特殊四边形中的全等三角形问题复习讲义-2026年中考数学二轮复习

该初中数学中考复习讲义聚焦“特殊四边形中的全等三角形”核心专题，覆盖正方形、矩形等图形的全等判定及隐藏条件，构建“知识点解析-解题原理-解题思路”系统架构，通过考点梳理、方法指导、真题训练帮助学生突破难点。 亮点在于融合数学眼光、思维与语言，如例题设计从基础证明到动态最值问题，培养几何直观与推理能力。变式训练覆盖不同四边形类型，实战演练结合中考真题，配合“标已知-找条件-补全判定”步骤，确保高效复习，助力教师把控节奏提升学生应考能力。

特殊四边形中的全等三角形问题复习讲义 特殊四边形中的全等三角形问题复习讲义 知识点解析 一、知识点 1图形范围：正方形、矩形、菱形、平行四边形、直角梯形 2.全等判定：SSS、SAS、ASA、AAS、HL(直角专用) 3.图形隐藏条件 ·平行得内错角相等，对边相等、对角相等 ·直角互余出等角，对角线平分、相等、垂直平分 ·翻折、旋转、平移直接自带边角相等 4.常见全等模型：一线三直角、对角型、邻边共点型、对角线分割型 二、解题原理 1.借助特殊四边形固有边角等量关系，补齐全等所需边、角条件 2.动点运动中抓不变边长、固定角度，锁定恒等关系 3.全等则对应边、对应角完全相等，直接转化线段、角度等量关系列式求解 三、解题思路 1.梳理图形性质，标出已知相等边、相等角、直角、平行线 2.观察目标两个三角形，先找已有一组边或一组角相等 3.结合四边形性质，推导补齐第二组边/角，凑齐全等判定条件 4.动点题型分类讨论位置情况，避免漏解 5.证出全等后，利用对应边、角相等，转化求线段长、坐标、角度、参数 6.最后验证结果符合图形位置与取值范围 例题分析 特殊四边形中的全等三角形问题复习讲义 例1.(2026广东广州模拟预测)在正方形ABCD中，AB=4,E为对角线BD上一点，连接CE,过E作 EF⊥CE,交AB于F. D D D E 、E G 0 0 P B B B 图1 图2 图3 (I)如图1，求证：EC=EF; (2)如图2，过E作EG⊥DB交AD于G,连接BG交EF于O,证明：∠E0G=45°； (3)如图3，在(2)条件下，记GF的中点为P,Q为线段BC上一点，且CQ=1,求线段PQ长度的最小值. 【答案】()证明见解析； (2)证明见解析； ③)线段PO长度的最小值为5 2 【分析】(1)过E作EM⊥AB于点M,EN上BC于点N,由四边形ABCD是正方形，得∠ABC=90°，BD平分 ∠ABC,所以EM=EN,∠BME=∠BNE=∠ABC=90°，然后通过同角的余角相等得∠MEF=∠NEC,证明 △MEF≌aNEC(ASA),再由全等三角形的性质即可求证； (2)过E作EM⊥AB于点M,EN⊥BC于点N,延长NE交AD于点K,连接CF交BG于点L，,由(1)得 EM=EN,∠BME=∠BNE=∠ABC=90°，则四边形EMBN是矩形，故有四边形EMBN是正方形，则 EM=EN=BN=BM,又四边形ABCD是正方形，所以AB=BC=CD=DA=4, LABC=∠BCD=LADC=LBAD=9O°，BD平分LABC、∠ADC,再证明四边形CDKN是矩形，四边形AMEK是 矩形，故有EK=AM,AK=ME,设DK=GK=CN=EK=AM=a,故有FM=a,所以AG=4-2a, BF=4-2a,即有AG=BF,再证明△AGB≌△BFC(SAS),所以LABG=LBCF,然后通过全等三角形的性质和三 角形内角和定理得出∠F0L=4°，则LE0G=∠F0L=45°； (3)以A为原点，AB为x轴，AD为y轴建立平面直角坐标系，由(2)得OG=BF,设OG=BF=2m,则 0F=4-2m,所以G(0,2m,F(4-2m,0),故有P(2-m,m,可得点P在直线y=-x+2(0≤x≤2)上运动，设直 线与x,y轴交于点S,R,所以OR=OS=2,所以LOSR=ORS=45°，然后根据“垂线段最短”可知，当 PQ⊥RS时，线段PQ长度有最小值，如图，延长OP交x轴于点T,所以∠PTB=∠PST=∠TOB=45°，则 PS=P7,BT=B0=3,所以QT=3N5,0T=l,再求出PT-5,则QP=QT-PT-5Y2,即线段PO长度的最 2 2 特殊四边形中的全等三角形问题复习讲义 小值为5② 【详解】(1)证明：如图1，过E作EM⊥AB于点M,EN⊥BC于点N, D E 图1 .∠BME=∠BNE=90°， :四边形ABCD是正方形， .LABC=90°，BD平分∠ABC, .EM=EN,LBME=∠BNE=∠ABC=90°， .∠MEN=90°， :EF⊥CE, .∠CEF=90°， ·∠MEF+∠FEN=∠NEC+∠FEN=90o, .∠MEF=∠NEC, 在△MEF和△NEC中， ∠MEF=∠NEC EM=EN ∠EMF=∠ENC △MEF≌aNEC(ASA), .EC=EF; (2)解：如图2，过E作EM⊥AB于点M,EN⊥BC于点N,延长NE交AD于点K,连接CF交BG于点L, 特殊四边形中的全等三角形问题复习讲义 D E K G AM F B 图2 由(1)得，EM=EN,∠BME=LBNE=∠ABC=90°， 四边形EMBN是矩形， 又EM=EN, :.四边形EMBN是正方形， .EM EN BN BM :四边形ABCD是正方形， .AB=BC=CD=DA=4,∠ABC=∠BCD=∠ADC=∠BAD=90°，BD平分∠ABC、∠ADC, .LGDE=45°，∠KNC=∠ADC=∠BCD=90°， 四边形CDKN是矩形， ∴CN=DK, 同理：四边形AMEK是矩形， :EK AM,AK =ME, EG⊥DB, .∠DEG=90°， .LGDE=∠DGE=45°， :ED=EG, .DK GK, DK=GK=CN=EK-AM, 设DK=GK=CN=EK=AM=a, :FM =a, .AG=4-2a,BF=4-2a, :AG=BF, 在△AGB和△BFC中， 特殊四边形中的全等三角形问题复习讲义 AG=BF ∠BAD=∠ABC=90°， AB=BC .△AGB≌△BFC(SAS, .∠ABG=∠BCF, ∠BFC+LBCF=90°， ∴∠ABG+∠BCF=90°， .∠BLF=90°， ∠0LF=90°， :CE=EF,LCEF=90°， .∠EFC=45°， .∠F0L=45°， .∠E0G=∠F0L=45°； (3)解：如图3，以A为原点，AB为x轴，AD为y轴建立平面直角坐标系， D E R G P O4) S八F B 图3 由(2)得：0G=BF, 设0G=BF=2m,则0F=4-2m, G0,2m,F4-2m,0), :GF的中点为P, P(2-m,m, 设x=2-m,y=m, x=2-y,即y=-x+2, :点P在直线y=-x+2(0≤x≤2)上运动，设直线与x,y轴交于点S,R,如图3， U 特殊四边形中的全等三角形问题复习讲义 当x=0时，y=2；y=0时，x=2, S(2,0),R(0,2), 0R=0S=2, ∠0SR=∠0RS=45°， CQ=1, .BQ=3, 根据“垂线段最短”可知，当PQ⊥RS时，线段PQ长度有最小值，如图，延长QP交x轴于点T, Y D C E R G P O0T六FBx ∠PTB=∠PST=∠TQB=45°， .PS=PT,BT=BO=3, ÷QT=VBT2+BQ2=V32+32=3V2,0T=0B-BT=4-3=1, .ST=0S-0T=2-1=1, “PT2+PS2=ST2, PT2+PT2=12, P7= 2 QP=Qr-P7=3反.9=9· :线段PO长度的最小值为5巨 例2.(2026广西柳州·模拟预测)【问题原型】 在矩形ABCD中，AB=5,BC=3.点P为边BC上一点，将△ABP沿直线AP翻折至△AEP的位置（点B落在点E 处). 6 特殊四边形中的全等三角形问题复习讲义 B B 图① 图② 图③ (I)【问题解决】如图①，当点E落在边CD上时，可求得DE的长为 (②)【尝试应用】如图②，PE与CD相交于点F,AE与CD相交于点G,且FC=FE, ①求证：GF=PF; ②求BP的长 (3)【拓展提升】如图③，点？为射线BA上的一个动点，将△BCQ沿CQ翻折，点B恰好落在直线DQ上的点B处， 直接写出BQ的长。 【答案】(1)4 20见据折：网号 (3)1或9 【分析】(1)利用翻折的性质得到4E=AB,再利用勾股定理求解即可； (2)①由翻折的性质证明△EFG≌aCFP(ASA),从而得出结论； ②设BP=EP=x,则GE=PC=3-x,进而求出GC=x、AG=x+2,在RtAADG中，利用勾股定理列方程求解即 可； (3)分两种情况讨论：当点Q在线段AB上时，证明QD=CD,再由勾股定理求出DB'长，利用BQ=QD-DB求 解；当点Q在线段BA的延长线上时，设BQ=BQ=x,则DQ=x-4、AQ=x-5,在Rt△ADQ中，利用勾股定 理列方程求解即可. 【详解】(1)解：：四边形ABCD是矩形， AD=BC=3、∠D=90°， :将△ABP沿直线AP翻折至△AEP的位置， .AE=AB=5, 在RtADE中，由勾股定理得：DE=√AE2-AD2=V52-32=4; (2)证明：①：四边形ABCD是矩形， ∠B=∠C=90°， 由翻折的性质知，∠E=∠B、BP=EP, ∠E=∠C, 特殊四边形中的全等三角形问题复习讲义 在△EFG和aCFP中， ∠E=∠C EF=CF ∠EFG=∠CFP △EFG≌ACFP(ASA), GF=PF、GE=PC; ②设BP=EP=x,则GE=PC=3-x, :GC=GF+FC=PF+EF=EP=x, DG=CD-GC=5-x AG=AE-GE=5-(3-x)=x+2, 在RtAADG中，AG2=AD2+DG, .32+(5-x2=(x+2)2, 解得：x=15 , 15 即BP= (3)解：分两种情况讨论： 当点Q在线段AB上时，如图所示： D B =B 由翻折的性质知，∠CQB=∠CQB、B'C=BC=3、BQ=B'Q、∠CB'Q=∠B=90°， ∠CB'D=90°， :四边形ABCD是矩形， CD∥AB, .∠DCQ=∠CQB, ∴.∠DCQ=∠CQD, ..OD=CD=5, .DB'=VCD2-B'C2=V52-32=4, .BQ=B'Q=QD-DB'=5-4=1; 特殊四边形中的全等三角形问题复习讲义 当点Q在线段BA的延长线上时，如图所示： B Q 由翻折的性质知，B'C=BC=3、BQ=B'Q、∠B'=∠B=90°， .DB'=VCD2-B'C2=V52-32=4, 设BQ=B'Q=x,则DQ=x-4、AQ=QB-AB=x-5, :∠BAD=90°， .∠DAQ=90°， 在Rt△ADQ中，QD2=AD2+AQ, .32+x-5)2=(x-4)2, 解得：x=9, 即BQ=9, 综上所述，BQ的长为1或9. 例3.(2025·福建泉州模拟预测)如图，在正方形ABCD中，点P是AD上的一点，作点A关于直线BP的对称点E, 连接CE,延长CE交BP的延长线于点F,连接DE. D 图1 图2 (I)①尺规作图：在给出的图1中作出点E(不写作法，保留作图痕迹)，作出点E后根据题意补全图形： ②若LABP=a,则LFCB= ;(用含的式子表示) (2)如图2，若点P是AD的中点. ①求证：DE∥BF; ②用等式表示线段DE,CF之间的数量关系，并证明. 【答案】(1)①见解析；②45°+0 (2)①见解析；②CF=2√2DE,证明见解析 特殊四边形中的全等三角形问题复习讲义 【分析】(I)①由轴对称的性质可得BA=BE,AE⊥BP,因此先过点A作BP的垂线，再以点B为圆心，BA为半 径作弧，与上述垂线的交点即为点E:②由轴对称的性质得LEBP=∠ABP=a,EB=AB,推出∠EBC=90°-2a, BE=BC,再根据等边对等角、三角形内角和定理求解； (2)①由轴对称得点G是AE的中点，进而得出PG是ADE的中位线，即可证明DE∥BF;②连接DF,AF, BE,先根据四边形内角和为360度证明LAEF=45°，再证△DEA≌△AGB(AAS),推出DE=AG=GE=FG,进 而证明四边形DEGF是正方形，再证△ADF≌aCDE(AAS,推出AF=CE,可得 CF=EF+CE=EF+AF=2EF=2V2DE 【详解】(1)解：①点E及补全后图形如下图所示； E ②如图，连接BE, D C :四边形ABCD是正方形， :∠ABC=90°，BC=AB, :点A和点E关于直线BP对称，∠ABP=a, :∠EBP=∠ABP=a,EB=AB, ·∠EBC=90°-2a,BE=BC, :∠FCB=∠BEc-180-∠EBC=180-(90-2a-45+a; 2 (2)①证明：如图，连接AE,与BF交于点G, D C E :点A和点E关于直线BP对称， 10 特殊四边形中的全等三角形问题复习讲义 :AG=EG, :点G是AE的中点， 又：点P是AD的中点， :PG是ADE的中位线， :PG∥DE, :DE∥BF; ②CF=2V2DE, 证明：如图，连接DF,AF,BE, 力 C :点A和点E关于直线BP对称， G B :BF⊥AE, :DE∥BF, :DE⊥AE. BA=BE BC, ∠BAE=∠BEA,∠BEC=∠BCE, :∠ABC+∠BCE+∠CEA+∠BAE=360°， ·∠ABC+∠BCE+∠CEB+∠BEA+∠BAE=360°， :90°+2（∠CEB+∠BEA=360°， ·∠CEA=∠CEB+∠BEA=135°， :∠AEF=45°， ·∠EFG=∠AFG=45°，EG=FG, :∠AFE=90°， :∠DAE=90°-∠BAG=∠ABG,LDEA=LAGB=90°，AB=DA, :△DEA≌AGB(AAS), ·DE=AG=GE=FG, 又：∠DEG=∠EGF=90°， :四边形DEGF是正方形， :∠DEF=∠DFE=45°，DF=DE, 11 特殊四边形中的全等三角形问题复习讲义 :∠AFD=∠CED=135°， ·∠ADF+∠ADE=∠EDF=90·,∠CDE+∠ADE=∠ADC=90°， :LADF=∠CDE, 又：AD=CD, :△ADF≌aCDE(AAS), :AF CE, CF-EF+CE=EF+AF=2EF-22DE 例4.(2026广东深圳二模)【问题情境】数学兴趣小组以矩形纸片ABCD为基本图形，探索几何图形折叠变化中 的数学问题，其中AB=15,AD=20, 图1 图2 图3 【特例探究】 (I)如图I:小坪对矩形ABCD进行折叠，使得C和A重合，折痕分别交AD和BC于E、F,点D的对应点是D, 连接AC, ①根据轴对称性质： :对应点的连线被对称轴垂直且平分 EF是 的垂直平分线 ②请探究BF和DE的数量关系，并说明理由. 【拓展延伸】 (2)①如图2：小山沿着过点B的直线折叠，使得点C的对应点C恰好在CA的延长线上，折痕交AD于M,点D的 对应点为D,求线段AC'的长， ②小深沿着与图2中BM平行的直线折叠矩形ABCD,折痕分别交AM、AB于P、Q,点C和点D的对应点分别是 C和D.请你借助图3分析，当△AC'D'是等腰三角形时，直接写出折痕PQ的长度. 【答案】(1)①AC;②相等，见解析 2)①7：②625,175.125 48’24’12 【分析】(1)①根据垂直平分线的性质即可求解； ②证明△D'AE≌△BAF(ASA),即可求解. 12 特殊四边形中的全等三角形问题复习讲义 (2)①根据折叠可得CC'⊥AC,LAWB=90°，且CN=C'N,分别解Rt△ABC,Rt△CNB,得出AW,即可求解， ②根据折叠可得△APQ兰△GPQ,PO垂直平分AG，PO⊥AC',分三种情况讨论，AC'=AD', AD'=D'C'=15,AC=DC=15分别求解即可. 【详解】(1)解：①根据轴对称性质： ·对应点的连线被对称轴垂直且平分 .EF是AC的垂直平分线 ②：四边形ABCD是矩形 :∠D=∠B=∠DCF=∠DAB=90°，AB=CD :沿EF折叠后C与A重合， D D 图1 DE=D'E'DA=DC=AB:∠D=∠D'=LB=90°；LDCF=LD'AF=90°， ∴∠1十∠EAF=∠2十∠EAF=90°， .∠1=∠2， △D'AE≌△BAF(ASA), :D'E =BF, :DE=BF. (2)解：①，沿BM折叠后C落在CA的延长线C处 CC'⊥BM,∠ANB=90°，且CN=CW, D M D :四边形ABCD是矩形， :∠ABC=90°， 又：在Rt△ABC中，∠ABC=90°，由勾股定理可知， 特殊四边形中的全等三角形问题复习讲义 AC2=AB2+BC2=252: c0s∠1=架=号 :在RtACNB中，CN=BC.cos∠1=20×号=16 ·AN=25-16=9: :C'A=CW-AN=16-9=7, 解：②折痕P0的长度为625,175,125. 48’24’12 折叠过程中，延长D'P、B'Q相交于G,则四边形GDCB为矩形， 根据折叠可得△APQ兰△GPQ,PO垂直平分AG,PO⊥AC', :A,C,G,C四点共线，GC=AC=25, 情形：当1C:0时，在R6DC中，AC=AD-AG=尊：4N4G-4C- 4 4 M D B B :PQ∥MN 由0可得：m∠OPA=an∠BMh-手am∠PQ1=an∠MBA-子 &PO=PN士0N=AN ta /POA+ANam∠QPA=Ax+-6 情形二：AD'=D'C'=I5时，过点D作D'H⊥AC'交AC'于点H, D M XG D H 14 特殊四边形中的全等三角形问题复习讲义 .D'H∥Pg, 庙O可得sin∠ADH=sin∠MBA 3 4H=4Dsn4DH=15×兮=9， 4c=24h=18；则4w-4G=4C-AC)=25-187 PO=PN+QN=ANam∠PO1+ANam∠QPA=ANx(=2A 情形：AC=DC=15则4N=4G=4C-4C)25-15)=5 PQ=PN±ON=4Ntam∠POA+ANan∠QPA=ANx(子+)= D M G D 综上所述，当△AC'D'是等腰三角形时，折痕PQ的长度为 625175125 48’24’12 15 特殊四边形中的全等三角形问题复习讲义 变式训练 变式1.(25-26九年级下…辽宁鞍山期中)探究不同情境，回答下面问题： D D G M B B (图1) (图2) (I)如图1，在ABCD中，P是对角线BD上一点，连接PA,PC,PA=PC.求证：四边形ABCD是菱形； (②)如图2，在菱形ABCD中，P是对角线BD上一点，N是菱形ABCD外一点，连接NP交CD于点G,延长NP交 AB于点M,连接PA,PC,CN,CP=CN,∠PCN=LBCD. ①求证：PM=GN; ②连接DN,若PB=2,PC=√3，∠BCD=120°，求五边形APCND的面积. 【答案】()见解析 (2)①见解析；②125 【分析】(1)连接AC交BD于点O,利用平行四边形对角线互相平分得OA=OC,结合PA=PC得P0⊥AC,即 对角线互相垂直，从而证得菱形： (2)①在AB上截取AH=CG,连接PH,通过证明三角形全等，利用等量代换证得PM=GN: ②过点P作PE⊥BC于点E,过点C作CF⊥BD于点F,先证△ABP≌aCDN得面积相等，再分别求出相关线段长 和三角形面积，最后利用面积割补法求五边形面积. 【详解】(1)证明：如下图，连接AC交BD于点O. :四边形ABCD是平行四边形， :0A=0C. PA=PC, :PO⊥AC,即BD⊥AC. :平行四边形ABCD是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）. 16 特殊四边形中的全等三角形问题复习讲义 A 刀 B (2)①证明：如图，在AB上截取AH=CG,连接PH. :四边形ABCD是菱形， :AB=BC,∠ABP=∠CBP. AB=CB 在△ABP和aCBP中， ∠ABP=∠CBP, BP=BP :△ABP≌CBP(SAS), :PA=PC,∠BAP=∠BCP. PA=PC,CP=CN, :PA=CN. :∠PCN=∠BCD, :∠PCN-∠PCD=∠BCD-∠PCD,即∠GCN=∠BCP=∠PAH, :AB∥CD, :∠AMG=∠DGN. PA=CN 在△APH和△CNG中， ∠PAH=∠NCG, AH=CG :△APH≌aCNG(SAS), PH=GN,∠AHP=∠CGN. :∠MHP=180°-∠AHP=180°-∠CGN=∠DGN, ABII CD, :∠HMP=∠DGN, :∠MHP=∠HMP, :PH PM, ·PM=GN. 17 特殊四边形中的全等三角形问题复习讲义 D M B ②解：过点P作PE⊥BC于点E,过点C作CF⊥BD于点F. :四边形ABCD是菱形，∠BCD=120°，AB∥CD,BD平分∠ABC, :∠ABC=60°，∠PBE=30°. 在Rt△PBE中，PB=2, :PE=sin30°=2×5=1，BE=PBcos30=2x5-V5. 2 2 :PC=3, 在Rt△PCE中，CE=√PC2-PE2=V13-1=V12=25, BC=BE+CE=3+23=33. S.wc=xBCxPE-x3x13 1 2 2 在RtBCF中，∠BCF=60°，BF=BC-sin60=3N5x5_-9,CF=BC,cos60=3V5x-35 22 2 :BC=CD,CF⊥BD, 9 :BD=2BF=2×2=9. 2 在菱形ABCD中，AB=BC,LABD=LCBD,BD=BD, △ABD≌ACBD(SAS), S.ABD=S.CBD S菱形4BCD=SHBD+ScBD=2ScBD, 5m=2号×80xcp-2x939.20 22 AP=CP=CN,∠BAP=∠DCN,AB=CD, △ABP≌△CDN SAS, S.ABP=S.CDN S五边形APCND=SAPD+S.cPn+S.cDN=S.HPD+S.cPp+S.4BP=S菱形HBcD-S.BPC 18 特殊四边形中的全等三角形问题复习讲义 .S五边形APCND 27535-125 2 2 A 变式2.(2025·陕西榆林模拟预测)【问题提出】 E 图1 图2 图3 (I)如图I,AC是正方形ABCD的对角线，点E是AC上一点，连接BE、DE·求证：BE=DE; 【问题探究】 (2)如图2，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,点E是CA延长线上一点，连接EB、ED,∠BED=90°， 若BE=√6，AC=2,求四边形EBCD的面积； 【问题解决】 (3)如图3，在菱形拍摄场地ABCD中，∠ABC=60°，为保障场地安全，安装监控覆盖设备：监控点E在对角线CA 的延长线上，监控点H在边BC的延长线上，直线EH与边AD、CD分别交于点F、G,调试后测得LEBG=60°.试 探究线段AE、AF与CH之间的数量关系，并说明理由. 【答案】()见解析 (2)3+√3 (3)CH=AE+AF,见解析 【分析】(I)证明△ECB兰△ECD(SAS)即可： (2)得到BDE、△80E是等腰直角三角形，则BD=反BE=25,那么E0=80=V5,则 EC=E0+OC=V5+l,再由S四边形EBcD=SABEC十SADEC求解即可； (3)在CH上截取CM=CG,连接GM,可得△GCM为等边三角形，再证明，△EBA≌△GBC,则有 AE=GC=CM=GM,可证△EAF≌△GMH,得到AF=MH,由CH=CM+MH=AE+AF即可求解 【详解】(1)证明：：AC是正方形ABCD的对角线， 19 特殊四边形中的全等三角形问题复习讲义 ∴∠ECB=∠ECD,CB=CD CE=CE ·.△ECB≌△ECD(SAS) :BE=DE; (2)解：：四边形ABCD是菱形， i1C1BD,4C平分BD.0A=0C=4C=1 EC垂直平分BD, .BE=DE =6, 又：∠BED=90°， BDE是等腰直角三角形，LEBD=∠EDB=45°， BD=VBE2+DE2=2BE=2V3' :E0⊥B0,∠EB0=45°， LBE0=45°，△BOE是等腰直角三角形， ∴E0=B0=V3,则EC=E0+OC=V3+1, .S因边形EBcD=S△BEc+S△DEC =专EC·B0+专EC·D0 =EC·BD =专×(5+1)×25 =3+V3; (3)解：在CH上截取CM=CG,连接GM, D :菱形ABCD, .DC∥AB,AB=CB, ∴∠GCM=∠ABC=60° △GCM为等边三角形， 20 特殊四边形中的全等三角形问题复习讲义 :GM=GC,∠GMC=60 .∠GMH=120°， :AB=CB,∠ABC=60°， :ABC为等边三角形， .LBAC=60°， :菱形ABCD, .∠CAD=∠BAC=60°，AD∥BC ∴.∠EAF=120°，∠EFA=∠H, ∠EAF=∠GMH, :LEBG=∠ABC=60°， :∠EBA=∠GBC, :∠BAC=∠GCM=60° ∴∠BAE=∠BCG=120o ·△EBA≌△GBC(ASA), .AE=GC=CM=GM, ·△EAF≌△GMH(AAS), :AF =MH, CH=CM MH =AE+AF. 变式3.(2026吉林长春一模)综合与实践 图1 图2 图3 (I)【模型探索】如图I,在正方形ABCD中，点E,F分别在边DC、BC上，若AF⊥BE,则AF与BE的数量关系 为_ (②)【模型应用】如图2，将边长为2的正方形ABCD折叠，使点B落在CD边的中点E处，点A落在点F处，折痕 交AD于点M,交BC于点N,求折痕MW的长度； (3)【迁移应用】如图3，正方形ABCD的边长为12，点F是BC上一点，将△ABF沿AF折叠，使点B落在点B处， 连接BB';并延长交CD于点E.若CE=5,求EB的长度. 【答案】(I)AF=BE 21 特殊四边形中的全等三角形问题复习讲义 (2)MN=√5 (3)EB=49 3 【分析】(1)证明△ABF≌△BCE(AAS)即可； (2)过C作CP∥MW交AD于P,根据平行四边形的性质，解答即可； (3)根据正方形性质，勾股定理，三角形的面积公式求解即可； 【详解】(1)解：AF=BE;理由如下： :四边形ABCD是正方形， ∴.AB=BC,∠ABC=∠BCD=90°， :AF⊥BE, .∠BAF+∠ABE=∠CBE+∠ABE=90°， :ZBAF ZCBE .△ABF≌ABCE(AAS :AF=BE, 故答案为：AF=BE; (2)解：如图2，过C作CP∥MN交AD于P, B 图2 :将边长为2的正方形ABCD折叠，使点B落在CD边的中点E处， 点B与点E关于MN对称， BE⊥MN, BE⊥CP, :点E是CD边的中点， CECD) :BE=BC2+CE2=5, 由【模型探索】知CP=BE=√5， .AD BC,CPII MN, 22 特殊四边形中的全等三角形问题复习讲义 :四边形CPMN是平行四边形， :MN=CP=5: (3)解：：四边形ABCD是正方形， LC=90°， :BC=12,CE=5, BE=√BC2+CE2=13, :△ABF沿AF折叠，使点B落在点B处， .BE⊥AF,BB'=2BH, 由【模型探索】知，AF=BE=13,BF=CE=5, AB-BF=号AF-BH, :BH=AB.BF_12x5 60 AF 13131 BB=120 13, ·EB=13-120=49 1313 变式4.(2026江西模拟预测)如图，在ABC中，LACB=90°，∠A=a(0°<a<45),点D在边AC上，连接 BD,E,F分别是AB,BD的中点，连接CE交BD于点H,作∠BFG=2a交AB于点G. B D (I)直接写出∠EHF与∠EGF的数量关系. (2)求证：FH=FG. (3)若a=30°，写出线段CH,AD,AG的数量关系，并说明理由. 【答案】(1)∠EHF+∠EGF=180° (2)见解析 AG=CH+号AD,理由见解折 【分析】(I)首先，根据∠ACB=90°，E,F分别是AB,BD的中点，得CE=AE=BE,EF∥AD,进而得 LGEH=2a=∠BFG,再由LBFG+∠GFH=180°，得LGEH+LGFH=180°，可得∠EHF+LEGF=180°； (2)过点F作FM⊥AB,FN⊥CE,垂足分别为M,，N,首先，根据LACB=90°，E,F分别是AB,BD的 23 特殊四边形中的全等三角形问题复习讲义 中点，得CE=AE=BE,EF∥AD,进而得∠CEF=∠ACE=a,∠GEF=∠A=a,证得EF平分∠CEB,可得 FM=FN,再证得△FGM≌△FHN(AAS),得FG=FH; (3)由(2)知△FGM兰△FHN,得GM=NH,再证得Rt EFM≌Rt EFN(HL),得ME=NE,进而得 AG=AE+ME+GM=CE+NE+NH=CN+NE+NE+NH=CH+2NE,然后，由a=30°，得∠FEN=30°， 最后，可得NB=c0s30,B那=号×专AD=号AD即可有出数量关系： 【详解】(1)解：∠EHF+∠EGF=180°.理由如下： :∠ACB=90°，E,F分别是AB,BD的中点， CE=AE=BE,EF∥AD. &∠ACE=∠A=· ·∠GEH=2=∠BFG. :∠BFG+∠GFH=180°， &∠GEH+∠GFH=180o. ÷∠EHF+∠EGF=180o· (2)证明：如图，过点F作FM⊥AB,FN⊥CE,垂足分别为M,N. B GM E :∠ACB=90°，E,F分别是AB,BD的中点， D CE=AE=BE,EF∥AD. ·∠ACE=∠A=C· ·∠CEF=∠ACE=∠GEF=A=C, ·∠CEF=∠GEF,即EF平分∠CEB. :FM FN 由(1)知∠EHF+∠EGF=180°， 又：∠EHF+∠FHN=180°， ∠EGF=∠FHN: 在△FGM和△FHN中， ∠EGF=∠FHN ∠FMG=∠FNH=90°， FM=FN 24 特殊四边形中的全等三角形问题复习讲义 ·△FGM≌△FHN(AAS): :FG=FH. (3)解： AG-CH+5 AD 理由：由(2)知△FGM兰△FHN, :GM =NH. :FM=FN,EFEF, :Rt△EFM≌Rt△EFN(HL): :ME=NE AG=AE+ME+GM=CE+NE+NH CN+NE+NE+NH CH +2NE. :a=30°， ·∠FEN=30°. 在R△EWN中，NE=cOs300,BER=号×告AD=号AD AG-CH+2NE-CH+AD 25 特殊四边形中的全等三角形问题复习讲义 实战演练 1.(2026山西朔州一模)综合与探究 问题情境：如图1，在正方形ABCD中，对角线AC,BD交于点O,以BO为边作等腰直角三角形BOE,BO=BE ,∠0BE=90°. C D E B 图1 图2 备用图 初步探究： (I)判断四边形A0EB的形状，并说明理由. 拓展延伸：将等腰直角三角形BOE绕点B逆时针旋转，点O的对应点为点F,连接CE,AF. (2)如图2，判断CE和AF的位置关系，并说明理由. (3)在旋转过程中，连接CF,若AB=2,当A,F,E三点共线时，请直接写出CBF的面积 【答案】(1)四边形AOEB为平行四边形，见解析 (2)CE⊥AF,见解析 ③)5+1或5-1 2 2 【分析】(1)根据正方形的性质结合题意证明AO=BE,AO‖BE,即可得证： (2)延长CE与AF交于点M,证明△ABF≌aCBE(SAS,∠BAF=∠BCE,进而得出∠AMC=90°，即可得证； (3)分两种情况讨论，当E在AF上时，当F在AE上时，设EC,AB交于点G,过点B作BH⊥EF于点H,分别 求得S.cEF,SBEF,S。ABF,进而结合图形即可求解 【详解】1)解：四边形AOEB为平行四边形. 理由如下：：四边形ABCD是正方形， A0=B0,∠A0B=90°， 又：B0=BE,∠OBE=90°， A0=BE,AO‖BE. 26 特殊四边形中的全等三角形问题复习讲义 :四边形AOEB是平行四边形； (2)CE⊥AF 理由如下：如图，延长CE与AF交于点M D 0 :四边形ABCD是正方形， B M .AB=BC,∠ABC=90°， LABE+LCBE=90°， :∠ABF+∠ABE=90°， :LABF=∠CBE, :BF BE, :△ABF≌△CBE(SAS, :∠BAF=∠BCE, :LBCE+∠ACE+∠CAB=180°-∠ABC=90°， .∠BAF+∠ACE+LCAB=90°， ·LAMC=180°-90°=90°，即CE⊥AF; (3)解：如图，当E在AF上时 设EC,AB交于点G,过点B作BH⊥EF于点H, D C O G :△BEF是等腰直角三角形， .LBEF=∠EFB=45o 27 特殊四边形中的全等三角形问题复习讲义 :A,F,E三点共线 .∠AEB=1350 同(2)可得△ABF≌△CBE :.∠CEB=LAFB=45°，则LAEC=LAEB-LCEB=90°，SBF=SCBE,CE=AF :△BEF是等腰直角三角形，BE=B0=BD=4C=×22=V2 21 2 2 :EF=BE=2.BH=IEF=1 设AE=x,则AF=CE=2+x 在RtAACE中，AC2=AE2+CE2 (22=x2+(x+2月 解得：x=√5-1（负值舍去）， .AE=V3-1, .CE=AF=AE+EF=V3-1+2=V5+1, S.CBF S.CEF -S.CBE-S.BEF S.CEF-S.ABF -S.BEF -EFxCE-AFx-EFxBH =x2x5+刂5+1-分x2x1 V3-1 2 如图，当F在AE上时 D 同理可得∠AEC=90°， 设AF=CE=y, 在RtAACE中，AC2=CE2+AE2 :(22=y2+y+22 28 特殊四边形中的全等三角形问题复习讲义 解得：y=V3-1(负值舍去) AE=√5-1+2=5+1， SCBF S.CEF+S.BEF-S.CBE =S.CEF +S.BEF-SABF 号EFxCE+-EFxDH-号AFxH 2 =x2x5-+x2x15-小刘 5+1 29 综上所述， C8F的面积为5+1或5-I 2 2 2.(2025·湖北武汉·模拟预测)如图，矩形ABCD对角线交于O点，分别过D,C作AC,BD的平行线交于点E. D 图1 图2 图3 (1)如图1，若CD=D0,求∠0DE的大小： (2)如图2，连接OE;作DF⊥OC于点F,若0E=8,DC=6,求DF的长； (3)如图3，若CD=OD,连接OE,在OE上画点G,在DE上画点H,使HE=OG,连DG,CH,当DG+CH的 和最小，且最小值为√时，直接写出AC的长 【答案】(1①)120° 4 05 (3)23 【分析】(1)根据矩形的性质，结合CD=DO,判定四边形ODEC是菱形，再根据判定aODC是等边三角形，即可 求解： (2)设OE,CD交于点M,根据菱形的性质，勾股定理，菱形的面积表示，求解即可： (3)将线段ED绕点E顺时针旋转30°得到EN,连接HN,CN,证明△DOG≌△NEH(SAS),得到DG=NH,当C, H,N三点共线时，DG+CH取得最小值，且最小值为CN,再结合勾股定理求解即可. 【详解】(I)解：矩形ABCD对角线交于O点，分别过D,C作AC,BD的平行线交于点E. .0A=0B=0C=0D, 29 特殊四边形中的全等三角形问题复习讲义 :DE∥AC,CE∥BD, .四边形ODEC是平行四边形， :0C=0D, :四边形ODEC是菱形， .∠0DE=2L0DC, .CD=DO, .0C=0D=CD, .aODC是等边三角形， :.∠0DC=60°， .∠0DE=120°； (2)解：连接OE;设OE,CD交于点M, 根据(1)的解答可知，四边形0DEC是菱形， :OE LCD,H.OM=ME=TOE=4,MD=MC=DC=3, 2 OD=OM2+DM2=5=EC=DE=OC, :DF⊥OC于点F, D M E B S菱形oDEc=C0.DF=OE-CD, ÷DF=2 E.CD 6×8 2 24; CO 5 (3)解：如图，将线段ED绕点E顺时针旋转30°得到EN,连接HN,CN, :矩形ABCD对角线交于O点，分别过D,C作AC,BD的平行线交于点E. OA=OB=OC=OD,DE∥AC,CE∥BD, .四边形ODEC是菱形， 30 特殊四边形中的全等三角形问题复习讲义 :ZODE =240DC,OE LCD,OD=CE=DE=EN, CD=D0, ..OC=OD CD :△ODC是等边三角形， .∠D0C=∠DEC=60°， :∠DOE=30°，∠NEC=∠NEH+∠DEC=90°， ∠D0G=∠NEH=30°， DO=NE ∠DOG=∠NEH=30° OG=EH :.△DOG≌ANEH(SAS :DG=NH, .DG+CH =NH+CH 2CN .当C,H,N三点共线时，DG+CH取得最小值，且最小值为CN, :DG+CH的和最小，且最小值为√6， .CN =6, 根据勾股定理，得CW2=CE2+EN2, (N6=2CE2=6, 解得CE=√5（负的舍去)， .OC=CE=3, AC=20C=2V3: 之特殊四边形中的全等三角形问题复习讲义 特殊四边形中的全等三角形问题复习讲义 知识点解析 一、知识点 1图形范围：正方形、矩形、菱形、平行四边形、直角梯形 2.全等判定：SSS、SAS、ASA、AAS、HL(直角专用) 3.图形隐藏条件 ·平行得内错角相等，对边相等、对角相等 ·直角互余出等角，对角线平分、相等、垂直平分 ·翻折、旋转、平移直接自带边角相等 4.常见全等模型：一线三直角、对角型、邻边共点型、对角线分割型 二、解题原理 1.借助特殊四边形固有边角等量关系，补齐全等所需边、角条件 2.动点运动中抓不变边长、固定角度，锁定恒等关系 3.全等则对应边、对应角完全相等，直接转化线段、角度等量关系列式求解 三、解题思路 1.梳理图形性质，标出已知相等边、相等角、直角、平行线 2.观察目标两个三角形，先找已有一组边或一组角相等 3.结合四边形性质，推导补齐第二组边/角，凑齐全等判定条件 4.动点题型分类讨论位置情况，避免漏解 5.证出全等后，利用对应边、角相等，转化求线段长、坐标、角度、参数 6.最后验证结果符合图形位置与取值范围 例题分析 特殊四边形中的全等三角形问题复习讲义 例1.(2026广东广州模拟预测)在正方形ABCD中，AB=4,E为对角线BD上一点，连接CE,过E作 EF⊥CE,交AB于F. D C D C D E E E 9 G 0 G P F B B 图1 图2 图3 (I)如图1，求证：EC=EF; (2)如图2，过E作EG⊥DB交AD于G,连接BG交EF于O,证明：∠E0G=45°； (3)如图3，在(2)条件下，记GF的中点为P,Q为线段BC上一点，且CQ=1,求线段PQ长度的最小值. 特殊四边形中的全等三角形问题复习讲义 例2.(2026广西柳州模拟预测)【问题原型】 在矩形ABCD中，AB=5,BC=3.点P为边BC上一点，将△ABP沿直线AP翻折至△AEP的位置（点B落在点E 处). D C B B 图① 图② 图③ (I)【问题解决】如图①，当点E落在边CD上时，可求得DE的长为 (②)【尝试应用】如图②，PE与CD相交于点F,AE与CD相交于点G,且FC=FE, ①求证：GF=PF; ②求BP的长 (3)【拓展提升】如图③，点9为射线BA上的一个动点，将△BCQ沿CQ翻折，点B恰好落在直线DQ上的点B处， 直接写出BQ的长， 特殊四边形中的全等三角形问题复习讲义 例3.(2025·福建泉州模拟预测)如图，在正方形ABCD中，点P是AD上的一点，作点A关于直线BP的对称点E, 连接CE,延长CE交BP的延长线于点F,连接DE, D C B 图1 图2 (1)①尺规作图：在给出的图1中作出点E(不写作法，保留作图痕迹)，作出点E后根据题意补全图形： ②若LABP=a,则∠FCB= ；(用含a的式子表示) (2)如图2，若点P是AD的中点 ①求证：DE∥BF; ②用等式表示线段DE,CF之间的数量关系，并证明. 特殊四边形中的全等三角形问题复习讲义 例4.(2026广东深圳二模)【问题情境】数学兴趣小组以矩形纸片ABCD为基本图形，探索几何图形折叠变化中 的数学问题，其中AB=15,AD=20, 图1 图2 图3 【特例探究】 (I)如图1：小坪对矩形ABCD进行折叠，使得C和A重合，折痕分别交AD和BC于E、F,点D的对应点是D, 连接AC. ①根据轴对称性质： :对应点的连线被对称轴垂直且平分 .EF是 的垂直平分线 ②请探究BF和DE的数量关系，并说明理由， 【拓展延伸】 (2)①如图2：小山沿着过点B的直线折叠，使得点C的对应点C恰好在CA的延长线上，折痕交AD于M,点D的 对应点为D,求线段AC'的长. ②小深沿着与图2中BM平行的直线折叠矩形ABCD,折痕分别交AM、AB于P、Q,点C和点D的对应点分别是 C和D.请你借助图3分析，当△AC'D'是等腰三角形时，直接写出折痕PQ的长度. 特殊四边形中的全等三角形问题复习讲义 变式训练 变式1.(25-26九年级下辽宁鞍山期中)探究不同情境，回答下面问题： A D D G M D B C B C (图1) (图2) (I)如图1，在ABCD中，P是对角线BD上一点，连接PA,PC,PA=PC.求证：四边形ABCD是菱形； (②)如图2，在菱形ABCD中，P是对角线BD上一点，N是菱形ABCD外一点，连接NP交CD于点G,延长NP交 AB于点M,连接PA,PC,CN,CP=CN,∠PCN=LBCD. ①求证：PM=GN; ②连接DN,若PB=2,PC=V13,∠BCD=120°，求五边形APCND的面积. 6 特殊四边形中的全等三角形问题复习讲义 变式2.(2025·陕西榆林·模拟预测)【问题提出】 D E 图1 图2 图3 (I)如图I,AC是正方形ABCD的对角线，点E是AC上一点，连接BE、DE,求证：BE=DE; 【问题探究】 (2)如图2，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,点E是CA延长线上一点，连接EB、ED,∠BED=90°， 若BE=√6，AC=2,求四边形EBCD的面积： 【问题解决】 (3)如图3，在菱形拍摄场地ABCD中，∠ABC=60°，为保障场地安全，安装监控覆盖设备：监控点E在对角线CA 的延长线上，监控点H在边BC的延长线上，直线EH与边AD、CD分别交于点F、G,调试后测得∠EBG=60°.试 探究线段AE、AF与CH之间的数量关系，并说明理由. 特殊四边形中的全等三角形问题复习讲义 变式3.(2026·吉林长春一模)综合与实践 M 图1 图2 图3 (I)【模型探索】如图I,在正方形ABCD中，点E,F分别在边DC、BC上，若AF⊥BE,则AF与BE的数量关系 为 (2)【模型应用】如图2，将边长为2的正方形ABCD折叠，使点B落在CD边的中点E处，点A落在点F处，折痕 交AD于点M,交BC于点N,求折痕MN的长度； (③)【迁移应用】如图3，正方形ABCD的边长为12，点F是BC上一点，将△ABF沿AF折叠，使点B落在点B处， 连接BB';并延长交CD于点E.若CE=5,求EB的长度. 特殊四边形中的全等三角形问题复习讲义 变式4.(2026江西模拟预测)如图，在ABC中，∠ACB=90°，∠A=α(0°<<45)，点D在边AC上，连接 BD,E,F分别是AB,BD的中点，连接CE交BD于点H,作LBFG=2a交AB于点G. B G H D (I)直接写出∠EHF与∠EGF的数量关系. (2)求证：FH=FG. (3)若α=30°，写出线段CH,AD,AG的数量关系，并说明理由. 9 特殊四边形中的全等三角形问题复习讲义 实战演练 1.(2026山西朔州一模)综合与探究 问题情境：如图1，在正方形ABCD中，对角线AC,BD交于点O,以BO为边作等腰直角三角形BOE,BO=BE ,∠0BE=90°. C C D E E 0 O B 图1 图2 备用图 初步探究： (I)判断四边形AOEB的形状，并说明理由. 拓展延伸：将等腰直角三角形BOE绕点B逆时针旋转，点O的对应点为点F,连接CE,AF. (2)如图2，判断CE和AF的位置关系，并说明理由. (3)在旋转过程中，连接CF,若AB=2,当A,F,，E三点共线时，请直接写出CBF的面积. 特殊四边形中的全等三角形问题复习讲义 2.(2025·湖北武汉·模拟预测)如图，矩形ABCD对角线交于O点，分别过D,C作AC,BD的平行线交于点E. D D D 图1 图2 图3 (1)如图1，若CD=DO,求∠ODE的大小： (2)如图2，连接OE;作DF⊥OC于点F,若0E=8,DC=6,求DF的长； (3)如图3，若CD=OD,连接OE,在OE上画点G,在DE上画点H,使HE=OG,连DG,CH,当DG+CH的 和最小，且最小值为√6时，直接写出AC的长 11