专题04 空间几何体的表面积与体积（7个考点）（期末真题汇编，福建专用）高一数学下学期人教A版

**基本信息** 空间几何体表面积与体积专题汇编，涵盖7个高频考点，精选福建多地高一下期末真题，基础题与重难点题梯度分布，如斜二测画法直观图、外接球体积计算等。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择（含多选）|15题|直观图（考点01）、棱台表面积（考点03）、外接球（考点07）|基础题如斜二测画法判断，能力题如正四棱台外接球体积计算| |填空|19题|圆柱圆锥体积（考点04）、组合体体积（考点06）、内切球（考点07）|创新题如香料收纳盘剩余量计算，结合实际情境考查体积公式应用|

专题04 空间几何体的表面积与体积 7个高频考点概览 考点01 立体图形的直观图 考点02 棱锥棱柱的表面积与体积 考点03 棱台的表面积与体积 考点04 圆锥圆柱的表面积与体积 考点05 圆台的表面积与体积 考点06 组合体的表面积与体积 考点07 外接球内切球的表面积与体积（重难点） 考点01 立体图形的直观图 1．(24-25高一下·福建部分优质高中·期末)如图，矩形是水平放置的平面四边形用斜二测画法画出的直观图，其中 ，则原四边形的周长为_________. 2．(24-25高一下·福建三明第二中学·期末)已知等边的平面直观图的面积为，则等边的面积是_______． 3．(24-25高一下·福建三明普通高中·期末)用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论正确的是（    ） A．矩形的直观图是矩形 B．三角形的直观图是三角形 C．相等的角在直观图中仍然相等 D．长度相等的线段在直观图中仍然相等 4．(24-25高一下·福建部分学校教学联盟·期末)用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图，如图所示，轴，轴，，，则的原图形的面积为______． 5．(24-25高一下·福建福州第一中学·期末)已知是水平放置的的直观图，，则的面积为（   ） A．12 B． C．6 D． 6．(24-25高一下·福建漳州·期末)如图，是一个平面图形的直观图，其中，，则原图形的面积为（    ）． A． B．2 C． D．4 7．(24-25高一下·福建福州八县（，区）协作校·期末)是等腰直角三角形，且，它是在斜二测画法下的直观图，则的面积是（    ） A． B． C． D． 8．(24-25高一下·福建龙岩·期末)用斜二测画法画一个平面四边形的直观图，其直观图是如图所示的边长为2的正方形，则平面四边形的面积为______． 考点02 棱锥棱柱的表面积与体积 9．(24-25高一下·福建三明期末)如图所示，三棱柱ABC－A′B′C′中，若E，F分别为AC，AB的中点，平面EC′B′F将三棱柱分成体积为V1(棱台AEF－A′C′B′的体积)，V2的两部分，那么（　　） A．6︰5 B．7︰5 C．8︰3 D．4︰3 考点03 棱台的表面积与体积 10．(24-25高一下福州期末)已知正四棱台的体积为，，，则该四棱台的表面积为（   ） A．18 B． C． D． 11．(24-25高一下·福建福州马尾一中等六校·期末)在正四棱台中，，，，则该棱台的体积为______． 考点04 圆锥圆柱的表面积与体积 12．(24-25高一下·福建福州山海联盟协作校·期末)已知一个圆锥和圆柱的底面半径和侧面积分别相等，且圆锥的轴截面是等边三角形，则这个圆锥和圆柱的体积之比为（    ） A． B． C． D． 13．(24-25高一下·福建福州八县（，区）协作校·期末)已知一个底面半径为的圆锥的底面圆周和顶点都在一个半径为2的球的球面上，则圆锥的体积为________. 14．(24-25高一下·福建厦门外国语学校·期末)已知圆锥的体积为，其侧面积与底面积的比为，则该圆锥的表面积为（    ） A． B． C． D． 15．(24-25高一下·福建厦门·期末)某组合体的上、下部分分别是圆台和圆柱.圆台和圆柱的高相等，且圆台的下底面与圆柱的上底面重合，圆台的上底面半径是下底面半径的一半，则圆台与圆柱的体积之比为（   ） A． B． C． D． 考点05 圆台的表面积与体积 16．(24-25高一下·福建莆田·期末)在四边形中， ，以所在直线为轴，其他三边旋转一周形成的面围成的几何体的体积为__________. 17．(24-25高一下·福建厦门期末)已知一圆台的侧面展开图扇环的面积为，半径为的球与该圆台的上､下底面及侧面均相切，则圆台的体积等于（    ） A． B． C． D． 18．(24-25高一下·福建三明期末)已知某圆台的侧面展开图是如图所示的扇环，且，的弧长分别为，．若，则该圆台的体积是（   ）    A． B． C． D． 考点06 组合体的表面积与体积 19．(24-25高一下·福建福州台江区九校·期末)某水平放置的平面图形的斜二侧直观图是等腰梯形（如图所示），将该平面图形绕其直角腰边旋转一周得到一个圆台，已知，，则该圆台的体积为（    ） A． B． C． D． 20．(24-25高一下·福建福州第一中学·期末)用透明塑料制作一个由圆柱和圆台组合而成的封闭容器，并往容器内部灌入一些水．图1和图2为该容器在不同放置方式下的轴截面，其尺寸（单位：cm）如图所示．若如图1放置该容器时，其圆台部分恰好充满水，则如图2倒立放置该容器时，圆柱部分水面高度h为______cm． 21．(24-25高一下·福建泉州·期末)如图，某款厨房用的香料粉收纳盘为正四棱台造型，其两底面的边长分别为6cm，2cm．若该收纳盘中香料粉的每日使用量保持不变，收纳盘装满香料粉后连续使用19天，此时剩余香料粉的高度为装满时高度的一半，则剩余的香料粉大约还可以连续使用（   ） A．7天 B．11天 C．15天 D．19天 22．(24-25高一下·福建三明北附学校·期末)（多选）球面被平面所截得的一部分叫做球冠，截得的圆叫做球冠的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球冠的高．球体被平面截下的一部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直径被截下的线段长叫做球缺的高，球缺是旋转体，可以看做是球冠和其底所在的圆面所围成的几何体．如图1，一个球面的半径为，球冠的高是，球冠的表面积公式是，与之对应的球缺的体积公式是．如图2，已知点是以为直径的圆上的点，，扇形的面积为，将扇形绕直线旋转一周得到一个几何体，则下列结论正确的是（    ） A．该几何体是一个球缺 B．该几何体中球冠的高为1 C．该几何体的体积为 D．该几何体的表面积为 考点07 外接球内切球的表面积与体积 23．(24-25高一下·福建福州第八中学·期末)（多选）截角四面体是一种半正八面体，可由四面体经过适当的截角，即截去四面体的四个顶点处的小棱锥所得的多面体，如图所示，将棱长为的正四面体沿棱的三等分点作平行于底面的截面得到所有棱长均为的截角四面体，则下列说法正确的是（    ） A． B．该截角四面体的表面积为 C． D．该截角四面体的外接球表面积为 24．(24-25高一下·福建福州第三中学·期末)已知正四棱锥中，各棱长均相等，球是该四棱锥的内切球，球与球相切，且与该四棱锥的四个侧面也相切，则球与球的表面积之比为（    ） A． B．9 C． D． 25．(24-25高一下·福建三明普通高中·期末)已知正四棱台的上、下底边长分别为和，高为，则该棱台外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 26．(24-25高一下·福建福州第一中学·期末)若棱长为a的正四面体的内部有一个棱长为2的正方体可任意转动，则a的最小值为______. 27．(24-25高一下·福建福州第一中学·期末)已知在三棱锥中，，则三棱锥外接球的体积为（   ） A． B． C． D． 28．(24-25高一下·福建福州闽侯县第六中学·期末)（多选）已知球的表面积为，一个正四面体的四个面都与球相切，且该正四面体的四个顶点都在球的球面上，则（    ）． A．该正四面体的表面积为 B．该正四面体的体积是 C．球的表面积是 D．球与球的体积比是 29．(24-25高一下·福建漳州·期末)已知三棱锥，满足，，则三棱锥的外接球的表面积等于______． 30．(24-25高一下·福建宁德·期末)如图，一个底面边长和侧棱长均为8的正三棱柱密闭容器，其中盛有一定体积的水．若侧面水平放置时，水面恰好经过点，且，那么当底面水平放置时，水面高为_____；若侧面水平放置时，容器内的水形成的几何体的所有顶点在同一个球面上，该球的表面积为_____． 31．(24-25高一下·福建龙岩·期末)已知圆台的上、下底面半径分别为3和4，体积为，则该圆台外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 32．(24-25高一下·福建部分优质高中·期末)正四棱台的体积为，上底面，下底面的边长分别为4，6，记交于点交于点，则______，若四棱台的各个顶点均在球的表面上，则球的表面积为______． 33．(24-25高一下·福建福州第十五中学·期末)在三棱锥中，，，，则该三棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 34．(24-25高一下·福建三明期末)在圆台中，圆的半径是圆半径的2倍，且点为该圆台外接球球心，则圆台的体积与外接球的体积之比为（） A． B． C． D． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 空间几何体的表面积与体积 7个高频考点概览 考点01 立体图形的直观图 考点02 棱锥棱柱的表面积与体积 考点03 棱台的表面积与体积 考点04 圆锥圆柱的表面积与体积 考点05 圆台的表面积与体积 考点06 组合体的表面积与体积 考点07 外接球内切球的表面积与体积（重难点） 考点01 立体图形的直观图 1．(24-25高一下·福建部分优质高中·期末)如图，矩形是水平放置的平面四边形用斜二测画法画出的直观图，其中 ，则原四边形的周长为_________. 【答案】 【分析】根据斜二测画法将直观图还原为原图，结合勾股定理，即可得答案. 【详解】根据题意，直观图中，，在等腰直角中由勾股定理得， 将直观图还原为原图，如图所示， 则，， 所以在中由勾股定理得：， 因为且， 所以四边形为平行四边形， 所以原四边形的周长为. 2．(24-25高一下·福建三明第二中学·期末)已知等边的平面直观图的面积为，则等边的面积是_______． 【答案】 【分析】利用斜二测画法得到的平面直观图的面积等于原图形面积乘以，结合已知即可求解． 【详解】由于原图和直观图面积之间的关系，可得， 所以原的面积． 故答案为： 3．(24-25高一下·福建三明普通高中·期末)用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论正确的是（    ） A．矩形的直观图是矩形 B．三角形的直观图是三角形 C．相等的角在直观图中仍然相等 D．长度相等的线段在直观图中仍然相等 【答案】B 【分析】由斜二测画法逐一判断即可. 【详解】解：对于A，由斜二测画法可知，矩形的直观图为平行四边形，故A错误； 对于B，由斜二测画法可知，三角形的直观图是三角形，故B正确； 对于C，由A可知，矩形的四个角都为直角，但其直观图是平行四边形，只有对角才相等，故C错误； 对于D，正方形的四条边相等，但其直观图是平行四边形，只有对边才相等，故D错误. 故选：B. 4．(24-25高一下·福建部分学校教学联盟·期末)用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图，如图所示，轴，轴，，，则的原图形的面积为______． 【答案】10 【分析】根据给定条件，求出的面积，再利用该三角形与其原图形关系求得答案. 【详解】在中，轴，轴，则为等腰直角三角形，， 又，于是所对原图形为，边， 边上的高，所以的面积为. 故答案为：10 5．(24-25高一下·福建福州第一中学·期末)已知是水平放置的的直观图，，则的面积为（   ） A．12 B． C．6 D． 【答案】A 【分析】应用三角形面积公式得，再由直观图与原图面积关系求的面积. 【详解】由题设，又， 所以. 故选：A 6．(24-25高一下·福建漳州·期末)如图，是一个平面图形的直观图，其中，，则原图形的面积为（    ）． A． B．2 C． D．4 【答案】A 【分析】根据斜二测画法的规则，分析出原图形中的位置及数量关系，再根据三角形面积公式计算即可. 【详解】在直观图中，因为，， 所以 在直观图中，在轴上且， 所以在原图形中，在轴上，且， 在直观图中，在轴上且，， 所以在原图形中，在轴上，且， 并且在原图形中，， 所以. 故选：A 7．(24-25高一下·福建福州八县（，区）协作校·期末)是等腰直角三角形，且，它是在斜二测画法下的直观图，则的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直观图与原图形的面积关系即可求解. 【详解】是等腰直角三角形，且， ， . 故选：D. 8．(24-25高一下·福建龙岩·期末)用斜二测画法画一个平面四边形的直观图，其直观图是如图所示的边长为2的正方形，则平面四边形的面积为______． 【答案】 【分析】根据斜二测画法规则求出，判断四边形的形状，确定，由此求出面积. 【详解】在正方形中，， 由斜二测画法知， 且，四边形为平行四边形， 所以原四边形的面积是. 故答案为：. 考点02 棱锥棱柱的表面积与体积 9．(24-25高一下·福建三明期末)如图所示，三棱柱ABC－A′B′C′中，若E，F分别为AC，AB的中点，平面EC′B′F将三棱柱分成体积为V1(棱台AEF－A′C′B′的体积)，V2的两部分，那么（　　） A．6︰5 B．7︰5 C．8︰3 D．4︰3 【答案】B 【分析】因为分别为的中点，得到，利用棱台的体积公式，求得，得到则，即可求得的值. 【详解】设三棱柱的高为，底面面积为，体积为，则， 因为分别为的中点，所以， 所以，则，所以. 故选：B. 考点03 棱台的表面积与体积 10．(24-25高一下福州期末)已知正四棱台的体积为，，，则该四棱台的表面积为（   ） A．18 B． C． D． 【答案】B 【分析】依次求得正四棱台的高，侧面等腰梯形的高，结合棱台表面积公式即可求解. 【详解】设正四棱台的高为，则，解得， 设正四棱台侧面等腰梯形的高为，则， 故该四棱台的表面积为. 故选：B. 11．(24-25高一下·福建福州马尾一中等六校·期末)在正四棱台中，，，，则该棱台的体积为______． 【答案】 【分析】由正四棱台的对角面为是等腰梯形，求得棱台的高，结合棱台的体积公式，即可求解. 【详解】正四棱台的对角面为是等腰梯形，其高为该正四棱台的高， 在等腰梯形中，， 因为，则该梯形的高， 所以该棱台的体积为. 故答案为：.    考点04 圆锥圆柱的表面积与体积 12．(24-25高一下·福建福州山海联盟协作校·期末)已知一个圆锥和圆柱的底面半径和侧面积分别相等，且圆锥的轴截面是等边三角形，则这个圆锥和圆柱的体积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设圆锥的底面半径为r，分别求出圆锥和圆柱的高（用表示），代入体积公式计算可得. 【详解】设圆锥的底面半径为r，因为圆锥的轴截面是等边三角形，所以圆锥的母线长为， 则圆锥的高为，设圆柱的高为，又圆锥和圆柱的侧面积相等， 所以，解得，所以这个圆锥和圆柱的体积之比为. 故选：C． 13．(24-25高一下·福建福州八县（，区）协作校·期末)已知一个底面半径为的圆锥的底面圆周和顶点都在一个半径为2的球的球面上，则圆锥的体积为________. 【答案】或 【分析】分析圆锥的轴截面，由圆锥的外接球半径可得轴截面的外接圆半径，求得轴截面的顶角，进而得出圆锥的高，从而得出体积. 【详解】 设圆锥的轴截面为如图等腰三角形，是圆锥的高， 由题意，，的外接圆半径是， 设，由正弦定理，，即， 则或，则或， 于是圆锥的高或， 则圆锥的体积为或. 故答案为：或 14．(24-25高一下·福建厦门外国语学校·期末)已知圆锥的体积为，其侧面积与底面积的比为，则该圆锥的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先设出圆锥的半径母线和高，根据侧面积与底面积的比找到母线和半径的关系，再找到高和半径的关系最后根据体积值求出半径再利用表面积公式即可. 【详解】设圆锥底面圆的半径为，母线长为，高为， 因为其侧面积与底面积的比为， ，即， 由圆锥的基础知识可知：，所以， 又因为圆锥的体积为，所以，所以， 所以圆锥的表面积为， 故选：D 15．(24-25高一下·福建厦门·期末)某组合体的上、下部分分别是圆台和圆柱.圆台和圆柱的高相等，且圆台的下底面与圆柱的上底面重合，圆台的上底面半径是下底面半径的一半，则圆台与圆柱的体积之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用圆台和圆柱的体积公式直接计算即可得解. 【详解】设圆台的上底面半径为，高为，则圆台和圆柱的底面半径为， 则圆台体积，圆柱体积， 所以圆台与圆柱的体积之比为. 故选：B 考点05 圆台的表面积与体积 16．(24-25高一下·福建莆田·期末)在四边形中， ，以所在直线为轴，其他三边旋转一周形成的面围成的几何体的体积为__________. 【答案】/ 【分析】由圆台的体积公式即可求解. 【详解】如图所示，原题等价于求上下底面半径依次为，高为1的圆台的体积， 故所求为. 故答案为：. 17．(24-25高一下·福建厦门期末)已知一圆台的侧面展开图扇环的面积为，半径为的球与该圆台的上､下底面及侧面均相切，则圆台的体积等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】上下底面的半径分别为，则由题设可得且，求出后结合公式可求圆台的体积. 【详解】如图，设圆台的上下底面的中心为， 上下底面的半径分别为，一条母线为， 因为展开图扇环的面积为，故， 而半径为的球与该圆台的上､下底面及侧面均相切， 故，且， 故且，故， 故圆台的体积为 故选：B. 18．(24-25高一下·福建三明期末)已知某圆台的侧面展开图是如图所示的扇环，且，的弧长分别为，．若，则该圆台的体积是（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题设确定圆台上下底面半径及高，再应用圆台的体积公式求体积. 【详解】由题设，圆台上下底面半径分别为，高， 所以圆台的体积. 故选：C 考点06 组合体的表面积与体积 19．(24-25高一下·福建福州台江区九校·期末)某水平放置的平面图形的斜二侧直观图是等腰梯形（如图所示），将该平面图形绕其直角腰边旋转一周得到一个圆台，已知，，则该圆台的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用直观图的画图原则画出原图图形，则可得出直角梯形的边长，再利用圆台的体积公式计算即可. 【详解】作出其平面图形，则在平面图形中，，， 则圆台的上底面半径，下底面半径，高， 则上底面面积，下底面面积， 由圆台的体积公式. 故选：C. 20．(24-25高一下·福建福州第一中学·期末)用透明塑料制作一个由圆柱和圆台组合而成的封闭容器，并往容器内部灌入一些水．图1和图2为该容器在不同放置方式下的轴截面，其尺寸（单位：cm）如图所示．若如图1放置该容器时，其圆台部分恰好充满水，则如图2倒立放置该容器时，圆柱部分水面高度h为______cm． 【答案】 【分析】根据水的体积恒定，应用圆台、圆柱的体积公式列方程求圆柱部分水面高度h. 【详解】由题设，水的体积为， 所以，可得. 故答案为： 21．(24-25高一下·福建泉州·期末)如图，某款厨房用的香料粉收纳盘为正四棱台造型，其两底面的边长分别为6cm，2cm．若该收纳盘中香料粉的每日使用量保持不变，收纳盘装满香料粉后连续使用19天，此时剩余香料粉的高度为装满时高度的一半，则剩余的香料粉大约还可以连续使用（   ） A．7天 B．11天 C．15天 D．19天 【答案】A 【分析】根据棱台的体积公式，计算求值，再计算出使用的天数. 【详解】由题意可知，设香料收纳盘的高为，则收纳盘的容积为． 收纳盘装满香料粉后连续使用19天，此时剩余香料粉的高度为装满时高度的一半，则所用的容积为， 所以剩余的香料粉的容积为， 因此根据比例关系可得剩余的香料粉还可以连续使用7天. 故选：A． 22．(24-25高一下·福建三明北附学校·期末)（多选）球面被平面所截得的一部分叫做球冠，截得的圆叫做球冠的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球冠的高．球体被平面截下的一部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直径被截下的线段长叫做球缺的高，球缺是旋转体，可以看做是球冠和其底所在的圆面所围成的几何体．如图1，一个球面的半径为，球冠的高是，球冠的表面积公式是，与之对应的球缺的体积公式是．如图2，已知点是以为直径的圆上的点，，扇形的面积为，将扇形绕直线旋转一周得到一个几何体，则下列结论正确的是（    ） A．该几何体是一个球缺 B．该几何体中球冠的高为1 C．该几何体的体积为 D．该几何体的表面积为 【答案】BCD 【分析】明确旋转体的构造，判断A的真假；求球冠的高，判断B的真假；求组合体体积，判断C的真假；求组合体的表面积，判断D的真假. 【详解】对A：易得将扇形绕直线旋转一周得到的几何体是组合体，下方为一个倒置的圆锥，上方为球缺，故A错误； 如图：过点作的垂线，垂足为. 因为扇形的面积为，且，所以 . 对B：因为，，所以，所以该几何体中球冠的高，故B正确； 对C：该几何体的体积是球缺体积加圆锥体积，所以 ，故C正确； 对D：该几何体的表面积为球冠面积加圆锥侧面积，所以 ，故D正确. 故选：BCD 考点07 外接球内切球的表面积与体积 23．(24-25高一下·福建福州第八中学·期末)（多选）截角四面体是一种半正八面体，可由四面体经过适当的截角，即截去四面体的四个顶点处的小棱锥所得的多面体，如图所示，将棱长为的正四面体沿棱的三等分点作平行于底面的截面得到所有棱长均为的截角四面体，则下列说法正确的是（    ） A． B．该截角四面体的表面积为 C． D．该截角四面体的外接球表面积为 【答案】BC 【分析】确定截角四面体是由4个边长为a的正三角形，4个边长为a的正六边形构成，还原正四面体可判断AB，然后分别求解截角四面体的表面积、外接球的表面积,即可判断选项C，D. 【详解】截角四面体还原为正四面体，如图， 因为，所以,而为等边三角形，,故不成立，故A错误； 截角四面体由4个边长为a的正三角形，4个边长为a的正六边形构成, 故，故选项B正确； 连接,则,，由正四面中对棱互相垂直知, 所以,在中，，故C正确； 取上下底面的中心分别为,外接球的心为M，连接，如图， 因为截角四面体上下底面距离为设球半径为， 所以，即， 所以 化简得，故，故选项D错误. 故选：BC 24．(24-25高一下·福建福州第三中学·期末)已知正四棱锥中，各棱长均相等，球是该四棱锥的内切球，球与球相切，且与该四棱锥的四个侧面也相切，则球与球的表面积之比为（    ） A． B．9 C． D． 【答案】A 【分析】过已知正四棱锥顶点及底面正方形一组对边中点作截面，将问题转化为三角形及内部一系列圆相切问题求解作答. 【详解】 在正四棱锥中，令各棱长为2，O为正方形ABCD的中心，M，Q分别为边AB，CD的中点， 过点P，M，Q的平面截正四棱锥得等腰，截球O1，球O2，得对应球的截面大圆，如图： 依题意，，， 令N为圆与PM相切的切点，则，设球的半径为，即， 由，得，， 设球与球相切于点T，则， 设球的半径为，同理可得，则， 所以球与球的表面积之比. 故选：A 25．(24-25高一下·福建三明普通高中·期末)已知正四棱台的上、下底边长分别为和，高为，则该棱台外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】只需求出该棱台外接球的半径，再结合球的体积公式求解即可. 【详解】因为已知正四棱台的上、下底边长分别为和， 所以上下底面正方形外接圆半径依次为， 根据对称性可知，该棱台外接球的球心在棱台上下底面外接圆的圆心的连线上， 设该棱台外接球的球心到上底面的距离为，该棱台外接球的半径为， 所以，解得， 故所求为. 故选：D. 26．(24-25高一下·福建福州第一中学·期末)若棱长为a的正四面体的内部有一个棱长为2的正方体可任意转动，则a的最小值为______. 【答案】 【分析】由题意该正方体一定内接于正四面体内切球内，且正方体的体对角线为正四面体内切球的直径时最小，再应用等体积法列方程求参数值. 【详解】由题意，要使正方体可任意转动，则该正方体一定内接于正四面体内切球内， 所以正方体的体对角线为正四面体内切球的直径时，最小， 此时正四面体的内切球半径为，而正四面体的高， 若正四面体的侧面三角形面积为，由等体积法知， 所以，可得. 故答案为： 27．(24-25高一下·福建福州第一中学·期末)已知在三棱锥中，，则三棱锥外接球的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】只需求得三棱锥外接球的半径，再结合球的体积公式即可求解. 【详解】如图所示，取中点，因为， 所以， 而，所以， 所以， 所以点为三棱锥外接球的球心， 所以三棱锥外接球的半径为，故所求为. 故选：A. 28．(24-25高一下·福建福州闽侯县第六中学·期末)（多选）已知球的表面积为，一个正四面体的四个面都与球相切，且该正四面体的四个顶点都在球的球面上，则（    ）． A．该正四面体的表面积为 B．该正四面体的体积是 C．球的表面积是 D．球与球的体积比是 【答案】ACD 【分析】设正四面体的棱长为，内切球半径为，外接球半径为，利用体积分割法求得，将正四面体放入正方体可得，从而可逐项判断求解. 【详解】A：设正四面体的棱长为，如图所示正四面体，点在底面的投影为点且为底面重心，为内切球圆心，分别连接，，， 设内切球的半径为，则，则得， 因，， 又， 由 即， 解得：，则，所以该正四面体的表面积为，故A正确； B：由A可得，故B错误； C：将正四面体放到一个正方体内，则正方体的外接球就是正四面体的外接球，设外接球半径为， 则，解得：， 由A得，则， 所以球的表面积是，故C正确； D：由，，则，所以球与球的体积比是，故D正确. 故选：ACD. 29．(24-25高一下·福建漳州·期末)已知三棱锥，满足，，则三棱锥的外接球的表面积等于______． 【答案】 【分析】设三棱锥外接球的半径为，先判断出为直角三角形，再判断出点在平面上的射影是的中点，在中，求出，在中，再根据勾股定理列出方程，求出，即可求出外接球的表面积. 【详解】 因为，且， 所以为直角三角形. 又因为，所以点在平面上的射影 是外接圆的圆心，即的中点. 设三棱锥的外接球的球心为，半径为，则有平面. 所以在中， 在中，， 所以由勾股定理可知，即，解得， 所以三棱锥的外接球的表面积. 故答案为： 30．(24-25高一下·福建宁德·期末)如图，一个底面边长和侧棱长均为8的正三棱柱密闭容器，其中盛有一定体积的水．若侧面水平放置时，水面恰好经过点，且，那么当底面水平放置时，水面高为_____；若侧面水平放置时，容器内的水形成的几何体的所有顶点在同一个球面上，该球的表面积为_____． 【答案】 【分析】第一空：由题意水的高度占容器高度的，由此即可得解；第二空：先求出的外接圆半径，再结合即可求解外接球的半径，结合球的表面积公式即可得解. 【详解】水的体积占容器体积的，底面水平放置时， 水的高度占容器高度的，即水面高度为； 侧面水平放置时，容器内的水形成的几何体为底面是等腰梯形的直四棱柱， 且，，， ， 的外接圆半径， 所以该四棱柱的外接球的半径， 故该球的表面积． 故答案为：；. 31．(24-25高一下·福建龙岩·期末)已知圆台的上、下底面半径分别为3和4，体积为，则该圆台外接球的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用圆台的体积公式求出该圆台的高，进而求出其外接球的半径即可. 【详解】设圆台的高为，则，解得， 设圆台外接球半径为，则，球心到圆台上下底面圆距离分别为， 因此，，解得， 所以该圆台外接球的表面积为. 故选：D 32．(24-25高一下·福建部分优质高中·期末)正四棱台的体积为，上底面，下底面的边长分别为4，6，记交于点交于点，则______，若四棱台的各个顶点均在球的表面上，则球的表面积为______． 【答案】 【分析】根据台体的体积公式可得，即可根据勾股定理求解第一空，根据外接球的性质，结合勾股定理可求解半径，由表面积公式求解第二空. 【详解】如图，连接，则底面， 由题意可得，，该正四棱台的体积，， 连接，故； 设， 则，， 由，解得， ，即球的半径， 球的表面积为． 故答案为：，. 33．(24-25高一下·福建福州第十五中学·期末)在三棱锥中，，，，则该三棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三棱锥中的对棱相等模型将三棱锥补成长方体，求出半径，结合球的表面积公式即可求解. 【详解】将三棱锥补成长方体，则三棱锥的外接球等价于长方体的外接球， 设长方体的长宽高分别为， 则，可得， 所以长方体的外接球半径， 所以三棱锥的外接球的表面积为.    故选：. 34．(24-25高一下·福建三明期末)在圆台中，圆的半径是圆半径的2倍，且点为该圆台外接球球心，则圆台的体积与外接球的体积之比为（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】假设圆的半径，则圆的半径可知，进而通过勾股定理可求圆台的高，分别利用圆台和球的体积计算即可. 【详解】过作圆台的轴截面，如图所示 为该圆台外接球球心，且圆的半径是圆半径的2倍， 不妨设圆的半径，则圆的半径 依题意， ，， ， 故选：D. 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $