平面向量的概念及线性运算 课件-2027届高考数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦平面向量概念及线性运算专题，依据高考评价体系明确基础题（60%）、中档题（30%）、创新题（10%）的考查要求，梳理线性运算、共线向量定理、数量积等高频考点，归纳直接运算、几何综合、参数求解等常考题型，体现备考针对性。 课件亮点在于“真题溯源+思维建模”的备考策略，如以2023年全国乙卷向量题为例，通过“图形拆解-线性运算-参数方程”三步法培养数学思维，结合共线向量定理应用实例强化数学语言表达，帮助学生掌握答题技巧，教师可据此精准突破高频考点，提升复习效率。

数 学 构建知识体系 形成关键能力 提高学科素养 精准高效备考 高考能力梯级集训 体系构建 第1节　平面向量的概念及线性运算 命题报告 命题趋势 基础题(60%):直接考查复数四则运算、向量线性运算与坐标表示; 中档题(30%):综合应用(复数几何意义、向量数量积求夹角、模); 创新题(10%):跨知识融合(复数与方程结合、向量与解析几何综合) 高频考点 复数 四则运算(除法化简、乘方运算); 概念辨析(实部虚部、共轭复数、模); 几何意义(复平面内点的坐标、象限判断) 平面向量 线性运算(加减、数乘的坐标表示); 数量积(坐标运算、模与夹角计算); 共线与垂直(充要条件应用) 第1节　平面向量的概念及线性运算 命题规律 1.向量的线性运算中,用已知的两个不共线的向量作为基底可以表示平面上的其他向量,将所求向量转化到平行四边形或三角形中去,利用平面图形的几何特征建立关系.数量积的基本运算中,经常涉及数量积的定义、模、夹角公式,重视数量积的定义式及坐标表达两种形式.如2023年全国乙卷文科第6题的三种解法,分别体现了数量积求解中的基底分解法、坐标运算法和模、夹角定义法. 2.复数考查代数运算的同时,主要涉及考查的概念有:复数的代数形式、共轭复数、复数的模、复数的几何意义等,考查学生的逻辑推理、数学运算等学科核心素养.近几年高考对复数的考查,大都集中在第1题或第2题,分值5分,难度较低 第1节　平面向量的概念及线性运算 备考建议 抓牢基础运算:复数乘除、向量坐标运算; 强化几何意义:复平面点与复数对应、向量模与夹角; 突破综合应用:向量与三角形、复数、方程融合题 第1节　平面向量的概念及线性运算 第1节　平面向量的概念及线性运算 返回目录 目录 1 2 3 基础满分练 课前 自检自测·夯基固本 能力高分练 课中 关键能力·可视思维 素养提升练 课中 高考定向·捕捉热点 第1节　平面向量的概念及线性运算 基础 满分练 课前 自检自测·夯基固本 四个高考关键点 关键点1 基础概念与线性运算的直接考查 1.(2025·江苏宿迁期中)下列命题正确的是(　　)[命题点❶] A.单位向量均相等 B.任一向量与它的相反向量不相等 C.模为零的向量与任一向量平行 D.模相等的两个共线向量是相同的向量 C 返回目录 解析:对于A,单位向量大小相等,都是1,但方向不一定相同,故单位向量不一定相等,故A错误;对于B,零向量与它的相反向量相等,故B错误;对于C,模为0的向量为零向量,零向量与任意非零向量共线,故C正确;对于D,模相等的两个共线向量可能是相同的向量也可能是相反向量,故D错误.故选C. 返回目录 2.(2025·福建期末)=(　　)[命题点❷❸] A.2 B.0 C. D.0 D 解析:-()==0.故选D. 返回目录 3.(2025·贵州贵阳模拟)3(2a-b)-5(a+3b)=　　　　　.[命题点❹] a-18b 解析:3(2a-b)-5(a+3b)=6a-3b-5a-15b=a-18b. 返回目录 关键点2 共线向量定理及应用 4.(2025·浙江宁波期末)已知a,b是两个不共线的向量,若向量2a+3b,xa-9b共线,则x=(　　)[命题点❺] A.6 B.4 C.-4 D.-6 D 解析:由向量2a+3b,xa-9b共线,得xa-9b=λ(2a+3b),而向量a,b不共线,因此解得λ=-3,x=-6.故选D. 返回目录 5.已知向量=λ,点A,B,C三点共线,则λ=　　　　.[命题点❺] 解析:由A,B,C三点共线可知存在实数μ,满足=,即 =μ(),所以(μ-1)=,可得=-= ,因此,解得μ=- 此时λ=-=- 返回目录 关键点3 向量运算与平面几何的综合 6.(苏教版必修第二册教材习题改编)在△ABC中,D是BC的中点.若=c,=b,=a,=d,则下列结论成立的是　　　　.(填序号) [命题点❸] ①d-a=b;②d-a=-b;③d-a=c;④d-a=-c. ③ 解析:d-a==c,故③成立. 返回目录 7.(多选)(人教A版必修第二册教材习题改编)如图,四边形ABCD是平行四边形,点P在CD上,则下列各式正确的是(　　)[命题点❷❸] A. B. C. D.=0 BD 返回目录 解析:对于A,,故A错误; 对于B,利用向量加法的三角形法则,知,故B正确; 对于C,,故C错误; 对于D,=0,故D正确. 返回目录 关键点4 创新情境与实际应用 8.如图,一艘船从A点出发,以2 km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶,同时,河水的流速为2 km/h,求船实际航行速度的大小与方向(用与水流方向的夹角表示).[命题点❷] 返回目录 解:如图,设表示船垂直于对岸的速度,表示水流的速度,以AD,AB为邻边作平行四边形ABCD,则就是船实际航行的速度. 在Rt△ABC中,||=2,||=2,所以||==4,所以tan∠CAB=,所以∠CAB=60°. 故船实际航行速度的大小为4 km/h,方向与水流方向的夹角为60°. 返回目录 回归教材•考教衔接 1.向量的有关概念[❶] (1)向量:既有大小又有方向的量叫做向量,用有向线段表示,此时有向线段的方向就是向量的方向.向量的大小就是向量的长度(或称模),记作||. (2)零向量:长度为0的向量,记作0. (3)单位向量:长度等于1个单位长度的向量. 所有单位向量的长度都相等,但方向可能不同 返回目录 (4)平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量.向量a,b平行,记作a∥b. 规定:0与任一向量平行. (5)相等向量:长度相等且方向相同的向量. (6)相反向量:长度相等且方向相反的向量. 返回目录 返回目录 2.向量的线性运算 向量运算 法则(或几何意义) 运算律 加法[❷] 三角形法则需a,b首尾相接;平行四边形法则需将a,b移到共同起点 三角形法则 平行四边形法则 交换律: a+b=b+a; 结合律: (a+b)+c=a+(b+c) 返回目录 向量运算 法则(或几何意义) 运算律 减法[❸] 几何意义 a-b=a+(-b) 数乘[❹] 结果是一个向量,λ决定此向量方向与a方向的关系 |λa|=|λ||a|,当λ>0时,λa的方向与a的方向相同; 当λ<0时,λa的方向与a的方向相反; 当λ=0时,λa=0 设λ,μ为实数,则λ(μa)=(λμ)a; (λ+μ)a=λa+μa; λ(a+b)=λa+λb 返回目录 3.共线向量定理[❺] 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是:存在唯一一个实数λ,使b=λa. 返回目录 能力 高分练 课中 关键能力•可视思维 考点1　平面向量的有关概念 命题视角:聚焦平面向量基本概念,聚焦平行、相等、模等角度命题,注重辨析与应用. 例1 (1)(多选)(2025·安徽模拟)下列说法正确的是(　　) A.若|a|>|b|,则a>b B.若a=b,则a∥b C.若a∥b,b∥c,则a∥c D.若a=b,b=c,则a=c BD 返回目录 考点1 考点2 考点3 解析:因为平面向量既有大小,又有方向,所以平面向量不能比较大小,故A错误;因为a=b表示两个平面向量大小相等,方向相同,而a∥b只需两个平面向量方向相同或相反,所以若a=b,则a∥b一定成立,故B正确;当b=0时,不能推出a∥c,故C错误;根据平面向量相等的定义可知D正确.故选BD. 返回目录 考点1 考点2 考点3 (2)设a,b都是非零向量,下列四个条件中,使成立的充分条件是(　　) A.a=-b B.a∥b C.a=2b D.a∥b且|a|=|b| C 解析:因为向量的方向与向量a方向相同,向量的方向与向量b方向相同,且,所以向量a与向量b方向相同,故可排除选项A,B,D. 当a=2b时,,故a=2b是成立的充分条件. 返回目录 考点1 考点2 考点3 对点训练1 (1)(多选)下列命题中的真命题是(　　) A.若|a|=|b|,则a=b B.若A,B,C,D是不共线的四点,则“”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件 C.方向相反的两个非零向量一定共线 D.a=b的充要条件是|a|=|b|且a∥b BC 返回目录 考点1 考点2 考点3 解析:虽然两个向量的长度相等,但它们的方向不一定相同,故A不正确;因为,所以||=||且,又A,B,C,D是不共线的四点,所以四边形ABCD为平行四边形;反之,若四边形ABCD为平行四边形,则||=||,方向相同,因此,故B正确;方向相反的两个非零向量必定平行,所以C正确;当a∥b且a,b方向相反时,即使|a|=|b|,也不能得到a=b,故|a|=|b|且a∥b不是a=b的充要条件,而是必要不充分条件,故D不正确.故选BC. 返回目录 考点1 考点2 考点3 (2)如图所示,O是正六边形ABCDEF的中心,则与相等的向量为(　　) A. B. C. D. D 解析:A,B选项中的向量均与方向不同,C选项中的向量与长度不相等,D选项中的向量与方向相同,长度相等. 返回目录 考点1 考点2 考点3 答题要语 答题需明确向量的大小与方向,区分相等、共线等关系及注意向量相等的充要条件. 解题思维路径 返回目录 考点1 考点2 考点3 考点2　平面向量的线性运算 角度 1 向量加、减的几何意义 命题视角:以向量加、减的几何意义为核心,通过向量模的关系,结合图形探究夹角、三角形形状等. 例2 若向量a≠0,b≠0,且|a|=|b|=|a-b|,则向量a与向量a-b所在直线的夹角是　　　　　.(用弧度表示)  解:设=a,=b,如图所示,a-b= 因为|a|=|b|=|a-b|,所以||=||=||,所以△OAB是等边三角形,a-b就是向量,所以向量a与向量a-b所在直线的夹角是 返回目录 考点1 考点2 考点3 变式探究 (原创)若将“向量a与向量a-b所在直线的夹角”改为“向量a与向量a+b所在直线的夹角”,如何求解? 解:设=a,=b,以OA,OB为邻边作▱OACB,如图所示,则a+b=, a-b= 因为|a|=|b|=|a-b|,所以||=||=||,所以△OAB是等边三角形,所以∠BOA=,四边形OACB为菱形. 在菱形OACB中,对角线OC平分∠BOA,所以向量a与向量a+b所在直线的夹角是 返回目录 考点1 考点2 考点3 对点训练2 若O是△ABC所在平面内的一点,且满足||=|-2|,则△ABC的形状为(　　) A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形 B 解析:-2=()+()=,所以||=||.故A,B,C为矩形的三个顶点,△ABC为直角三角形. 返回目录 考点1 考点2 考点3 角度 2 向量的线性运算 命题视角:向量线性运算类题目常以三角形、线段分点为背景,结合共线条件和线段比例,考查用已知向量表示目标向量的能力. 例3如图,已知O为直线AB外一点,点C在直线AB上,且=λ(λ≠-1),求证:. 返回目录 考点1 考点2 考点3 证明:因为,又=, 所以=λ(),即(1+λ)+ 又因为λ≠-1,即1+λ≠0, 所以 返回目录 考点1 考点2 考点3 对点训练3 (2025·河南开封二模)在△ABC中,,设=a,=b,则=(　　) A.a+b B.-a+b C.a-b D.a+b A 解析:由,可得), 整理可得a+b. 返回目录 考点1 考点2 考点3 角度 3 根据向量线性运算求参数 命题视角:常以三角形、平行四边形等为背景,通过线段比例关系给出向量间关联,要求学生用指定向量表示目标向量并求解参数(或参数和). 例4在平行四边形ABCD中,.若=m+n,则m+n=(　　) A. B. C. D. D 返回目录 考点1 考点2 考点3 解析:由题意可得)=)=,所以m=,n=,所以m+n= 返回目录 考点1 考点2 考点3 变式探究 (原创)(换条件)若将“.若=m+n”改为“E是对角线AC上靠近点C的三等分点,点F在BE上且为中点.若=m+n”,如何求解? 解:因为点F在BE上且为中点,且E是对角线AC上靠近点C的三等分点,则)=,所以m+n= 返回目录 考点1 考点2 考点3 对点训练4 (2025·陕西西安模拟)在△ABC中,D在BC上,且=2,E在AD上,且=4.若=x+y,则x+y=(　　) A. B. C.- D.- C 解析:因为=2,所以,则)= 又=4,所以,则 =-,又=x+y,所以x=-,y=,则x+y=-=- 返回目录 考点1 考点2 考点3 答题要语 用图形法则转化向量运算,借模的关系推图形性质,解决夹角或形状问题. 解题思维路径 返回目录 考点1 考点2 考点3 答题要语 利用共线(如点在线上)条件确定向量关系,结合线段比例拆分向量,通过线性运算将目标向量用已知向量表示并转化表达式得出结果. 解题思维路径 返回目录 考点1 考点2 考点3 解题思维路径 返回目录 考点1 考点2 考点3 答题要语 与向量的线性运算有关的参数问题,一般需要构造三角形,利用向量运算的三角形法则进行加法或减法运算,然后通过题干给出的相等向量或共线向量等条件列出关于参数的方程(组)并求得相关参数的值. 返回目录 考点1 考点2 考点3 考点3　共线向量基本定理的应用 命题视角:题目常以三角形、平行四边形等图形为载体,结合线段比例,考查利用定理判定向量共线、求参数及几何问题,多以选择题与填空题形式呈现. 例5 (1)已知向量e1与e2不共线,向量=e1-ke2(k∈R),=2e1-e2, =3e1+3e2,若A,B,D三点共线,则k=(　　) A.2 B.-4 C.-2 D.3 B 返回目录 考点1 考点2 考点3 解析:由=2e1-e2,=3e1+3e2,得=(3e1+3e2)-(2e1-e2) =e1+4e2.因为A,B,D三点共线,所以,可设=x,x∈R, 而=e1-ke2,所以e1-ke2=x(e1+4e2),即e1-ke2=xe1+4xe2.又e1与e2不共线,于是得解得k=-4. 返回目录 考点1 考点2 考点3 (2)如图,在△ABC中,,P是BN上的点,若=m,则实数m的值是　　　　　　.  解析:因为,所以=3因为=m=m,且B,P,N三点共线,所以m+=1,所以m= 返回目录 考点1 考点2 考点3 对点训练5 (1)(2025·江苏盐城七校联考)e1,e2是平面内不共线的两向量,已知=e1+ke2,=3e1+4e2,=4e1+e2,若A,B,D三点共线,则实数k的值为 (　　) A.3 B.-3 C.-2 D.2 B 解析:由=3e1+4e2,=4e1+e2,得=e1-3e2,由A,B,D三点共线,得,又=e1+ke2,e1,e2不共线,则,所以k=-3.故选B. 返回目录 考点1 考点2 考点3 (2)(2025·河北衡水调研)已知点O是△ABC的重心,过点O的直线与边AB,AC分别交于M,N两点,D为边BC的中点.若=x+y(x,y∈R),则x+y=(　　) A. B. C.2 D. A 解析:如图所示,由三角形重心的性质,可得,所以,所以=x+y,即易知M,O,N三点共线,可得x+y=1,所以x+y= 返回目录 考点1 考点2 考点3 解题思维路径 返回目录 考点1 考点2 考点3 能力要语 核心是将几何中的共线与比例关系,通过定理转化为代数的向量系数从而运算,实现“几何问题代数化”. 返回目录 考点1 考点2 考点3 素养 提升练 课中 高考定向•捕捉热点 命题趋势1:近年高考聚焦平面向量概念及线性运算的基础应用,侧重向量线性运算(加、减、数乘),常结合三角形、多边形等几何图形考查向量表达式化简与基本定理应用. 1.(原创)在△ABC中,D为AB边中点,=a,=b,则= 　　　　　(用a,b表示).  a+b 返回目录 解析:如图,因为,所以), 所以 因为D为线段AB的中点, 所以a+b. 返回目录 2.(2024·天津,14节选)已知正方形ABCD的边长为1,E为线段CD的三等分点,CE=DE,=λ+μ,其中λ,μ为实数,则λ+μ=　　　　.  解析:因为E为CD的三等分点,CE=DE,所以,则,可得λ=,μ=1,所以λ+μ= 返回目录 命题趋势2:强化向量线性运算与几何图形的融合,结合图形中点、分点等特殊位置,创新向量表达式化简与参数求解情境. 3.(2025·重庆模拟)在△ABC中,D为AC的中点,连接BD,E为BD的中点,=x+y,则x+y的值为(　　) A. B. C. D.1 B 返回目录 解析:由已知得,所以, 所以)=-, 所以+(-)= 又因为=x+y,所以x=,y=,所以x+y=故选B. 返回目录 4.(2025·江苏南京模拟)设a,b是两个不共线的向量,若=2a+kb, =a+3b,=2a-b,且A,B,D三点共线,则实数k的值为　　　　　.  解析:由=a+3b,=2a-b,得=(a+3b)+(2a-b)=3a+2b,由A,B,D三点共线,得,设=t,而=2a+kb,则2a+kb=t(3a+2b),又a,b不共线,因此解得k= 返回目录 $