专题02 正余弦定理及其应用10大考点（期末真题汇编，福建专用）高一数学下学期人教A版

**基本信息** 聚焦正余弦定理及其应用，涵盖10个高频考点，精选福建多地高一下期末真题，注重基础巩固与综合应用结合，适配期末复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择/填空|30+题|正余弦定理求边长、判断三角形形状、实际应用（测量塔高）、几何图形综合（拿破仑定理）|结合福建期末真题，融入文峰塔测量、机器人拦截等真实情境，设置分层问题（基础计算到最值探究）| |解答题|20+题|周长面积计算、边角互化、中线角平分线问题、综合最值|非选择题注重多考点融合，如考点07结合几何图形与定理应用，考点10综合考查逻辑推理与运算能力|

专题02 正余弦定理及其应用 10个高频考点概览 考点01 正余弦定理求边长与夹角 考点02 判断三角形解的个数与三角形的形状 考点03 正余弦定理求周长面积 考点04 正余弦定理在边角互化中的应用 考点05 正余弦定理的实际应用 考点06 中线与角平分线的计算 考点07 与几何图形有关的计算 考点08 周长与面积的最值与范围 考点09 其他最值与范围 考点10 解三角形综合 考点01 正余弦定理求边长与夹角 1．(24-25高一下·福建南平·期末)已知的三个内角A，，的对边分别为，，．若，，且的面积为，则（   ） A． B． C． D． 2．(24-25高一下·福建泉州·期末)已知的内角所对的边分别为，若，则（   ） A． B．2 C． D．3 3．(24-25高一下·福建安溪第八中学·)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，则sinA＝（    ） A． B． C． D． 4．(24-25高一下·福建漳州·期末)在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则______． 5．(24-25高一下·福建福州八县（，区）协作校·期末)在中，角，，的对边分别是，，，已知，，，则______. 6．(24-25高一下·福建龙岩·期末)在中，角所对的边分别为，已知，且，则的值为______． 考点02 判断三角形解的个数与三角形的形状 7．(24-25高一下·福建福州山海联盟协作校·期末)记的内角、、的对边分别为、、，且，则是（   ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形 8．(24-25高一下·福建龙岩·期末)在中，角所对的边分别为，则满足以下条件的三角形的解个数为两个的是（   ） A． B． C． D． 9．(24-25高一下·福建福州台江区九校·期末)（多选）已知的三个内角，，所对应的边分别为，，，则下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．恒成立 C．若，则为锐角三角形 D．若，则是等腰三角形 10．(24-25高一下·福建福州山海联盟协作校·期末)（多选）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a，b，c为连续正整数，且，则下列说法正确的是（   ） A．存在唯一的，使得 B．存在唯一的，使得 C．存在唯一的，使得 D．不存在，使得 11．(24-25高一下·福建福州第十五中学·期末)（多选）在中，内角所对的边分别为，则下列说法正确的是（    ） A．若，则是钝角三角形 B．若是锐角三角形，则 C．若，，，则满足这组条件的三角形有两个 D．若，则 考点03 正余弦定理求周长或面积 12．(24-25高一下·福建福州马尾一中等六校·期末)在中，角A，B，C的对边分别为，且，，. (1)求； (2)若，则的面积为，求. 13．(24-25高一下·福建福州八县（，区）协作校·期末)在中，内角所对的边分别为满足. (1)求角的大小； (2)若，边上的中线的长为，求的面积. 14．(24-25高一下·福建部分优质高中·期末)在 中，内角A，B，C对应的边分别是a，b，c，且． (1)求角； (2)若AB的长为3，AC边上的中线BD长为，求的周长． 15．(24-25高一下·福建龙岩·期末)在中，角所对的边分别为，已知． (1)求角的值； (2)若，的面积为，求边长的值． 考点04 正余弦定理在边角互化中的应用 16．(24-25高一下·福建福州第八中学·期末)已知的内角，，所对的边分别为，，，，，则______. 17．(24-25高一下·福建厦门外国语学校·期末)在中，角，，所对的边分别为，，，若，则________． 18．(24-25高一下·福建福州山海联盟协作校·期末)已知△ABC的面积为，且，则△ABC外接圆的半径为（   ） A． B． C． D． 考点05 正余弦定理的实际应用 19．(24-25高一下·福建莆田·期末)为了测量某建筑物的高度，选取与该建筑物底部在同一水平面内的两个测量点.现测得米，在点处测得该建筑物顶部的仰角为，则该建筑物的高度为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 20．(24-25高一下·福建福州闽侯县第六中学·期末)如图，测量河对岸的塔高时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D．现测得，，，并在点C测得塔顶A的仰角为，则塔高为（    ）． A． B． C． D． 21．(24-25高一下·福建福州马尾一中等六校·期末)如图，为了测量河对岸塔的高度，甲在处观测到河对岸塔在北偏东方向，顶部的仰角为，往正东方向前进到达处，测得该塔在北偏西方向，底部和在同一水平面内，则该建筑物的高为（    ） A． B． C． D． 22．(24-25高一下·福建福州八县（，区）协作校·期末)由瑞士著名建筑大师马里奥博塔设计的清华大学艺术博物馆整体为长方体造型，长方体是该建筑的直观图，当身高为 m人（忽略眼睛到头顶的距离）站在点处（的延长线上）时可以估测点、点的仰角，现测得楼宽长为m，此人估测得点的仰角为，点的仰角为，则估测教学楼的高为（    ）（单位：m) A． B． C． D． 23．(24-25高一下·福建厦门外国语学校·期末)文峰塔建于清道光三十年（1850年），具有镇洪水和象征人文鼎盛的寓意，现为重庆市文物保护单位，并成为广益中学的标志性景观之，该塔为七级楼阁式砖石结构，底层以条石筑成，塔身呈六边形，逐层向上收窄，顶部为六角攒尖葫芦宝顶.其建筑特色和地理位置（南山之巅）使其成为俯瞰山城的重要观景点. 我校“文峰数智社”为了测量其高度，设文峰塔高为，在与点B同一水平面且共线的三点C，D，E处分别测得顶点A的仰角为，且，则文峰塔的高约为（ ） （参考数据：） A． B． C． D． 24．(24-25高一下·福建部分优质高中·期末)如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到达处时测得公路右侧一山底在西偏北的方向上；行驶后到达处，测得此山底在西偏北的方向上，山顶的仰角为，则此山的高度______． 25．(24-25高一下·福建福州第八中学·期末)某校兴趣小组在如图所示的矩形区域内举行机器人拦截挑战赛，在处按方向释放机器人甲，同时在处按方向释放机器人乙，设机器人乙在处成功拦截机器人甲，两机器人停止运动．若点在矩形区域内（包含边界），则挑战成功，否则挑战失败．已知米，为中点，比赛中两机器人均匀速直线运动方式行进，记与的夹角为（），与的夹角为（）． （1）若两机器人运动方向的夹角为，足够长，机器人乙挑战成功，求两机器人运动路程和的最大值； （2）已知机器人乙的速度是机器人甲的速度的倍． （i）若，足够长，机器人乙挑战成功，求． （ii）如何设计矩形区域的宽的长度，才能确保无论的值为多少，总可以通过设置机器人乙的释放角度使机器人乙挑战成功？ 考点06 中线与角平分线的计算 26．(24-25高一下·福建龙岩第一中学·月考)在中，角的对边分别为，且向量. (1)求角 ； (2)若 的面积为，点为边的中点，求的长. 27．(24-25高一下·福建福州闽侯县第六中学·期末)在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知． (1)求A； (2)若的平分线交于点D，求． 28．(24-25高一下·福建厦门·期末)在中，角的对边分别为，且. (1)求； (2)若为的中点，，，求. 29．(24-25高一下·福建福州第三中学·期末)已知，其内角，，的对边分别为，，，且. (1)求； (2)，，是的中点，求的长. 考点07 与几何图形有关的计算 30．(24-25高一下·福建泉州·期末)已知锐角的内角所对的边分别为，且． (1)求； (2)若，求的面积的取值范围； (3)如图，若为外一点，且，求． 31．(24-25高一下·福建福州山海联盟协作校·期末)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且． (1)求A； (2)若，求a； (3)拿破仑定理是法国著名军事家拿破仑·波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边，向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形（此等边三角形称为拿破仑三角形）的顶点．”如图，以BC，AC，AB为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次记为A'，B'，C'，若，求△A'B'C'的面积的最大值． 32．(24-25高一下·福建宁德·期末)中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其他民俗活动的民间艺术．在中国，剪纸具有广泛的群众基础，交融于各族人民的社会生活，是各种民俗活动的重要组成部分．现有一张等腰直角卡片，，，用该卡片可以裁剪出扇形、三角形、矩形等各种形状．    (1)如图1，以为圆心，为半径的扇形是一个圆锥的侧面展开图，求该圆锥的体积； (2)，，分别是边，，上的三个点． ①如图2，若是以为直角顶点的等腰直角三角形，求证：是的中点； ②如图3，若是以为直角顶点的等腰直角三角形，记的面积为，求的最小值． 33．(24-25高一下·福建龙岩·期末)如图，在中，角所对的边分别为是内的一点，且满足．    (1)若，求的大小； (2)若，求的正切值； (3)若，求的值． 34．(24-25高一下·福建部分优质高中·期末)在内一点满足，则称为的布洛卡点，为布洛卡角．小明同学对布洛卡点产生兴趣，对其进行探索得到许多正确的结论，比如，若下列问题中的点为的布洛卡点，请你和他一起解决如下问题：    (1)当，且时，求； (2)角，，所对的边分别为，，，，求证：； (3)在（2）的条件下，若的周长为4，试把表示为的函数，并求的值域． 35．(24-25高一下·福建厦门外国语学校·期末)如图，中，，，点在线段上，为等边三角形.    (1)若，，求线段的长度; (2)若，求线段的最大值; (3)若平分，求与内切圆半径之比的取值范围. 考点08 周长与面积的最值与范围 36．(24-25高一下·福建三明普通高中·期末)在中，内角所对的边分别为，且满足. (1)求； (2)所在平面内一点满足，若，求的周长的最大值. 37．(24-25高一下·河南南阳六校·期末)已知的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，向量，，且． (1)求A； (2)若，求面积的最大值； (3)若为锐角三角形，且，求周长的取值范围． 38．(24-25高一下·福建莆田·期末)记的内角所对的边分别为，向量，且 . (1)求角A； (2)若，点为的内心，求面积的最大值. 39．(24-25高一下·福建漳州·期末)在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，． (1)求A； (2)若D为中点，且，求的周长； (3)若是锐角三角形，求面积的取值范围． 40．(24-25高一下·福建厦门外国语学校·期末)已知中，角，，所对的边分别为，，， (1)求证：； (2)若，求周长的取值范围． 41．(24-25高一下·福建福州台江区九校·期末)在中，是边上一点，且，，则__________；若，则的面积的最大值为__________． 42．(24-25高一下·福建三明普通高中·期末)已知点是边长为3的正三角形所在平面内的一点，满足，过点的动直线分别交线段，于点，，则面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 43．(24-25高一下·福建厦门外国语学校·期末)在中，分别为内角所对的边，已知.设为边BC上一点，若，且，则面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 44．(24-25高一下·福建三明普通高中·期末)（多选）在中，，为中点，.以下结论正确的是（    ） A．若，则 B．的面积的最大值是 C． D．的周长可能是6 45．(24-25高一下·福建福州八县（，区）协作校·期末)（多选）设锐角中，内角所对的边分别为，若，，外一点，且在直线的异侧，，，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则A，B，C，D四点共圆 C．四边形面积的最小值为 D．四边形面积的最大值为 考点09 其他最值与范围 46．(24-25高一下·福建福州第三中学·)在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且满足. (1)求角； (2)若，求面积的最大值； (3)求的取值范围. 47．(24-25高一下·福建厦门期末)如图，在中，是上一点，是上一点，且． (1)已知，在的垂直平分线上，且． ①求； ②若为外接圆的圆心，为外接圆的圆心，求． (2)若是的角平分线，，求的最大值． 48．(24-25高一下·三明·期末)在锐角中，角，，所对的边分别为，，，且满足 . 请从条件①、条件②中选择一个条件补充至横线处，并解决下列问题： 条件：①；②. (1)证明：； (2)若的平分线交于，，，求的值； (3)求的取值范围. 注：如果选择多个条件解答，按第一个解答计分. 考点10 解三角形综合 49．(24-25高一下·福建福州第三中学·期末)（多选）已知的内角，，所对的边分别为，，，边上的高为，若，，则（    ） A． B． C． D． 50．(24-25高一下·福建漳州·期末)（多选）已知内接于圆O，，设，则（    ）． A． B．若，则圆O的面积为 C．若，则圆O的面积为 D．若，则 51．(24-25高一下·福建厦门·期末)（多选）在锐角中，角，，的对边分别为，，，若的面积为1，且，则（   ） A． B． C． D． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 正余弦定理及其应用 10个高频考点概览 考点01 正余弦定理求边长与夹角 考点02 判断三角形解的个数与三角形的形状 考点03 正余弦定理求周长面积 考点04 正余弦定理在边角互化中的应用 考点05 正余弦定理的实际应用 考点06 中线与角平分线的计算 考点07 与几何图形有关的计算 考点08 周长与面积的最值与范围 考点09 其他最值与范围 考点10 解三角形综合 考点01 正余弦定理求边长与夹角 1．(24-25高一下·福建南平·期末)已知的三个内角A，，的对边分别为，，．若，，且的面积为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由三角形面积公式可得，然后由余弦定理可得. 【详解】, 则由余弦定理，. 故选：B 2．(24-25高一下·福建泉州·期末)已知的内角所对的边分别为，若，则（   ） A． B．2 C． D．3 【答案】C 【分析】应用正弦定理计算求解. 【详解】中，若， 则，再应用正弦定理得， 则. 故选：C 3．(24-25高一下·福建安溪第八中学·)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，则sinA＝（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正弦定理即可得解. 【详解】根据正弦定理可知，，又，， 所以， 故选：A 4．(24-25高一下·福建漳州·期末)在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则______． 【答案】 【分析】根据三角形内角和得，再利用正弦定理求解即可. 【详解】因为，，所以， 根据正弦定理得. 故答案为： 5．(24-25高一下·福建福州八县（，区）协作校·期末)在中，角，，的对边分别是，，，已知，，，则______. 【答案】2 【分析】由正弦定理计算可得结果. 【详解】由正弦定理得：，则. 故答案为：2. 6．(24-25高一下·福建龙岩·期末)在中，角所对的边分别为，已知，且，则的值为______． 【答案】/ 【分析】利用正弦定理及边长关系得到，根据余弦定理求出. 【详解】，由正弦定理得， 又，所以， 由余弦定理得. 故答案为： 考点02 判断三角形解的个数与三角形的形状 7．(24-25高一下·福建福州山海联盟协作校·期末)记的内角、、的对边分别为、、，且，则是（   ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形 【答案】A 【分析】利用正弦定理结合两角和的正弦公式、诱导公式可求出的值，结合角的取值范围可得出角的值，由此可得出结论. 【详解】因为，所以， 由正弦定理得， 整理得， 因为，所以，故，故，所以为直角三角形． 故选：A． 8．(24-25高一下·福建龙岩·期末)在中，角所对的边分别为，则满足以下条件的三角形的解个数为两个的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，结合正弦定理和余弦定理，以及三角形的内角和定理，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A中，由正弦定理，可得， 则这样的三角形不存在，所以A错误； 对于B中，由，可得， 又由，则这样的三角形是唯一的，所以B不符合题意； 对于C中，由余弦定理，可得， 所以，则这样的三角形是唯一的，所以C不符合题意； 对于D中，由正弦定理，可得， 因为，可得，所以或，则这样的三角形有两个，所以D符合题意. 故选：D. 9．(24-25高一下·福建福州台江区九校·期末)（多选）已知的三个内角，，所对应的边分别为，，，则下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．恒成立 C．若，则为锐角三角形 D．若，则是等腰三角形 【答案】AB 【分析】利用正余弦定理对各个选项分析判断即可. 【详解】对于，在中，设外接圆的半径为， 若，则，可得，所以，可知项正确； 对于B，由内角和定理得，故B项正确； 对于C，由得为锐角，但△ABC不一定是锐角三角形，故C项错误； 对于D，若，则由正弦定理得，即， 可得或，所以是等腰或直角三角形，故D项错误． 故选：AB． 10．(24-25高一下·福建福州山海联盟协作校·期末)（多选）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a，b，c为连续正整数，且，则下列说法正确的是（   ） A．存在唯一的，使得 B．存在唯一的，使得 C．存在唯一的，使得 D．不存在，使得 【答案】BCD 【分析】设，且，再利用正弦定理及余弦定理进行判断求解． 【详解】设，且， 若存在唯一的，使得， 则，解得，又不为整数， 故不存在，使得，故A错误； 若存在唯一的，使得，则需满足，即， 解得或（舍），故B正确； 若存在唯一的，使得，又，所以，所以， 即，即， 因此， 即，所以， 所以，解得或（舍），故C正确； 若存在，使得， 即， 又，所以，即， 所以，即， 即，即， 即，即， 化简有，整理得， 又，即，由求根公式可得，故无解，D正确． 故选：BCD． 11．(24-25高一下·福建福州第十五中学·期末)（多选）在中，内角所对的边分别为，则下列说法正确的是（    ） A．若，则是钝角三角形 B．若是锐角三角形，则 C．若，，，则满足这组条件的三角形有两个 D．若，则 【答案】ABD 【分析】由正弦定理化角为边可得，结合余弦定理可得为钝角，由此可判断 A，根据条件可得，，，结合正弦函数性质及诱导公式判断B，根据正弦定理解三角形求，根据结果判断C，由条件结合余弦定理可得，根据正弦定理化边为角，化简可得，判断D. 【详解】设的外接圆半径为， 由正弦定理可得，，， 对于A，因为，所以， 由余弦定理可得，又， 所以为钝角，为钝角三角形，A正确， 对于B，因为是锐角三角形， 所以，，， 所以，，， 因为函数在上单调递增， 所以，B正确； 对于C， 由正弦定理可得， 又，，， 所以，化简可得， 所以满足条件的角不存在， 所以满足这组条件的三角形不存在，C错误， 对于D，由余弦定理可得，又， 所以，故， 所以，又， 所以， 所以， 所以，故， 所以或，， 即或，， 又，，故， 所以，所以，D正确； 故选：ABD. 考点03 正余弦定理求周长或面积 12．(24-25高一下·福建福州马尾一中等六校·期末)在中，角A，B，C的对边分别为，且，，. (1)求； (2)若，则的面积为，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）借助向量数量积公式与正弦定理将边化为角后，再利用两角和的正弦公式及辅助角公式计算即可得； （2）借助面积公式与余弦定理计算即可得. 【详解】（1），， ， 由正弦定理得：， ， ， ， ， ，，即， ，，即； （2）的面积为，，即， 由余弦定理得：， ， ，. 13．(24-25高一下·福建福州八县（，区）协作校·期末)在中，内角所对的边分别为满足. (1)求角的大小； (2)若，边上的中线的长为，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理和正弦和角公式得到，故，求出； （2）解法一：在，，中分别使用余弦定理，结合，得到方程，求出，再用面积公式求出答案； 解法二：根据中点得到，两边平方求出，在中使用余弦定理得，联立求出，再用面积公式求出答案. 【详解】（1） ， 由正弦定理得， ∵， ， ，即， ，， ， ， . （2）解法一： ，为中点，则， 由（1）知， 由余弦定理得得， ， 在中，， 在中，， ， ， ， 解得：， 的面积为； 解法二： 为的中点，则， ， 又，所以， 由余弦定理可得，即， 解得：， 的面积为. 14．(24-25高一下·福建部分优质高中·期末)在 中，内角A，B，C对应的边分别是a，b，c，且． (1)求角； (2)若AB的长为3，AC边上的中线BD长为，求的周长． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据题意，由正弦定理和三角恒等变换的公式，可得，求得，即可求解； （2）在中，由余弦定理，求得或，分类讨论，分别求得的长，进而求得三角形的周长. 【详解】（1）因为 由正弦定理得，即， 因为，可得，则，所以. （2）在中，因为， 由余弦定理得， 即，解得或，   当时，， 则，即，此时周长； 当时， 则，即，此时周长为， 综上所述，的周长为或. 15．(24-25高一下·福建龙岩·期末)在中，角所对的边分别为，已知． (1)求角的值； (2)若，的面积为，求边长的值． 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）根据题意，整理得，结合余弦定理，求得，即可求解； （2）根据题意，求得的值，由正弦定理和面积公式，得到，得出方程，即可求解. 【详解】（1）由，整理得， 由余弦定理得， 因为，所以． （2）因为且，可得， 所以， 由正弦定理，可得， 所以， 因为， 所以，可得． 考点04 正余弦定理在边角互化中的应用 16．(24-25高一下·福建福州第八中学·期末)已知的内角，，所对的边分别为，，，，，则______. 【答案】/ 【分析】设，利用余弦定理求出，再结合正弦定理即可求得答案. 【详解】由于，设， 由可得，即， 解得（负值舍）， 故， 故答案为： 17．(24-25高一下·福建厦门外国语学校·期末)在中，角，，所对的边分别为，，，若，则________． 【答案】 【分析】令，，，利用余弦定理求解即可. 【详解】令，，， 由余弦定理可得. 故答案为：. 18．(24-25高一下·福建福州山海联盟协作校·期末)已知△ABC的面积为，且，则△ABC外接圆的半径为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用三角形的面积公式得，由正弦定理的边角互化以及余弦定理可得，再利用正弦定理即可求解. 【详解】记内角A，B，C的对边分别为a，b，c， 所以， 所以， 又， 由正弦定理得， 由余弦定理可得， 所以△ABC外接圆的半径为． 故选：B． 考点05 正余弦定理的实际应用 19．(24-25高一下·福建莆田·期末)为了测量某建筑物的高度，选取与该建筑物底部在同一水平面内的两个测量点.现测得米，在点处测得该建筑物顶部的仰角为，则该建筑物的高度为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】首先得，然后由正弦定理得，解直角三角形即可求解. 【详解】因为，所以， 又，所以由正弦定理有，即， 解得， 因为在点处测得该建筑物顶部的仰角为， 所以。 故选：B. 20．(24-25高一下·福建福州闽侯县第六中学·期末)如图，测量河对岸的塔高时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D．现测得，，，并在点C测得塔顶A的仰角为，则塔高为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由正弦定理求出,再根据正切函数定义求解. 【详解】在中，，，，则夹， 由正弦定理可得： 故选：B. 21．(24-25高一下·福建福州马尾一中等六校·期末)如图，为了测量河对岸塔的高度，甲在处观测到河对岸塔在北偏东方向，顶部的仰角为，往正东方向前进到达处，测得该塔在北偏西方向，底部和在同一水平面内，则该建筑物的高为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】应用正弦定理求得，再由求建筑物的高. 【详解】由题设及图知：，则， 在中，可得， 又，可得. 故选：A 22．(24-25高一下·福建福州八县（，区）协作校·期末)由瑞士著名建筑大师马里奥博塔设计的清华大学艺术博物馆整体为长方体造型，长方体是该建筑的直观图，当身高为 m人（忽略眼睛到头顶的距离）站在点处（的延长线上）时可以估测点、点的仰角，现测得楼宽长为m，此人估测得点的仰角为，点的仰角为，则估测教学楼的高为（    ）（单位：m) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设出长方体建筑物的上底面与点的高度差为，利用三角函数求出，，再利用勾股定理即可求出，进而可求得. 【详解】设长方体建筑物的上底面与点的高度差为， 可得，， 在直角三角形中，，即， 解得， 所以， 所以. 故选：D. 23．(24-25高一下·福建厦门外国语学校·期末)文峰塔建于清道光三十年（1850年），具有镇洪水和象征人文鼎盛的寓意，现为重庆市文物保护单位，并成为广益中学的标志性景观之，该塔为七级楼阁式砖石结构，底层以条石筑成，塔身呈六边形，逐层向上收窄，顶部为六角攒尖葫芦宝顶.其建筑特色和地理位置（南山之巅）使其成为俯瞰山城的重要观景点. 我校“文峰数智社”为了测量其高度，设文峰塔高为，在与点B同一水平面且共线的三点C，D，E处分别测得顶点A的仰角为，且，则文峰塔的高约为（ ） （参考数据：） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，求出，利用余弦定理在和中，表示出和，两者相等即可解出答案. 【详解】由题知，设， 则， 又， 所以在中，，① 在中，，② 联立①②，解得 故选：B. 24．(24-25高一下·福建部分优质高中·期末)如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到达处时测得公路右侧一山底在西偏北的方向上；行驶后到达处，测得此山底在西偏北的方向上，山顶的仰角为，则此山的高度______． 【答案】 【分析】先求出，在中，由正弦定理得到，从而得到. 【详解】由题意得， 故， 故中，由正弦定理得， 即，解得， 又在点测得山顶的仰角为，故， 故. 故答案为： 25．(24-25高一下·福建福州第八中学·期末)某校兴趣小组在如图所示的矩形区域内举行机器人拦截挑战赛，在处按方向释放机器人甲，同时在处按方向释放机器人乙，设机器人乙在处成功拦截机器人甲，两机器人停止运动．若点在矩形区域内（包含边界），则挑战成功，否则挑战失败．已知米，为中点，比赛中两机器人均匀速直线运动方式行进，记与的夹角为（），与的夹角为（）． （1）若两机器人运动方向的夹角为，足够长，机器人乙挑战成功，求两机器人运动路程和的最大值； （2）已知机器人乙的速度是机器人甲的速度的倍． （i）若，足够长，机器人乙挑战成功，求． （ii）如何设计矩形区域的宽的长度，才能确保无论的值为多少，总可以通过设置机器人乙的释放角度使机器人乙挑战成功？ 【答案】（1）6；（2）（i）；（ii）至少为米. 【分析】（1）用余弦定理列方程，结合基本不等式求得，也即两机器人运动路程和的最大值. （2）（i）利用正弦定理求得； （ii）设，利用余弦定理求得，求得的最大值，由此求得的最小值. 【详解】（1）如图，在中 由余弦定理得，， 所以 所以，（当且仅当时等号成立） 故两机器人运动路程和的最大值为 （2）（i）在中 由于机器人乙的速度是机器人甲的速度的倍，故， 由正弦定理可得 所以 （ii）设，则， 由余弦定理可得， 所以 所以 由题意得对任意恒成立， 故，当且仅当时取到等号． 答：矩形区域的宽至少为米，才能确保无论的值为多少，总可以通过设置机器人乙的释放角度使机器人乙在矩形区域内成功拦截机器人甲． 【点睛】正弦定理、余弦定理是解题的重要数学知识，二次函数最值的求法在本题中是重要的方法. 考点06 中线与角平分线的计算 26．(24-25高一下·福建龙岩第一中学·月考)在中，角的对边分别为，且向量. (1)求角 ； (2)若 的面积为，点为边的中点，求的长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由，可得，再利用正弦定理统一成边的形式，然后利用余弦定理可求得结果； （2）解法一：由结合辅助角公式化简可求出，则可得为等腰三角形，再由三角形的面积可求出，在中利用余弦定理可求得结果；解法二：同解法一求出，然后利用余弦定理求出，再利用极化恒等式可求得结果；解法三：同解法一求出，同解法二求出，然后利用平行四边形对角线的平方和是邻边平方和的两倍求解. 【详解】（1）因为 ，所以 ， 由正弦定理得， 由余弦定理得 因为，所以. （2）解法一：因为， 所以，则 即， 又，所以，则 ，所以. 故. 所以， 所以. 在 中，由余弦定理可得 ， 即. 解法二： 因为 ， 所以，则 即， 又，所以，则 ，所以 . 故. 所以， 所以. 由余弦定理得：，所以 ， 又 由极化恒等式得： 所以 ，所以 解法三： 因为 ， 所以，则 即 又，所以，则 ，所以 . 故 . 所以 ， 所以 . 由余弦定理得： ，所以 由平行四边形对角线的平方和是邻边平方和的两倍得 所以 所以    27．(24-25高一下·福建福州闽侯县第六中学·期末)在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知． (1)求A； (2)若的平分线交于点D，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，由正弦定理的边角互化代入计算，即可得到结果； （2）先由余弦定理可得的值，再由等面积法结合三角形的面积公式代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）由正弦定理可得， 即， ， 即，且， 则，，则. （2）由可得， 由正弦定理可得， 即，解得，则， 且为角的角平分线， ，即， 化简可得，解得. 28．(24-25高一下·福建厦门·期末)在中，角的对边分别为，且. (1)求； (2)若为的中点，，，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题设条件及正弦定理求得，求得，即可求解；（2）先利用同角三角函数平方关系得到，在中，由正弦定理得，得.因为为中点，得.在中，由余弦定理计算得到答案； 【详解】（1）由正弦定理得， 即 所以， 所以. 又，得，因为，所以 （2）解法1：因为，所以. 在中，由正弦定理得，即，得. 因为为中点，所以. . 在中，由余弦定理得 ， 所以. 解法2：因为，所以. 在中，由正弦定理得，即，得. 因为为中点，所以. ， 在中，由正弦定理得，即，得. 在中， 由余弦定理得， 所以. 29．(24-25高一下·福建福州第三中学·期末)已知，其内角，，的对边分别为，，，且. (1)求； (2)，，是的中点，求的长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据，结合已知条件整理化简，求得，则得解； （2）根据面积公式，求得，再由余弦定理求得，利用余弦定理求得，再在△中，由余弦定理求得. 【详解】（1）由题意， 且， 即， 得，且，则， 可得，且，所以． （2）如图： 因为，， 由，所以，解得， 在中，由余弦定理得，则， 又D为BC边上的中点，所以， 在中，由余弦定理得，则， 在中，由余弦定理得， 所以． 考点07 与几何图形有关的计算 30．(24-25高一下·福建泉州·期末)已知锐角的内角所对的边分别为，且． (1)求； (2)若，求的面积的取值范围； (3)如图，若为外一点，且，求． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）变形得到，由余弦定理求出，得到答案； （2）解法一：由正弦定理和三角恒等变换得到，并由锐角三角形得到，求出，由三角形面积公式得到，求出面积的取值范围； 解法二：由余弦定理，且，得到不等式，并将代入两不等式，解得，由三角形面积公式得到，求出面积的取值范围； 解法三：考查的极端位置情况，当时，，当时，，从而得到，由三角形面积公式得到，求出面积的取值范围； （3）解法一：求出，设，表达出其他各边长，在中，由正弦定理得①，在中，由余弦定理可得②，将①式代入②式得到方程，求出，故； 解法二：求出，设，表达出其他各边长，求出，，在中，由正弦定理可得，在中，用含的式子表达出，求出，在中，由勾股定理和可得方程，求出，故． 【详解】（1）因为，所以， 由余弦定理得， 因为，所以； （2）解法一：在中，由正弦定理得， 又， 所以， 因为是锐角三角形，所以， 所以，所以， 因为， 所以的面积的取值范围是； 解法二：因为是锐角三角形， 所以，且， 所以，且， 又因为，所以， 所以，且，解得， 因为， 所以的面积的取值范围是； 解法三：因为是锐角三角形，所以均为锐角， 根据图形变化，考查的极端位置情况， 当时，， 当时，， 可得当且仅当时，是锐角三角形； 因为， 所以的面积的取值范围是； （3）解法一：因为，所以， 因为，设，则， 在中，由正弦定理可得，即①， 在中，由余弦定理可得②， 将①式代入②式得， 化简得，解得，故． 解法二：过点作交的延长线于点， 因为，所以， 因为，设，则， 又因为， 所以在中，由正弦定理可得，即 在中，， 所以， 因为，在中，由勾股定理可得， 化简得，解得，故． 31．(24-25高一下·福建福州山海联盟协作校·期末)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且． (1)求A； (2)若，求a； (3)拿破仑定理是法国著名军事家拿破仑·波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边，向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形（此等边三角形称为拿破仑三角形）的顶点．”如图，以BC，AC，AB为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次记为A'，B'，C'，若，求△A'B'C'的面积的最大值． 【答案】(1)． (2)． (3)． 【分析】（1）由正弦定理得，化简得，即可求解； （2）由，得，由正弦定理得，再由余弦定理即可求解． （3）由余弦定理得，即，当且仅当时取等号．取AC的中点G，因为，所以，同理可得，又，再由余弦定理求出 ，即可求解． 【详解】（1）因为，由正弦定理得， 所以． 又， 所以， 又，所以，可得， 因为，所以． （2）因为，所以，即， 即， 又因为，所以． 由正弦定理得， 所以，， 由余弦定理可得， 因，代入可得：， 解得． （3）由余弦定理得， 即，当且仅当时取等号． 取AC的中点G，因为，所以， 同理可得，又， 由余弦定理， ， 所以△A'B'C'的面积． 即△A'B'C'面积的最大值为． 32．(24-25高一下·福建宁德·期末)中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其他民俗活动的民间艺术．在中国，剪纸具有广泛的群众基础，交融于各族人民的社会生活，是各种民俗活动的重要组成部分．现有一张等腰直角卡片，，，用该卡片可以裁剪出扇形、三角形、矩形等各种形状．    (1)如图1，以为圆心，为半径的扇形是一个圆锥的侧面展开图，求该圆锥的体积； (2)，，分别是边，，上的三个点． ①如图2，若是以为直角顶点的等腰直角三角形，求证：是的中点； ②如图3，若是以为直角顶点的等腰直角三角形，记的面积为，求的最小值． 【答案】(1) (2)①证明见解析；② 【分析】（1）根据扇形的弧长公式、勾股定理求出圆锥的底面半径及高，再根据锥体的体积公式即可求解； （2）①设，利用正弦定理求出，由即可证明；②设，有正弦定理可得，由，，可得，再根据三角形的面积公式，结合辅助角公式、正弦函数的性质即可求解. 【详解】（1）设圆锥的底面半径为，高为， 则，所以， ， 所以体积. （2）设，则， 在中，由正弦定理， 可得， 在中，，， 由正弦定理， 可得， 又因为，所以，即是的中点. （3）设，则， 在中，， 可得， 在中，，所以， 故有， 又因为，可得， 则， 其中， 所以当时，的面积取到最小值. 33．(24-25高一下·福建龙岩·期末)如图，在中，角所对的边分别为是内的一点，且满足．    (1)若，求的大小； (2)若，求的正切值； (3)若，求的值． 【答案】(1)100° (2) (3) 【分析】（1）在中，利用三角形的内角和定理，即可求解； （2）在中，求得，在中，得到，得到方程，进而求得的值； （3）分别求得和，结合，即可求解. 【详解】（1）解：因为，可得， 在中，可得. （2）解：由题意，可得，则， 在中，由正弦定理，可得， 在中，由正弦定理， 可得， 所以，整理得，所以． （3）解：在内，由余弦定理及三角形面积公式，可得： ， ， ． 三式相加可得： ①， 在内，由余弦定理以及三角形的面积公式，可得： ， 在和中，同理可得：， 所以， 因为， 可得②， 由①②得． 34．(24-25高一下·福建部分优质高中·期末)在内一点满足，则称为的布洛卡点，为布洛卡角．小明同学对布洛卡点产生兴趣，对其进行探索得到许多正确的结论，比如，若下列问题中的点为的布洛卡点，请你和他一起解决如下问题：    (1)当，且时，求； (2)角，，所对的边分别为，，，，求证：； (3)在（2）的条件下，若的周长为4，试把表示为的函数，并求的值域． 【答案】(1)； (2)证明见详解； (3) 【分析】（1）由题意，可得，再结合正余弦定理，分别表示，联立求解即可； （2）结合正弦定理可证明； （3）结合向量关系，可求得，进而求其范围即可. 【详解】（1）当，且时，得， 由余弦定理，得，所以， 又，所以，， 在中，由正弦定理得，解得， 比如， 在中，由正弦定理得，解得， 所以，解得. （2）由，则， 在中，由正弦定理得，解得①， 在中，， 由正弦定理得，，得②， 由①②+，即. 由正弦定理，可得. （3）由题意有，，则 ， 所以， 因为，解得， 又由三角形边的关系知，则，即 ，整理得，解得，即， 而时，单调递减，，， 所以的值域为. 35．(24-25高一下·福建厦门外国语学校·期末)如图，中，，，点在线段上，为等边三角形.    (1)若，，求线段的长度; (2)若，求线段的最大值; (3)若平分，求与内切圆半径之比的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）用向量表示,再根据已知条件求即可； （2）由（1）可知，通过向量运算得，两边同时平方，由向量的数量积运算即可； （3）根据角平线的性质得出，在，中，利用余弦定理得，再利用等面积法得到，最后根据的范围即可求出结果. 【详解】（1）因为,, 所以, 即, 所以, 所以. （2）由（1）可知， 所以, 设,且为等边三角形， 所以， 即， 故， 且， 所以当时，， 所以. （3）因为平分, 所以由角平分线定理得,即, 故, 设，，的内切圆半径分别为, 在中,则，解得， 因为, 所以, 在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理得， 即，解得. 又因为, , 所以， 令，则， 因为，所以， 则，故，， 即，故, 所以与的内切圆半径之比的范围为. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查了平面向量的基本定理、向量模的运算以及通过余弦定理、面积公式解三角形，第三问解题的关键由角平线的性质得出，在，中，利用余弦定理得，再利用等面积法得到，最后根据的范围即可求出结果，计算比较复杂. 考点08 周长与面积的最值与范围 36．(24-25高一下·福建三明普通高中·期末)在中，内角所对的边分别为，且满足. (1)求； (2)所在平面内一点满足，若，求的周长的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由利用正弦定理得，利用两角和的正弦公式即可求解； （2）由得，即，同理得，即点O是的垂心，得，在中利用余弦定理得，最后利用均值不等式即可求解. 【详解】（1）因为，所以由正弦定理得， 因为，所以， 所以，所以， 因为，所以，所以， 又因为，所以. （2）因为，所以， 所以，所以， 同理可得，所以点O是的垂心， 又因为，所以， 在中，因为，即， 由余弦定理得， 所以， 因为，所以， 所以， 所以，所以， 当且仅当时等号成立. 所以， 所以的周长的最大值为. 37．(24-25高一下·河南南阳六校·期末)已知的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，向量，，且． (1)求A； (2)若，求面积的最大值； (3)若为锐角三角形，且，求周长的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用向量的坐标运算以及正余弦定理即可求出； （2）用表示，再根据得出，再结合基本不等式即面积公式即可； （3）利用正弦定理得出，，进而化简得出，再结合锐角三角形的信息即可求出. 【详解】（1）由题意得， 由正弦定理得，即， 由余弦定理得， 因为，所以. （2）由题意得， 则，得， 即， 得，等号成立时， 的面积为，则的面积取得最大值. （3）由正弦定理，得，， 所以 ， 因为为锐角三角形，所以，得， 则，，所以， 故周长的取值范围为. 38．(24-25高一下·福建莆田·期末)记的内角所对的边分别为，向量，且 . (1)求角A； (2)若，点为的内心，求面积的最大值. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）由向量平行的坐标表示和正弦定理边化角得即可求解； （2）法一：先由内心定义得，进而求出，接着由余弦定理得，再由基本不等式求出结合面积公式即可求解；法二：先由结合求出得到 ，接着在中由余弦定理结合基本不等式得即可分析求解. 【详解】（1）由题意得， 由正弦定理得， 因为，所以，所以， 所以，又，所以. （2）解法一：由（1）知，因为点为的内心， 所以 ， 由三角形内角和定理得. 在中，由余弦定理得，又， 所以，由基本不等式得， 所以，当且仅当等号成立. 所以的面积 所以的面积的最大值为； 解法二：设的内切圆半径为， 所以的面积， 又，所以， 因为点为的内心， 所以， 在中，由余弦定理得，即， 所以，即，由基本不等式得， 解得，当且仅当等号成立. 所以 ， 所以的面积的最大值为. 39．(24-25高一下·福建漳州·期末)在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，． (1)求A； (2)若D为中点，且，求的周长； (3)若是锐角三角形，求面积的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再化简即可得到角A； （2）由题意可得，将两边平方结合向量的数量积可得，再利用余弦定理得求得，进而得到周长； （3）由正弦定理用表示出，再代入三角形的面积公式，即可求得面积的取值范围. 【详解】（1）因为，由正弦定理得， 即， 所以， 所以，因为，所以， 所以，得，由，得； （2）因为D为中点，所以， 则， 所以，解得（舍）或， 由余弦定理得，所以， 所以的周长为； （3）在中，由正弦定理得， 所以， 所以 根据题意得，解得， 所以，所以，所以， 所以， 所以的取值范围是. 40．(24-25高一下·福建厦门外国语学校·期末)已知中，角，，所对的边分别为，，， (1)求证：； (2)若，求周长的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由正弦定理角化边，结合余弦定理得到，再结合，得到，进而可求证； （2）先确定，再结合正弦定理得到，，进而可求解. 【详解】（1）由得， 从而， 得， 由余弦定理得，即， 由正弦定理得， 又在三角形中，， 所以． 所以，即． 所以或， 即或． 因为，，所以． （2）由得， 所以， 即，解得， 因为，由正弦定理得，所以， 由正弦定理得 ， 故的周长． 令，由（1）知，所以． 因为函数在上单调递增， 所以周长的取值范围为． 41．(24-25高一下·福建福州台江区九校·期末)在中，是边上一点，且，，则__________；若，则的面积的最大值为__________． 【答案】 / 【分析】设，则，画出图形，运用余弦定理得到，进而得到，再用余弦定理得到，借助基本不等式计算即可． 【详解】设，则．    在中，由余弦定理得： ， ， 在中，， 满足， 为直角三角形，且， 在中，由余弦定理，   ， ，当且仅当时取等号， ， ， ， 即面积的最大值为． 故答案为：；． 42．(24-25高一下·福建三明普通高中·期末)已知点是边长为3的正三角形所在平面内的一点，满足，过点的动直线分别交线段，于点，，则面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取的中点为，设，，，则根据向量的线性运算可得，再根据三角形的面积公式及向量的数乘运算可得的面积为，再结合对勾函数的性质即可求解． 【详解】取的中点为， 由， 则， 所以，① 设，，，，， 则，② 所以结合①和②可得，整理得， 又，，则，得，且，解得， 又因为是边长为3的正三角形，则，， 则的面积为， 令，，则，， ，， 根据对勾函数的性质，当时，取得最大值，且最大值为， 所以面积的最大值为． 故选：C． 43．(24-25高一下·福建厦门外国语学校·期末)在中，分别为内角所对的边，已知.设为边BC上一点，若，且，则面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知条件恒等式，求得，然后设，则，利用面积关系可以得到，从而求得；再利用面积关系可以得到，再利用基本不等式求出的取值范围，再根据面积公式计算可得. 【详解】由正弦定理可得, 又 所以， 由两角和正弦公式可得，， 又，所以，所以， 即， 又，所以，所以即， 设，则， ∵，， ∴， 即，化简得，即， 又，解得或（舍去）， 所以， 又， 所以， 即，即， 所以，当且仅当时取等号， 所以，即面积的最小值为. 故选：A 44．(24-25高一下·福建三明普通高中·期末)（多选）在中，，为中点，.以下结论正确的是（    ） A．若，则 B．的面积的最大值是 C． D．的周长可能是6 【答案】BC 【分析】对于A利用余弦定理即可求解，进而判断，对于B由即可判断，对于C利用，同时平方相加即可判断，对于D利用基本不等式即可判断. 【详解】对于A：由题意有，在中，由余弦定理有， 在中，由余弦定理有，即，故A错误； 对于B：由，当时，等号成立，故B正确； 对于C：由， 所以，故C正确； 对于D：由C选项有，所以，所以， 当且仅当时，等号成立，又，所以，故D错误. 故选：BC. 45．(24-25高一下·福建福州八县（，区）协作校·期末)（多选）设锐角中，内角所对的边分别为，若，，外一点，且在直线的异侧，，，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则A，B，C，D四点共圆 C．四边形面积的最小值为 D．四边形面积的最大值为 【答案】BD 【分析】利用正弦定理化简已知条件，得到锐角为等边三角形，利用数量积定义可判断A错误，根据四点共圆条件可判断B正确，求出四边形面积表达式并利用三角函数值域求出面积最值，可得C错误，D正确. 【详解】根据由正弦定理化简得到， ， 锐角为等边三角形. A选项：，A错误 B选项：在中， ， ， ，, 所以四边形ABCD对角互补，所以四点共圆，A正确. C、D选项：设边长为s，，, 由余弦定理得， ，， ， ， ， ∴四边形面积无最小值；四边形面积有最大值，C错误，D正确 故选：BD 考点09 其他最值与范围 46．(24-25高一下·福建福州第三中学·)在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且满足. (1)求角； (2)若，求面积的最大值； (3)求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据正弦定理，结合辅助角公式进行求解即可； （2）根据余弦定理结合基本不等式求得，利用三角形面积公式进行求解即可； （3）根据和正弦定理边角互化将原式转化为，然后令，则，将原式化为：，最后结合二次函数性质求解值域. 【详解】（1）由， 根据正弦定理得：， 又， 代入上式得：， 又，所以， 又，所以； （2）由，代入得：， 根据基本不等式得，得，当且仅当时，等号成立， 则的面积为：， 故面积的最大值为. （3）在中，，， 根据正弦定理得： ， 令，则， 所以 ， ， 根据二次函数的性质得： 当时，取得最小值，最小值为， 当时，取得最大值，最大值为， 故的取值范围为. 47．(24-25高一下·福建厦门期末)如图，在中，是上一点，是上一点，且． (1)已知，在的垂直平分线上，且． ①求； ②若为外接圆的圆心，为外接圆的圆心，求． (2)若是的角平分线，，求的最大值． 【答案】(1)①；② (2)1． 【分析】（1）①由条件得，在中，利用余弦定理求出，继而求得，再在中利用余弦定理即可求得；②结合题意推出四点共线，利用正弦定理分别求出和的外接圆半径，继而求出和即可求得； （2）结合三角形的角平分线，由面积相等推得，在中由余弦定理和基本不等式求得，再由和基本不等式即可求出的最大值(两次不等式等号成立条件相同). 【详解】（1）①由题意得，， 在中，由余弦定理得， 即，解得． 又，则，． 在中，由余弦定理得． ②如图，易得四点共线． 在中，由正弦定理，可得，得， 则． 在中，由正弦定理，可得，得， 则． 故． （2）因， 则得， 即(*). 在中，由余弦定理得： ， 因，且，故可得， 当且仅当时，等号成立. 此时，由(*)可得：， 当且仅当时，等号成立. 所以的最大值为1． 48．(24-25高一下·三明·期末)在锐角中，角，，所对的边分别为，，，且满足 . 请从条件①、条件②中选择一个条件补充至横线处，并解决下列问题： 条件：①；②. (1)证明：； (2)若的平分线交于，，，求的值； (3)求的取值范围. 注：如果选择多个条件解答，按第一个解答计分. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据正弦定理进行边角互化，再结合三角恒等变换可得证； （2）结合角分线的性质及三角形面积公式可得，即可得解； （3）利用正弦定理进行边角互化，再结合三角函数性质及基本初等函数的单调性可得取值范围. 【详解】（1）若选①：因为，由正弦定理得， 因为， 所以， 所以， 所以，或（舍去），即； 若选②：由正弦定理及， 得， 所以， 所以， 因为，所以， 所以或（舍去）， 所以； （2）因为，为锐角， 所以，， 因为， 所以， 所以， 所以，； （3）由是锐角三角形，，，，可得， 所以， ， 令，则，在上单调递增， 而，， 所以， 所以. 考点10 解三角形综合 49．(24-25高一下·福建福州第三中学·期末)（多选）已知的内角，，所对的边分别为，，，边上的高为，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据给定条件，结合正弦定理边化角及和差角的正弦、二倍角公式逐项分析判断. 【详解】对于A，，由，得，由正弦定理得 ，而，因此，A正确； 对于B，由及正弦定理得， 即，则 ，即，又， 因此，又，则，，B正确； 对于C，若，则，由正弦定理得，由选项B知， ，而 解得，即，矛盾，C错误； 对于D，由选项A知，，而， 则，整理得， 而，因此，又，则， ，D正确. 故选：ABD 50．(24-25高一下·福建漳州·期末)（多选）已知内接于圆O，，设，则（    ）． A． B．若，则圆O的面积为 C．若，则圆O的面积为 D．若，则 【答案】ACD 【分析】根据三角形外心性质可判断A；利用同角三角函数的平方关系求出，利用余弦定理得到，再利用正弦定理求出外接圆的半径可判断B；利用三点共线得到为外接圆的直径可判断C；取的中点，上靠近的一个三等分点，由已知得三点共线，利用外心性质结合余弦定理可判断D. 【详解】设中角所对的边分别为，则， 对于A，因为内接于圆O，所以圆O是的外接圆， 即为各边垂直平分线的交点，设的垂直平分线与交于点，如下图：    则，故A正确； 对于B，若，则， 由余弦定理得，所以， 设外接圆的半径为， 则由正弦定理得，所以， 所以圆O的面积为，故B错误； 对于C，因为，若，则三点共线， 即外接圆的圆心在上，所以为等腰直角三角形， 则，外接圆的半径为，面积为，故C正确； 对于D，取的中点，上靠近的一个三等分点， 则， 因为，所以， 因为，则，所以三点共线，如下图：      因为，，， 所以在中，， 在中，， 所以，故D正确. 故选：ACD 51．(24-25高一下·福建厦门·期末)（多选）在锐角中，角，，的对边分别为，，，若的面积为1，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】对A，由正弦定理结合平方关系求解判断；对B，由，得，根据正切函数的单调性和诱导公式求解判断；对C，由正弦定理结合三角恒等变换可得，结合求解判断；对D，由三角形面积公式可得，再由余弦定理结合基本不等式求解判断. 【详解】对于A，由正弦定理，得，所以. 因为，所以，解得或. 因为，所以，，故A正确； 对于B，在锐角中，，则， 所以，故B错误： 对于C，. 因为，所以，所以，故C正确； 对于D，因为的面积为1，即，所以， 所以， 当且仅当，等式成立，故D正确. 故选：ACD. 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $