2026年中考数学二轮复习高频考点复习讲义 特殊四边形中的相似问题

该初中数学中考复习讲义聚焦特殊四边形中的相似问题，系统梳理常用四边形性质、相似判定、隐藏等角等核心考点，构建“知识点解析-解题原理-解题思路-例题分析-变式训练-实战演练”教学流程，通过考点梳理、方法指导和真题训练帮助学生突破几何综合难点，体现复习的系统性和针对性。 亮点在于融入数学眼光（几何直观）、数学思维（推理意识）、数学语言（模型意识），设计“找等角-定相似-列比例”三步解题法，结合4道中考真题例题、4个变式训练及分层实战演练，精准对接中考命题规律，能有效提升学生几何推理与模型构建能力，助力教师把控复习节奏实现高效备考。

特殊四边形中的相似问题复习讲义 特殊四边形中的相似问题复习讲义 知识点解析 一、核心知识点 1. 常用四边形：正方形、矩形、菱形、直角梯形、平行四边形 1. 相似判定：AA（最常用）、SAS、SSS、直角三角形HL相似 1. 隐藏等角：平行线内错角相等、直角互余得等角、对角相等、翻折/旋转等角 1. 边长关系：四边相等、对边相等、邻边垂直、对角线平分/相等/垂直 1. 坐标工具：坐标系下斜率相等证角等，坐标算边长列比例 二、解题原理 1. 利用特殊四边形固有边角性质，快速找出两组相等角，满足相似条件 1. 动点运动中保持角度不变，依托固定直角、平行线构造不变相似模型 1. 相似对应边成比例，把几何线段关系转化为方程，求解动点坐标、线段长、参数 1. 无固定对应顶点时，必须分类讨论对应关系 三、解题思路 1. 定图形：理清四边形边角、垂直、平行、对角线所有固有性质 1. 找等角：由平行、直角互余、外角、对称找出两组相等角 1. 定相似：确定三角形相似，分清直角对应、锐角对应关系 1. 分情况：压轴题必分类讨论顶点对应顺序，避免漏解 1. 列比例：根据相似列出对应边比例式 1. 代线段：用边长、动点含参线段代入比例 1. 解方程：求出参数、线段长度、动点位置，舍去不合题意答案 例题分析 例1．（2026·广东汕头·一模）综合与实践：纸张中藏着丰富的数学奥秘．某数学学习小组围绕“神奇的纸”开展主题学习． 【阅读资料】 纸张大小的设计不仅要有美感，还应具有实用性．纸是我们常见的矩形打印纸，将纸沿它的一条对称轴折叠（如图1），展开后，折痕两侧的两个小矩形称为纸，它们与原来的矩形相似，以其中一个为例，可记为矩形矩形；将纸类似地对折，得到与之相似的纸…，纸的大小设计能在纸张的剪裁中避免浪费，且方便缩放打印，可谓兼具强大的功能性与视觉美感． 【初探结论】 (1)如图1，设，求纸的长与宽的比值； 【作图再探】 (2)如图2，在（1）的条件下，连接，过点E作交于点G．试说明点G为边的中点； 【拓展应用】 (3)如图3，在（1）的条件下，再次折叠纸片，使点B落在上的点E处，折痕为，连接．试探究线段与的数量关系与位置关系． (4)如图4，在（1）的条件下，动点P，Q分别在边，上运动，连接P，Q，将四边形沿翻折得到四边形，调整点P和点Q的位置使得线段始终经过顶点D，是点到的距离，则的最大距离是 ．（用含的式子表示，保留根号） 例2．（2026·安徽合肥·二模）如图1，点是的边上一点，连接并延长至点，连接、、，使得，． (1)求证：； (2)如图2，连接交于点； （i）若，求证：平分； （ii）若，则_____． 例3．（2026·安徽阜阳·二模）正方形中，是边上的一个动点，已知，且，连接． (1)如图1，求证：； (2)连接，交于点，交于点． ①如图2，连接，求证：； ②如图3，交于点，若，求的值． 例4．（2026·内蒙古通辽·一模）矩形中，，，E是线段上异于点B的一个动点，连接．将沿直线折叠，使点B落在点P处． 【初步感知】 (1)如图1，当E为的中点时，延长交于点F，求证：． 【深入探究】 (2)如图2，点M在线段上，，在点E的移动过程中，当点P恰好落在线段上时，求的长． 【拓展运用】 (3)如图2，点N在线段上，．在点E的移动过程中，当点P在矩形内部、且是以为斜边的直角三角形时，求的长． 变式训练 变式1．（2026·山西晋城·二模）综合与探究 问题情境：有一条对角线与一组对边相等的平行四边形，称为双等腰四边形．以下对该图形的性质、判定和应用逐一进行探究． 探究性质： (1)如图①，若四边形为双等腰四边形，其中，，判断与的数量关系，并说明理由； 探究判定： (2)如图②，用两个全等的含角的直角三角形和直角三角形拼出一个矩形，固定，将沿的方向平移，使与交于点，与交于点．当时，求证：四边形是双等腰四边形； 探究应用： (3)如图③，在矩形中，分别为边上的点，连接，若四边形为双等腰四边形，且，直接写出的值． 变式2．（2026·河南·二模）【定义】平行四边形一组邻边的两个中点与不在这组邻边上的顶点顺次连接所得的三角形，如果中点处的内角是，则称这个三角形为这个平行四边形的“半直三角形”． 【理解定义】 (1)如图1，在矩形中，、分别是、的中点，，________（填“是”或“不是”）矩形的“半直三角形”． 【运用定义】 (2)如图1，在（1）的条件下，求的值． 【拓展提升】 (3)如图2，在中，，，以为“半直三角形”的平行四边形的一组邻边记为，（），直接写出的值． 变式3．（25-26九年级上·山东泰安·月考）结合图形，完成下列问题： (1)如图1，正方形和正方形（其中），连接交于点H，请直接写出线段与的关系______； (2)如图2，矩形和矩形，，，，将矩形绕点D逆时针旋转α，直线与交于点H，与交于点O，请写出线段的数量关系和位置关系，并说明理由； (3)如图2，矩形和矩形，，，将矩形绕点D逆时针旋转α，直线与交于点H，与交于点O，若，请直接写出线段的长． 变式4．（25-26九年级下·山东烟台·期中）【问题呈现】 如图，在菱形中，，点P为线段上一动点，点E为射线上的一点（点与点不重合）． 【问题解决】 (1)如图①，若点P与线段的中点O重合，则___________度，线段与线段的数量关系是___________； 【问题探究】 (2)如图②，在点P运动过程中，点E在线段上，且，探究线段与线段的数量关系，并说明理由； 【拓展延伸】 (3)在点P运动过程中，将线段绕点E逆时针旋转得到，射线交射线于点，若，求的长． 实战演练 1．（2026·四川广元·二模）在四边形中，是线段上一点，连接，为射线上一点(不与射线端点重合)，且． (1)如图①，若四边形为正方形，点在线段上，探究与之间的位置关系和数量关系，并说明理由； (2)如图②，若四边形为矩形，点在的延长线上，且，．探究线段与之间位置关系和数量关系，并说明理由； (3)如图③，在(2)的条件下，过点作交于点，延长交边于点，当时，直接写出的长． 2．（2026·海南省直辖县级单位·一模）综合与探究 (1)如图1，在正方形中，点分别在边上，且①求证：； ②若，，连接，求的度数； (2)【类比探究】如图2，在矩形中，，点分别在边上，且，求的值； (3)【类比探究】如图3，在中，为上一点，且，连接，过点作交于点，交于点，求的长． 2 学科网（北京）股份有限公司 $特殊四边形中的相似问题复习讲义 特殊四边形中的相似问题复习讲义 知识点解析 一、 核心知识点 1.常用四边形：正方形、矩形、菱形、直角梯形、平行四边形 2.相似判定：AA(最常用)、SAS、SSS、直角三角形L相似 3.隐藏等角：平行线内错角相等、直角互余得等角、对角相等、翻折/旋转等角 4.边长关系：四边相等、对边相等、邻边垂直、对角线平分/相等/垂直 5.坐标工具：坐标系下斜率相等证角等，坐标算边长列比例 二、解题原理 1.利用特殊四边形固有边角性质，快速找出两组相等角，满足相似条件 2.动点运动中保持角度不变，依托固定直角、平行线构造不变相似模型 3.相似对应边成比例，把几何线段关系转化为方程，求解动点坐标、线段长、参数 4.无固定对应顶点时，必须分类讨论对应关系 三、解题思路 1.定图形：理清四边形边角、垂直、平行、对角线所有固有性质 2.找等角：由平行、直角互余、外角、对称找出两组相等角 3.定相似：确定三角形相似，分清直角对应、锐角对应关系 4.分情况：压轴题必分类讨论顶点对应顺序，避免漏解 5.列比例：根据相似列出对应边比例式 6.代线段：用边长、动点含参线段代入比例 7.解方程：求出参数、线段长度、动点位置，舍去不合题意答案 例题分析 特殊四边形中的相似问题复习讲义 例1.(2026广东汕头一模)综合与实践：纸张中藏着丰富的数学奥秘.某数学学习小组围绕“神奇的A4纸开展 主题学习. 【阅读资料】 纸张大小的设计不仅要有美感，还应具有实用性，A4纸是我们常见的矩形打印纸，将A4纸ABCD沿它的一条对称 轴折叠（如图1），展开后，折痕EF两侧的两个小矩形称为A5纸，它们与原来的矩形相似，以其中一个为例，可 记为矩形EABF∽矩形ABCD；将A5纸类似地对折，得到与之相似的A6纸.，A4纸的大小设计能在纸张的剪裁 中避免浪费，且方便缩放打印，可谓兼具强大的功能性与视觉美感. 图1 图2 图3 图4 【初探结论】 (1)如图1，设AD=2a,求A4纸的长AD与宽AB的比值； 【作图再探】 (2)如图2，在(1)的条件下，连接BE,过点E作EG⊥BE交CD于点G.试说明点G为边CD的中点； 【拓展应用】 (3)如图3，在(1)的条件下，再次折叠纸片，使点B落在AD上的点E处，折痕为MN,连接AC,试探究线段 MN与AC的数量关系与位置关系. (4)如图4，在(1)的条件下，动点P,Q分别在边AD,BC上运动，连接P,Q,将四边形ABQP沿PQ翻折得到 四边形ABQP,调整点P和点Q的位置使得线段A'B始终经过顶点D,B'H是点B到CD的距离，则B'H的最大 距离是_·（用含a的式子表示，保留根号） 【答案】①4D=V2 AB (2)见详解 3)MN∥AC, 袋-子理由见详解 (46-2a 【分析】(1)设AB=x,利用相似矩形的性质，构建方程求解； (2)证明△ABE∽△DEG,得出 怎，可得DG=5,即可证明： DE DG (3)设BM=EM=y,在Rt△AME中，AM'+AE2=EM?,构建方程求出y,再证明MN∥AC可得结论， 2 特殊四边形中的相似问题复习讲义 (4)设A'D=x,B'H=y,由折叠的性质可知：AB=A'B'=√2a,∠A=∠A=90°，AP=A'P,则有B'D=√2a-x,然 4V2a2 后可得PDADB'H,根据勾股定理可得y=42ax-4r,进而可得y x2+4a2 x+2V2a+12a -4V2a 4如，最后 x+2v2a 问题可求解. 【详解】(1)解：设AB=x, AE=ED=a,矩形EABF∽矩形ABCD, .AE AB AB AD x 2a .x2=2a2, x>0, 六x=V2a, AD-2a=2; AB 2a (2)证明：~四边形ABCD是矩形， ∴.∠A=∠D=90°， EG⊥BE, ∠ABE+∠AEB=90°，∠AEB+∠DEG=90°， ∠ABE=∠DEG, .△ABEn△DEG, ABAE DE DG aa a DG *DG- 20, ~AB=CD=√2a, DG-CG- 之a,即点G为边CD的中点； C3)解：结论：MN∥AC,M=3 理由：如图3中，连接BE交AC于点O 特殊四边形中的相似问题复习讲义 B 图3 由翻折变换的性质可知BM=EM,MN⊥BE, 设BM=EM=y, 在Rt△AME中，AM2+AE2=EM2, (2a-y)+a=y, 解得：y=32 0, BM=EM=3 40, “∠BAE=∠D=90,4B=AEV2 AD CD 2 △ABE∽△DAC, ∠ABE=∠DAC, ∠ABE+∠AEB=90°， ∴.∠DAC+∠AEB=90°， ∠A0E=90°， BE⊥AC, MN⊥BE, MN∥AC, 3V2 MN-BM-403: ACBA√2a4 (4)解：设A'D=x,B'H=y, 由折叠的性质可知：AB=A'B'=√2a,∠A'=∠A=90°，AP=A'P, ∴B'D=√2a-x, ∠B'HD=∠ADC=∠A'=90°， ∠PDA'+∠B'DH=∠B'DH+∠DB'H=90°， ∠PDA'=∠DB'H, aPDA'∽△DB'H, 特殊四边形中的相似问题复习讲义 鼎胎时” y v2a-x (2a-xx PD= y (V2a-x)x A'P=AP=AD-PD=2a- 面Rt△APD中，由勾股定理可待： 光 整理得：y= 4v2a2x-4ax2 x2+4a2 y=5款4x216a+1e: x44经2 4V2a2x-4ax2+4a2）+16a3 x2+4a2 4d(x+2a)_4a x2+4a2 4V2a2(x+2V2a) -4a (x+2V2a}2-4V2ax-4a2 4v2a2(x+22a -4a x+2N2a'-4W2ax+22a)+12a2 4W2 -4a 2a2a m-√m}'=m+n-2mn≥0，m>0,n>0, 六m+n≥2√mn, x>0,a>0, x+22a>0,12a2>0 x+2/2a r+2V2a+12a x+2v2a 42a≥2，x+2a12a-4w5a=4W5a-4Wa. x+2V2a 4v2a2 4v2a2 4a≤ r+2V2a+_12a2 -4V2a 43a-4 。4如=(6-2列当且仅当x+25a=取等号.即 x+2v2a x+22a x=(25-22)a, 特殊四边形中的相似问题复习讲义 ∴B'H的最大距离是V6-2a. 例2.(2026安徽合肥·二模)如图1，点E是▣ABCD的边AD上一点，连接CE并延长至点F,连接FA、FD、 BE,使得LAFE=LBCF,DC=DF. 图1 图2 (I)求证：△ABE≌△FDA; (2)如图2，连接AC交BE于点G; (i)若AF=BG,求证：CF平分∠ACD; (i)若AC∥DF,则AC DE 【答案】(1)证明见解析 ②)()证明见解析；(i)V5+1 2 【分析】(I)证明AB=FD,∠BAE=∠AFD.AE=FA.利用SAS证明△ABE≌△FDA; (2)(i)证明。FGCD是菱形，即可证明CF平分LACD;(i)依次证明△BCE∽△AEF,△ACEn△DFE,得到 AE2-AE·DE-DE2=0,解方程即可得到答案. 【详解】(1)证明：：四边形ABCD是平行四边形， ∠DCB=∠BAE,∠BCE=∠AEF,AB=DC, 又：DC=DF, :AB=FD, ∠DFC=LDCF. 又'∠AFE=∠BCF, ·∠AFE+∠DFC=∠BCF+∠DCF,即∠AFD=∠DCB 又：∠DCB=∠BAE, LBAE=∠AFD. ∠AFE=∠BCE,∠BCE=∠AEF, ∴∠AFE=∠AEF, :AE FA. 在△ABE和△FDA中， 6 特殊四边形中的相似问题复习讲义 AB=FD ∠BAE=∠DFA, AE=FA .△ABE≌FDA(SAS). (2)解：(i)证明：连接FG, 由(1)得：△ABE≌△FDA, ,∠AEB=∠FAD, AF∥BG 又：AF=BG, :四边形ABGF是平行四边形， .AB∥FG且AB=FG. 又：AB‖CD且AB=CD, ∴.FG∥CD且FG=CD, :四边形FGCD是平行四边形. 又：DC=DF, ·□FGCD是菱形， ∴CF平分∠ACD. (i)由(i)得：AF∥BE, LBEC=LAFE,∠BCE=∠AEF, △BCE∽△AEF, …脂=器=器， 是=器=架 :AC∥DF, △ACE∽△DFE, “s=器=骺 特殊四边形中的相似问题复习讲义 是=龍 -器 AE AE2-AE·DE-DE2=0 ∴AE= DE±-DE-4x1x-DE_I±5DE, …盖=，器>0， …祭=船=中 2 例3.(2026安徽阜阳·二模)正方形ABCD中，P是边AB上的一个动点，已知DP=PQ,且DP⊥PQ,连接 DB,BO. D 图1 图2 图3 (I)如图1，求证：△ADP∽△BDQ; (2)连接AC,交DP于点E,DQ交BC于点F. ①如图2，连接EF,求证：EF∥PQ; ②如图3，Pe交BC于点G,若tan∠ADP=, 的值. BC 【答案】(1)见解析 2)0见解析② 2 AD PD 【分析】(1)证明DPQ和：D4B为等腰直角三角形，可得8DOD,即可求证： 2①证明：4DEm:80F,可得C,再证明D8n:EDF,可符∠DEF:∠D4B:90,即可求证：② 连接EF,根据题意可设AP=a,则AD=AB=CD=BC=2a,可得PQ=DP=V5a,PB=a,DQ=V10a,再由 245Ac0E,可是-号-片击0有：分0，可背0p2入.-0，根距 3 m∠BnG=m∠4DP-分可符aGPB-号从而得到FG=C-BG-CF-名0，即可求解 2 6 【详解】(1)证明：~DP=P2,且DP⊥PQ, ·.DPQ为等腰直角三角形， 特殊四边形中的相似问题复习讲义 ÷∠PD0=45,DQ=V2DP, 四边形ABCD为正方形， ∴△DAB为等腰直角三角形， ∴∠ADB=45°，BD=V2AD, AD=PD ,∠ADB-∠PDB=∠PDQ-∠PDB, BD OD ÷∠ADP=∠BDQ, ·△ADP∽△BDQ; (2)解：①由(1)得：∠ADP=∠BDF, 又四边形ABCD为正方形， ∠DAE=∠DBF=45°，∠ADB=∠EDF=45°， AADE△BDF, AD DE BD DF 又~∠ADB=∠EDF=45°， ∴AADB∽△EDF, ∴.∠DEF=∠DAB=90°， 又∠DPQ=90°， EF∥PQ; ②如图，连接EF, B 四边形ABCD为正方形， AB=AD=CD=BC,AB∥CD, 'tan∠ADP= 1 2’ .AP=1 AP AD2 CD ∴可设AP=a,则AD=AB=CD=BC=2a, ∴PQ=DP=V5a,PB=a, ∴D0=V10a, 特殊四边形中的相似问题复习讲义 AB∥CD, △APE∽△CDE, PE AP 1 DE CD2' 由①得：EF∥PQ, DF PE 1 “FpDE2, ÷DF=20 3 CF=DF-CD- ∠DPQ=90°， ∠APD+∠BPG=90°=∠APD+∠ADP, ∠BPG=∠ADP, 1 tan∠BPG=tan∠ADP= BG=PB= 5 .FG=BC-BG-CF=a, 6 FG 5 BC 12 例4.(2026内蒙古通辽一模)矩形ABCD中，AB=10,AD=17,E是线段BC上异于点B的一个动点，连接 AE,将△ABE沿直线AE折叠，使点B落在点P处. B E 图1 图2 【初步感知】 (I)如图1，当E为BC的中点时，延长AP交CD于点F,求证：FP=FC. 【深入探究】 (②)如图2，点M在线段CD上，CM=3,在点E的移动过程中，当点P恰好落在线段AM上时，求PM的长. 【拓展运用】 (3)如图2，点N在线段AD上，AN=4.在点E的移动过程中，当点P在矩形内部、且△PDN是以DN为斜边的 直角三角形时，求BE的长 【答案】()见解析 10 特殊四边形中的相似问题复习讲义 (2)13√2-10 (3)5 【分析】(I)连接EF,证明Rta EPF≌RtAECF,即可求证； (2)对Rt△ADM运用勾股定理求解AM即可； (3)过点P作PH⊥AD于H,交BC于点G,证明△PHN∽△DHP,可得HP2=HNHD,设HN=x,HD=I3-x ,根据勾股定理得到关于x的方程，可得到HP=6,AH=8,HG=AB=10,PG=4,BG=AH=8.设BE=m, 则PE=m,GE=8-m·在Rt△PGE中，根据勾股定理求出m=5,即可求解. 【详解】(1)证明：连接EF, 四边形ABCD为矩形， B E :∠B=∠C=90°. 由折叠可得∠APE=∠B=90°，PE=BE. :∠EPF=90°， :E为BC的中点，BE=EC, :.PE=EC. 在Rt△EPF与RtAECF中， EP=EC,EF=EF, :RtAEPF≌RtAECF(HL), :FP=FC; (2)解：如图， D M E 图2 由折叠可得，AP=AB=10, :在矩形ABCD中，AB=CD=10,AD=BC=17,∠D=90°， 又：CM=3, ·DM=CD-CM=7, 特殊四边形中的相似问题复习讲义 ·AM=VAD2+DM2=13√2， :PM=AM-AP=13V2-10: (3)解：过点P作PH⊥AD于H,交BC于点G, :∠1+∠3=90°. N H D 3中 :∠NPD=90°， B E G ∠1+∠2=90°， :∠3=∠2. :∠PHN=∠DHP, :△PHNADHP, HP HN HD HP :.HP2 HN HD, :AN=4,AD=17, :DN=13 设HN=x,HD=13-x, :AH=x+4,HP2=x13-x. :AB=10, :AP=AB=10, HP2=AP2-AH2, :HP2=102-(x+4)2. :x(13-x=102-(x+4)2, 解得x=4. :HG⊥AD,AB⊥AD,AH∥BG, :四边形ABGH是矩形， :HP=6,AH=8,HG=AB=10,PG=10-6=4,BG=AH=8. 设BE=m,则PE=m,GE=8-m. 在Rt△PGE中，PE2=EG2+PG, 12 特殊四边形中的相似问题复习讲义 :m2=(8-m)2+42. 解得，m=5. 3 特殊四边形中的相似问题复习讲义 变式训练 变式1.(2026山西晋城二模)综合与探究 问题情境：有一条对角线与一组对边相等的平行四边形，称为双等腰四边形.以下对该图形的性质、判定和应用逐 进行探究. E B D E 图① 图② 图③ 探究性质： (I)如图①，若四边形ABCD为双等腰四边形，其中AB=AC,∠B=45°，判断AB与BC的数量关系，并说明理由； 探究判定： (②)如图②，用两个全等的含30°角的直角三角形ABC和直角三角形DEF拼出一个矩形，固定aDEF,将ABC沿 FD的方向平移，使AB与EF交于点M,BC与DE交于点N,当BF=2BD时，求证：四边形EMBN是双等腰四 边形； 探究应用： (③)如图③，在矩形ABCD中，E,F分别为BC,AD边上的点，连接BF,EF,DE,若四边形BEDF为双等腰四边形， 且4B=24P,直接写出的值. BC 【答案】①AB= BC,见解析 2 (2)见解析 【分析】(1)先根据双等腰四边形和AB=AC的条件，推出△ABC中LACB=∠B=45°，判定△ABC为等腰直角 角形，再利用等腰直角三角形的边长关系，得到HB=5BC: 2 (2)由平移性质证四边形EMBN是平行四边形，借助30°直角三角形边长关系证得它是菱形，再推出等边三角形， 最终证出四边形EMBN为双等腰四边形； (3)结合矩形和平行四边形性质推出AF=CE,根据双等腰四边形分FB=FE、BE=BF两种情况，利用等腰三角 形线合与知形长关系，算出的值为，或4 【详解】1)解：AB=5BC: 2 理由如下： 14 特殊四边形中的相似问题复习讲义 四边形ABCD为双等腰四边形，AB=AC, .∠ACB=∠B=45°， :△ABC为等腰直角三角形， 4B=sm45r×BC-5aC: 2 (2)证明：由平移的性质可知，AB‖DE,BC‖EF, EM DB 四边形EMBN是平行四边形，∠ABF=∠EDF=90°， FM FB BF =2BD, :EM、1 FM2' 在Rt△BMF中， :∠MBF=90°，∠BFE=30°， :sin∠BFM=sin30°=器=}， :BM EM, 平行四边形EMBN是菱形， :BM BN 如图①，连接MN, A E C M N F ∠MBN=60°， B D 图① ∴aBMN是等边三角形， .MN BM ∴四边形EMBN是双等腰四边形； (3)解： 的值为子安子 .4 BC 解：四边形ABCD为矩形， AD=BC,∠A=90°，AB=DC, :四边形BEDF为平行四边形， :FD BE AF=AD-FD,CE BC-BE, :AF CE, 6 特殊四边形中的相似问题复习讲义 ~四边形BEDF为双等腰四边形， 有以下两种情况：①当FB=FE时，如图②，过点F作FN⊥BE于点N, A F FN⊥BE,FB=FE, B N 图② N为BE的中点， :BN =NE, 在矩形ABCD中，AB⊥BC,FN⊥BC, ∠A=∠ABN=∠FNB=90°， ∴四边形ABNF为矩形， AF=BN, 又：AF=CE, ·BN=NE=AF=CE, :BC BN NE +CE=3AF, AB=2AF, AB 2AF 2 BC-3AF=3 ②当EB=EF时，如图③，过点E作EM⊥BF于点M, M :EM⊥BF, E C 图③ M为BF的中点，BM=。BF,∠EMB=90°， 设AF=t,则AB=2t, ·BF=VAF2+AB2=V5t BM=与E :在矩形ABCD中，AD∥BC, ∠AFB=∠MBE, :∠A=∠BME=90°， 16 特殊四边形中的相似问题复习讲义 :Rt△BAF∽Rt△EMB, AP:8P=MB:EB=1:V5,由BM=5,可得BE= t, 2 7 BC=2, AB 2t 4 8C=77. 2 综上所述， 的能为号或 AB BC 3 变式2.(2026河南·二模)【定义】平行四边形一组邻边的两个中点与不在这组邻边上的顶点顺次连接所得的三角 形，如果中点处的内角是90°，则称这个三角形为这个平行四边形的“半直三角形”. E B 图1 图2 图3 【理解定义】 (I)如图1，在矩形ABCD中，E、F分别是AD、DC的中点，∠BEF=90°，△BEF (填“是”或“不是”) 矩形ABCD的“半直三角形”. 【运用定义】 ②如图1，在（)的条件下，求4D的值。 AB 【拓展提升】 3)如图2，在R△4BC中，LBHC=90,46,以4BC为半直三角形的平行四边形的一组邻边记为Q,D (a>b),直接写出2的值. 【答案】()是； 2)√2： ③)85或2id 5 5 【分析】(I)先确认E、F是矩形一组邻边AD、DC的中点，再确认连接的顶点B不在这组邻边上，最后验证直 角∠BEF恰好位于中点E处，完全符合定义，即可得出结论； (2)先由∠BEF=90°和矩形的直角，通过“同角的余角相等”证明∠ABE=∠DEF,得到△ABE∽△DEF;再结合E 、F是中点的性质，将各边用AD、AB表示后代入相似比，化简后即可求出4D的值： AB 17 特殊四边形中的相似问题复习讲义 (3)先根据“半直三角形”的定义，分两种情况构造平行四边形，再通过作垂线构造相似三角形，利用4C=)的比 AB 2 例关系得到线段比；结合“中点”和“平行四边形对边相等”的性质建立方程，求出各线段长度后用勾股定理计算邻边 a、b,最终得到的值. 6 【详解】(1)解：是； (2)解：四边形ABCD是矩形， .∠A=∠D=90°，AB=CD, ∠ABE+∠AEB=90°， ∠BEF=90°， ∴LAEB+LDEF=90°， .∠ABE=∠DEF, ∴△ABE∽△DEF, .DE_DF AB AE ~E是AD的中点，F是CD的中点， DE-AE--AD.DF=CF-TCD-74B AB 1 20 D=2; AB (3)解：V85或210 5 5 ①如图，过点C作CG⊥AD于点G,过点B作BH⊥DF,交DF的延长线于点H, ×∠BAC=90°， EF ICD, ∠BFH=∠D, ∠BHF=∠CGD=90°， aBHF∽aCGD, .BH HF BF 1 CG-GD-CD-2' ∴设BH=x,HF=y,则CG=2x,GD=2y 母 特殊四边形中的相似问题复习讲义 ∠BAC=90°， AG r-- ∠GAC+∠BAH=90°， ∠GAC+∠ACG=90°， ∠BAH=LACG, ∠BHA=∠CGA=90°， △BHA∽△AGC, BH HA=AB=2, AG CG AC AG-x HA=2CG=4X AF=HA-HF=4x-y,AD=AG+GD=x+2y' AF=AD, 4x-y=2x+2y, 6 , X= a=FD=34 7 b=CD=CG2+GD2-2y 34 a 7yv85 b285y 5 7 ②如图，过点C作CG⊥AD于点G,过点B作BH⊥DF,交FD的延长线于点H, FG D H E B ∠BAC=90°， CE-CF-EF-BD AF-AD-3DF-7E8-24 1 2 2 2 2 EF IBD, ∠F=∠HDB, ∠CGF=∠BHD=90°， 0 特殊四边形中的相似问题复习讲义 aCGF∽aBHD, FG CG CF 1 DH BH BD2 设CG=x,GF=y,则BH=2x,HD=2y, ∠BAC=90°， ∠GAC+∠BAH=90°， LGAC+∠ACG=90°， ∴.∠BAH=∠ACG, ∠BHA=∠CGA=90°， ∴△BHAn△AGC, BH HA AB “AGCG=AC =2, 4GBH=x,H4=2CG力 :.AF=AG+GF=x+y,AD=AH-HD=2x-2y, AF AD, x+y=2x-2y, x=3y, ∴a=FD=8y,b=BD=√DH2+BH=2V10y, 0=8y=210 b 2v10y 5 综上，名的值为5或20 5 5 变式3.(25-26九年级上山东泰安·月考)结合图形，完成下列问题： B E D G G 图1 图2 (I)如图1，正方形ABCD和正方形DEFG(其中AB>DE),连接CE、AG交于点H,请直接写出线段AG与CE的 关系； 20 特殊四边形中的相似问题复习讲义 (2)如图2，矩形ABCD和矩形DEFG,AD=2DG,AB=2DE,AD=DE,将矩形DEFG绕点D逆时针旋转a (0°<a<360),直线CE与AG交于点H,与AD交于点O,请写出线段AG,CE的数量关系和位置关系，并说明理 由； (3)如图2，矩形ABCD和矩形DEFG,AD=2DG=3,AB=2DE=4,将矩形DEFG绕点D逆时针旋转C (0°<a<360),直线CE与AG交于点H,与AD交于点O,若A0=1,请直接写出线段AG的长. 【答案】(I)AG=CE,AG⊥CE (2)CE=2AG,AG⊥CE,理由见解析 3)36 5 【分析】(1)根据正方形的性质及角的和差关系得出∠ADG=LCDE,即可证明aGDA≌aEDC(SAS),得出AG=CE, ∠GAD=∠ECD,利用直角三角形两锐角互余的性质得出LAHC=90°，即可得出AG⊥CE; ②》月1》可餐10G:C0E,根据线段的数虽关系可符85，即可证明△4D0一△C0E,根张相能 三角形的性质得出CE=2AG,∠ECD=∠GAD,利用直角三角形两锐角互余的性质得出∠AHC=90°，即可得出 AG⊥CE; 3》过点E作Er1c0交C0延长线于方1，由△c00Ac释器哥号改红=xT-2,则 DT=C7-0021-4在RE70中，由勾股定理得产+2x--2,采出T-号CT-号.则 CE=VET+CT_65,即可求解AG. 【详解】(1)解：如图1，设CE交AD于0， B E HO D G 图1 ~四边形ABCD和四边形DEFG是正方形， ∠ADC=∠EDG=90°，DG=DE,DA=DC, LADE+∠EDG=∠ADC+∠ADE,即LADG=LCDE, DG=DE 在△GDA和△EDC中， ∠ADG=∠CDE, DA=DC 21 特殊四边形中的相似问题复习讲义 AGDA≌△EDC(SAS), .AG=CE,∠GAD=∠ECD, ∠C0D=∠A0H,LECD+LC0D=90°， ∠GAD+∠A0H=90°， ∠AHC=90°， ∴AG⊥CE. (2)解：CE=2AG,AG⊥CE,理由如下： A B E G 图2 ~四边形ABCD和四边形DEFG是矩形， ∠ADC=∠EDG=90°，AB=CD, .LADE+∠EDG=∠ADC+∠ADE,即LADG=∠CDE, AD=2DG,AB=2DE,AD=DE, :DG_1.DE_DE1 AD2'CD AB 2' DG DE 1 ADCD-2 DG AD DE CD △ADG△CDE, :.4G_DG 1 CEAD2,即CE=2AG, △ADG∽△CDE, ∠ECD=LGAD, ∠COD=LAOH,∠ECD+∠COD=90°， LGAD+∠A0H=90°， ∠AHC=90°， AG⊥CE. (3)解：过点E作ET⊥CD交CD延长线于点T 22 特殊四边形中的相似问题复习讲义 A B G 图2 同(2)可得CE=2AG, 矩形ABCD和矩形DEFG,AD=3,AB=2DE=4 CD=AB=4,DE=2,∠ADC=90° A0=1, ∴0D=AD-A0=2, ~∠T=∠ODC=90°，∠OCD=∠ECT .△COD∽△CET OD CD ET CT ,OD-ET_2_1 CD CT42 设ET=x,CT=2x ∴DT=CT-CD=2x-4 在RtAETD中，由勾股定理得，ET2+DT2=ED x2+(2x-42=22 解得-名5=2（舍去） 7系gg 5 CE=VE72+C7-6 5 4G=cE=35 2 5 变式4.(25-26九年级下山东烟台期中)【问题呈现】 如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，点P为线段AC上一动点，点E为射线BP上的一点（点E与点B不重合）. 23 特殊四边形中的相似问题复习讲义 D D P) 图① 图② 备用图 【问题解决】 (1)如图①，若点P与线段AC的中点O重合，则∠PBC= 度，线段BP与线段AC的数量关系是 【问题探究】 (2)如图②，在点P运动过程中，点E在线段BP上，且∠AEP=30°，∠PEC=60°，探究线段BE与线段EC的数量关 系，并说明理由； 【拓展延伸】 (3)在点P运动过程中，将线段BE绕点E逆时针旋转120°得到EF,射线EF交射线BC于点G,若 BE=2FG,AB=5,求AP的长 【答案】(1)30，BP⊥AC; (2)CE=2BE,理由见解析； 国n的长为2成号 【分析】(1)根据菱形的性质证明ABC为等边三角形，再结合等边三角形的性质可得答案； (2)如图，把△ABE绕B顺时针旋转60°得到△CBQ,证明△BEQ为等边三角形，可得∠BEQ=60°=∠BQE, BE=E0,求解∠BEQ=∠CEQ=60°，∠AEB=∠BQC=150°，∠EQC=150°-60°=90°，可得 ∠ECQ=90°-60°=30°，进一步可得结论； 《3)如图，当P在线段0A,记BP与4D交于点H,证明△HABBEG,可得=能，设FG=r,则 BEe2x,可得4H8,正明64PH∽CP8,再进一步解答即可；如图，当P在线段0C上时，延 BP于H,同理可得：△BAH∽△GEB,设BE=EF=2m,而BE=2FG,则GF=EG=m,可得AH=10,证明 △APH∽△CPB,再进一步可得答案 【详解】(1)解：在菱形ABCD中， :.AB=BC=CD=AD, ∠ABC=60°， ·ABC为等边三角形， ~点P与线段AC的中点0重合， 24 特殊四边形中的相似问题复习讲义 ÷∠PBC=∠ABC=30°，BP⊥AC; 2 (2)解：CE=2BE,理由如下： 如图，把△ABE绕B顺时针旋转60°得到△CBQ, D Q ∴BE=BQ,∠EBQ=60°，∠AEB=∠BQC, ∴△BEQ为等边三角形， ∠BEQ=60°=∠BQE,BE=EQ, ~点E在线段BP上，且∠AEP=30°，∠PEC=60°， ∴LAEB=150°，∠BEC=360°-150°-30°-60°=120°， ∠BEQ=∠CEQ=60°，∠AEB=∠BQC=150°， ∴∠E0C=150°-60°=90°， ∠ECQ=90°-60°=30°， .CE=2EO=2BE; (3)解：如图，当P在线段OA上，记BP与AD交于点H, H∠D G AH∥BC, ∠AHB=∠CBH, ∠ABC=60°， ∠BAD=120°=∠BEG, ∴△HABn△BEG, AH BE AB EG 设FG=x,则EF=BE=2x, EG=3x, 25 特殊四边形中的相似问题复习讲义 .2x AH 3x5 六AH=10 ~AD∥BC, ∴△APH∽△CPB, .AH AP BC PC 10 “4P-3_2, PC 53 ABC为等边三角形， AC=AB=5, 2 AP=5×2=2, 5 如图，当P在线段OC上时，延长AD交BP于H, D G 同理可得：∠H=∠PBC,∠BAH=∠BEG=120°， △BAH∽△GEB, 设BE=EF=2m,而BE=2FG,则GF=EG=m, 2.AB=EG=m=1. AH BE 2m2' ·AH=10, 同理：△APH∽△CPB, :.AP AH CP BC =2, AP=5x2=10 33’ 综上：4P的长为2或0 26 特殊四边形中的相似问题复习讲义 实战演练 1.(2026·四川广元二模)在四边形ABCD中，E是线段BD上一点，连接CE,F为射线AB上一点（不与射线端点 A重合)，且∠AFE=∠BCE. G E 图① 图② 图③ (I)如图①，若四边形ABCD为正方形，点F在线段AB上，探究CE与EF之间的位置关系和数量关系，并说明理由： (2)如图②，若四边形ABCD为矩形，点F在AB的延长线上，且BC=8,CD=6,探究线段CE与EF之间位置关系 和数量关系，并说明理由； (③)如图③，在(2)的条件下，过点E作EM⊥BD交BC于点M,延长FE交AD边于点G,当CD=DE时，直接写出 BM的长. 【答案】(I)EF=CE,EF⊥CE;理由见解析； EEF1CE;连由见解析， EF (2) (3)5 【分析】(I)EF=CE,EF⊥CE;理由如下：过点E作EG⊥AB于点G,作EH⊥BC于点H,证明 △EFG≌△ECH(AAS)即可推出结论： 2) 仁=子，EFLC:理由如下：过点E作0LB于点Q,作EB上8C于克H,证明△EQF∽△盟G 根据角的关系证垂直，利用线段比例关系求线段CE与EF之间的关系即可： (3)当CD=DE=6时，勾股定理可求BD的长，进而求出BE,证明△BEF∽△MEC,利用对应线段成比例得 器=器=器=等，则可求出EM，利用勾股定理求出BM, 【详解】(I)解：EF=CE,EF⊥CE;理由如下： 如图，过点E作EG⊥AB于点G,作EH⊥BC于点H, 27 特殊四边形中的相似问题复习讲义 G 四边形ABCD为正方形， B H 图① ∠ABE=LCBE=45°，∠GBH=90°， :EG=EH, :四边形GBHE是正方形， LGEH=90°， ∠EFG=∠ECH 在△EFG和△ECH中， ∠EGF=∠EHC=90°， EG=EH △EFG≌△ECH(AAS), ,EF=CE,∠GEF=∠HEC, ·∠CEF=HEC+∠FEH=GEF+∠FEH=∠GEH=90°， .EF⊥CE; (2)解： =,EF上CE:理由如下： 如图，过点E作EQ⊥AB于点Q,作EH⊥BC于点H, D 四边形ABCD为矩形， 图② .∠ABC=∠BCD=90°， :四边形QBHE是矩形， .∠QEH=90°，QE=BH, :∠EQF=∠EHC=90。,LAFE=LBCE, ·△EQF△EHC, ∴.∠QEF=∠HEC, OE EF EH EC' 28 特殊四边形中的相似问题复习讲义 ·∠CEF=∠HEC+∠FEH=QEF+∠FEH=∠QEH=90o, EF⊥CE, EH∥CD, :△BHE∽△BCD, EH BH CD8C,即器-器=是= …器=器= …器=器= (3)解：当CD=DE=6时， BD=BC2+CD2=10, .BE=BD-DE=4, EM⊥BD, :∠BEM=∠FEC=90°， ·∠BEF=∠MEC, ZAFE ZBCE, ·△BEF△MEC, …器=熙=器= ∴EM=BE=3, ·BM=VBE2+ME2=5: 2.(2026·海南省直辖县级单位·一模)综合与探究 B E B E B D 图1 图2 图3 (I)如图1，在正方形ABCD中，点E,F分别在边BC,CD上，且AE⊥BF,①求证：△ABE≌△BCF; ②若AB=2,BE=1,连接EF,求LEFC的度数； ②【类比探究】如图2，在矩形ABCD中，AB=4,AD=6,点E,F分别在边BC,CD上，且AE⊥BF,求 BF的值： 29 特殊四边形中的相似问题复习讲义 (3)【类比探究】如图3，在RtAABC中，∠ABC=90°，AB=4,BC=7,D为BC上一点，且BD=2,连接AD,过点B 作BE⊥AD交于点F,交AC于点E,求BE的长. 【答案】(1)①见解析；②45° 号 3)28v5 15 【分析】(1)①利用正方形的性质可得AB=BC,∠ABC=∠BCF=9O°，再证明∠BAE=∠CBF,由“ASA”可证 △ABE≌△BCF;②根据正方形的性质易得BC=2,进而求出CE=1,由①中△ABE≌△BCF可得CF=BE=1, 易证∠EFC=∠FEC,再结合∠ECF=90°，利用三角形内角和定理即可求解； (2)通过证明△ABE∽△BCF,利用相似三角形的性质，即可求解； (3)过点A作AB的垂线，过点C作BC的垂线，两垂线交于点G,延长BE交CG于点H,勾股定理求得AD,根 据(2)知D=4 8H7,求得BH,证明&ABE”CHE,利用相似三角形的性质，即可求解。 【详解】(1)①证明：设AE与BF相交于点P,如图， ~四边形ABCD是正方形， ∠ABC=∠BCF=90°，AB=BC, AE⊥BF, ∴.∠APB=90°， ∠BAE+∠ABP=90°， ∠ABP+∠CBF=90°， ∠BAE=∠CBF, ∴△ABE≌△BCF(ASA); ②解：连接EF, 四边形ABCD是正方形，AB=2,BE=1, :.BC=AB=2, ∴CE=BC-BE=1, 由①知△ABE≌△BCF, .CF =BE=1, CE =CF=1, ∠EFC=∠FEC, ∠ECF=90°， 30 特殊四边形中的相似问题复习讲义 ∠EFC=∠FEc=l80P-∠BCr=45: D F 2 B E C (2)解： AE2 F3,理由如下： AE⊥BF, .∠BAE+∠ABF=90°. 在矩形ABCD中，∠ABC=90°，AB=4,BC=AD=6, .LCBF+∠ABF=90°， ∠BAE=∠CBF, ∠ABE=∠BCF=90°， AABE∽△BCF, AB AE BC BF AE 42 =一= BF63; (3)解：如图，过点A作AB的垂线，过点C作BC的垂线，两垂线交于点G,延长BE交CG于点H. G ---H ∴.∠BAG=∠BCG=909 B D ×LABC=90°， 四边形ABCG是矩形. AB=4,BD=2,BC=7, ∴CD=BC-BD=5, AD=√AB2+BD2=V42+22=25, 同理(2)得D-4B4 BH BC7 8期=24D=75 4 2 特殊四边形中的相似问题复习讲义 在RtaBCH中，CH=VBH-BC2= 2, AB∥CH, ∴△ABE∽△CHE, AB BE CH EH 4 BE 75-BE1 22 BE=285 15 32