精品解析：吉林敦化市实验中学校2025-2026学年度高一下学期期中考试数学试题

敦化市实验中学校2025-2026学年度高一下学期期中考试数学试题 第I卷 一、选择题：本题共8小题，每题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数z满足，则复数z=（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数模，复数除法运算公式，即可求解. 【详解】由题意可知，，所以. 故选：C 2. 已知正方体，、、分别为、、的中点，则图中与直线异面的直线是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据异面直线的定义逐项判断. 【详解】根据已知，可得，而，所以，A错误； 平面，平面，， 所以与是异面直线，B正确； 因为，所以四点共面，C错误； ，D错误. 故选：B 3. 在中，内角A，B，C所对的边分别为，，.向量，若，则角的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先由得到，再利用余弦定理即可得解. 【详解】因为，， 所以，即， 由余弦定理可得. 因为，所以， 故选：D. 4. 已知菱形 ABCD边长为， 则（    ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量的数量积的定义计算即可. 【详解】菱形边长为， 所以是等边三角形，所以 与的夹角为， 所以. 5. 如图所示，表示水平放置的的直观图，则的面积是（ ） A. B. 4 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据直观图和原图间的关系可求答案. 【详解】由图可得的底边为2，高为4，所以的面积是4. 故选：B 6. 已知向量， 满足，且，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为，所以，又， 所以向量在向量上的投影向量为. 7. 在中，内角的对边分别是，若，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为， 由正弦定理可得， 即， 整理可得，由于，故， 所以，又，所以， 又，则. 8. 已知圆台上底面的半径为1，下底面的半径为3，高为2，圆台上、下底面的圆周都在同一个球面上，则该球的体积是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】易知圆台的轴截面是球的大圆的内接等腰梯形，且球心落在梯形上下底中点连线上，利用与用半径表示出梯形的高，得到的方程，求解即可． 【详解】如图，圆台的轴截面为球的大圆的内接梯形， 易知球心落在梯形上下底中点连线上，设球半径为． 在直角三角形中，，在直角三角形中，， 故或， 所以或， 两边平方整理得或，得， 所以（负值舍去）． 故球的体积． 二、选择题：本题共3小题，每题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 关于空间中直线与平面的位置关系，下列命题正确的是（ ） A. 若直线与平面平行，则与平面内的任意一条直线都平行 B. 若直线不平行于平面且，则平面内不存在与平行的直线 C. 若两条平行直线中的一条与一个平面平行，则另一条也与这个平面平行 D. 若直线与平面平行，则与平面内的任意一条直线都没有公共点 【答案】BD 【解析】 【详解】平行于平面的直线，和这个平面内的直线平行或异面，所以A错误； 若直线不平行于平面且，则直线与平面相交，所以平面内不存在与平行的直线，所以B正确； 若两条平行直线中的一条与一个平面平行，另一条有可能在平面内，就不与平面平行，所以C选项错误； 若直线与平面平行，根据线面平行的定义，可得直线与平面内的任意一条直线都没有公共点，所以D正确. 10. 如图，已知棱长为1的正方体中，下列命题正确的是（ ） A. 正方体外接球的直径为 B. 点在线段上运动，则四面体的体积不变 C. 与所有12条棱都相切的球的体积为 D. 是正方体的内切球的球面上任意一点，则长的最小值是 【答案】ABC 【解析】 【分析】求得正方体外接球的直径判断选项A；求得四面体的体积是否变化判断选项B；求得与所有12条棱都相切的球的体积判断选项C；求得长的最小值判断选项D. 【详解】选项A：连接，则为正方体外接球的直径， 又，则正方体外接球的直径为.判断正确； 选项B：点在线段上运动，点到平面的距离恒为1， 则四面体的体积不变. 判断正确； 选项C：与所有12条棱都相切的球的半径为， 该球体积为， 则与所有12条棱都相切的球的体积为.判断正确； 选项D：正方体的内切球的半径为，球心为中点， 是球面上任意一点，则长的最小值是.判断错误. 故选：ABC 11. 已知△ABC的内角A､B､C所对的边分别为a､b､c，下列四个命题中，正确的命题是（ ） A. 若，则一定是等腰三角形 B. 若，则是等腰或直角三角形 C. 若，则一定是等腰三角形 D. 若，且，则是等边三角形 【答案】ABD 【解析】 【分析】 A．利用正弦定理以及两角和的正弦公式进行化简并判断； B．利用正弦定理以及两角和差的正弦公式进行化简并判断； C．先进行切化弦，然后利用正弦定理进行化简并判断； D．根据条件先求解出，然后利用正弦定理以及三角恒等变换计算出的值，从而判断出结果. 【详解】A．因为，所以， 所以，所以，所以，所以为等腰三角形，故正确； B．因为，所以， 所以， 所以，所以， 所以，所以或， 所以为等腰或直角三角形，故正确； C．因为，所以，所以， 所以，所以，所以或， 所以为等腰或直角三角形，故错误； D．因为，所以，所以或（舍），所以， 又因为，所以且，所以， 所以，所以，所以，所以， 所以，所以为等边三角形，故正确. 故选：ABD. 【点睛】本题考查利用正、余弦定理判断三角形形状，主要考查学生的转化与计算能力，难度一般.利用正、余弦定理判断三角形形状时，一定要注意隐含条件“”. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分. 12. 已知，，若与的夹角为钝角，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【详解】因为向量，，且与的夹角为钝角， 所以，且与不共线； 所以，解得且， 所以实数的取值范围是. 13. 如果复数满足，那么的最大值是___________. 【答案】 【解析】 【分析】首先将看作是点到两点距离之和为3，然后判断点的轨迹，然后将看作是点到点的距离，最后根据图象即可计算的最大值. 【详解】复数满足， 将其可以看作是点到两点距离之和为3. 因为，所以点的轨迹为线段. 而表示的是点到点的距离， 要求其距离的最大值，则根据图象可知点到点的距离最大， 即. 故答案为：. 14. 海上一观测站测得南偏西的方向上有一艘停止待维修的商船，在商船的正东方有一艘海盗船正向它靠近，速度为每小时90海里，此时海盗船距观测站 海里，20分钟后测得海盗船位于距观测站20海里的处，再经___________分钟海盗船到达商船处． 【答案】 【解析】 【分析】根据图示：在中，利用余弦定理求得，从而得到，然后在中，利用正弦定理求得，然后再根据速度求出时间. 【详解】如图所示： 在中，， 由余弦定理得：， 所以，则， 在中，， 所以， 即再经分钟海盗船到达商船处． 故答案为： 【点睛】本题主要考查余弦定理的实际应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在四边形中，，，，，，求四边形绕所在直线旋转一周所形成几何体的表面积和体积． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得该几何体为一个圆台从半径较小的底面挖去一个圆锥，由圆台、圆锥的表面积、体积公式运算即可得解. 【详解】由，得． 又因为，所以． 因为，， 所以． 所以几何体的表面积 ． ． ． ． 16. 在中，角所对的边分别为，已知． （1）求角的大小； （2）若为边上一点，为角的平分线，， 且，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式求出，即可得解； （2）依题意可得，再由等面积法得到，即可求出、，再由余弦定理计算可得. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理得， 又因为，可得， 所以， 所以， 因为，所以，可得，所以， 又因为，故. 【小问2详解】 因为，所以， 又为角的平分线，， 所以，即， 所以，又， 所以，， 又， 所以. 17. 如图，四棱锥中，底面为平行四边形，、分别为、的中点，平面平面. （1）证明：； （2）证明：∥平面； （3）在线段上是否存在一点，使平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3）存在，3 【解析】 【分析】（1）根据题意可证∥平面，结合线面平行的性质即可得结果； （2）根据平行关系可得，结合线面平行的判定定理分析证明； （3）取中点，连接，，可证平面∥平面，根据面面平行的性质可得，再结合平行线的性质运算求解. 【小问1详解】 因为为平行四边形，则， 且平面，平面，可知∥平面， 又因为平面平面，平面， 所以. 【小问2详解】 取中点，连接，， 则，且， 可知，则四边形为平行四边形，可得， 且平面，平面， 所以∥平面. 【小问3详解】 存在，使平面，，理由如下： 取中点，连接，， 则∥，且平面，平面， 所以∥平面， 又因为∥平面，且，，平面， 所以平面∥平面， 平面平面，平面平面， 可得， 因为为中点，且为中点，可得， 又因为，所以. 18. 如图，在梯形ABCD中，，，E，F分别为DC，CB的中点，且P是线段AB上的一个动点． （1）求AD； （2）求∠EAF； （3）求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，由数量积的坐标运算即可求得； （2）利用夹角公式的坐标运算即可求解； （3）根据坐标运算得，利用二次函数即可求解. 【小问1详解】 建立以为原点，为轴正半轴，为轴正半轴的坐标系， ∴，，假设，则，，， ∴，， 由，则，即，又，∴， ∴. 【小问2详解】 由（1）知：，，，， ∴，又为锐角， ∴； 【小问3详解】 设，∴，， ∴，， ∴ ， ∵，∴. 19. 如图，为线段的中点，为延长线上的一点，以为圆心，为半径作半圆，为半圆上除去直径端点的一点，连接． （1）若，以为边作正三角形（点在直线的上方），当四边形面积为时，求； （2）在中，记的对边分别为，的面积为，满足 ①求证：； ②求的最小值． 【答案】（1） （2）①证明见解析；② 【解析】 【分析】（1）设，，根据条件得到，结合条件，即可求解； （2）①根据条件，利用三角形面积及余弦定理得到，利用正弦定理边转角，得到，即可求解；②设，利用①及正弦定得到，从而有，再利用基本不等式，即可求解. 【小问1详解】 设，，在中，，， 由余弦定理，得到 又， 所以， 得到，又，所以，则，所以， 则. 【小问2详解】 ①由，则，又， 所以，即，又由余弦定理， 得到，所以，得以， ∴，又 ∴，又，， ∴或，即或（舍去），故， 即. ②不妨设，则， 由正弦定理知，所以， 又，∴， ∴ 又，∴原式， 当且仅当，即时取等号， ∴的最小值为，此时. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 敦化市实验中学校2025-2026学年度高一下学期期中考试数学试题 第I卷 一、选择题：本题共8小题，每题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数z满足，则复数z=（ ） A. B. C. D. 2. 已知正方体，、、分别为、、的中点，则图中与直线异面的直线是（ ） A. B. C. D. 3. 在中，内角A，B，C所对的边分别为，，.向量，若，则角的大小为（ ） A. B. C. D. 4. 已知菱形 ABCD边长为， 则（    ） A. B. C. 2 D. 4 5. 如图所示，表示水平放置的的直观图，则的面积是（ ） A. B. 4 C. D. 2 6. 已知向量， 满足，且，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 7. 在中，内角的对边分别是，若，且，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知圆台上底面的半径为1，下底面的半径为3，高为2，圆台上、下底面的圆周都在同一个球面上，则该球的体积是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 关于空间中直线与平面的位置关系，下列命题正确的是（ ） A. 若直线与平面平行，则与平面内的任意一条直线都平行 B. 若直线不平行于平面且，则平面内不存在与平行的直线 C. 若两条平行直线中的一条与一个平面平行，则另一条也与这个平面平行 D. 若直线与平面平行，则与平面内的任意一条直线都没有公共点 10. 如图，已知棱长为1的正方体中，下列命题正确的是（ ） A. 正方体外接球的直径为 B. 点在线段上运动，则四面体的体积不变 C. 与所有12条棱都相切的球的体积为 D. 是正方体的内切球的球面上任意一点，则长的最小值是 11. 已知△ABC的内角A､B､C所对的边分别为a､b､c，下列四个命题中，正确的命题是（ ） A. 若，则一定是等腰三角形 B. 若，则是等腰或直角三角形 C. 若，则一定是等腰三角形 D. 若，且，则是等边三角形 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分. 12. 已知，，若与的夹角为钝角，则实数的取值范围是__________. 13. 如果复数满足，那么的最大值是___________. 14. 海上一观测站测得南偏西的方向上有一艘停止待维修的商船，在商船的正东方有一艘海盗船正向它靠近，速度为每小时90海里，此时海盗船距观测站 海里，20分钟后测得海盗船位于距观测站20海里的处，再经___________分钟海盗船到达商船处． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在四边形中，，，，，，求四边形绕所在直线旋转一周所形成几何体的表面积和体积． 16. 在中，角所对的边分别为，已知． （1）求角的大小； （2）若为边上一点，为角的平分线，， 且，求的值. 17. 如图，四棱锥中，底面为平行四边形，、分别为、的中点，平面平面. （1）证明：； （2）证明：∥平面； （3）在线段上是否存在一点，使平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 18. 如图，在梯形ABCD中，，，E，F分别为DC，CB的中点，且P是线段AB上的一个动点． （1）求AD； （2）求∠EAF； （3）求的取值范围． 19. 如图，为线段的中点，为延长线上的一点，以为圆心，为半径作半圆，为半圆上除去直径端点的一点，连接． （1）若，以为边作正三角形（点在直线的上方），当四边形面积为时，求； （2）在中，记的对边分别为，的面积为，满足 ①求证：； ②求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $