贵州贵阳市南湖实验中学2025-2026学年第二学期5月月考高一数学

**基本信息** 高一数学月考卷，覆盖向量、复数、立体几何、解三角形核心知识，通过基础选择与综合解答题梯度设计，考查空间观念、运算能力与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|复数虚部、向量夹角、几何体识别|基础巩固，如第2题复数概念辨析| |多选|3/18|解三角形中线/高、直三棱柱外接球|综合辨析，如第9题三角形几何量计算| |填空|3/15|直观图面积、塔高测量|应用意识，如第14题实际测量问题| |解答|5/77|向量模与夹角、解三角形周长、复数方程|分层设问，如第16题先求角再算周长，考查推理能力|

■■■ ■■■■ ■■■■ 贵阳市南湖实验中学2025-2026第二学期5月月考 高一数学答题卡 姓名： 班级： 考生条形码粘贴处 准考证号： 一、单选题（共40分） 考生禁填： 缺考标记 ▣ 违纪标记 1[A[B[C[D] 5[AJ[B][C][D] 以上标志由监考人员用 2[A][B][C][D] 6[AJ[B][C][D] 3 [A][B][c][D] 2B铅笔填涂 7[AJ[B][C][D] 4[A][B][C][D] 8[AJ[B][C][D] 选择题填涂样例： 正确填涂■ 错误填涂[×][√][/ 二、多选题（共18分） 9[A][B][C][D] 10[AJ[B][C][D] 11[A][B][C][D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 13. 14. 此区域禁止答题 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(17分) 请在各颗目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页） 贵阳市南湖实验中学2025-2026第二学期5月月考 高一数学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分. 考试结束后，请将试卷和答题卡一并收回.满分150分，考试时长：120分钟 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 注意事项： 1. 答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2. 每小题给出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试卷上作答无效. 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．下面命题中，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．已知复数，则的虚部是（   ） A． B． C． D． 3．如图所示，观察四个几何体，下列选项中，错误的是（    ） A．①是棱台 B．②不是圆台 C．③是棱锥 D．④是棱柱 4．已知向量，满足，，若与的夹角为，则（ ）． A．1 B． C． D．3 5．已知向量，，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 6．在中，内角所对的边分别为，若，则（   ） A． B． C． D． 7．已知底面半径为1，体积为的圆锥的顶点和底面圆周都在球的球面上，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 8．已知向量，满足，，，则向量在向量方向上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 二、多选题（每小题全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选的得0分，共18分） 9．在中，，，，则（   ） A． B．若是的中线，则 C．若是的高，则 D．若是的角平分线，则 10．若复数，为虚数单位，则下列说法正确的有（    ） A． B． C．在复平面内对应的点位于第四象限 D．若复数满足，则的最小值为 11．如图，在直三棱柱中，，，点P、Q、M、N分别是、、、BC的中点，则（   ） A．P、Q、M、N四点共面 B．线段为直三棱柱外接球的直径 C．三棱锥的体积为 D．直线MN与AC所成角余弦值为 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 注意事项： 第Ⅱ卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效. 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．_______. 13．如图，矩形是水平放置的一个平面图形的直观图，其中 则原图形的面积为________. (13题图） (14题图） 14．如图所示，为测量河对岸的塔高，选取了与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，，，则塔高________． 四、解答题（本大题共77分，解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤） 15．（本题13分）已知，． (1)若，的夹角为，求； (2)若，求与的夹角θ的余弦值． 16．（本题15分）记的内角，，的对边分别为，，，且． (1)求角的大小； (2)若，的面积为，求的周长． 17．（本题15分）（1）已知复数（）是纯虚数，求m的值： （2）已知复数，在复平面上对应的点在第四象限，且满足.若复数z是关于x的方程且的一个复数根，求的值. 18．（本题17分）在中，内角对应的边分别为，且. (1)求角； (2)已知，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一确定，求边上中线的长. 条件①：； 条件②：； 条件③：. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 19．（本题17分）已知向量 ，． (1)当时，求实数的值； (2)当 时，求向量与的夹角的余弦值． 2 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2026年4月27日高中数学作业》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B A C A D A D BD BCD 题号 11 答案 BCD 1．D 【详解】对A，若，则，错误； 对B，若，则，长度相等，且方向相同，所以，正确. 对C，，但，不一定同向，所以，不一定相等，错误； 对D，向量不能比较大小，错误； 2．B 【详解】因为， 所以的虚部是. 3．A 【详解】图①不是由棱锥截到的，所以①不是棱台； 图②上、下两个面不平行，所以②不是圆台； 图③是棱锥． 图④前、后两个面平行，其他面是平行四边形，且每相邻两个四边形的公共边平行，所以④是棱柱． 4．C 【详解】根据向量模长公式，，展开得. 由已知，，与夹角， 向量点积， 代入模长公式得. 5．A 【详解】根据平面向量平行的坐标性质，若，， 则，代入，得：， 即，解得或， 判断充分必要性：若，一定能推出，充分性成立； 若，还可以取，不能推出，必要性不成立， 因此是的充分而不必要条件. 6．D 【详解】由正弦定理得：, 设,由余弦定理的推论得：， . 7．A 【详解】设该圆锥的高为，所以，解得， 设球的半径为，由题意知，解得， 所以球的表面积为． 8．D 【分析】根据题意，结合向量模的运算，数量积的运算律得，再结合投影向量的公式求解即可. 【详解】设向量，的夹角为，由题意知，， 因为， 所以，即，解得， 所以， 所以向量在向量方向上的投影向量为， 9．BD 【分析】利用余弦定理求解判断A；利用数量积运算律求解判断B；利用三角形面积列式求解判断CD. 【详解】对于A，由余弦定理，得，A错误； 对于B，由是的中线，得，则 ，B正确； 对于C，由是的高，得，则，C错误； 对于D，由是的角平分线，得，由， 得，则，D正确. 10．BCD 【详解】 . 对于A：，A错误. 对于B：，B正确. 对于C：在复平面内对应的点为，位于第四象限，C正确. 对于D：表示复数在复平面内对应单位圆上的点，表示单位圆上的点到点的距离. 点到原点的距离为，所以单位圆上的点到点的最小距离为，D正确. 11．BCD 【分析】由异面直线的判定判断A；补形成正方体判断B；利用等体积法求出体积判断C；求出异面直线夹角判断D. 【详解】对于A，直线平面，点平面， 而直线，点平面， 因此直线与直线是异面直线，则四点不共面，A错误； 对于B，将三棱柱补形为正方体，为该正方体共点的三条棱， 矩形为该正方体对角面，则为三棱柱外接球直径，B正确； 对于C，点到平面的距离为， 则，C正确； 对于D，取中点，连接，由是中点，得， 则是异面直线与所成角或其补角， 由已知，，，平面， 所以平面，故平面， 又平面，于是，而， 则，因此，D正确. 12． 【详解】 13． 【详解】在直观图中，， 直观图面积， 原图形面积. 14． 【详解】已知，，，则， 由正弦定理得，则， ， 已知，， ，故． 15．(1) (6分） (2)（7分） 【分析】（1）利用向量的平方与向量模的关系可求向量的模； （2）由已知可得，计算可求得. 【详解】（1）因为， 所以， 所以 （2）若，则，即，所以， 即，所以． 16．(1)（7分） (2)（8分） 【分析】（1）由正弦定理结合三角恒等变换可得，即可得结果； （2）根据三角形面积公式可得，结合余弦定理可得，即可得结果. 【详解】（1）因为，（2分） 由正弦定理可得，（1分） 则，（1分） 又因为，则，可得，（1分） 即，所以.（2分） （2）因为的面积为，可得， 由余弦定理可得， 即，可得， 所以的周长为. 17．（1）；（6分） （2）4（9分） 【详解】（1）因为复数是纯虚数， 所以且，(2分） 由，解得或.（2分） 当时， ，符合要求； 当时，，不符合要求，舍去， 所以m的值为； （2）依题意，点在第四象限，则，（1分） 由，得（2分） 即（1分），所以，，（1分） 由复数z是关于x的方程的根， 得（1分），整理得，（1分） 而，因此，（1分） 解得，所以.（1分） 18．(1)（7分）； (2)答案见解析（10分） 【分析】（1）方法一：利用正弦定理将边化为角,结合两角和正弦公式与三角形内角和关系化简,消去后求得,进而结合角的范围算出角； 方法二：借助余弦定理把式子中余弦转化为边的表达式,代入等式化简整理,得到边的关系式,再由余弦定义求出,结合内角范围解得. （2）选条件①由求出,利用内角和与两角和正弦公式算出,结果为负,与三角形内角正弦为正矛盾,故此三角形不存在； 选条件②结合与角,由余弦定理列方程解出边长,利用中线向量公式平方运算,结合向量数量积,代入数值求出中线长度； 选条件③已知两边与夹角,直接运用中线向量结论,结合向量模长与数量积运算,整体代入计算,求得中线的长,三角形唯一存在. 【详解】（1）方法一：由正弦定理，为三角形外接圆半径， 代入，得， 即. 由，，故. 因为，所以，又，所以. 方法二：因为， 由余弦定理得， 化简得即. 又，所以. （2）选条件①：，，， 因为，所以，. 则 . 三角形内角正弦值必为正，故不存在. 选条件②：，，. 由余弦定理，得， 即，整理得，解得或（舍去）. 故，三角形唯一确定. 因为为边上中线，由向量关系得， 两边平方得， 代入，，， 得，所以. 选择条件③：，，， 为边上中线，所以， ， 代入，，， 得，所以，三角形存在且唯一. 19．(1)（7分） (2)（10分） 【分析】（1）根据向量的线性运算及向量垂直的坐标表示求解即可. （2）根据向量的线性运算及向量平行的坐标表示求出，结合向量数量积的坐标运算求解即可. 【详解】（1），（2分） ，（2分） 因为，所以，（1分） 即，整理得，解得.（2分） （2），（2分） 因为，所以（2分） 即，解得.（2分） 所以.（1分） 所以.（3分） 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 贵阳市南湖实验中学2025-2026第二学期5月月考 高一数学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分. 考试结束后，请将试卷和答题卡一并收回.满分150分，考试时长：120分钟 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 注意事项： 1. 答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2. 每小题给出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试卷上作答无效. 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．下面命题中，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．已知复数，则的虚部是（   ） A． B． C． D． 3．如图所示，观察四个几何体，下列选项中，错误的是（    ） A．①是棱台 B．②不是圆台 C．③是棱锥 D．④是棱柱 4．已知向量，满足，，若与的夹角为，则（ ）． A．1 B． C． D．3 5．已知向量，，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 6．在中，内角所对的边分别为，若，则（   ） A． B． C． D． 7．已知底面半径为1，体积为的圆锥的顶点和底面圆周都在球的球面上，则球的表面积为（    ） A． B． C． D． 8．已知向量，满足，，，则向量在向量方向上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 二、多选题（每小题全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选的得0分，共18分） 9．在中，，，，则（   ） A． B．若是的中线，则 C．若是的高，则 D．若是的角平分线，则 10．若复数，为虚数单位，则下列说法正确的有（    ） A． B． C．在复平面内对应的点位于第四象限 D．若复数满足，则的最小值为 11．如图，在直三棱柱中，，，点P、Q、M、N分别是、、、BC的中点，则（   ） A．P、Q、M、N四点共面 B．线段为直三棱柱外接球的直径 C．三棱锥的体积为 D．直线MN与AC所成角余弦值为 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 注意事项： 第Ⅱ卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效. 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．_______. 13．如图，矩形是水平放置的一个平面图形的直观图，其中 则原图形的面积为________. (13题图） (14题图） 14．如图所示，为测量河对岸的塔高，选取了与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，，，则塔高________． 四、解答题（本大题共77分，解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤） 15．（本题13分）已知，． (1)若，的夹角为，求； (2)若，求与的夹角θ的余弦值． 16．（本题15分）记的内角，，的对边分别为，，，且． (1)求角的大小； (2)若，的面积为，求的周长． 17．（本题15分）（1）已知复数（）是纯虚数，求m的值： （2）已知复数，在复平面上对应的点在第四象限，且满足.若复数z是关于x的方程且的一个复数根，求的值. 18．（本题17分）在中，内角对应的边分别为，且. (1)求角； (2)已知，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一确定，求边上中线的长. 条件①：； 条件②：； 条件③：. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 19．（本题17分）已知向量 ，． (1)当时，求实数的值； (2)当 时，求向量与的夹角的余弦值． 学科网（北京）股份有限公司 $贵阳市南湖实验中学2025-2026第二学期5月月考 高一数学 本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分 考试结束后，请将试卷和答题卡一并收回.满分150分，考试时长：120分钟 第I卷（选择题，共58分） 注意事项： 1,答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚， 2.每小题给出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再 选涂其他答案标号.在试卷上作答无效 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要 求的) 1.下面命题中，正确的是() A.若a=0,则a=0 B.若a=b,则a∥b c.若a=,则a=方 D.若d>l,则a>万 2已知复数：则：的虚部是() A.-1 B.1 C.i D.-i 3.如图所示，观察四个几何体，下列选项中，错误的是（) ① ② ③ ④ A.①是棱台 B.②不是圆台 C.③是棱锥 D.④是棱柱 4.已知向量a,6满足团=1，月-2，若a与5的夹角为号，则6+《)。 A.1 B.2 C.√5 D.3 5.已知向量a=(1,x),b=(x,9),则“x=3”是“ā/6”的() A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 6.在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、bc,若sin4sinB:sinC=2:3:4,则sinB=() A.15 11 16 B. 16 C.1o D.3V15 16 7.已知底面半径为1，体积为V3π的圆锥的顶点和底面圆周都在球0的球面上，则球0的表面积为() 3 A.16n 64π B.16π C. D.64π 3 3 8.已知向量a,6满足@=1，石=(，1)，a-=5,则向量a-b在向量6方向上的投影向量为() B层 c. 33 2’2 (引 二、多选题（每小题全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选的得0分，共18分） 9.在△ABC中，BC=4,AC=2,∠ACB=2红，则( A.AB=23 B.若CD是△ABC的中线，则CD=√ C.若CD是△ABC的高，则CD=2 D.若CD是A1BC的角平分线，则CD-号 10.若复数2=1+2i,1为虚数单位，则下列说法正确的有() i A.2=5 B.z=2+i C.z在复平面内对应的点位于第四象限 D.若复数ω满足=1,则o-z的最小值为5-1 11.如图，在直三棱柱ABC-ABC中，AB=AC=AA,=2,AB⊥AC,点P、Q、M、N分别是BB、CC、 AA、BC的中点，则() B M N A.P、Q、M、N四点共面 B.线段BC,为直三棱柱ABC-AB,C,外接球的直径 C.三棱锥P-4QN的体积为 D.直线MN与AC所成角余弦值为V 3 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 注意事项： 第Ⅱ卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效 三、填空题（每小题5分，共15分） 12.(AB-BM)+BO+OM= 13.如图，矩形OABC是水平放置的一个平面图形的直观图，其中OA=6,OC'=2,则原图形OABC的 面积为 A和 (13题图) (14题图) 14.如图所示，为测量河对岸的塔高AB,选取了与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D,现测 tan ZACB=,CD=50m,∠BCD=75,∠BDC=60,则塔高在 四、解答题（本大题共77分，解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤） 15.(本题13分)已知d=1,=22. (0若a,6的夹角为平，求5+： (2)若a-2b)1a,求a与6的夹角的余弦值. 16.(本题15分)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2 acos A+bcosC=ccos(A+C). (1)求角A的大小： (2)若a=√21，△ABC的面积为V5,求△ABC的周长. 17.(本题15分)(1)己知复数z=(m2-m-2)+(4-m2)i(meR)是纯虚数，求m的值： (2)已知复数z=1+bi(b∈R),在复平面上对应的点在第四象限，且满足z·z=4.若复数z是关于x的 方程px2+2x+q=0(p≠0，且p,9∈R)的一个复数根，求Pg的值. 18.(本题17分)在△ABC中，内角A,B,C对应的边分别为a,b,c,且bcosC+ccosB=2 acos A. (1)求角A: (2)已知c=3,再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为己知，使得△ABC存在且唯一确 定，求BC边上中线AD的长 条件O:Qs8=号 条件②：a=√19： 条件③：b=5. 注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个 解答计分. 19.(本题17分)已知向量a=(2,3),b=(-1,4),c=(m+2,-2),m∈R. 1)当(a-2)1(a+)时，求实数2的值；2当12a-时，求向量a与c的夹角的余弦值.