小专题6 圆中最值及辅助圆问题-【众相原创·赋能中考】2026年数学课堂精讲册（贵州专用）

小专题6圆中最值及辅助圆问题 类型1圆中最值问题一点圆最值、线圆最值 1.如图，在平面直角坐标系中，⊙P经过三点A(8,0),0(0,0), B(0,6),D是⊙P上一动点.当点D到弦OB的距离最大时，点 D的坐标是 ( y P 0 A A.(9,3) B.(9,6) C.(10,3) D.(10,6) 2.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，D是边BC的中点，以点D为 圆心，BD长为半径作⊙D,E是⊙D上一动点，若AB=12,BC= 10,则线段AE长的最小值为 ,最大值为 点拨：找出定，点和动，点，确定两，点的位置关系 3.如图，在平面直角坐标系中，⊙M的半径为2，圆心M的坐标为 (6,8),P是⊙M上的任意一点，PA⊥PB,且PA,PB与x轴分别 交于A,B两点，若点A,B关于原点O对称，则AB的最大值 为 B 4.如图，等边△ABC的边长为4，⊙C的半径为√3，P为AB上一动 点，过点P作⊙C的切线PQ,切点为Q,则PQ的最小 值为 点拨：连接CP,CQ,则△PQC为直角三角形，根据勾股定理，将求PQ的 最小值转化为求PC的最小值，根据垂线段最短解答即可. 贵阳2年必考) 园方法总结 1.点圆最值 平面内定，点D和⊙O上动，点E. 图示：作直线D0与⊙0交于，点 E1,E2 E E 点D在圆外点D在圆内 结论：DE,最小，DE2最大. 2.线圆最值 (1)当直线与圆相交 图示：过圆心O作AB的垂线交 圆于点C C B C 图1 图2 结论：①如图1，若点C在优孤 AB上，CH的长即为动点C到 AB的最大距离； ②如图2，若点C在劣孤AB上， CH的长即为动点C到AB的最 大距离 (2)当直线与圆相离 图示：过圆心O作AB的垂线交 圆于点P,P2 M B 结论：P,M的长是动，点P到直 线AB的最小距离，P,M的长是 动点P到直线AB的最大距离. 109 类型2定点定长作圆（贵阳2022.9） 5.如图，在四边形ABCD中，AB=AC=AD,∠CBD=20°， ∠BDC=30°，则∠BAD= B 6.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BC=2,D是AC边上 一个动点，将△BCD沿BD翻折，点C的对应点为C',在 点D从点C到点A的运动过程中，点C'运动的路径长 为 类型3定弦对定角作圆（贵阳2021.16） 7.如图，在△ABC中，AB=AC=2,BC=2√3，点D是△ABC所 在平面上的一个动点，且∠BDC=60°，则△DBC面积的最 大值是 B 8.如图，在矩形ABCD中，AB=8,BC=6,点P在矩形的内部， 连接PA,PB,PC,若∠PBC=∠PAB,则PC的最小值 是 9.如图，△ABC为等边三角形，AB=2,点P为△ABC内一动点， 且满足∠PAB=∠ACP,则△APC面积的最大值是 110 园方法总结 情形1：一定点一定长 已知：在平面内，点A为定，点，点B为 动点，且AB长度固定 B 结论：点B的轨迹是以点A为圆心， AB长为半径的圆. 情形2：一定点三动点 已知：在平面内，0为定点，A,B,C为 动点，且OA=OB=OC 结论：点A,B,C均在以点0为圆心， OA长为半径的圆上. 园方法总结 已知：已知AB为定值，C为动点，且 ∠ACB为定角度，则，点C在以AB为 弦，∠ACB为圆周角的圆（不与点A,B 重合)上运动. 情形1：∠ACB<90°，如图1. a 图1 图2 1 结论：∠ACB=2∠40B,点C在优孤 AB(不含A,B两点)上运动. 情形2：∠ACB=90°，如图2. 结论：AB为直径，点C在整个圆（不含 A,B两点)上运动. 情形3：∠ACB>90°，如图 结论：7∠A0B+∠ACB=180°，点C在 劣孤AB(不含A,B两，点)上运动. 类型4四点共圆问题（贵阳2021.16） 10.如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，∠ACD=30°， AD=2,E是AC的中点，连接DE,则线段DE的最小值为 点拨：先根据对角互补判断A,B,C,D四点共圆，再根据三角形的三边 关系确定线段DE的最小值 11.如图，在平面直角坐标系中，点A,B的坐标分别为(3,0)，(0， 4),点C是x轴正半轴上一点，连接BC.过点A垂直于AB的直 线与过点C垂直于BC的直线交于点D,连接BD,则sin∠BDC 的值是 点拨：因为△ABD和△BCD是共斜边的两个直角三角形，从而可知A, B,C,D四点共圆，再利用等角的余角相等求解即可。 OA C 12.(2025贵阳花溪区适应性训练)如图，在矩形ABCD中，AB=3, BC=4,点P为边CD上一动点，连接AP交对角线BD于点E, 过点E作EF⊥AP,EF交BC于点F,连接AF交BD于点G,在 点P的运动过程中，△AEG面积的最小值为 点拔：根据乙ABC=LAEF=90°，得A,B,F,E四，点共圆.作△AEG的外 接圆⊙O,根据∠GOE=2∠EAF=2∠DBC、圆周角定理和同角的三角 函数，求出GE和GE上高的取值范围，进而求解。 园方法总结 情形1：定弦对等角 已知：AB为△ABC和△ABD的 公共边，∠C=∠D. D B 图1 图2 结论：A,B,C,D四点共圆. 情形2：对角互补的四边形 已知：在四边形ABCD中， ∠BAD+∠BCD=18O°（或∠ABC+ ∠ADC=180°). B 0 D 图3 图4 结论：A,B,C,D四点共圆 111六=子 同理可证BE=2CE,0A=0B=AE=BE, .四边形OAEB为菱形 7.AC与⊙D相切.理由略 8.(1)∠A(答案不唯一) (2)证明：连接0D, CD平分∠OCB,∴∠BCD=∠OCD. .OC=OD,.∴.∠0DC=∠OCD, ∴.∠BCD=∠ODC,∴.OD∥BC .BC⊥DF,即∠CEF=90°， ∴.∠ODF=∠CEF=90°，即OD⊥DF 又·OD是⊙O的半径，.DF是⊙O的切线 9.(1)连接0C,证明略；(2)0A=√4 10.(1)60° (2)证明：由题意得0C=OB,0B10C.1 0E20E2 ODOD 1 OC OD 1 D是0B的中点OB0C2心0E0c2 又.∠COD=∠EOC,∴.△OCD∽△OEC, 小0807=0m, (3)解：如解图，过点0作0F⊥AC于点F, 0A=OC,AC=4,∴.AF=CF= 在t△A0F中，an4=0E1 AF 2 ∴.0F=1 .OA=√OF+AF=√5 .0C=0B=0A=V5. :D是0B的中点，÷OD=DB=5 在R△0DF中，DF=V0D-OF-), 13 CD=CF-DF=2-2-2CE=2CD=3. 小专题6圆中最值及辅助圆问题 1.A2.8.183.24 4.3【解析】如解图，连接 CQ,CP,过点C作CH⊥AB 于点H,.·PQ是⊙C的切 H 线，CQ上PQ,PQ= √Cp-C0=Cp-3,当B CP⊥AB,即点P与点H重 合时，CP最小，此时PQ取 最小值，：△ABC为等边三角形，.∠B=60°，.CH BC·sinB=25,.PQ的最小值为√(2√3)2-3=3. 5.1006.2m7.358.2√13-4 14 9. 3 【解析】：△ABC 为等边三角形， ∠ABC=∠BAC=60°. AC=AB=2,.·∠PAB= ∠ACP,∴.∠PAC+ A B ∠ACP=60°，.∠APC=120°，∴.点P的运动轨迹是AC, 如解图，过点P作PD上AC于点D,当O,P,B共线时，直 线OB与AC的交点为D,此时PD的长度最大，即△APC 的面积最大dPA=PC,A0=)AC=1,LPAC=∠ACP四 0D=0·sm30-△APc面积的最大值为 1 3-3 105-11专 8 12.25 【解析】如解图，作 △AEG的外接圆⊙O,过点 A作AH⊥BD于点H,过点O 作OM⊥BD于点M,连接 OE,OG,OA∠ABC=B ∠AEF=90°，则A,B,F,E四点共圆.由题意知∠G0M= ∠EOM=∠EAG=∠DBC,tan∠cOM=tan∠DBC=3 , 设GM=3m,OM=4m,则GE=6m,0A=0G=5m,由S△AD =号，A0m:A机，得=号0M+0N≥n m≥ 12 GE=6m≥ 4 8 .5m+4m≥ 子4，BG智：△G的道积的最小值为 48 第26节 与圆有关的计算 核心知识全梳理 2,e ③2 ④ 360 ⑤√-r ⑥ml 贵州考法变式练 1.C【变式】180°2m2.C【变式】24m 3.8m4.(1)8√2120(2)27m 3w3 5.(1)30°(2)6 2 (3)2 (4君 6.C7.2m-23 8.(1)证明：连接0C,如解图， CD是⊙0的切线， ∴.∠DC0=90°，即∠OCB+∠DCP =90°. B 0 DE⊥OB,.∠DEB=90°， ∴.∠OBC+∠BPE=90°.