期末考前满分冲刺之优质压轴题-2025-2026学年八年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（苏科版）

期末考前满分冲刺之优质压轴题 【优质压轴】 类型一、正确结论的是（选、填） 1．如图，在边长为的正方形中，对角线、相交于点．点在线段上，连接，作于点，交于点．给出下面四个结论： ①；②；③当时，；④点与点之间的距离的最小值为．上述结论中，正确结论的序号有（    ） A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③④ 【答案】A 【分析】对于①，根据题意容易得到，，则；对于②：容易证明，则；对于③，由等腰三角形的性质可得，结合直角三角形的性质可得；对于④，取的中点，连接、，由直角三角形的性质和勾股定理可计算出，，结合可得，最小． 【详解】解：对于①：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故①正确； 对于②：在和中， ， ∴， ∴，故②正确； 对于③：∵，， ∴， ∵， ∴，故③错误； 对于④：如图，取的中点，连接、， 在中，点为斜边的中点， ∴， 在中，， ∵， ∴当、、三点共线时，取得最小值，故④正确； 综上，正确的结论为：①②④． 2．已知两个分式：，．将这两个分式进行如下操作： 第一次操作：将这两个分式作和，结果记为；作差，结果记为；（即） 第二次操作：将，作和，结果记为；作差，结果记为；（即，） 第三次操作：将，作和，结果记为；作差，结果记为；（即，）… （依此类推）将每一次操作的结果再作和，作差，继续依次操作下去，通过实际操作，有以下结论：①；②当时，；③在第n（n为正整数）次和第次操作的结果中：为定值；④在第2n（n为正整数）次操作的结果中：．以上结论正确的是（    ） A．①② B．②④ C．①④ D．①③④ 【答案】C 【分析】本题考查的分式的和与差，解题的关键是细心运算，找到数字规律．利用第一次、第二次、第三次操作，找到规律，然后判断即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， 可知，故选项①正确； 当时，，故选项②不正确； 当时，不是定值，故选项③不正确； ， ， ， ， ， ， ， 故选项④正确， 故选：C． 3．如图，在正方形纸片中，对角线、交于点O，折叠正方形纸片．使落在上，A恰好与上的点F重合，展开后，折痕分别交，于点E、G，连接，有下列结论：①；②；③；④四边形是菱形；⑤．其中正确结论的序号是（   ） A．①②③ B．①④⑤ C．①③④ D．①②③④⑤ 【答案】B 【分析】①由四边形是正方形，可得，又由折叠的性质，可求得的度数；②由，可得；③由，可得的面积的面积；④由折叠的性质与平行线的性质，得是等腰三角形，即可证得，证得四边形是菱形；⑤由等腰直角三角形的性质，即可得． 【详解】解：∵四边形是正方形， ，，， 由折叠的性质可得：， ∴，故①正确． ∵由折叠的性质可得：，，， ∴， ， ， ， ∴，故②错误． ， 与同高， ，故③错误． ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴四边形是菱形，故④正确． ∴， ，，， ∴是等腰直角三角形， ， ∵， ∴是等腰直角三角形， ， ，故⑤正确． 故正确的是①④⑤． 4．如图，点M为正方形对角线上的一个动点，将线段绕B点逆时针旋转后得到线段，连接．下列结论正确的是________．（请将所有正确结论的序号填写在横线上） ①当N落在上时，； ②当 时，点M到点N距离最短； ③若正方形的边长为1，则长度范围为． 【答案】①③ 【分析】①由旋转性质和正方形性质得到 ，得到对应角相等，再根据内错角相等得到． ②由于是定角，故最短时也最短，由垂线段最短即可求出 ． ③M与A重合时B，D，N三点共线，此时最短；M与C重合时，是直角三角形，此时最长，由勾股定理即可求出长度． 【详解】①如图所示， 落在上，由旋转可知， ， ， 由正方形性质知， ， 再由正方形性质知 ，， ∴， ， ， ． 故①正确． ②如图，观察，过B作， 由是等腰三角形知 ， 故当最小时，距离最近， 由垂线段最短知时，最短，此时． 故②错误． ③如图所示，                 图一                                         图二 是正方形的对角线且正方形边长为１， ， 由三角形三边关系可知在中， ，故当 时，最小，此时B，D，N三点共线， 由图一知此时M与A点重合， ， ， 在此后随着M点向右平移，N与D的距离越来越大，故当M与C重合时，N与D的距离最大， 由图二所示， ， 在中，， ， 综上所述，，故③正确 【点睛】解本题的关键是画出每一小问对应的图形，综合运用三角形、四边形各种性质来判定一些线段关系，角度大小以及线段长度． 5．如图，在正方形中，是边上一点，的垂直平分线交于点，交的延长线于点，连结交于点，连结．给出下面四个结论：①；②平分；③；④若是中点，则也是中点．上述结论中，正确结论的序号有________ 【答案】①②③ 【分析】根据线段垂直平分线的性质即可判断①；根据平行线的性质以及等腰三角形即可判断②；过点A作于点E，根据角平分线的性质可得， 证明，可得，证明，可得，即可判断③；假设是的中点，此时，可得，不满足三角形的三边关系，故假设不成立，即可判断④． 【详解】解：①∵垂直平分， ∴，故①正确； ②∴， ∵四边形是正方形， ∴，，，， ∴， ∴，即平分，故②正确； ③过点A作于点E， ∵平分，， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ，故③正确； ④∵是的中点， ∴， 假设是的中点，此时， ∴， ∵， ∴，与在中，相矛盾，故假设不成立，即此时不是的中点，故④错误； 综上所述，正确的有①②③． 6．如图，在正方形中，为上一点（不与点B、C重合），连接，为延长线上一点，，连接，，过点作于点，连接．给出下面四个结论：①；②是等腰直角三角形；③；④．上述结论中，所有正确结论的序号是_______． 【答案】①②④ 【分析】根据正方形的性质证明，即可判断①②，根据等腰直角三角形的性质即可判断③④，进而可得答案. 【详解】解：四边形为正方形， ，， ， ， 在和中， ， ， ，， 结论①正确； ， ， ， 又， 是等腰直角三角形， 结论②正确； 在等腰中，， ， ， ， ， ∴结论③错误， ， 是的中点， ， ， 结论④正确； 综上，正确结论的序号是①②④． 类型二、取值范围与最值问题（选、填） 1．如图，在中，．将绕点B旋转得到，分别取的中点P、Q，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了旋转的性质、三角形中位线的性质、三角形三边关系及勾股定理，由点的位置确定最大值和最小值是解题的关键．先利用勾股定理求出的长，再根据三角形中位线的性质求出，，可得当、F、三点共线时，取到最大值和最小值，然后结合三角形三边关系得出答案． 【详解】解：取的中点F，连接， ∵旋转， ∴， 根据勾股定理得：， 、分别是、的中点， ，， 当、F、三点共线时，取到最大值和最小值， 的最小值为，的最大值为， 再根据三角形的三边关系，可得取值范围是. 故选：D． 2．如图，矩形纸片中，，，点P是边上的动点，现将纸片折叠，使点A与点P重合，折痕与矩形边的交点分别为E、F，要使折痕始终与边、有交点，则的取值范围（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查矩形的性质、折叠的性质及勾股定理，熟练掌握矩形的性质及勾股定理是解题的关键；当点F与点D重合时，的长最小，由矩形的性质得，，，由折叠得，则，所以，当点E与点B重合，的长最大，由，且，求得，然后可得到问题的答案． 【详解】解：如图1，点F与点D重合， ∵四边形是矩形，，， ∴，， 由折叠得， ∴， ∴， 如图2，点E与点B重合， ∵，且， ∴， ∴的取值范围是． 3．如图，在中，，是的中点，是上一个动点，过点分别作、，垂足分别为、，与交于点，连接，，，，下列结论错误的是（    ） A．的最小值为 B．的最小值为4 C．的最小值为 D．的最小值为6 【答案】D 【分析】由 ，，，得四边形 是矩形，对角线 与 交于中点 ；对选项A，由矩形性质得 ，从而 ，利用点到直线距离最短求 的最小值；对选项B，连接 ，由 ， 为 中点，得 为等腰直角三角形，，，；在 中 ，，得 ；同理 ；进而利用 ，， 证明 ，得 ；再利用点到直线距离最短求 的最小值；对选项C， 是 的中点，而 各边中点连成的中位线 平行于 且过 中点，故 在中位线 上；作 关于 的对称点 ，则 ，当 、、 共线时取等，利用 及勾股定理求 ；对选项D，由 得 ，从而 为定值，与 的位置无关． 【详解】解：，，， 四边形 是矩形， 与 互相平分，即 是 的中点，， ， 到直线 的距离最短时，， 此时 ， 的最小值为 ，选项A正确； 如图，连接，则， 在中，，， ，， ， ． 当时，有最小值， 在中，， 最小值为2，则的最小值为4，故选项B正确； 如图2，在中，， 是的中点， 点位于的中位线上． ， 作点关于直线的对称点，则， 当点，，共线时，有最小值，此时， 在中，，故选项C正确； ， ， ，故选项D错误． 4．如图，在中，，，，点是平面内到点的距离等于的任意一点，点是的中点，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查了三角形中位线定理，直角三角形的性质，勾股定理，取中点，连接，则，由勾股定理得，则，然后根据即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，取中点，连接， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 5．如图，在矩形中，，点E为上一点，且，点F为边上一动点，连接，过点A作于点G，连接，则的最小值为______，连接，将绕点E顺时针旋转，得到，在点F运动的过程中，的最小值为_______． 【答案】 / / 【分析】如图所示，取中点O，连接，则由直角三角形的性质可得，再由矩形的性质和勾股定理得到，再由，可得当三点共线，且点G在线段上时，有最小值，最小值为；如图所示，将线段绕点E顺时针旋转得到，连接，证明，得到；求出，，进而推出，则，同理可得当点H在上时，有最小值，最小值为． 【详解】解：如图所示，取中点O，连接， ∵， ∴， ∵点O为中点， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴当三点共线，且点G在线段上时，有最小值，最小值为； 如图所示，将线段绕点E顺时针旋转得到，连接， 由旋转的性质可得， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 同理可得当M、H、C三点共线，且点H在上时，有最小值，最小值为， 故答案为：；． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，全等三角形的性质与判定，旋转的性质，勾股定理，直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质等等，正确作出辅助线构造全等三角形和直角三角形是解题的关键． 6．如图，已知为直角三角形，其中，，，D为边上中点，E为直线上一点，线段绕点D逆时针旋转30°至，连接，则的最小值为______，当取得最小值时，的长为______． 【答案】 【分析】将线段绕点D逆时针旋转至，作射线，证明得，，从而点F在射线上运动，作于点，则当点F与点J重合时，的值最小． 作于点H，作于点K，则四边形是矩形，可得．在中求出，在中求出，进而可求出的最小值；作于N，先求出，进而可求出即此时的长为为． 【详解】解：∵，， ∴． ∵，D为边上中点， ∴． ∵线段绕点D逆时针旋转30°至， ∴． 将线段绕点D逆时针旋转至，作射线， 则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，点F在射线上运动， 作于点，则此时的值最小． 作于点H，作于点K，则四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，． ∵， ∴， ∴，即的最小值是． 作于N， ∴， ∴ ∴， ∴，即此时的长为为． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，矩形的判定与性质，以及垂线段最短等知识，正确作出辅助线是解答本题的关键． 类型三、折叠问题(选、填、解) 1．已知四边形，其中，，将沿折叠，落于，交于，且为平行四边形（如图）；再将纸片展开，将沿折叠，使点落在上一点（如图）．在两次折叠过程中，两条折痕、的夹角的度数为（　　） A． B． C． D．不确定 【答案】B 【分析】如图，过作于点，过作于点，可证，得到，即得，设，，可得，由四边形是矩形得，即得，得到，即可求解． 【详解】解：如图，过作于点，则， 在图中，∵，为平行四边形， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 由折叠可得，， ∴， 设，，则， 由折叠可得：， ∵，， ∴ ， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴． 2．矩形柔性材料可任意折叠，如图，将矩形纸片沿直线折叠，使点C落在边的中点处，点B落在点处，其中，，则的长为（   ） A． B．4 C． D．5 【答案】C 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵折叠，点C落在边的中点处， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 整理得，， 解得，， ∴ ． 3．同学们以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展数学活动．在平行四边形纸片中，已知，，的面积为120．点E为边上任意一点，将沿折叠，点B的对应点为．改变E点的位置，将沿折叠，连接，当为直角三角形时，则的长是______． 【答案】或或 【分析】分和两种情况，分别作出相应图形，进行讨论求解即可． 【详解】解：①当时，延长交于点， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵折叠， ∴， 在中，， ∴； 如图，当重合时，记，的交点为， ∵当时，， ∴，而， ∴， ∴当重合时，， 由折叠可得：； ②当时，如图，设与交于点，作， ∴， ∴， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上：的长是或或． 4．如图，把一张矩形纸片按如下方法进行两次折叠：第一次将边折叠到边上得到，折痕为，连接，第二次将沿着折叠，边佮好落在边上．若，则的长为______． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，根据折叠的性质得出，易得四边形是矩形，则，，根据勾股定理可得：，根据，即可求解． 【详解】解：∵将边折叠到边上得到，折痕为， ∴， ∵四边形是矩形，， ∴四边形是矩形，， ∴， 根据勾股定理可得：， ∵将沿着折叠，边佮好落在边上， ∴，， ∵， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 5．折纸是我们在研究轴对称问题时最常见的活动．在经历图形变换的过程中，进一步发展了同学们的空间观念，积累了数学活动经验。 (1)折叠计算：如图1，若，，将矩形纸片沿某条直线折叠，使点与点重合，折痕交于点、交于点，作出折痕，并求出折痕的长； (2)实践发现：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平；再一次折叠纸片，使点落在上的点处，并使折痕经过点，得到折痕，把纸片展平，连接，如图2． ①折痕________（填“是”或“不是”）线段的垂直平分线，的形状为：________； ②继续折叠纸片，使点落在边上的点处，并使折痕经过点，得到折痕，把纸片展平，如图3，则________°； (3)如图4，折叠矩形纸片，使点落在边上的点处，并且折痕交边于点，交边于点，把纸片展平，连接交于点，连接，，判断四边形的形状并说明理由； (4)解决问题：如图5，矩形纸片中，，，折叠纸片，使点落在边上的点处，并且折痕交边于点，交边于点，把纸片展平，则线段长度的取值范围是________． 【答案】(1) (2)①是，等边三角形；②15 (3)四边形是菱形，见解析 (4) 【分析】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，菱形的判定，全等三角形的判定和性质，折叠的性质，等边三角形的判定和性质等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键． （1）由折叠得性质可知垂直平分，设，则，再根据勾股定理求解即可； （2）①由折叠的性质和等腰三角形三线合一可知垂直平分，由折叠的性质可知垂直平分线段，得到，进而得到，即可得到的特点，； ②由折叠的性质可知，即可解题； （3）由折叠的性质可知，，证明，得到，由菱形的判定可证四边形是菱形； （4）根据题意分以下两种情况当时，最长，当时，最短分别讨论，设，则，结合勾股定理即可得出线段长度的取值范围． 【详解】（1）如图：作的垂直平分线即可，连接， 根据题意，，，， ，， 设，则， ，即， 解得， ，， 所以折痕的长为； （2）①由折叠的性质可知，，， 垂直平分， 即折痕是线段的垂直平分线； 由折叠的性质可知，，， 即垂直平分线段， ， ， 即图中是等边三角形； ②∵折叠纸片，使点落在边上的点处， ， ， 故答案为：①是，等边三角形；②15； （3）证明：四边形是菱形，理由如下： 折叠矩形纸片，使点落在边上的点处， 垂直平分， ，， ， ，， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形； （4）由题可得：当时，最长，最长值为，如下图： 当时，最短，如下图： 设，则， 在中， ，， ， ， 在中，由勾股定理得：， 解得：， ． 故答案为：． 6．在数学综合与实践活动中，小明发现折叠矩形纸片可以得到一些特殊角，我们将折痕与矩形原有边形成的夹角称为“折叠角”． 【尝试与感悟】 （1）如图，点在边上，将矩形沿折叠，点落在边上的点处，此时折痕与边形成的夹角就是“折叠角”，且 ______ ； （2）如图，先将矩形对折，使得与重合，折痕为，点在边上，再将纸片沿着折叠，点落在上的点处求“折叠角”的度数； 【探索与发现】 （3）在图中与垂直的射线、上分别取点、，使得四边形是矩形，将其沿着经过点的直线折叠后，点落在边上并且得到的“折叠角”请你用无刻度的直尺与圆规分别确定点、不写作法，保留作图痕迹 【答案】（1）；（2）；（3）作图见解析 【分析】（1）由折叠的性质可求，即可求解； （2）由折叠的性质可得，，，可证是等边三角形，可得，即可求解； （3）以点A、B为圆心，为半径画弧，两弧交于点M、H，连接，，，作的垂直平分线，交于点K，交于点J，分别以点K、J为圆心，为半径画弧，交于点D，交于点C，连接，则四边形即为所求作的矩形． 【详解】解：（1）∵将矩形沿折叠， ， ， ， 故答案为：； （2）如图，取的中点，连接， 由折叠可得：，，， ， 点是的中点， ， ， 是等边三角形， ， 将纸片沿着折叠， ， ； （3）如图，以点A、B为圆心，为半径画弧，两弧交于点M、H，连接，，，作的垂直平分线，交于点K，交于点J，分别以点K、J为圆心，为半径画弧，交于点D，交于点C，连接，则四边形即为所求作的矩形． 根据作图可知：垂直平分，，，点H在上， ∵， ∴四边形为矩形， ∵， 四边形是矩形， ∵， 是等边三角形， ， 过点作，交于点E， ， ∵是等边三角形，， ∴为的对称轴， ∴点A的对称点为点H，且折叠角为． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，折叠的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，添加恰当辅助线是解题的关键． 类型四、因式分解的应用（解） 1．阅读材料，要将多项式分解因式，可以先把它的前两项分成一组，提出公因式，再把它的后两项分成一组，提出公因式，从而得到：，这时中又有公因式，于是可以提出，从而得到，因此有，这种方法称为分组分解法．请回答下列问题： (1)尝试填空：_________； (2)解决问题：因式分解； (3)拓展应用：已知三角形的三边长分别是，且满足试判断这个三角形的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)等边三角形，证明见解析 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：， ， ， ，， ，， ， 这个三角形是等边三角形． 2．【新定义】一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”． 例如：，，，，… 因此8，16，24，32都是“神秘数”． (1)【数学理解】根据“神秘数”规律填空： （__________）；（__________）（__________）； (2)【深入探究】设两个连续的奇数中，较小的奇数为（其中n取正整数），试说明“神秘数”一定是8的倍数； (3)【知识技能】我国的国土面积为960万平方公里，960是神秘数吗？如果是，请把这个神秘数分成两个连续的正奇数的平方差；如果不是，请说明理由； (4)【知识拓展】如图所示，拼叠的正方形边长是从1开始的连续奇数，最小的正方形边长为1，第2个正方形边长为3，第3个正方形边长为5…，按此规律拼接到正方形，正方形的边长为99，求阴影部分面积的和． 【答案】(1)40，13，11 (2)见解析 (3)960是神秘数， (4)阴影部分面积的和为5000 【分析】（1）计算：用平方差公式；求48对应的两个连续奇数：设为和，则，得，对应； （2） 设两个连续奇数为和，则，是8的倍数，故神秘数一定是8的倍数； （3） 判断是否是8的倍数即可； （4）阴影面积和为，用平方差公式展开得，计算求解即可． 【详解】（1）解：． 设， 则，解得， 则，， 即． （2）解：设两个连续奇数为和，则 ， 是8的倍数， ∴“神秘数”一定是8的倍数． （3）解：设，解得， 则， ∴，960是神秘数． （4）解：阴影面积和 ． 答：阴影面积为5000． 3．阅读与思考：配方法是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．配方法在因式分解、求代数式的值、解方程等方面有广泛应用． 例如：用配方法分解因式． 解： 请仿照上述方法解答下列问题： (1)用配方法分解因式：； (2)已知，求的值； (3)试比较多项式与的大小关系． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（）仿照例题配方法，先凑完全平方，再用平方差公式分解； （）对等式分组配方，利用平方的非负性求即可解答； （）用做差法比较大小，对差配方判断符号即可解答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ∵任意实数的平方非负，两个非负数的和为， ∴，， ∴，， ∴； （3）解： ， ∵对任意实数，， ∴， 即， 结论：． 4．【阅读思考】 材料1：整式乘法与因式分解是相反的变形，如是整式乘法，反过来为，恰好是因式分解．基于上述原理，将式子分解因式如下： 一次项，①分解二次项和常数项；②交叉相乘再相加验证一次项；③横向写出两因式：． 材料2：分解因式： 解：将“”看成一个整体，令，则原式，再将“K”还原，得：原式． 请仔细阅读材料，回答下列问题： 【迁移运用】 (1)利用上述的十字相乘法，将下列多项式分解因式： __________________________ (2)结合材料1和材料2，完成下面小题： ①分解因式：； ②分解因式：． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）直接用十字相乘法分解二次三项式； （2）①将视为整体，用换元法转化为二次三项式，再用十字相乘法分解；②先对多项式整体换元，用十字相乘法分解后，再对分解结果中的二次三项式继续用十字相乘法或公式法分解． 【详解】（1）解： 中，常数项，一次项系数， ． （2）①解：令， 则原式 将还原，得 原式． ②解：令， 则原式 将还原，得： 原式 又 ，， 原式． 5．【知识回顾】一般地，两数和的完全平方公式为：，如果我们将写成，就可以由两数和的完全平方公式推导出两数差的完全平方公式．过程如下：． (1)【类比推理】已知两数的立方和公式为，请类比两数差的完全平方公式的推理过程，推导两数的立方差公式：________． (2)【应用公式】因式分解：． (3)【拓展提升】如图，将八个完全相同的直角三角形拼成一个大正方形，设，，．若，则 ①________． ②若该直角三角形的两条边长分别为和，且，请先将代数式进行因式分解，然后求出代数式的值． 【答案】(1) (2) (3)①13；②95 【分析】（1）依照例题将变成，再利用公式求解即可； （2）先分组，再利用提取公因式结合公式求解即可； （3）①由图形结合题意分别表示出与以及与的关系式，再根据，即可得出结果； ②由，，，得到，求出，得到，据此求出a、b的值即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴ ； （2）解： ； （3）解：①图2是由图1这样八个形状、大小完全相同的直角三角形拼接而成， 由图形2可知，，， ∵， ， ； ② ， ∵，，， ∴，，即， ∴， 解得，， ∴原式． 6．【阅读理解，自主探究】把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法，配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用． 例1：因式分解：． 解：原式． 例2：若，利用配方法求的最小值． 解：． ，， 当时，有最小值1． 请根据上述阅读材料，解决下列问题： (1)用配方法因式分解：________； (2)已知，求的值． (3)已知，，试比较，的大小． (4)若为有理数且满足，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) (4)3 【分析】本题考查了因式分解的应用，完全平方公式的应用． （1）找到常数项为一次项系数一半的平方，然后整理成完全平方公式，再运用公式法进行分解因式，即可作答； （2）根据完全平方公式因式分解，再根据非负数的性质，求得的值，代入代数式，即可求解； （3）根据因式分解求得，根据例2的方法，即可求解； （4）根据因式分解可得，同例2的方法，即可求解． 【详解】（1）解：依题意，， 故答案为：． （2）， ， ， 又，，， ，，， ，， ． （3），， ，， ． （4）解：， ， ， 当时，有最小值，最小值为3，此时满足， 故答案为：3． 类型五、二次根式与分式（方程）的新定义（解） 1．我们定义：有一组邻边相等且有一组对角互补的凸四边形叫做等补四边形． (1)如图1，是等边三角形，在上任取一点（除外），连接，我们把绕点A逆时针旋转，则与重合，点D的对应点E．请根据给出的定义判断，四边形______（选择是或不是）等补四边形． (2)如图2，等补四边形中，，，若，求的长． (3)如图3，在某运动公园的同一水平面上，四条通道围成四边形．已知米，，，，道路上分别有景点E、F，且，，现要在E、F之间修一条笔直的道路，求出这条道路的长． 【答案】(1)是 (2)； (3)道路的长为． 【分析】（1）根据旋转的性质得：，，再证明四边形有一对角互补，根据等补四边形的定义可得结论； （2）如图2，将绕点顺时针旋转得，先证明三点共线，根据旋转的性质可知：，根据三角形的面积公式可得的长； （3）利用等边三角形的判定与性质得到是等边三角形，则．把绕点逆时针旋转至，只要再证明，根据即可求解． 【详解】（1）解：由旋转得：，， ∵， ∴， ∴四边形是等补四边形， 故答案为：是； （2）解：如图2，∵，， ∴将绕点顺时针旋转得， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴三点共线， ∵， ∴， ∴， ∴（负值舍去）； （3）解：如图3，把绕点逆时针旋转至，连接，过作，垂足， ∵，， ∴． 又∵， ∴是等边三角形， ∴， 根据旋转的性质得到：， 又∵， ∴，即点在的延长线上． ∵， ∴是等边三角形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ∵和是边长相等的等边三角形， ∴， 又， ∴， ∴, 即这条道路的长为． 【点睛】本题考查的是四边形综合题，考查了旋转变换的性质，等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质和勾股定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握旋转变换的性质、全等三角形的判定和性质定理并作出合理的辅助线是解题的关键． 2．我们知道可以写成的形式，所以我们把叫做完全平方式．类似地，我们作出如下定义：对于正整数，因为，所以我们把叫做“完全平方根式”． (1)下列各式中是“完全平方根式”的有_____； ①②③ (2)利用“完全平方根式”化简：； (3)已知（，且为正整数），是“完全平方根式”，当的值最小时：①求出这个最小值；②若（为正整数），是整数，且，求的值． 【答案】(1)①③ (2) (3)①；②或 【分析】（1）根据新定义进行判断即可； （2）根据新定义结合二次根式的性质进行化简即可； （3）①根据新定义推出，进而推出或或，进而得到当的值最小时，有最小值，即可得出结果；②将转化为，根据是整数，得到，得到，再进行求解即可． 【详解】（1）解：； ； ； 故满足要求的是①③； （2）解：原式 ； （3）解：① 是“完全平方根式”， ， 又，且为正整数 或或， 当的值最小时，有最小值， ， ， ②， 为正整数，是整数， ，即， ， ， ， ， 当时，，原式； 当时，，原式． 3．定义：若二次根式可以写成的形式（其中、、、为非负常数），则称为完整根式，是的完整平方根，例如： ∵，∴是完整根式，是的完整平方根． (1)若完整根式的完整平方根为，、、、为非负有理数，请用含、的代数式表示和，即__________；__________． (2)若，且、为正整数，则__________； (3)化简求值：，其中__________是的完整平方根． 【答案】(1)， (2) (3)， 【分析】（1）由完整平方根的定义，可得，即可求解； （2）由完全平方公式，结合已知可得，可得，，即可求解； （3）设，，则，可得，，可得，对进行化简，将的值代入计算即可． 【详解】（1）解：∵的完整平方根是， ∴， ∵，，，都是有理数， ∴，． （2）解：∵， ∴， ∵、为正整数， ∴，， 解得，． （3）解：设，，则， ∴，， ∴，， ∴， ∵是的完整平方根， ∴， ∴ ． 4．我们给出定义：若一个分式约分后是一个整式，则称这个分式为“巧分式”，约分后的整式称为这个分式的“巧整式”．例如，则称分式是“巧分式”，为它的“巧整式”．根据上述定义，解决下列问题． (1)下列分式中是“巧分式”的有______（填序号）； ①；②；③． (2)若分式（m，n为常数）是一个“巧分式”，它的“巧整式”为，求m，n的值． 【答案】(1)①③ (2)， 【分析】（1）逐一判断是否符合“巧分式”的定义即可； （2）根据定义可知，计算的值，进而作答即可． 【详解】（1）解：①；②无法进一步约分；③， ∴是“巧分式”的有①③； （2）解：由题意，得， ∵ ， ∴， ∴，， ∴，． 5．定义：如果一个分式能够化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和美分式”， 如： (1)下列分式中，属于“和美分式”的是 （填序号）； ①②③④ (2)请将“和美分式”化为一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式； (3)若为整数，且“和美分式”的值也为整数，求符合条件的整数x的所有取值． 【答案】(1)①②③ (2) (3)，，， 【分析】本题考查了分式的加减，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）根据和美分式的定义，进行计算即可解答； （2）根据和美分式的定义，进行计算即可解答； （3）先把化为，根据为整数，也为整数，可得，或，即可求出答案． 【详解】（1）解：①， ②， ③， ④不能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式， 上列分式中，属于“和美分式”的是①②③， 故答案为：①②③； （2） ； （3） 为整数，也为整数， ，或， 或或或． 6．定义：如果两个分式，则称A是B的“美好分式”，如分式，，，，则A是B的“美好分式”． (1)已知分式，，请判断C是否为D的“美好分式”，并说明理由： (2)已知分式（w为常数），，且E是F的“美好分式”，若关于x的方程对于任意的x值恒成立，求参数的值； (3)已知分式（为正整数），分式（为正整数），P是的“美好分式”，若，，，求出此时满足条件的值． 【答案】(1)是，理由见解析 (2)，， (3) 【分析】题目主要考查分式的加减运算，新定义的理解，含参数的方程，理解新定义是解题关键． （1）根据定义求解判断即可； （2）根据题意得出，确定，再由题意得出，即可求解； （3）根据题意得出，确定，得出，，代入化简确定，得出，，再结合题意求解即可． 【详解】（1）解：是，理由如下： 根据题意得：， ∴C是D的“美好分式”； （2）∵分式（w为常数），，且E是F的“美好分式”， ∴， ∴， ∵关于x的方程对于任意的x值恒成立， ∴， ∴， ∴， 解得，； 综上，，，； （3）∵分式（为正整数），分式（为正整数），P是的“美好分式”， ∴， ∴， ∵，，， ∴，，，， ∴，， ∴，， 代入得： ， 整理得， 解得， ∴，， ∴， ∴， ∴，即， 整理得， ∵为正整数， ∴为3的正约数， ∴或， 解得（不符合题意，舍去）或， ∴综上，． 类型六、正方形的k型、十字模型、半角模型（解） 1．【模型建立】如图1，四边形是正方形，点M，N分别在边上，且，我们称之为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．如图1，将绕点A顺时针旋转，点D与点B重合，得到，连接． （1）试判断之间的数量关系，并写出证明过程； 【模型应用】 （2）如图2，点M，N分别在正方形的边的延长线上，，连接，请写出之间的数量关系，并写出证明过程； 【模型迁移】 （3）如图3，在四边形中，，，，点N，M分别在边上，，请直接写出线段之间的数量关系． 【答案】（1），证明见解析；（2），证明见解析；（3）． 【分析】（1）根据旋转得到，，，，可得，进一步证明可得到答案； （2）在上取，连接．首先由，得，，再证明，得，即可得到答案； （3）利用旋转的性质即可得到，，，可得，得，即可得到答案． 【详解】（1）解：．证明如下： 由旋转的性质，得，，，， ∴， ∴点E，B，C共线． ∵， ∴． 在和中 ∴， ∴， ∵， ∴． （2）解：，证明如下： 如图1，在上取，连接． ∵，， ∴， ∴，． ∴， ∵， ∴． 在和中 ∴， ∴， ∵， ∴． （3）解：如图2，将绕点A逆时针旋转得， ∴，，， ∵， ∴， ∴点E，D，C共线． ，， ， ，， ， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了“半角模型”．正方形的性质，熟练掌握旋转的性质，补角性质，全等三角形的判定和性质，是解题的关键． 2．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】 （1）如图1，，，过点作于点，过点作于点．由，得．又，可以推理得到△．进而得到 ，．我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型． 【模型应用】 （2）如图2，，，，连接，，且于点，与直线交于点．求证：点是的中点． 【深入探究】 （3）如图3，已知四边形和为正方形，的面积为， 的面积为，则有 （填“、、” ； （4）如图4，分别以的三条边为边，向外作正方形，连接、、．当，，时，图中的三个阴影三角形的面积和为 ． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）；（4）6 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质和正方形的性质，解题的关键在于能够熟练掌握全等三角形的性质与判定，即“字”模型或“一线三等角”模型． （1）根据全等三角形的性质即可得到答案； （2）分别过点和点作于点，于点，利用模型即可得到，有，同理可知，进一步利用模型证明，得，即可证明点是的中点； （3）过点作交于，过点作交延长线于，过点作交延长线于，结合正方形的性质和模型即可证明，则和，同理可以证明，则有和，即，要基本证明，得，结合和，得到即可得到答案； （4）过点作于点，即可求得，由（3）可知，，，即可知三个阴影三角形的面积和为． 【详解】（1）解：， ，， 故答案为：； （2）证明：分别过点和点作于点，于点，如图 ， ， ， ， ， ， 在△和△中， ， ， ， 同理可知， ， ，， ， ， ， ， 即点是的中点； （3）解：，理由如下： 如图所示，过点作交于，过点作交延长线于，过点作交延长线于， 四边形与四边形都是正方形， ，，， ，， ，，， 又， ， ， ，， 同理可以证明， ，， ， ，，， ， ． ，， ， ， 即， 故答案为：． （4）解：过点作于点， ，， ， ， ， 由（3）可知，，， 图中的三个阴影三角形的面积和为， 故答案为：6； 3．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：． 【模型呈现】 某兴趣小组在从汉代数学家赵爽的弦图（如图1，由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图2），即“一线三等角”模型和“K字”模型． （1）请在上图2中选择其中一个模型进行证明． 【模型应用】 （2）如图3，正方形中，，，求的面积． （3）如图4，四边形中，，，，，，求的面积．    【答案】（1）详见解析 （2） （3） 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，解答关键是在题目应用全等模型进行证明． （1）应用证明三角形全等即可； （2）过C作延长线的垂线，垂足为F，证明，得到，求的面积即可； （3）分别过C和E作延长线的垂线、，垂足分别为G、H，证明，得到边上的高为1，求的面积即可； 【详解】证：（1）例如选第一个图形可证（同理可证第二个）    ∵， ∴ 又∵，， ∴ （2）过C作延长线的垂线，垂足为F，    则由（1）易得 ， ∴， 即边上的高为4， ∴． （3）分别过C和E作延长线的垂线、，垂足分别为为G、H，    则由（1）易得， 又∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴，即边上的高为1， ∴． 4．如图1，四边形是正方形，E，F分别在边和上，且，我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．小明为了解决线段，，，之间的关系，将绕点A顺时针旋转后解决了这个问题． (1)请直接写出线段，，之间的关系． (2)如图3，等腰直角三角形，，，点E，F在边上，且，请写出，，之间的关系，并说明理由． (3)如图4，点E在正方形的对角线上，，是直角三角形，斜边交于G点，且，，，求的值． 【答案】(1) (2)，理由见详解 (3) 【分析】（1）由旋转的性质可得，，然后可得，进而问题可求证； （2）把绕点顺时针旋转得到，连接，由旋转的性质可知，然后可证，进而问题可求解； （3）把绕点顺时针旋转得到，连接，同理（2）可得：，设，则有，进而可建立方程进行求解． 【详解】（1）解：；理由如下： 由旋转可得，， ∵四边形为正方形， ， ， 三点共线， ， ， ， ∴， ， ， ∴； （2）解：；理由如下： 把绕点顺时针旋转得到，连接，如图3， ， ， ， ，即， ， 又， ， ∵， ， ， ∴； （3）解：∵四边形是正方形，， ∴， ∵，且， ∴， 把绕点顺时针旋转得到，连接，如图所示： 同理（2）可得：， 设，则有， ∴， 解得：， 即． 【点睛】本题主要考查旋转的性质、正方形的性质、全等三角形的性质与判定及勾股定理，熟练掌握旋转的性质、正方形的性质、全等三角形的性质与判定及勾股定理是解题的关键． 5．综合与实践 【模型探索】如图1，在正方形中，点，分别在边，上，若，则与的数量关系为 　　； 【模型应用】如图2，将边长为2的正方形折叠，使点落在边的中点处，点落在点处，折痕交于点，交于点，求折痕的长度； 【迁移应用】如图3，正方形的边长为12，点是上一点，将沿折叠，使点落在点处，连接；并延长交于点．若，求的长度． 【答案】模型探索：，理由见解析；模型应用：；迁移应用： 【分析】本题是相似形的综合题，考查了全等三角形的判定和性质，矩形的性质，正方形的性质，勾股定理，正确地作出辅助线是解题的关键． [模型探索]根据“”可证，根据全等三角形的性质得出； [模型应用]如图2，连接，过作交于，根据轴对称的性质得到，根据勾股定理得到；由[模型探索]知，根据平行四边形的性质即可得到结论； [迁移应用]根据勾股定理得到，根据轴对称的性质得到于，，由[模型探索]知，，，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：[模型探索]；理由如下： 四边形是正方形， ，， ， ∴， ∵， ∴， ， ， 故答案为：； [模型应用]如图2，过作交于， 将边长为2的正方形折叠，使点落在边的中点处， 点与点关于对称， ， ， 点是边的中点， ， ， 由[模型探索]知， ，， 四边形是平行四边形， ； [迁移应用]四边形是正方形， ， ，， ， 将沿折叠，使点落在点处， 点与点关于对称， 于，， 由[模型探索]知，，， ， ， ， ． 6．已知正方形，点E，F分别为边上两点． 【建立模型】 （1）如图1，连接，如果，求证：； 【模型应用】 （2）如图2，点E为边上一点，连接，作的垂直平分线交于点G，交于点F，若，，求的长度； 【模型迁移】 （3）如图3，将沿折叠，使点B落在上的点G处，与交于点M，若，，请直接写出的长度． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【分析】（1）证明即可； （2）连接，过点作于点H，由垂直平分，则，，可得四边形为矩形，证明，则，同理可证明四边形为矩形，设，则，，则，那么，在中，由勾股定理建立方程，求解，即可得出答案； （3）由折叠可得：，同（1），，，则，，由勾股定理得，由面积法得到，再由即可求解． 【详解】（1）证明：如图， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：连接，过点作于点H， ∵垂直平分， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可证明四边形为矩形， ∴， ∵四边形是正方形， ∴设， 则， ∴， ∴， 在中， 由勾股定理得： ∴ 解得：， ∴； （3）如图： 由折叠可得：，， 同（1），， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，折叠的性质，熟练掌握正方形的性质和折叠的不变性是解题的关键． 类型七、分式的欧拉公式与根式的秦九韶一海伦公式（解） 1．欧拉是历史上享誉全球的最伟大的数学家之一，他不仅在高等数学各个领域做出杰出贡献，也在初等数学中留下了不凡的足迹．设为两两不同的实数，称为欧拉分式．化简对应的表达式． 【答案】0 【分析】根据的定义，将代入，然后对分式进行通分、化简，逐步计算得出结果． 【详解】解：当时， ． 【点睛】本题考查了分式的化简，掌握对分式进行变形、通分后化简是解题的关键． 2．阅读理解   欧拉是 18 世纪瑞士著名的数学家， 他的贡献遍及高等数学的各个领域，同时， 在初等数学中也到处留下了他的足迹． 下面是关于分式的欧拉公式： 这个公式我们可以分情况进行研究， 例如， 当 时的欧拉公式为： 证明如下： (1)请将材料中 时欧拉公式的证明过程补充完整． (2)请从下面 两题中任选一题进行解答， 我选择___________题． A．写出当 时的欧拉公式， 并任选一组 的值， 对该公式当 时的情形进行验证． B．写出当 时的欧拉公式， 并证明； (3)利用欧拉公式直接写出 的结果． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据公式进行计算，先通分，再化简运算即可； （2）A.选，代入公式进行计算即可求解； B. 当时，根据公式进行计算，先通分，再化简运算即可； （3）令根据公式直接计算即可求解． 【详解】（1）当时，证明过程如下： 左边 ． （2）A． 若． 则左边 右边． B．证明：当时，左边 ； （3）令，由公式可得， ． 【点睛】本题考查分式的混合运算，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算法则，平方差公式． 3．阅读下面材料，并解答相应的问题 欧拉分式：欧拉是18世纪瑞士著名的数学家、物理学家、天文学家．以欧拉命名的常数、公式、定理随处可见．在分式中，就有这样一个欧拉分式： ． (1)请你对欧拉分式中，当时的情况进行证明； (2)请你利用欧拉分式解决下列问题： ①计算：； ②算的值． 【答案】(1)见解析 (2)①；② 【分析】本题考查分式的混合运算、恒等变形及因式分解，熟练掌握分式运算法则、因式分解方法，同时结合欧拉分式的结构特征与公式应用是解题关键． （1）通分三个分式，然后将分子展开、整理，因式分解后得到与分母相同的因式，最后通过约分得到结果； （2）①将式子变形为欧拉分式的形式，然后令，，计算即可； ②用平方差公式将分子变为形式，然后拆分式子为“”形式，前者由欧拉分式得，后者由欧拉分式得，最后作差计算即可． 【详解】（1）解：当， 原式 ； （2）解：①解： 令，，，由欧拉分式时的结论， 可知； ②解： 原式 ． 4．我国古代数学著作《九章算术》记载了利用三角形三边求面积的“三斜求积术”（即秦九韶公式）．在中，三边分别为，，．完成以下探究： (1)[情境应用：代数计算] 若的三边长分别为，，．利用秦九韶公式形式，计算该三角形的面积为________； (2)[基础铺垫：勾股定理应用] 过点B作于点D，设，则；请利用勾股定理分别写出的两种表示（用含a，x和b，c，x的式子表示）： ①________；②________； (3)[核心推理：推导秦九韶公式] 基于（2）中推导出的的表达式，我们可以进一步推导秦九韶公式 ①用含a，b，c的式子表示________（根据秦九韶公式所需的形式填写） ②设的面积为S，由面积公式，证明：秦九韶公式． 【答案】(1) (2)①，② (3)①；②见解析 【详解】（1）解：已知，，代入秦九韶公式得 ； （2）解：①在中，由勾股定理：， ②在中，由勾股定理：， ； （3）解：①由，展开得：化简得， 解得， 把代入； ， 解得； ② 5．公式导入：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么三角形的面积可以表示为：   ① 这是古希腊的几何学家海伦最早提出的，这一公式称为海伦公式． 我国南宋时期数学家秦九韶也曾提出利用三角形的三边求面积的秦九韶公式： ② 海伦公式与秦九韶公式实质上是相通的，下面我们对公式②进行变形：      这说明海伦公式与秦九韶公式实质上是同一个公式，所以我们也称①为海伦—秦九韶公式． 公式应用：如果已知的三边长分别为，请你从公式①和②中选择一个求出的面积S． 【答案】6 【分析】将代入求出，再代入公式求解即可． 【详解】解：选用①：∵， ∴ ∴ ； 选用②： ． 6．我国南宋著名的数学家秦九韶提出了“三斜求积术”（利用三角形三边长求三角形面积的方法），简称秦九韶公式．在海伦的著作《测地术》中也记录了利用三角形三边长求三角形面积的方法，故我国称这个公式为海伦——秦九韶公式．设一个三角形的三边长分别为a，b，c，，则有下列面积公式：（海伦公式）；（秦九韶公式）． (1)若一个三角形三边长依次为5，6，7，求这个三角形的面积．小明利用海伦公式很快就可以求出这个三角形的面积，以下是他的部分求解过程，请你把它补充完整． 解：一个三角形三边长依次为5，6，7，即， _________． 根据海伦公式可得_________． (2)请你用秦九韶公式解决问题：若一个三角形的三边长分别是，求这个三角形的面积． (3)如图，在中，的对边分别为a，b，c，，过点A作，垂足为D，求线段AD的长． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）根据题中的实数的运算法则求解； （2）代入公式求解； （3）先根据题中的公式求出面积，再根据列方程求解． 【详解】（1）解：一个三角形三边长依次为5，6，7，即， ． 根据海伦公式可得； （2）解：根据题意可得，，， ； （3）解：， ， ， ． 类型八、分式的裂项与根式有理化（解） 1．探索发现：；；…根据你发现的规律，回答下列问题： (1)______，______； (2)利用你发现的规律计算：______； (3)灵活利用规律解方程：． 【答案】(1)， (2) (3)方程的解为 【分析】本题考查找规律：数字的变化类、裂项相消法计算、解分式方程，熟练掌握有理数的混合运算法则，弄清题中的规律是解本题的关键． （1）观察已知等式，写出所求即可； （2）归纳总结得到一般性规律，写出即可； （3）根据得出的规律化简方程，求出解即可． 【详解】（1）解：根据上述规律， 可得，， 故答案为：，． （2）解： ， 故答案为：． （3）解：化简： 故可得 解上述分式方程，化简得， 解得，经检验：当时，原方程各分母均不为0，故是原方程的解， 故方程的解为． 2．探究规律及应用 (1)【观察】；； 【猜想】若为正整数，请你猜想第个等式（用含的式子表示），并证明． (2)【拓展】 ①利用你发现的规律计算：； ②利用上述规律解答：若的值为，求n的值． 【答案】(1)，证明见解析 (2)①；②88 【分析】（1）由题意给的规律即可通过分式的减法进行证明； （2）①根据裂项，每项拆分为两个分数之差，将所有项相加，中间项相互抵消即可求解； ②根据题目的意思，裂项合并后，得到分式方程即可求解． 【详解】（1）解：第n个等式为：； 证明如下： ； （2）解：① ； ②∵ ， ∴， 解得， 经检验是分式方程的解， 的值为88． 3．观察下列各式：，，，，，… (1)请猜想出表示上面各式的特点的一般规律，用含n（n表示正整数）的等式表示出来___． (2)请利用上述规律计算：．（n为正整数） (3)请利用上述规律，解方程：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据给出的式子，写出用n表示的一般规律即可； （2）利用找出的一般规律进行计算即可； （3）根据找出的规律将方程变形为，然后解分式方程即可． 【详解】（1）解：∵， ， ， ， ， …， ∴． 故答案为：． （2）解： ． （3）解：分式方程整理得：， 即， 方程两边同时乘，得， 解得：， 检验：把代入得：， ∴是原分式方程的解， ∴原方程的解为：． 【点睛】此题主要考查了阅读理解型的规律探索题，解分式方程，利用分数和分式的性质，把分式进行变形是解题关键． 4．阅读下述材料： 【材料1】二次根式中不仅分母可有理化，且另有一个方法叫做“分子有理化”，与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，消掉分子中的根式，如：，分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较和的大小可以先将它们分子有理化如下：，， 因为：，所以． 【材料2】求的最大值．具体方法如下： 解：由，，可解得：，而且 故当时，分母有最小值2，所以y的最大值是2． 请根据上述材料中的描述，解决下列问题： (1)比较大小：______；（用“”、“”或“”填空）； (2)填空：，当x取______时，y有最______值（填大或小）为______； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2)0，大，1 (3)4 【分析】本题考查二次根式的有理化，能够将分母有理化的知识进行迁移是解题的关键． （1）由题目信息，进行分子有理化即可比较大小； （2）根据二次根式的定义可得，再根据题目信息进行分子有理化，即可求解； （3）根据分子有理化即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得，，， ， ， 即； （2）解：， ∴且， 即， ， 由于分母随x增大而增大，则y随分母增大而减小， 则当时，分母最小，y取得最大值，最大值为1； （3）解：由题可得， ， 则． 5．观察下列二次根式的变形过程： ； ； ． 请回答下列问题： (1)观察上面的解题过程，请直接写出（n为正整数）的结果是__________ (2)根据你发现的规律，请计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用平方差公式进行分母有理化； （2）先利用平方差公式进行分母有理化，再利用平方差公式计算． 【详解】（1）解：； （2）解： ． 6．阅读材料： （一）如果我们能找到两个正整数x，y，使且， 这样， 那么我们就称为“和谐二次根式”，则上述过程就称之为化简“和谐二次根式”． 例如：． （二）在进行二次根式的化简与运算时，我们有时还会碰上如一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：， 我们称这个过程为分母有理化（分母化为有理式）． 根据阅读材料解决下列问题： (1)①化简“和谐二次根式”：_________； ②分母有理化：_________． (2)求的值； (3)设的小数部分为b，求证：． 【答案】(1)①；② (2) (3)见解析 【分析】（1）①根据化简“和谐二次根式”，进行化简所求根式即可； ②根据化简分母有理化，进行化简所求根式即可； （2）观察式子发现，，据此进行分母有理化，化简式子即可； （3）根据“和谐二次根式”的定义，化简，求出b的值，再求出的值，据此证明即可． 【详解】（1）解：①， ②， （2）解：， ， …… ， ∴原式 ． （3）证明：根据“和谐二次根式”的定义得， ， ∵， ∴， ∵的小数部分为b， ∴，， ∴， ∴． 类型九、无刻度尺作图（解） 1．“无刻度直尺”是尺规作图的工具之一，它的作用在于连接任意两点、作任意直线、延长任意线段等．结合图形的性质，只利用无刻度直尺也可以解决一些几何作图问题． (1)如图，四边形为正方形，点为边的中点，请仅用无刻度的直尺画出边的中点（保留作图痕迹，不要求写作法）； (2)如图，四边形为菱形，点，分别是，的中点，请仅用无刻度的直尺作以为边的矩形（保留作图痕迹，不写作法）； 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）连接、，交于点，连接，延长交于，根据正方形的性质及三角形中位线的性质得出四边形是矩形，得出，即可得出，点即为所求； （2）连接、，交于点，连接并延长，交于，连接并延长，交于，根据菱形的性质及中位线的性质得出，，，即可得出四边形是矩形． 【详解】（1）解：如图，连接、，交于点，连接，延长交于，点即为所求． ∵四边形为正方形， ∴，，， ∵点为边的中点， ∴， ∴， ∴四边形是矩形，， ∴， ∴点即为所求． （2）解：如图，连接、，交于点，连接并延长，交于，连接并延长，交于，则四边形即为所求． ∵四边形为菱形，点，分别是，的中点， ∴，，，，， ∴， ∴四边形是平行四边形，，， ∴为中点， 同理可得，点为中点，，，， ∴，，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形． 2．如图，在中，点E为的中点．仅用无刻度直尺在给定图形中画图． (1)在图1中，画的中点M； (2)在图2中，点P为边上一点，在上找点N，使得． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）连接，交于点O，连接，延长交于点M，点M即为所求； （2）连接交于点O，连接，交于点J，连接，延长交于点N，点N即为所求． 【详解】（1）解：如图中，点M即为所求； 理由：在中，，点是的中点， ∴是和的中位线， ∴， ∴， ∴四边形和四边形是平行四边形， ∴ 又点E为的中点． ∴， ∴，即点M是的中点； （2）解：如图，点N即为所求． 理由：由（1）得是的中位线，则是的中位线， ∴ ∴． 3．如图，已知等腰梯形，，，请仅用无刻度直尺根据下列要求作图； (1)在图（1）中作直线l，将等腰梯形分成两个全等的图形． (2)如图（2）若点E为中点，作出的中点F． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）连接，交于点O，延长，交于点I，作直线即为所求作的直线l； （2）在（1）的基础上，l与交于点H，连接，交于点N，连接并延长交于点M，连接并延长交于点F即为所求． 【详解】（1）解：如图所示，直线l即为所求； （2）解：如图所示，点F即为所求； 根据题意得，点H是的中点，点E为中点， 由三角形的三条中线交于一点可知，点M是的中点， 是的中位线， ∴ ∴点F是的中点． 4．请结合图形的性质，仅用无刻度的直尺作图并保留作图痕迹，不写作法． (1)如图所示，在 中，点是的中点，作的中点； (2)如图所示，四边形是平行四边形，在边上找一点，使得． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 【分析】（1）连接、交于点，连接并延长交于点，可通过证明推得，从而可证四边形是平行四边形，连接、相交于点，连接并延长交于点，同理证得四边形是平行四边形，即可得，即点为的中点； （2）由（1）得点为中点，连接即可． 【详解】（1）解：如下图，点即为所求： （2）解：如下图，点即为所求： 5．如图，点E在矩形内，且，请仅用无刻度的直尺按下列要求作图． (1)如图1，作边的中点M，写出作图步骤，无需说明理由； (2)如图2，作边的中点N，写出作图步骤，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据矩形的性质和垂直平分线的判定与性质进行作图即可； （2）根据矩形的性质和直角三角形的性质进行作图即可． 【详解】（1）解：连接与交于O，连接并延长交于M，如图所示，点M即为所求； ∵四边形是矩形， ∴， 又∵， ∴在线段的垂直平分线上， ∴垂直平分线，即M为的中点； （2）连接交于F，连接并延长交于N，如图所示，点N即为所求； ∵四边形是矩形， ∴，O为的中点， 由（1）得M为的中点，则为中边上的中线， 又∵直角三角形三条中线交于一点， ∴边上的中线也经过点F， ∴点N即为所求． 6．如图，四边形是平行四边形，请仅用无刻度直尺按要求作图（保留作图痕迹，不写作法）． (1)如图1，点在边上，在边上找一点，使得平分的周长； (2)如图2，中挖去了一个矩形，作一条直线平分剩下图形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）连接，交于点，连接，延长交于点，点即为所求，由于点是平行四边形的对称中心，根据平行四边形是中心对称图形可得平分的周长； （2）由题意作出平行四边形的中心，矩形的中心，作直线即可，根据平行四边形是中心对称图形可得直线平分剩下图形的面积．． 【详解】（1）解：如图1中，点即为所求； （2）解：如图2中，直线即为所求； 类型十、四边形的几何与函数新定义（解） 1．在平面直角坐标系中，我们给出如下定义：将点先向右平移2个单位，再向上平移4个单位得到点，称点为点的“双移点”．根据上述定义，回答下列问题： (1)已知点，则它的“双移点”为___；对于任意点，其“双移点”的坐标可以表示为_____； (2)若点的“双移点”为点，则点的坐标为________； (3)若点是点的“双移点”，且在轴上存在一点，使的面积为4，请求出点的坐标； (4)若点是点的“双移点”，且在平面内有一点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)或 (4)或或 【分析】（1）根据“双移点”的定义进行解答即可； （2）根据“双移点”写出答案即可； （3）求出点，设点D的坐标为，根据面积得到，即可求出答案； （4）求出，设点的坐标为，分三种情况，当分别为对角线时，利用中点坐标公式列出方程组，解方程组，即可求解． 【详解】（1）解：点，先向右平移2个单位，再向上平移4个单位得到点， 即点的“双移点”为， ∵先向右平移2个单位，再向上平移4个单位得到点， ∴对于任意点，其“双移点”的坐标可以表示为， （2）把先向左平移2个单位，再向下平移4个单位得到点， 即点的坐标为； （3）∵点是点的“双移点”， ∴点， 设点D的坐标为， ∵的面积为4， ∴ 解得或， ∴点的坐标为或； （4）∵点是点的“双移点”， ∴， 设， 当为对角线时，，解得： 当为对角线时，，解得： 当为对角线时，，解得： 综上可知，点的坐标为或或． 2．类比于等腰三角形的定义，我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做等邻边四边形． (1)如图1，四边形的顶点A、B、C在格点上，请你在的网格中分别画出3个不同形状的等邻边四边形，要求点D在格点上； (2)如图2，在中，E是上一点，F是上一点，，，请证明四边形是等邻边四边形； (3)如图3，在中，，，M、N分别为边上一点（N不与两端点重合），连结，，，当四边形是等邻边四边形时，请直接写出的长度． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)4或7或 【分析】此题考查了平行四边形的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质等知识，分类讨论是解题的关键． （1）根据题意利用网格特点做出图形即可； （2）连接，证明，则，即可得到结论； （3）分四种情况分别进行求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，四边形即为所求， （2）连接，   四边形是平行四边形， ， ， ∵， ， ， ，， )， ， 四边形是“等邻边四边形”； （3）在中，，， ∴，， 过点M作于H，则， ∴， ∴， ∴，， ∴， 当时，设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， 即， 当时，则， ∵， ∴是等边三角形， ∴； 当时，设，则，作于点G， 则， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴ 在中，， ∴， ∴， ∴ 即， ∵， ∴这种情况不存在， 综上可知，的长度为4或7或． 3．在平面直角坐标系中，对于线段，给出如下定义： 直线经过线段的一个端点，直线经过线段的另一个端点，若直线与交于点（点不在线段上），则称点为线段的“双线融合点”． 请阅读新定义，完成如下问题： (1)如图，线段的两个端点分别为和，求线段的“双线融合点”； (2)点，是直线上的两个动点． 点为线段的“双线融合点”，当“双线融合点”的横坐标等于纵坐标时，求“双线融合点”的坐标； 正方形的四个顶点分别为，，，．当点，在直线上运动时，不断产生线段的“双线融合点”，若所有的线段的“双线融合点”中，恰有两个点在正方形边上，直接写出的取值范围． 【答案】(1)线段的“双线融合点”为或； (2)“双线融合点”的坐标为或；，的取值范围为或． 【分析】（）分当经过点，经过时，当经过点，经过分别求出，的值，联立方程组即可求解； （）由点，是直线上的两个动点，设求出点，，然后再分当经过点，经过时和当经过点，经过时时，两种情况分析求解即可； 分和两种情况，然后分同理即可求解． 【详解】（1）如图，当经过点，经过时， ∴，， 解得：，， ∴直线， 联立得， 解得：， ∴“双线融合点”坐标为； 如图， 当经过点，经过时， ∴，， 解得：，， ∴直线，， 联立得， 解得：， ∴“双线融合点”坐标为； 综上可知：线段的“双线融合点”为或； （2）∵点，是直线上的两个动点， ∴， 设，则， ∴点，， 当经过点，经过时 ∴，， 解得：，， ∴直线，， 联立得， 解得：， ∴“双线融合点”的坐标为， ∵“双线融合点”的横坐标等于纵坐标， ∴，解得：， ∴“双线融合点”的坐标为； 当经过点，经过时时， ∴，， 解得：，， ∴直线，， 联立得， 解得：， ∵“双线融合点”的横坐标等于纵坐标， “双线融合点”的坐标为， ∴，解得：， ∴“双线融合点”的坐标为； 综上可知：“双线融合点”的坐标为或； 设线段的“双线融合点”为，， 由上可得：，， ∴消去得：，， 即线段的“双线融合点”为，在直线或上运动， 时， 如图，当经过点时，一个点在正方形边上， ∴，解得：， 如图，当经过点时，三个点在正方形边上， ∴，解得：， ∴恰有两个点在正方形边上，的取值范围为； 时， 如图，当经过点时，一个点在正方形边上， ∴，解得：， 如图，当经过点时，三个点在正方形边上， ∴，解得：， ∴恰有两个点在正方形边上，的取值范围为； 综上可知：恰有两个点在正方形边上，的取值范围为或． 【点睛】本题考查了新定义，一次函数与图形的运动，待定系数法求一次函数解析式，解二元一次方程组，熟练掌握知识点，正确理解新定义，运用数形结合思想和分类讨论思想，是解题的关键． 4．【定义学习】 定义：如果四边形有一组对角为直角，那么我们称这样的四边形为“对直四边形”． 【判断尝试】 （1）在①平行四边形②矩形③菱形④正方形中，是“对直四边形”的是______；（填序号） （2）如图1，四边形是对直四边形，若，，，，则边的长是______； 【操作探究】 如图2，在菱形ABCD中，，，于点E，请在边上找一点F，使得以点A、E、C、F组成的四边形为“对直四边形”，画出示意图，并直接写出的长是______； 【拓展延伸】 如图3，在正方形中，，点E、F、G分别从点B、B、C同时出发，并分别以每秒1、1、2个单位长度的速度，分别沿正方形的边、、方向运动（保持），再分别过点E、F作、的垂线交于点H，连接、．试说明：四边形为对直四边形． 【实践应用】 某加工厂有一批四边形板材，形状如图4所示，其中米，米，，．现根据客户要求，需将每张四边形板材进一步分割成两个等腰三角形板材和一个“对直四边形”板材，且这两个等腰三角形的腰长相等，要求材料充分利用无剩余．请直接写出分割后得到的等腰三角形的腰长是______． 【答案】（1）②④；（2）；操作探究：；拓展延伸：见解析；实践应用：或4． 【分析】（1）矩形和正方形的对角是直角； （2）连接，根据勾股定理求得结果； 操作探究：连接，则，是等边三角形，故取的中点，进而得出结果； 拓展延伸：延长，交于，可证得，从而，进而得出，进一步得出结论； 实践应用：作于，作于，可得四边形是矩形，和是腰长相等的等腰直角三角形；另一种情形：作，同上可知：四边形是“对直四边形”，和是腰长相等的等腰直角三角形． 【详解】解：（1）∵矩形和正方形的四个角都是直角， ∴矩形和正方形是“对直四边形”， 故答案为：； （2）如图， 连接，， ， ， ， 故答案为：； 操作探究：解：如图， 取的中点，连接， 则四边形是“对直四边形”，， 故答案为：； 拓展延伸 （1）证明：如图， 延长，交于， 四边形是正方形， ，， ，， ， 四边形是矩形， 点、、分别从点、、同时出发，并分别以每秒、、个单位长度的速度运动， ， 四边形 是正方形， ， ， 同理可得：四边形是矩形， ，， ，， ， ， ， ， ， 四边形为对直四边形； 实践应用：解：如图， 作于，作于， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， 四边形是“对直四边形”，和是腰长相等的等腰三角形， ， 如图， 作于，作于， 同上可知：，四边形是“对直四边形”，和是腰长相等的等腰三角形，， 综上所述：等腰三角形的腰长为：或． 【点睛】本题考查了正方形的判定和性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，直角三角形的性质等知识，解决问题的关键是分类讨论． 5．我们给出如下定义：有一组邻角相等的凸四边形叫做“等邻角四边形”．例如：如图1，，则四边形为等邻角四边形．    (1)定义理解：以下平面图形中，一定是等邻角四边形的是______； ①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形 (2)如图2，在四边形中，，的垂直平分线恰好交于边上一点P，连接，，且，求证：四边形为等邻角四边形； (3)如图3，在等邻角四边形中，，，点P为边上的一动点，过点P作，，垂足分别为M，N．在点P的运动过程中，猜想，，之间的数量关系？并请说明理由． 【答案】(1)②④ (2)见解析 (3)，理由见解析 【分析】（1）根据等邻角四边形的定义即可直接得出答案； （2）连接，证明，得出，从而得到，，即可证明四边形为等邻角四边形； （3）过点P作，证明得到，再由矩形得到，即可得出． 【详解】（1）解：∵矩形和正方形都有一组邻角相等， ∴矩形和正方形是等邻角四边形， 故答案是：②④； （2）证明：连接，    ∵垂直平分， ∴， ∵垂直平分， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为等邻角四边形． （3），理由如下： 过点P作，垂足为F，    ∵， ∴， ∴， ∵四边形为等邻角四边形，， ∴， ∵， ∴， ∴在和中 ， ∴， ∴， ∵，，， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， 即． 【点睛】本题主要考查了新定义“等邻角四边形”，涉及线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，矩形的判定和性质等知识，正确理解“等邻角四边形”的定义是解题的关键． 6．定义1：只有一组对边平行的四边形是梯形．平行的两边叫做梯形的底边，较长的一条底边叫下底，较短的一条底边叫上底，另外两边叫腰． 定义2：如果梯形的一条对角线等于上、下底之和，那么这个梯形叫和等梯形，这条对角线叫和等线． 【概念理解】 (1)如图1，在梯形中，，四边形_______（填“是”或“不是”）和等梯形； (2)如图2，在矩形中，，点E在AB上，，若在上存在点P使得四边形是和等梯形，求的长； 【探索发现】 (3)如图3，四边形是以为和等线的和等梯形，，、交于点O，请判别的形状，并说明理由： 【灵活运用】 (4)如图4，点E在平行四边形的边上，在边上找一点P，使得四边形是以为和等线的和等梯形． 要求：借助直尺和圆规用两种方法作出点P，不写作法，保留作图痕迹． 【答案】(1)是 (2)当或时，四边形是和等梯形； (3)是等腰三角形，理由见解析 (4)理由见解析 【分析】（1）连接，，由勾股定理求得，，根据定义即可判断； （2）连接，，设，可得，，分两种情况：当时，当时，分别求解即可； （3）延长使得，，可知四边形是平行四边形，可得，，可知，由题意得，进而可得，可知，可得，即，即可判断是等腰三角形； （4）方法一：由（3）得证明过程可知，当延长使得，再在上找点使得为等腰三角形，则，即可求得点；方法二：由（3）的结论可知，在上取点使得时，即，由得，，则，则，则，即可求得点； 【详解】（1）解：连接，， ∵， ∴，， ， ∴， ∴四边形是和等梯形， 故答案为：是； （2）连接，， ∵四边形是矩形，，，设， ∴， 当时，四边形是和等梯形， 即，解得：，即：； 当时，四边形是和等梯形， 即，解得：，即：； 综上，当或时，四边形是和等梯形； （3）是等腰三角形，理由如下： 延长使得，， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， 又∵四边形是以为和等线的和等梯形， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （4）方法一：由（3）得证明过程可知，当延长使得，再在上找点使得为等腰三角形，则，即可求得点； 即：在延长线上截取，再以点，点为圆心，适当长为半径画弧，交于两点，连接两点，交于于一点，如图所示，该点即为所求点； 方法二：由（3）的结论可知，在上取点使得时，即，由得，，则，则，则，即可求得点； 即：连接，在上截取，连接并延长交于点，如图所示，该点即为所求点． 【点睛】本题考查勾股定理，平行四边形的判定及性质，等腰三角形的判定，掌握相关性质定理是解决问题的关键，还考查了尺规作图——作垂直平分线． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末考前满分冲刺之优质压轴题 【优质压轴】 类型一、正确结论的是（选、填） 1．如图，在边长为的正方形中，对角线、相交于点．点在线段上，连接，作于点，交于点．给出下面四个结论： ①；②；③当时，；④点与点之间的距离的最小值为．上述结论中，正确结论的序号有（    ） A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③④ 2．已知两个分式：，．将这两个分式进行如下操作： 第一次操作：将这两个分式作和，结果记为；作差，结果记为；（即） 第二次操作：将，作和，结果记为；作差，结果记为；（即，） 第三次操作：将，作和，结果记为；作差，结果记为；（即，）… （依此类推）将每一次操作的结果再作和，作差，继续依次操作下去，通过实际操作，有以下结论：①；②当时，；③在第n（n为正整数）次和第次操作的结果中：为定值；④在第2n（n为正整数）次操作的结果中：．以上结论正确的是（    ） A．①② B．②④ C．①④ D．①③④ 3．如图，在正方形纸片中，对角线、交于点O，折叠正方形纸片．使落在上，A恰好与上的点F重合，展开后，折痕分别交，于点E、G，连接，有下列结论：①；②；③；④四边形是菱形；⑤．其中正确结论的序号是（   ） A．①②③ B．①④⑤ C．①③④ D．①②③④⑤ 4．如图，点M为正方形对角线上的一个动点，将线段绕B点逆时针旋转后得到线段，连接．下列结论正确的是________．（请将所有正确结论的序号填写在横线上） ①当N落在上时，； ②当 时，点M到点N距离最短； ③若正方形的边长为1，则长度范围为． 5．如图，在正方形中，是边上一点，的垂直平分线交于点，交的延长线于点，连结交于点，连结．给出下面四个结论：①；②平分；③；④若是中点，则也是中点．上述结论中，正确结论的序号有________ 6．如图，在正方形中，为上一点（不与点B、C重合），连接，为延长线上一点，，连接，，过点作于点，连接．给出下面四个结论：①；②是等腰直角三角形；③；④．上述结论中，所有正确结论的序号是_______． 类型二、取值范围与最值问题（选、填） 1．如图，在中，．将绕点B旋转得到，分别取的中点P、Q，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．如图，矩形纸片中，，，点P是边上的动点，现将纸片折叠，使点A与点P重合，折痕与矩形边的交点分别为E、F，要使折痕始终与边、有交点，则的取值范围（　　） A． B． C． D． 3．如图，在中，，是的中点，是上一个动点，过点分别作、，垂足分别为、，与交于点，连接，，，，下列结论错误的是（    ） A．的最小值为 B．的最小值为4 C．的最小值为 D．的最小值为6 4．如图，在中，，，，点是平面内到点的距离等于的任意一点，点是的中点，则的取值范围是______． 5．如图，在矩形中，，点E为上一点，且，点F为边上一动点，连接，过点A作于点G，连接，则的最小值为______，连接，将绕点E顺时针旋转，得到，在点F运动的过程中，的最小值为_______． 6．如图，已知为直角三角形，其中，，，D为边上中点，E为直线上一点，线段绕点D逆时针旋转30°至，连接，则的最小值为______，当取得最小值时，的长为______． 类型三、折叠问题(选、填、解) 1．已知四边形，其中，，将沿折叠，落于，交于，且为平行四边形（如图）；再将纸片展开，将沿折叠，使点落在上一点（如图）．在两次折叠过程中，两条折痕、的夹角的度数为（　　） A． B． C． D．不确定 2．矩形柔性材料可任意折叠，如图，将矩形纸片沿直线折叠，使点C落在边的中点处，点B落在点处，其中，，则的长为（   ） A． B．4 C． D．5 3．同学们以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展数学活动．在平行四边形纸片中，已知，，的面积为120．点E为边上任意一点，将沿折叠，点B的对应点为．改变E点的位置，将沿折叠，连接，当为直角三角形时，则的长是______． 4．如图，把一张矩形纸片按如下方法进行两次折叠：第一次将边折叠到边上得到，折痕为，连接，第二次将沿着折叠，边佮好落在边上．若，则的长为______． 5．折纸是我们在研究轴对称问题时最常见的活动．在经历图形变换的过程中，进一步发展了同学们的空间观念，积累了数学活动经验。 (1)折叠计算：如图1，若，，将矩形纸片沿某条直线折叠，使点与点重合，折痕交于点、交于点，作出折痕，并求出折痕的长； (2)实践发现：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平；再一次折叠纸片，使点落在上的点处，并使折痕经过点，得到折痕，把纸片展平，连接，如图2． ①折痕________（填“是”或“不是”）线段的垂直平分线，的形状为：________； ②继续折叠纸片，使点落在边上的点处，并使折痕经过点，得到折痕，把纸片展平，如图3，则________°； (3)如图4，折叠矩形纸片，使点落在边上的点处，并且折痕交边于点，交边于点，把纸片展平，连接交于点，连接，，判断四边形的形状并说明理由； (4)解决问题：如图5，矩形纸片中，，，折叠纸片，使点落在边上的点处，并且折痕交边于点，交边于点，把纸片展平，则线段长度的取值范围是________． 6．在数学综合与实践活动中，小明发现折叠矩形纸片可以得到一些特殊角，我们将折痕与矩形原有边形成的夹角称为“折叠角”． 【尝试与感悟】 （1）如图，点在边上，将矩形沿折叠，点落在边上的点处，此时折痕与边形成的夹角就是“折叠角”，且 ______ ； （2）如图，先将矩形对折，使得与重合，折痕为，点在边上，再将纸片沿着折叠，点落在上的点处求“折叠角”的度数； 【探索与发现】 （3）在图中与垂直的射线、上分别取点、，使得四边形是矩形，将其沿着经过点的直线折叠后，点落在边上并且得到的“折叠角”请你用无刻度的直尺与圆规分别确定点、不写作法，保留作图痕迹 类型四、因式分解的应用（解） 1．阅读材料，要将多项式分解因式，可以先把它的前两项分成一组，提出公因式，再把它的后两项分成一组，提出公因式，从而得到：，这时中又有公因式，于是可以提出，从而得到，因此有，这种方法称为分组分解法．请回答下列问题： (1)尝试填空：_________； (2)解决问题：因式分解； (3)拓展应用：已知三角形的三边长分别是，且满足试判断这个三角形的形状，并说明理由． 2．【新定义】一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”． 例如：，，，，… 因此8，16，24，32都是“神秘数”． (1)【数学理解】根据“神秘数”规律填空： （__________）；（__________）（__________）； (2)【深入探究】设两个连续的奇数中，较小的奇数为（其中n取正整数），试说明“神秘数”一定是8的倍数； (3)【知识技能】我国的国土面积为960万平方公里，960是神秘数吗？如果是，请把这个神秘数分成两个连续的正奇数的平方差；如果不是，请说明理由； (4)【知识拓展】如图所示，拼叠的正方形边长是从1开始的连续奇数，最小的正方形边长为1，第2个正方形边长为3，第3个正方形边长为5…，按此规律拼接到正方形，正方形的边长为99，求阴影部分面积的和． 3．阅读与思考：配方法是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．配方法在因式分解、求代数式的值、解方程等方面有广泛应用． 例如：用配方法分解因式． 解： 请仿照上述方法解答下列问题： (1)用配方法分解因式：； (2)已知，求的值； (3)试比较多项式与的大小关系． 4．【阅读思考】 材料1：整式乘法与因式分解是相反的变形，如是整式乘法，反过来为，恰好是因式分解．基于上述原理，将式子分解因式如下： 一次项，①分解二次项和常数项；②交叉相乘再相加验证一次项；③横向写出两因式：． 材料2：分解因式： 解：将“”看成一个整体，令，则原式，再将“K”还原，得：原式． 请仔细阅读材料，回答下列问题： 【迁移运用】 (1)利用上述的十字相乘法，将下列多项式分解因式： __________________________ (2)结合材料1和材料2，完成下面小题： ①分解因式：； ②分解因式：． 5．【知识回顾】一般地，两数和的完全平方公式为：，如果我们将写成，就可以由两数和的完全平方公式推导出两数差的完全平方公式．过程如下：． (1)【类比推理】已知两数的立方和公式为，请类比两数差的完全平方公式的推理过程，推导两数的立方差公式：________． (2)【应用公式】因式分解：． (3)【拓展提升】如图，将八个完全相同的直角三角形拼成一个大正方形，设，，．若，则 ①________． ②若该直角三角形的两条边长分别为和，且，请先将代数式进行因式分解，然后求出代数式的值． 6．【阅读理解，自主探究】把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法，配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用． 例1：因式分解：． 解：原式． 例2：若，利用配方法求的最小值． 解：． ，， 当时，有最小值1． 请根据上述阅读材料，解决下列问题： (1)用配方法因式分解：________； (2)已知，求的值． (3)已知，，试比较，的大小． (4)若为有理数且满足，求的最小值． 类型五、二次根式与分式（方程）的新定义（解） 1．我们定义：有一组邻边相等且有一组对角互补的凸四边形叫做等补四边形． (1)如图1，是等边三角形，在上任取一点（除外），连接，我们把绕点A逆时针旋转，则与重合，点D的对应点E．请根据给出的定义判断，四边形______（选择是或不是）等补四边形． (2)如图2，等补四边形中，，，若，求的长． (3)如图3，在某运动公园的同一水平面上，四条通道围成四边形．已知米，，，，道路上分别有景点E、F，且，，现要在E、F之间修一条笔直的道路，求出这条道路的长． 2．我们知道可以写成的形式，所以我们把叫做完全平方式．类似地，我们作出如下定义：对于正整数，因为，所以我们把叫做“完全平方根式”． (1)下列各式中是“完全平方根式”的有_____； ①②③ (2)利用“完全平方根式”化简：； (3)已知（，且为正整数），是“完全平方根式”，当的值最小时：①求出这个最小值；②若（为正整数），是整数，且，求的值． 3．定义：若二次根式可以写成的形式（其中、、、为非负常数），则称为完整根式，是的完整平方根，例如： ∵，∴是完整根式，是的完整平方根． (1)若完整根式的完整平方根为，、、、为非负有理数，请用含、的代数式表示和，即__________；__________． (2)若，且、为正整数，则__________； (3)化简求值：，其中__________是的完整平方根． 4．我们给出定义：若一个分式约分后是一个整式，则称这个分式为“巧分式”，约分后的整式称为这个分式的“巧整式”．例如，则称分式是“巧分式”，为它的“巧整式”．根据上述定义，解决下列问题． (1)下列分式中是“巧分式”的有______（填序号）； ①；②；③． (2)若分式（m，n为常数）是一个“巧分式”，它的“巧整式”为，求m，n的值． 5．定义：如果一个分式能够化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和美分式”， 如： (1)下列分式中，属于“和美分式”的是 （填序号）； ①②③④ (2)请将“和美分式”化为一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式； (3)若为整数，且“和美分式”的值也为整数，求符合条件的整数x的所有取值． 6．定义：如果两个分式，则称A是B的“美好分式”，如分式，，，，则A是B的“美好分式”． (1)已知分式，，请判断C是否为D的“美好分式”，并说明理由： (2)已知分式（w为常数），，且E是F的“美好分式”，若关于x的方程对于任意的x值恒成立，求参数的值； (3)已知分式（为正整数），分式（为正整数），P是的“美好分式”，若，，，求出此时满足条件的值． 类型六、正方形的k型、十字模型、半角模型（解） 1．【模型建立】如图1，四边形是正方形，点M，N分别在边上，且，我们称之为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．如图1，将绕点A顺时针旋转，点D与点B重合，得到，连接． （1）试判断之间的数量关系，并写出证明过程； 【模型应用】 （2）如图2，点M，N分别在正方形的边的延长线上，，连接，请写出之间的数量关系，并写出证明过程； 【模型迁移】 （3）如图3，在四边形中，，，，点N，M分别在边上，，请直接写出线段之间的数量关系． 2．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】 （1）如图1，，，过点作于点，过点作于点．由，得．又，可以推理得到△．进而得到 ，．我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型． 【模型应用】 （2）如图2，，，，连接，，且于点，与直线交于点．求证：点是的中点． 【深入探究】 （3）如图3，已知四边形和为正方形，的面积为， 的面积为，则有 （填“、、” ； （4）如图4，分别以的三条边为边，向外作正方形，连接、、．当，，时，图中的三个阴影三角形的面积和为 ． 3．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题：． 【模型呈现】 某兴趣小组在从汉代数学家赵爽的弦图（如图1，由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图2），即“一线三等角”模型和“K字”模型． （1）请在上图2中选择其中一个模型进行证明． 【模型应用】 （2）如图3，正方形中，，，求的面积． （3）如图4，四边形中，，，，，，求的面积．    4．如图1，四边形是正方形，E，F分别在边和上，且，我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．小明为了解决线段，，，之间的关系，将绕点A顺时针旋转后解决了这个问题． (1)请直接写出线段，，之间的关系． (2)如图3，等腰直角三角形，，，点E，F在边上，且，请写出，，之间的关系，并说明理由． (3)如图4，点E在正方形的对角线上，，是直角三角形，斜边交于G点，且，，，求的值． 5．综合与实践 【模型探索】如图1，在正方形中，点，分别在边，上，若，则与的数量关系为 　　； 【模型应用】如图2，将边长为2的正方形折叠，使点落在边的中点处，点落在点处，折痕交于点，交于点，求折痕的长度； 【迁移应用】如图3，正方形的边长为12，点是上一点，将沿折叠，使点落在点处，连接；并延长交于点．若，求的长度． 6．已知正方形，点E，F分别为边上两点． 【建立模型】 （1）如图1，连接，如果，求证：； 【模型应用】 （2）如图2，点E为边上一点，连接，作的垂直平分线交于点G，交于点F，若，，求的长度； 【模型迁移】 （3）如图3，将沿折叠，使点B落在上的点G处，与交于点M，若，，请直接写出的长度． 类型七、分式的欧拉公式与根式的秦九韶一海伦公式（解） 1．欧拉是历史上享誉全球的最伟大的数学家之一，他不仅在高等数学各个领域做出杰出贡献，也在初等数学中留下了不凡的足迹．设为两两不同的实数，称为欧拉分式．化简对应的表达式． 2．阅读理解   欧拉是 18 世纪瑞士著名的数学家， 他的贡献遍及高等数学的各个领域，同时， 在初等数学中也到处留下了他的足迹． 下面是关于分式的欧拉公式： 这个公式我们可以分情况进行研究， 例如， 当 时的欧拉公式为： 证明如下： (1)请将材料中 时欧拉公式的证明过程补充完整． (2)请从下面 两题中任选一题进行解答， 我选择___________题． A．写出当 时的欧拉公式， 并任选一组 的值， 对该公式当 时的情形进行验证． B．写出当 时的欧拉公式， 并证明； (3)利用欧拉公式直接写出 的结果． 3．阅读下面材料，并解答相应的问题 欧拉分式：欧拉是18世纪瑞士著名的数学家、物理学家、天文学家．以欧拉命名的常数、公式、定理随处可见．在分式中，就有这样一个欧拉分式： ． (1)请你对欧拉分式中，当时的情况进行证明； (2)请你利用欧拉分式解决下列问题： ①计算：； ②算的值． 4．我国古代数学著作《九章算术》记载了利用三角形三边求面积的“三斜求积术”（即秦九韶公式）．在中，三边分别为，，．完成以下探究： (1)[情境应用：代数计算] 若的三边长分别为，，．利用秦九韶公式形式，计算该三角形的面积为________； (2)[基础铺垫：勾股定理应用] 过点B作于点D，设，则；请利用勾股定理分别写出的两种表示（用含a，x和b，c，x的式子表示）： ①________；②________； (3)[核心推理：推导秦九韶公式] 基于（2）中推导出的的表达式，我们可以进一步推导秦九韶公式 ①用含a，b，c的式子表示________（根据秦九韶公式所需的形式填写） ②设的面积为S，由面积公式，证明：秦九韶公式． 5．公式导入：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么三角形的面积可以表示为：   ① 这是古希腊的几何学家海伦最早提出的，这一公式称为海伦公式． 我国南宋时期数学家秦九韶也曾提出利用三角形的三边求面积的秦九韶公式： ② 海伦公式与秦九韶公式实质上是相通的，下面我们对公式②进行变形：      这说明海伦公式与秦九韶公式实质上是同一个公式，所以我们也称①为海伦—秦九韶公式． 公式应用：如果已知的三边长分别为，请你从公式①和②中选择一个求出的面积S． 6．我国南宋著名的数学家秦九韶提出了“三斜求积术”（利用三角形三边长求三角形面积的方法），简称秦九韶公式．在海伦的著作《测地术》中也记录了利用三角形三边长求三角形面积的方法，故我国称这个公式为海伦——秦九韶公式．设一个三角形的三边长分别为a，b，c，，则有下列面积公式：（海伦公式）；（秦九韶公式）． (1)若一个三角形三边长依次为5，6，7，求这个三角形的面积．小明利用海伦公式很快就可以求出这个三角形的面积，以下是他的部分求解过程，请你把它补充完整． 解：一个三角形三边长依次为5，6，7，即， _________． 根据海伦公式可得_________． (2)请你用秦九韶公式解决问题：若一个三角形的三边长分别是，求这个三角形的面积． (3)如图，在中，的对边分别为a，b，c，，过点A作，垂足为D，求线段AD的长． 类型八、分式的裂项与根式有理化（解） 1．探索发现：；；…根据你发现的规律，回答下列问题： (1)______，______； (2)利用你发现的规律计算：______； (3)灵活利用规律解方程：． 2．探究规律及应用 (1)【观察】；； 【猜想】若为正整数，请你猜想第个等式（用含的式子表示），并证明． (2)【拓展】 ①利用你发现的规律计算：； ②利用上述规律解答：若的值为，求n的值． 3．观察下列各式：，，，，，… (1)请猜想出表示上面各式的特点的一般规律，用含n（n表示正整数）的等式表示出来___． (2)请利用上述规律计算：．（n为正整数） (3)请利用上述规律，解方程：． 4．阅读下述材料： 【材料1】二次根式中不仅分母可有理化，且另有一个方法叫做“分子有理化”，与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，消掉分子中的根式，如：，分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较和的大小可以先将它们分子有理化如下：，， 因为：，所以． 【材料2】求的最大值．具体方法如下： 解：由，，可解得：，而且 故当时，分母有最小值2，所以y的最大值是2． 请根据上述材料中的描述，解决下列问题： (1)比较大小：______；（用“”、“”或“”填空）； (2)填空：，当x取______时，y有最______值（填大或小）为______； (3)若，求的值． 5．观察下列二次根式的变形过程： ； ； ． 请回答下列问题： (1)观察上面的解题过程，请直接写出（n为正整数）的结果是__________ (2)根据你发现的规律，请计算：． 6．阅读材料： （一）如果我们能找到两个正整数x，y，使且， 这样， 那么我们就称为“和谐二次根式”，则上述过程就称之为化简“和谐二次根式”． 例如：． （二）在进行二次根式的化简与运算时，我们有时还会碰上如一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：， 我们称这个过程为分母有理化（分母化为有理式）． 根据阅读材料解决下列问题： (1)①化简“和谐二次根式”：_________； ②分母有理化：_________． (2)求的值； (3)设的小数部分为b，求证：． 类型九、无刻度尺作图（解） 1．“无刻度直尺”是尺规作图的工具之一，它的作用在于连接任意两点、作任意直线、延长任意线段等．结合图形的性质，只利用无刻度直尺也可以解决一些几何作图问题． (1)如图，四边形为正方形，点为边的中点，请仅用无刻度的直尺画出边的中点（保留作图痕迹，不要求写作法）； (2)如图，四边形为菱形，点，分别是，的中点，请仅用无刻度的直尺作以为边的矩形（保留作图痕迹，不写作法）； 2．如图，在中，点E为的中点．仅用无刻度直尺在给定图形中画图． (1)在图1中，画的中点M； (2)在图2中，点P为边上一点，在上找点N，使得． 3．如图，已知等腰梯形，，，请仅用无刻度直尺根据下列要求作图； (1)在图（1）中作直线l，将等腰梯形分成两个全等的图形． (2)如图（2）若点E为中点，作出的中点F． 4．请结合图形的性质，仅用无刻度的直尺作图并保留作图痕迹，不写作法． (1)如图所示，在 中，点是的中点，作的中点； (2)如图所示，四边形是平行四边形，在边上找一点，使得． 5．如图，点E在矩形内，且，请仅用无刻度的直尺按下列要求作图． (1)如图1，作边的中点M，写出作图步骤，无需说明理由； (2)如图2，作边的中点N，写出作图步骤，并说明理由． 6．如图，四边形是平行四边形，请仅用无刻度直尺按要求作图（保留作图痕迹，不写作法）． (1)如图1，点在边上，在边上找一点，使得平分的周长； (2)如图2，中挖去了一个矩形，作一条直线平分剩下图形的面积． 类型十、四边形的几何与函数新定义（解） 1．在平面直角坐标系中，我们给出如下定义：将点先向右平移2个单位，再向上平移4个单位得到点，称点为点的“双移点”．根据上述定义，回答下列问题： (1)已知点，则它的“双移点”为___；对于任意点，其“双移点”的坐标可以表示为_____； (2)若点的“双移点”为点，则点的坐标为________； (3)若点是点的“双移点”，且在轴上存在一点，使的面积为4，请求出点的坐标； (4)若点是点的“双移点”，且在平面内有一点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标． 2．类比于等腰三角形的定义，我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做等邻边四边形． (1)如图1，四边形的顶点A、B、C在格点上，请你在的网格中分别画出3个不同形状的等邻边四边形，要求点D在格点上； (2)如图2，在中，E是上一点，F是上一点，，，请证明四边形是等邻边四边形； (3)如图3，在中，，，M、N分别为边上一点（N不与两端点重合），连结，，，当四边形是等邻边四边形时，请直接写出的长度． 3．在平面直角坐标系中，对于线段，给出如下定义： 直线经过线段的一个端点，直线经过线段的另一个端点，若直线与交于点（点不在线段上），则称点为线段的“双线融合点”． 请阅读新定义，完成如下问题： (1)如图，线段的两个端点分别为和，求线段的“双线融合点”； (2)点，是直线上的两个动点． 点为线段的“双线融合点”，当“双线融合点”的横坐标等于纵坐标时，求“双线融合点”的坐标； 正方形的四个顶点分别为，，，．当点，在直线上运动时，不断产生线段的“双线融合点”，若所有的线段的“双线融合点”中，恰有两个点在正方形边上，直接写出的取值范围． 4．【定义学习】 定义：如果四边形有一组对角为直角，那么我们称这样的四边形为“对直四边形”． 【判断尝试】 （1）在①平行四边形②矩形③菱形④正方形中，是“对直四边形”的是______；（填序号） （2）如图1，四边形是对直四边形，若，，，，则边的长是______； 【操作探究】 如图2，在菱形ABCD中，，，于点E，请在边上找一点F，使得以点A、E、C、F组成的四边形为“对直四边形”，画出示意图，并直接写出的长是______； 【拓展延伸】 如图3，在正方形中，，点E、F、G分别从点B、B、C同时出发，并分别以每秒1、1、2个单位长度的速度，分别沿正方形的边、、方向运动（保持），再分别过点E、F作、的垂线交于点H，连接、．试说明：四边形为对直四边形． 【实践应用】 某加工厂有一批四边形板材，形状如图4所示，其中米，米，，．现根据客户要求，需将每张四边形板材进一步分割成两个等腰三角形板材和一个“对直四边形”板材，且这两个等腰三角形的腰长相等，要求材料充分利用无剩余．请直接写出分割后得到的等腰三角形的腰长是______． 5．我们给出如下定义：有一组邻角相等的凸四边形叫做“等邻角四边形”．例如：如图1，，则四边形为等邻角四边形．    (1)定义理解：以下平面图形中，一定是等邻角四边形的是______； ①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形 (2)如图2，在四边形中，，的垂直平分线恰好交于边上一点P，连接，，且，求证：四边形为等邻角四边形； (3)如图3，在等邻角四边形中，，，点P为边上的一动点，过点P作，，垂足分别为M，N．在点P的运动过程中，猜想，，之间的数量关系？并请说明理由． 6．定义1：只有一组对边平行的四边形是梯形．平行的两边叫做梯形的底边，较长的一条底边叫下底，较短的一条底边叫上底，另外两边叫腰． 定义2：如果梯形的一条对角线等于上、下底之和，那么这个梯形叫和等梯形，这条对角线叫和等线． 【概念理解】 (1)如图1，在梯形中，，四边形_______（填“是”或“不是”）和等梯形； (2)如图2，在矩形中，，点E在AB上，，若在上存在点P使得四边形是和等梯形，求的长； 【探索发现】 (3)如图3，四边形是以为和等线的和等梯形，，、交于点O，请判别的形状，并说明理由： 【灵活运用】 (4)如图4，点E在平行四边形的边上，在边上找一点P，使得四边形是以为和等线的和等梯形． 要求：借助直尺和圆规用两种方法作出点P，不写作法，保留作图痕迹． 1 学科网（北京）股份有限公司 $