精品解析：吉林吉林市实验中学2025-2026学年高一下学期期中测试数学试题

实验中学2025-2026学年度第二学期期中考试 高一数学 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题．（每题5分） 1. 已知为虚数单位，复数，则的虚部是（ ） A. B. 1 C. D. 2. 已知一个水平放置的用斜二测画法得到的直观图如图所示，且，，则原平面图形的面积是（ ） A. 16 B. 18 C. D. 36 3. 在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若sin(A+B)=,a=3,c=4,则sin A=(　　). A. B. C. D. 4. 已知圆锥的母线长是底面半径的2倍，则该圆锥的侧面积与表面积的比值为（ ） A. B. C. D. 2 5. 在等腰三角形中，，，若P为边上的动点，则（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 0 6. 长方体中，，则异面直线与所成角的大小为（ ） A. B. C. D. 7. 中，、分别为、的中点，为与交点，且，则（ ） A. 1 B. C. D. 8. 我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水，天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸，若盆中积水深九寸，则平地降雨量是（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸）（ ） A. 2寸 B. 3寸 C. 4寸 D. 5寸 二、多选题（每题6分，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9. 已知复数，则（ ） A. B. C. 为纯虚数 D. 在复平面内对应的点位于第四象限 10. 已知向量，，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则或3 D. 若，则与的夹角为 11. （多选题）已知四面体的四个面都是边长为2的正三角形，则以下正确的是（ ） A. 四面体的高 B. 四面体表面积为 C. 四面体体积为 D. 四面体的内切球半径为 三、填空题（每题5分） 12. 已知，，则向量在向量上投影向量的坐标为__________. 13. 长方体的所有顶点都在一个球面上，长，宽，高分别为3，2，1，那么这个球面的面积是______． 14. 一个腰长为2的等腰直角三角形绕着它的一条直角边所在的直线旋转弧度，形成的几何体的表面积为________． 四、解答题 15. 已知，且. （1）求； （2）求. 16. 在中，内角，，的对边分别为，，，且，． （1）求的值； （2）若时，求的面积． 17. 已知四面体，，.如图. （1）证明：； （2）若，求四面体的体积. 18. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，． （1）求； （2）若的面积为，求AB边上的中线CD的长． 19. 如图，在正方体中，M为的中点． （1）求证：平面； （2）若N为的中点，求证：平面平面； （3）求三棱锥与正方体的外接球半径之比． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 实验中学2025-2026学年度第二学期期中考试 高一数学 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题．（每题5分） 1. 已知为虚数单位，复数，则的虚部是（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的概念求得答案. 【详解】复数的虚部是. 故选：A 2. 已知一个水平放置的用斜二测画法得到的直观图如图所示，且，，则原平面图形的面积是（ ） A. 16 B. 18 C. D. 36 【答案】B 【解析】 【分析】根据斜二测画法可得原图形中的长度，故可求其面积. 【详解】由直观图可得且，故原平面图形的面积为， 故选：B. 3. 在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若sin(A+B)=,a=3,c=4,则sin A=(　　). A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】. 由正弦定理得： . 故选B. 4. 已知圆锥的母线长是底面半径的2倍，则该圆锥的侧面积与表面积的比值为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】设圆锥底面圆的半径为，求出侧面积和表面积得解. 【详解】设圆锥底面圆的半径为，则母线长为， ，， . 故选：B. 5. 在等腰三角形中，，，若P为边上的动点，则（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，再利用向量数量积的坐标表示计算可得结果. 【详解】取的中点为，连接， 因为等腰三角形，所以； 分别以的正方向为轴的正方向，建立平面直角坐标系，如下图所示： 易知，由可得； 设，则; 因此. 故选：A 6. 长方体中，，则异面直线与所成角的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过平移说明即异面直线与所成角，借助于直角三角形和三角函数定义即可求得. 【详解】 如图所示，因，则即异面直线与所成角. 连接，在中，， 则，即异面直线与所成角为. 故选：C. 7. 中，、分别为、的中点，为与交点，且，则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为、分别为、的中点，为中线交点，所以为重心， 根据重心性质，， 故，，所以. 8. 我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水，天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸，若盆中积水深九寸，则平地降雨量是（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸）（ ） A. 2寸 B. 3寸 C. 4寸 D. 5寸 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意先求积水深9寸的水面半径，求出盆中水的体积，根据平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积即可求解. 【详解】由题意可知，天池盆上底面半径为14寸，下底面半径为6寸，高为18寸． 因为积水深9寸，所以水面半径为寸， 所以盆中水的体积为（立方寸）． 所以平地降雨量等于（寸）， 故选：B. 二、多选题（每题6分，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9. 已知复数，则（ ） A. B. C. 为纯虚数 D. 在复平面内对应的点位于第四象限 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据复数的乘法求出复数，再根据复数的相关知识逐项判断即可. 【详解】， ，A正确； ，B正确； 不是纯虚数，C错误； 在复平面内对应的点位于第四象限，D正确. 故选：ABD. 10. 已知向量，，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则或3 D. 若，则与的夹角为 【答案】BCD 【解析】 【分析】由向量的坐标运算，结合向量共线的坐标表示与数量积的坐标表示，即可求解. 【详解】A：若，则，解得，故A错误； B：若，则，解得，故B正确； C：，令，解得或，故C正确； D：若，，， 则， 因为，所以，故D正确. 11. （多选题）已知四面体的四个面都是边长为2的正三角形，则以下正确的是（ ） A. 四面体的高 B. 四面体表面积为 C. 四面体体积为 D. 四面体的内切球半径为 【答案】BCD 【解析】 【分析】由正四面体的定义和性质,结合勾股定理和面积、体积公式，计算可得结论. 【详解】四面体的四个面都是边长为2的正三角形， 则该四面体的表面积为，故B正确； 由正四面体的高和侧棱与侧棱在底面的射影组成一个直角三角形， 则高，故A错误； 正四面体的体积为，故C正确； 设四面体内切球的半径为r，由，得，故D正确. 故选：BCD 三、填空题（每题5分） 12. 已知，，则向量在向量上投影向量的坐标为__________. 【答案】 【解析】 【详解】由题知，， 所以向量在上的投影向量为. 13. 长方体的所有顶点都在一个球面上，长，宽，高分别为3，2，1，那么这个球面的面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据长方体的体对角线即为外接球的直径，从而求出外接球的半径，即可求出球的表面积. 【详解】依题意可知球的半径， 所以球面的面积. 故答案为： 14. 一个腰长为2的等腰直角三角形绕着它的一条直角边所在的直线旋转弧度，形成的几何体的表面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意画出草图，得到形成的几何体为一个圆锥切割的几何体，再根据表面积为，计算即可. 【详解】将一个腰长为2的等腰直角三角形绕着它的一条直角边所在的直线旋转弧度， 所得几何体为一个圆锥切割的几何体， 由题意可知，圆锥的底面半径为2，高为2，则母线长为， 圆锥表面积为， ， 所以形成的几何体的表面积为. 故答案为：. 四、解答题 15. 已知，且. （1）求； （2）求. 【答案】（1）4 （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量垂直则数量积为0，列方程可求得；（2）根据数量积的性质得，代入相关数据即可求解. 【小问1详解】 因为， 所以，即. 将代入得，解得. 【小问2详解】 因为， 将，代入可得， 即. 16. 在中，内角，，的对边分别为，，，且，． （1）求的值； （2）若时，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理化角为边可求答案； （2）先求，利用面积公式可得答案. 【小问1详解】 ，由余弦定理得，， 又， ，化简得， ． 【小问2详解】 由（1）得， 为锐角，， ，， 的面积． 17. 已知四面体，，.如图. （1）证明：； （2）若，求四面体的体积. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连.根据等腰三角形的性质可知.利用线面垂直的判定定理可得平面，最后利用线面垂直的性质即可证明； （2）方法1：由题可得，，.由（1）知平面，故及三棱锥体积公式即可求解； 方法2：由题可得，，.过点作交延长线于点.由（1）可得平面，根据线面垂直的性质可知，.根据线面垂直的判定定理可证平面.利用三棱锥体积公式即可求解. 【小问1详解】 取的中点，连. ∵，为的中点，∴. 又∵，平面，平面，∴平面. ∵平面，∴. 【小问2详解】 方法1：∵，为的中点，∴. ∵，∴，， . 又平面，∴四面体的体积. 方法2：∵，为的中点，∴. ∵，∴，. 过点作交延长线于点. 由（1）可得平面，又平面，∴，. 又∵，平面，平面，∴平面. 又， ∴四面体的体积. 18. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，． （1）求； （2）若的面积为，求AB边上的中线CD的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先利用正弦定理将角的关系转化为边的关系，然后通过余弦定理求出. （2）根据三角形面积公式求出边的值，最后利用余弦定理求出中线的长. 【小问1详解】 在中，因为，根据正弦定理得： ，因为，所以. 根据余弦定理. 【小问2详解】 由（1）知，因为， 所以. 因为的面积为，所以， 解得，进而. 根据余弦定理可得. 所以根据余弦定理. 因为为线段，其长度取正值，所以. 所以边上的中线的长为. 19. 如图，在正方体中，M为的中点． （1）求证：平面； （2）若N为的中点，求证：平面平面； （3）求三棱锥与正方体的外接球半径之比． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）连接交于点，连接，证明，利用线面平行的判定定理即可求证； （2）连接，证明，得平面，结合（1）由面面平行的判定定理即可求证； （3）将棱锥放入长方体中即可求外接球半径，在正方体中利用体对角线求出外接球半径即可求解. 【小问1详解】 连接交于点，连接， 在正方体中，底面为正方形，所以为的中点， 又为中点，所以， 又平面，平面， 所以平面； 【小问2详解】 连接，由（1）有平面， 由为中点，为中点， 所以，且， 所以， 所以四边形为平行四边形，所以， 又平面，平面， 所以平面， 又，平面， 所以平面平面； 【小问3详解】 设正方体外接球半径为，所以外接球的直径为， 由，解得， 设三棱锥的外接球半径为， 分别取的中点，连接， 由， 所以三棱锥的外接球就是长方体的外接球， 其外接球的直径等于长方体的对角线的长， 由， 所以，解得， 所以， 所以三棱锥与正方体的外接球半径之比. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $