⊥DC,AD=DC= 2AB,E为AD的中点,若=λ+μ(λ,μ∈R),则λ+μ的值为________. 建立如图所示的平面直角坐标系,则D(0,0).不妨设AB=1,则CD=AD=2,所以C(2,0),A(0,2),B(1,2),E(0,1),所以=(-2,2),=(-2,1),=(1,2),因为=λ+ 解析 μ,所以(-2,2)=λ(-2,1)+μ(1,2),所以故λ+μ=. 解析 1.利用向量的坐标运算解题,主要是利用加法、减法、数乘运算法则,然后根据“两个向量相等当且仅当它们的坐标对应相等”这一原则,化归为方程(组)进行求解. 2.向量的坐标表示使向量运算代数化,成为数与形结合的载体,可以使很多几何问题的解答转化为我们熟知的数量运算. 【例2】　(1)(2026·杭州调研)已知平面向量a=(2,0),b=(-1,1),且(ma-b)∥(a+b),则m=(　　) A.-1 B.0 C.1 D. 考点三 平面向量共线的坐标表示 平面向量a=(2,0),b=(-1,1),则ma-b=(2m,0)-(-1,1)=(2m+1,-1),a+b=(1,1), (ma-b)∥(a+b),则(2m+1)×1=1×(-1),解得m=-1. 解析 (2)已知O为坐标原点,点A(1,-2),B(-1,3),若向量-k与向量a=(2,3)共线,则实数k的值为(　　) A. B.- C. D.- 因为向量-k=(1,-2)-(-k,3k)=(1+k,-2-3k)与向量a=(2,3)共线,所以3(1+k)=2(-2-3k),解得k=-.故选B. 解析 1.两平面向量共线的充要条件有两种形式: (1)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b的充要条件是x1y2-x2y1=0;(2)若a∥b(b≠0),则a=λb. 2.向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行,也可以由平行求参数.当两向量的坐标均非零时,也可以利用坐标对应成比例来求解. 【训练2】　(1)已知点O(0,0),向量=(2,3),=(8,-3),点P是线段AB靠近点A的三等分点,则点P的坐标为(　　) A.(-4,-1) B.(4,1) C.(2,-2) D.(-2,2) 由题意得=,所以-=(-),即=+,设P(x,y),则(x,y)=×(2,3)+×(8,-3)=(4,1),所以P(4,1).故选B. 解析 (2)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,C=,若m=(c-,a-b),n=(a-b,c+),且m∥n,则△ABC的面积为(　　) A.3 B. C. D.3 因为m=(c-,a-b),n=(a-b,c+),且m∥n,所以(a-b)2=(c-)(c+),化为a2+b2-c2=2ab-6.所以cos===,解得ab=6.所以S△ABC=absin C=×6×=.故选C. 解析 $