精品解析：贵州省清镇市第一中学2024-2025学年高一下学期3月月考监测数学试卷

清镇一中2024—2025学年第二学期月考监测 高一数学试卷 2025.3 注意事项： 1．本试卷共4页，满分 150 分，考试时间 120 分钟． 2．答案一律写在答题卡上，写在试卷上的不给分． 3．考试过程中不得使用计算器． 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的．） 1. 若复数满足，则的虚部为（ ） A. B. C. 1 D. i 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的运算求得复数，可求复数的虚部. 【详解】由，可得，所以，所以， 所以的虚部为. 故选：A. 2. 下列命题中错误的有（    ） A. 平行向量就是共线向量 B. 同向，且，则 C. 若是关于的方程的一个根，则 D. 两个向量平行是这两个向量相等的必要不充分条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用平行向量的定义、结合充分条件、必要条件的定义判断AD；利用向量的定义判断B；利用实系数一元二次方程根的特征，结合韦达定理求解判断C. 【详解】对于A，平行向量就是共线向量，A正确； 对于B，向量不能比较大小，B错误； 对于C，由是关于的方程的一个根， 得该方程另一根为，则，解得，C正确； 对于D，两个向量相等，则这两个向量平行；反之两个向量平行，这两个向量不一定相等， 因此两个向量平行是这两个向量相等的必要不充分条件，D正确. 故选：B 3. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量线性运算的坐标运算直接求解. 【详解】由题意得，， 所以． 故选：B 4. 在复平面内，复数满足，则复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的除法运算化简，即可根据几何意义求解. 【详解】由可得， 故复数z对应的点为，位于第二象限. 故选：B 5. 已知向量与不平行，记，，若，则（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量平行的条件列出方程组求解即可. 【详解】依题意，，， ，即， ，解得． 故选：B． 6. 已知的角的对边分别为，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】应用正弦定理计算求解. 【详解】因为， 由正弦定理得， 所以. 故选：D. 7. 已知向量，则向量在向量方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据投影向量公式，即向量在向量方向上的投影向量为即可得到结果. 【详解】向量在向量方向上的投影向量为 故选：B 8. 如图,在梯形中, , 为线段上一点,且，为的中点, 若（， ）,则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用向量的线性运算，化简求得，求得的值，即可得到答案. 【详解】由题意，根据向量的运算法则，可得： 又因为，所以， 所以，故选B. 【点睛】本题主要考查了向量的线性运算及其应用，其中解答中熟记向量的线性运算法则，合理应用向量的三角形法则化简向量是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分．） 9. 已知复数，，则下列结论正确的是（ ） A. 若为纯虚数，则 B. 若在复平面内对应的点位于第二象限，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，若为纯虚数，则的实部为0，虚部不为0，列出方程求解即可；对于B，若在复平面内对应的点位于第二象限，则实部小于0且虚部大于0，列出不等式求解即可；对于C，若，求出，进而求其共轭复数；对于D，若，求出，咋求模即可. 【详解】对于A，若为纯虚数，即且，则，故A错误； 对于B，若在复平面内对应的点位于第二象限，则解得，即，故B正确； 对于C，若，则，则，故C正确； 对于D，若，则，故D 错误. 故选：BC. 10. 对于，有如下判断，其中错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则是等腰三角形 C. 若，则符合条件的有两个 D. 若，则是锐角三角形 【答案】BD 【解析】 【分析】利用三角形大边对大角和正弦定理判断A，利用正弦定理边化角得出角的关系判断B，利用正弦定理求出的值判断C，利用正弦定理可得，再利用余弦定理判断D. 【详解】选项A，在中由大边对大角可知若，则， 又由正弦定理可得，故A说法正确； 选项B，若，则由正弦定理边化角可得， 即，所以或，整理得或， 所以是等腰三角形或直角三角形，B说法错误； 选项C，因为，所以由正弦定理可得， 所以角有两个值，此时符合条件的有两个，C说法正确； 选项D，若，则由正弦定理角化边可得， 所以，即角是钝角，所以是钝角三角形，D说法错误； 故选：BD 11. 在中，内角，，所对的边分别为，，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，且，则为等边三角形 B. 若点是边上的点，且，则的面积是面积的 C. 若平面内有一点满足：，且，则为等边三角形 D. 若，则为锐角三角形 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，由已知确定的角平分线与BC垂直，所以，所以，再利用向量夹角的余弦得出，最后得出是等边三角形，判断A正确； 对于B，已知，得到 . 得到，根据三角形面积公式可知的面积与面积之比转化为底边MC与BC之比，判断B错误； 对于C，由向量模长关系得到角的大小，再用全等关系得出等边三角形判断C正确； 对于D，利用弦切互化，三角恒等变换和两角和与差的正余弦展开式判断D正确. 【详解】对于选项A，因为，，分别为单位向量， 所以的角平分线与BC垂直，所以，所以.又因为， 即，因为，所以，所以，所以为等边三角形，故选项A正确； 对于B，已知，则.  这说明在线段BC上，且，那么.  因为和高相同，根据三角形面积公式可知的面积与面积之比等于它们底边MC与BC之比，即的面积是面积的，选项B错误.   对于C，因为，故，即，又， 所以，故，由于，故， 同理可得，结合， 故，可得，故为等边三角形，C正确； 对于D，， 而，所以A，B，C都为锐角，D正确； 故选：ACD. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 复数与分别表示向量与，则表示向量的复数为_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据及向量的复数表示运算得到答案. 【详解】复数与分别表示向量与， ，所以表示向量的复数为. 故答案为：. 【点睛】本题考查了向量与复数的关系,向量的运算和复数的运算，属于基础题. 13. 已知是的外心，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用数量的运算律求解即得. 【详解】令边的中点为，由是的外心，得，， 又，所以. 故答案为： 14. 如图，单位向量，的夹角为，点在以为圆心，1为半径的弧上运动，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，设出，，利用平面向量数量积公式，结合辅助角公式得到，结合，求出最小值. 【详解】以为坐标原点，分别以为轴，建立空间直角坐标系， 则，设，， 故 ， 因为，所以， 故当，时，取得最小值，最小值为. 故答案为： 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤．） 15. 在中，已知，，． （1）求； （2）如为的中点，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角形的内角和公式以及正弦定理即可求出角； （2）利用余弦定理与已知的长度和角度即可求解. 【小问1详解】 因为，且，， 根据正弦定理可得， 解得； 又 ，且， 故. 【小问2详解】 由（1）可知，， 由可得. 因为D为AC的中点，所以， 在中， 由余弦定理可得， 则， 从而. 16. 已知向量，若， （1）求与的夹角θ； （2）求； （3）当λ为何值时，向量与向量互相垂直？ 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据向量的模及数量积求出夹角的余弦值即可； （2）根据结合数量积的运算律计算即可； （3）由题意，得，再结合数量积的运算律计算即可. 【小问1详解】 解：因为，， 所以， 又因，所以； 【小问2详解】 解：； 【小问3详解】 解：当向量与向量互相垂直时， ， 即， 即，解得. 17. 已知的内角所对的边分别为，设向量，，且. （1）求角： （2）若的面积为，求的周长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量垂直的坐标表示并结合正、余弦定理即可得到答案； （2）利用三角形面积公式得到，再利用余弦定理求出，最后即可得到周长. 【小问1详解】 因为，则， 由正弦定理得， ，， 则， 因为，则. 【小问2详解】 由三角形面积公式，得，故， ， ∴, 所以的周长为. 18. 如图，甲船在点处通过雷达发现在其南偏东方向相距20海里的处有一艘货船发出供油补给需求，该货船正以15海里/时的速度从处向南偏西的方向行驶．甲船立即通知在其正西方向且相距海里的处的补给船，补给船立刻以25海里/时的速度与货船在处会合． （1）求的长； （2）试问补给船至少应行驶几小时，才能与货船会合？ 【答案】（1）70海里 （2）2小时 【解析】 【分析】（1）由题可得，利用余弦定理即可求解； （2）由余弦定理可得，根据几何关系结合两角和的余弦公式求出，再在中，利用余弦定理即可求出时间. 【小问1详解】 根据题意可得． 因为海里，海里， 所以根据余弦定理可得海里． 【小问2详解】 由余弦定理可得，则， 所以． 设当补给船与货船会合时，补给船行驶的最少时间为小时，则海里，海里． 在中，解得或（舍去）， 故当补给船与货船会合时，补给船行驶的时间至少为2小时． 19. 在中，对应的边分别为. （1）求； （2）奥古斯丁•路易斯･柯西，法国著名数学家.柯西在数学领域有非常高的造诣.很多数学的定理和公式都以他的名字来命名，如柯西不等式､柯西积分公式.其中柯西不等式在解决不等式证明的有关问题中有着广泛的应用. ①用向量证明二维柯西不等式：； ②已知三维分式型柯西不等式：，当且仅当时等号成立.若是内一点，过作的垂线，垂足分别为，求的最小值. 【答案】（1） （2）①设，由，得， 从而，即； ② 【解析】 【分析】（1）由正弦定理边化角，利用三角恒等式化简即可求值； （2）①利用数量积的定义，得到，再利用数量积和模的坐标表示，即可证明结果；②根据条件及三角形面积公式，利用，得到，结合余弦定理，令，得到，再求出的范围，即可求出结果. 【小问1详解】 在中，， 由正弦定理得，， 因为，所以， 所以， 所以，即， 因为， 所以， 因为，所以， 故，又，所以； 【小问2详解】 ①略 ②. 又， . 由三维分式型柯西不等式有. 当且仅当即时等号成立. 由余弦定理得， 所以，即， 则， 令，则. 因为，得，当且仅当时等号成立， 所以，则， 令，则在上递减， 当即时，有最大值， 此时有最小值（此时与可以同时取到） 【点睛】关键点点睛：本题关键是仿照三维分式型柯西不等式的形式进行构造，找到所求要素与柯西不等式的内在联系，再结合余弦定理和基本不等式等知识进行求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 清镇一中2024—2025学年第二学期月考监测 高一数学试卷 2025.3 注意事项： 1．本试卷共4页，满分 150 分，考试时间 120 分钟． 2．答案一律写在答题卡上，写在试卷上的不给分． 3．考试过程中不得使用计算器． 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的．） 1. 若复数满足，则的虚部为（ ） A. B. C. 1 D. i 2. 下列命题中错误的有（    ） A. 平行向量就是共线向量 B. 同向，且，则 C. 若是关于的方程的一个根，则 D. 两个向量平行是这两个向量相等的必要不充分条件 3. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 4. 在复平面内，复数满足，则复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 5. 已知向量与不平行，记，，若，则（ ） A. 2 B. C. D. 6. 已知的角的对边分别为，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 7. 已知向量，则向量在向量方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 8. 如图,在梯形中, , 为线段上一点,且，为的中点, 若（， ）,则的值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分．） 9. 已知复数，，则下列结论正确的是（ ） A. 若为纯虚数，则 B. 若在复平面内对应的点位于第二象限，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 对于，有如下判断，其中错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则是等腰三角形 C. 若，则符合条件的有两个 D. 若，则是锐角三角形 11. 在中，内角，，所对的边分别为，，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，且，则为等边三角形 B. 若点是边上的点，且，则的面积是面积的 C. 若平面内有一点满足：，且，则为等边三角形 D. 若，则为锐角三角形 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 复数与分别表示向量与，则表示向量的复数为_________. 13. 已知是的外心，，则________． 14. 如图，单位向量，的夹角为，点在以为圆心，1为半径的弧上运动，则的最小值为______． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤．） 15. 在中，已知，，． （1）求； （2）如为的中点，求的长． 16. 已知向量，若， （1）求与的夹角θ； （2）求； （3）当λ为何值时，向量与向量互相垂直？ 17. 已知的内角所对的边分别为，设向量，，且. （1）求角： （2）若的面积为，求的周长. 18. 如图，甲船在点处通过雷达发现在其南偏东方向相距20海里的处有一艘货船发出供油补给需求，该货船正以15海里/时的速度从处向南偏西的方向行驶．甲船立即通知在其正西方向且相距海里的处的补给船，补给船立刻以25海里/时的速度与货船在处会合． （1）求的长； （2）试问补给船至少应行驶几小时，才能与货船会合？ 19. 在中，对应的边分别为. （1）求； （2）奥古斯丁•路易斯･柯西，法国著名数学家.柯西在数学领域有非常高的造诣.很多数学的定理和公式都以他的名字来命名，如柯西不等式､柯西积分公式.其中柯西不等式在解决不等式证明的有关问题中有着广泛的应用. ①用向量证明二维柯西不等式：； ②已知三维分式型柯西不等式：，当且仅当时等号成立.若是内一点，过作的垂线，垂足分别为，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $