精品解析：贵州贵阳市清镇市博雅实验学校2025-2026学年度第二学期4月月考试题高一数学

贵阳市博雅实验学校2025-2026学年度第二学期4月月考试题 高一数学 考试用时：120分钟 卷面总分：150分 命题人：李书福 审题人：李书福 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数的虚部是（ ） A. B. C. D. 2. 在平行四边形中，，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知不共线，，若三点共线，则（ ） A. B. C. D. 4. 复数的共轭复数为（ ） A. B. C. D. 5. 已知向量，若，则 （ ） A. B. C. D. 1 6. 如图，在中，．设，则（ ） A. B. C. D. 7. 设，在复平面内对应的点为，那么下列选项中符合如图的式子是（ ） A. B. C. D. 8. 已知平面向量是两个单位向量，在上的投影向量为，则（    ） A. 1 B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对得6分，选对但不全的，得部分分，有选错的得0分． 9. 在中，已知，，，则角的度数为（ ） A. B. C. 30° D. 10. 已知为虚数单位，复数，，则（ ） A. 的共轭复数为 B. C. 为实数 D. 的虚部为-5 11. 下列关于平面向量的说法中正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则，可以作为平面内的一组基底 C. 已知向量，，且与的夹角为锐角，则实数x的取值范围是 D. 若平面内有四个点A、B、C、D，则必有 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，若，则实数______． 13. 在平行四边形中，，，三点对应的复数分别是，，，则点对应的复数是________； 14. 在中，若，，，则__________，的面积__________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出必要得文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 回答以下问题. （1）已知为虚数单位，计算以下各题： ① ② （2）实数为何值时，复数是实数. 16. 在中，内角所对的边分别为． （1）若，求． （2）若，求． 17. （1）已知，求，，； （2）已知且与的夹角为，求，. 18. 已知点的坐标分别是，若点满足． （1）求证：； （2）当是线段的中点时，按（1）结果直接写出中点的坐标公式； （3）已知，点在线段的延长线上，且，按（1）公式求点的坐标． （课本P81阅读与思考--代数基本定理） 19. 公元1799年，哥廷根大学的高斯在其博士论文中证明了如下定理：任何复系数一元次多项式方程在复数域上至少有一根．此定理被称为代数基本定理，在代数乃至整个数学中起着基础作用．由此定理还可以推出如下结论： ①设实系数一元二次方程在复数集内的两根为满足如下关系； ②设实系数一元三次方程在复数集内的三根为满足如下关系 （1）在复数域内解方程； （2）若三次方程的三个根分别是 （为虚数单位），求的值； （3）按照代数基本定理，设实系数一元四次方程在复数集内的四根为满足关系是（填写在答题卡上），并加以证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 贵阳市博雅实验学校2025-2026学年度第二学期4月月考试题 高一数学 考试用时：120分钟 卷面总分：150分 命题人：李书福 审题人：李书福 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数的虚部是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由虚部的概念可知复数的虚部是. 2. 在平行四边形中，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】平行四边形中，，,所以. 3. 已知不共线，，若三点共线，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】依题意有， ， 若三点共线，则存在实数使得， 因为不共线，所以有，得. 4. 复数的共轭复数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由定义可知的共轭复数为. 5. 已知向量，若，则 （ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】由向量垂直的坐标表示列出等式，求解即可. 【详解】因为， 所以， 解得. 6. 如图，在中，．设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】依题意有. 7. 设，在复平面内对应的点为，那么下列选项中符合如图的式子是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合图象及复数的几何意义即可得到答案． 【详解】如图可知，对应的点为的集合是以原点为圆心，以及为半径的两个圆所夹的圆环，但不包括圆环的边界， 所以符合如图的式子是． 8. 已知平面向量是两个单位向量，在上的投影向量为，则（    ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用投影向量的定义及数量积的运算律求解. 【详解】由在上的投影向量为，得，则，而是单位向量， 因此，又是单位向量，所以. 故选：B 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对得6分，选对但不全的，得部分分，有选错的得0分． 9. 在中，已知，，，则角的度数为（ ） A. B. C. 30° D. 【答案】AB 【解析】 【分析】根据正弦定理计算求出角即可. 【详解】由正弦定理可得, , 或 故选：AB. 10. 已知为虚数单位，复数，，则（ ） A. 的共轭复数为 B. C. 为实数 D. 的虚部为-5 【答案】BD 【解析】 【分析】求出的共轭复数判断A；求出、可判断B；由复数的加法，求出的值判断C；由复数的乘法运算，求出，可判断D. 【详解】因为的共轭复数为，所以A错误； 因为，，所以B正确； 因为，所以C错误； 因为， 所以虚部为，所以D正确. 11. 下列关于平面向量的说法中正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则，可以作为平面内的一组基底 C. 已知向量，，且与的夹角为锐角，则实数x的取值范围是 D. 若平面内有四个点A、B、C、D，则必有 【答案】BD 【解析】 【分析】举反例即可判断A；由基底的概念即可判断B；根据向量夹角为锐角列出不等式即可判断C；根据向量加减法运算法则即可判断D． 【详解】对于A，若，则与不一定平行，故A错误； 对于B，因为，所以与不共线， 所以，可以作为平面内的一组基底，故B正确； 对于C，因为与的夹角为锐角，所以， 又与不共线，所以， 所以，故C错误； 对于D，因为 ， 所以，故D正确． 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，若，则实数______． 【答案】 【解析】 【详解】向量， 若，则有， 得. 13. 在平行四边形中，，，三点对应的复数分别是，，，则点对应的复数是________； 【答案】 【解析】 【分析】设出的坐标，解法一：根据复数的几何意义，结合平行四边形性质求解；解法二：根据复数的几何意义，结合向量相等求解. 【详解】由题意可得, 设的坐标为， 解法一：平行四边形中，对角线互相平分，即与中点坐标相同， 所以，解得，故点对应的复数是. 解法二：由于，可得， 故，故点对应的复数是. 14. 在中，若，，，则__________，的面积__________． 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】利用正弦定理求出的值，结合大边对大角定理可求得角的值，利用三角形的面积公式可求得的面积. 【详解】由正弦定理得， 又，， 则， ． 故答案为：，. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出必要得文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 回答以下问题. （1）已知为虚数单位，计算以下各题： ① ② （2）实数为何值时，复数是实数. 【答案】（1）① ② （2）或 【解析】 【小问1详解】 ① ② 【小问2详解】 要使复数是实数，则虚部 ， 解得或. 16. 在中，内角所对的边分别为． （1）若，求． （2）若，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 由余弦定理可得 ，则. 【小问2详解】 由余弦定理可得，代入数据得 ， 整理得 ，解得 . 17. （1）已知，求，，； （2）已知且与的夹角为，求，. 【答案】（1），，；（2）， 【解析】 【详解】（1），， ； （2）， . 18. 已知点的坐标分别是，若点满足． （1）求证：； （2）当是线段的中点时，按（1）结果直接写出中点的坐标公式； （3）已知，点在线段的延长线上，且，按（1）公式求点的坐标． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 可知，，因为， 所以有，整理得； 【小问2详解】 当是线段的中点时，，由（1）中结果可得； 【小问3详解】 因为点在线段的延长线上，且，所以， 由（1）中结果可得，代入得. （课本P81阅读与思考--代数基本定理） 19. 公元1799年，哥廷根大学的高斯在其博士论文中证明了如下定理：任何复系数一元次多项式方程在复数域上至少有一根．此定理被称为代数基本定理，在代数乃至整个数学中起着基础作用．由此定理还可以推出如下结论： ①设实系数一元二次方程在复数集内的两根为满足如下关系； ②设实系数一元三次方程在复数集内的三根为满足如下关系 （1）在复数域内解方程； （2）若三次方程的三个根分别是 （为虚数单位），求的值； （3）按照代数基本定理，设实系数一元四次方程在复数集内的四根为满足关系是（填写在答题卡上），并加以证明． 【答案】（1） （2） （3），证明见解析 【解析】 【分析】（1）移项后利用开方即可； （2）运用题给结论代入运算即可； （3）利用已知根的情况，对 进行因式分解，再通过比较系数得到结论. 【小问1详解】 由可得，利用开方得； 【小问2详解】 根据题中结论有， 计算得 ； 【小问3详解】 在复数集内的四根 满足，证明如下： 若在复数集内的四根为， 则，右边展开可得 ，则有， ，， ，即满足. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $