精品解析：江西鹰潭市第八中学2025-2026学年八年级下学期期中试卷

八年级数学试卷 一 、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 2022年暑假期间，国家高度重视预防溺水安全工作，要求各级各类学校积极落实防溺水安全教育，以下与防溺水相关的标志中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. “x的2倍不小于3”用不等式表示是（ ） A. B. C. D. 3. 等腰三角形一个外角等于110°，则底角为（　　） A. 70°或40° B. 40°或55° C. 55°或70° D. 70° 4. 已知，下列式子不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 5. 将点向下平移个单位长度后，再向左平移个单位长度的点为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，将直角沿方向平移得到直角，已知，则阴影部分的面积为（ ） A. 36 B. 37 C. 38 D. 39 二 、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. “对顶角相等”的逆命题是______（填“真”或者“假”）命题． 8. 用反证法证明“”时，首先应假设__________． 9. 不等式：的负整数解为__________． 10. 如图，在中，，平分，，，则点到直线的距离是______． 11. 函数和函数在同一坐标系中的图象如图所示，则关于的不等式的解集是______． 12. 已知△ABC中，如果过顶点B的一条直线把这个三角形分割成两个三角形，其中一个为等腰三角形，另一个为直角三角形，则称这条直线为△ABC的关于点B的二分割线．如图1，Rt△ABC中，显然直线BD是△ABC的关于点B的二分割线．在图2的△ABC中，∠ABC＝110°，若直线BD是△ABC的关于点B的二分割线，则∠CDB的度数是_____． 三、解答题：（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来． 14. 如图，在△ABC中，已知∠ABC＝30°，将△ABC绕点B逆时针旋转50后得到△A′BC′．已知A′C′∥BC，求∠A的度数． 15. 已知:在中, ,为的中点, , ,垂足分别为点,且.求证:是等边三角形. 16. 如图，在网格中，每个小正方形的边长为1，要求只用一把无刻度的直尺作图． （1）在图1中作一个以为腰的等腰三角形，其顶点都在格点上． （2）在图2中作所有以为一边的直角三角形，其顶点都在格点上． 17. 若关于、的二元一次方程组的解，满足，求的取值范围． 四、解答题：（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 已知在中，的平分线交于点D，． （1）如图1，求证：是等腰三角形； （2）如图2，若平分交于E，，在边上取点F使，若，求的长． 19. 某餐饮公司销售、两种套餐，已知购买2份套餐和3份套餐共用了84元；1份套餐和2份套餐共用了51元． （1）求套餐、套餐的单价各多少元： （2）某单位从该餐饮公司购买、两种套餐共20份，费用不超过330元，求该单位最少能购买多少份套餐． 20. 如图，已知点A、C分别在∠GBE的边BG、BE上，且AB＝AC，AD//BE，∠GBE的平分线与AD交于点D，连接CD． （1）求证：①AB＝AD；②CD平分∠ACE． （2）猜想∠BDC与∠BAC之间有何数量关系？并对你的猜想加以证明． 五、解答题：(本大题共2小题，每小题9分，共18分) 21. 已知：△A1B1C1三个顶点的坐标分别为A1(﹣3，4)，B1(﹣1，3)，C1(1，6)，把△A1B1C1先向右平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度后得到△ABC，且点A1的对应点为A，点B1的对应点为B，点C1的对应点为C． （1）在坐标系中画出△ABC； （2）画出△ABC关于原点O对称的△A2B2C2； （3）设点P在y轴上，且△APB与△ABC的面积相等，求点P的坐标． 22. 定义新运算为：对于任意实数a、b都有，等式右边都是通常的加法、减法、乘法运算，比如． （1）求的值． （2）若，求x的取值范围． （3）若不等式组恰有三个整数解，求实数a的取值范围． 六 、解答题：（本大题12分） 23. 【综合与实践】 （1）【阅读理解】如图①，在四边形中，，点是的中点，若是的平分线，试判断之间的等量关系． 解决此问题可以用如下方法：延长交的延长线于点，易证，得到，从而把转化在一个三角形中即可判断：之间的等量关系为__________； （2）【问题探究】如图②，在四边形中，与的延长线交于点，点是的中点，若是的平分线，试探究之间的等量关系，并证明你的结论； （3）【问题解决】如图③，与交于点，且点是的中点，点在线段上，且，若，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学试卷 一 、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 2022年暑假期间，国家高度重视预防溺水安全工作，要求各级各类学校积极落实防溺水安全教育，以下与防溺水相关的标志中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据轴对称图形的定义直接求解即可． 【详解】解：由选项可得，只有D选项能找到一条直线，使得这个图形沿着直线对折后能完全重合， 故选：D． 【点睛】题目主要考查轴对称图形的定义，理解轴对称图形的定义是解题关键． 2. “x的2倍不小于3”用不等式表示是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据“不小于”即“大于或等于”，列不等式即可. 【详解】解：由题意得：2x≥3， 故选： D． 【点睛】本题考查了不等关系的判断，掌握不小于的意义是解题关键． 3. 等腰三角形一个外角等于110°，则底角为（　　） A. 70°或40° B. 40°或55° C. 55°或70° D. 70° 【答案】C 【解析】 【详解】解：分为两种情况：①当顶角的外角是110°时，顶角是180°﹣110°=70°，则底角是×（180°﹣70°）=55°； ②当底角的外角是110°时，底角是180°﹣110°=70°； 即底角为55°或70°．故选C． 点睛：本题主要考查了等腰三角形的性质，此题应注意进行分类讨论，非常容易忽略一种情况． 4. 已知，下列式子不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的基本性质即可进行解答． 【详解】解：A、不等式两边同时减去一个相同的数，不等号的方向不变，故A成立，不符合题意； B、不等式两边同时乘以一个相同的负数，不等号的方向改变，故B成立，不符合题意； C、∵， ∴， ∴；故C成立，不符合题意； D、∵，， ∴，故D不成立，符合题意； 故选∶D． 【点睛】本题主要考查了不等式的性质，解题的关键是熟练掌握不等式的基本性质．不等式性质1：不等式的两边同时加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号的方向不变．不等式性质2：不等式的两边同时乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．不等式性质3：不等式的两边同时乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 5. 将点向下平移个单位长度后，再向左平移个单位长度的点为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减进行计算即可． 【详解】解：将点向下平移2个单位长度后，再向左平移4个单位长度的点为， 即， 故选：A． 【点睛】此题主要考查了坐标与图形的变化，关键是掌握点的坐标的变化规律． 6. 如图，将直角沿方向平移得到直角，已知，则阴影部分的面积为（ ） A. 36 B. 37 C. 38 D. 39 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行（或在同一条直线上）且相等，对应线段平行（或在同一条直线上）且相等，对应角相等．根据平移的性质可得，，则阴影部分的面积=梯形的面积，再根据梯形的面积公式即可得到答案． 【详解】解：∵沿的方向平移距离得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 二 、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. “对顶角相等”的逆命题是______（填“真”或者“假”）命题． 【答案】假 【解析】 【分析】本题考查了对顶角相等，逆命题的真假判断，先写出逆命题再判断真假即可． 【详解】解：“对顶角相等”的逆命题是：相等的角是对顶角，此命题为假命题． 故答案为：假． 8. 用反证法证明“”时，首先应假设__________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了反证法，根据反证法证明“”，则与相反的全部结果就为，据此即可作答． 【详解】解：∵与相反的全部结果就为 ∴用反证法证明“”时，首先应假设 故答案为： 9. 不等式：的负整数解为__________． 【答案】，， 【解析】 【分析】根据不等式性质解不等式，再根据负整数的概念即可求解． 【详解】解：， 去分母得，， 系数化为得，， ∴负整数解为，，， 故答案为：，，． 【点睛】本题主要考查解一元一次不等式，负整数的概念，掌握以上知识是解题的关键． 10. 如图，在中，，平分，，，则点到直线的距离是______． 【答案】##3厘米 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，熟练掌握角平分线的性质定理是解题关键．先求出，再过点作于点，根据角平分线的性质定理求解即可得． 【详解】解：∵，， ∴， 如图，过点作于点， ∵平分，， ∴， 即点到直线的距离是， 故答案为：． 11. 函数和函数在同一坐标系中的图象如图所示，则关于的不等式的解集是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的应用，通过做此题培养了学生的观察图形的能力和理解能力，题目比较好，难度也适中． 根据图形得出直线和直线的交点坐标，根据图象的特点和交点坐标即可得出答案． 【详解】解：∵由图象可知：直线和直线的交点坐标是， ∴关于的不等式的解集是． 故答案为：． 12. 已知△ABC中，如果过顶点B的一条直线把这个三角形分割成两个三角形，其中一个为等腰三角形，另一个为直角三角形，则称这条直线为△ABC的关于点B的二分割线．如图1，Rt△ABC中，显然直线BD是△ABC的关于点B的二分割线．在图2的△ABC中，∠ABC＝110°，若直线BD是△ABC的关于点B的二分割线，则∠CDB的度数是_____． 【答案】40°或90°或140° 【解析】 【分析】分三种情况讨论，由等腰三角形的性质和直角三角形的性质可求解． 【详解】解：①如图， 当∠DBC=90°，AD=BD时，直线BD是△ABC的关于点B的二分割线， ∵∠ABC=110°，∠DBC=90°， ∴∠ABD=20°， ∵AD=BD， ∴∠A=∠ABD=20°， ∴∠CDB=∠A+∠ABD=40°； ②如图， 当∠BDC=90°，AD=BD时，直线BD是△ABC的关于点B的二分割线，或当∠BDC=90°，CD=BD时，直线BD是△ABC的关于点B的二分割线，； ③如图， 当∠ABD=90°，CD=BD时，直线BD是△ABC的关于点B的二分割线， ∵∠ABC=110°，∠ABD=90°， ∴∠DBC=20°， ∵CD=BD， ∴∠C=∠DBC=20°， ∴∠BDC=140°． 综上所述：当∠BDC的度数是40°或90°或140°时，直线BD是△ABC的关于点B的二分割线． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，理解二分割线是本题的关键． 三、解答题：（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】1＜x＜2，数轴见解析． 【解析】 【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，然后把不等式的解集表示在数轴上即可． 【详解】， 解不等式①，得x＞1， 解不等式②，得x＜2， 将不等式①和②的解集在数轴上表示出来： ∴不等式组的解集为1＜x＜2． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，主要考查学生的计算能力． 14. 如图，在△ABC中，已知∠ABC＝30°，将△ABC绕点B逆时针旋转50后得到△A′BC′．已知A′C′∥BC，求∠A的度数． 【答案】100° 【解析】 【分析】根据△ABC绕点B旋转后得到△A′BC′，可得△ABC≌△A′BC′，；因为旋转了50°，所以，可得到，再根据A′C′∥BC，可得,即可得出. 【详解】解：∵将△ABC绕点B逆时针旋转50后得到△A′BC′， ∴, △ABC≌△A′BC′， ∵△ABC≌△A′BC′， ∴， ∴； ∵A′C′∥BC， ∴， ∴， ∴; 故答案为100°. 【点睛】本题考查旋转后三角形全等性质的应用，找出旋转角再结合平行线是本题解题关键；遇到旋转的题目先确定旋转中心，并且旋转必有全等，这些都是当做已知条件来用的，做题的时候比较容易忽略. 15. 已知:在中, ,为的中点, , ,垂足分别为点,且.求证:是等边三角形. 【答案】证明见解析. 【解析】 【详解】分析：由等腰三角形的性质得到∠B=∠C．再用HL证明Rt△ADE≌Rt△CDF，得到∠A=∠C，从而得到∠A=∠B=∠C，即可得到结论． 详解：∵AB=AC， ∴∠B=∠C． ∵DE⊥AB， DF⊥BC，∴∠DEA=∠DFC=90°． ∵D为的AC中点，∴DA=DC． 又∵DE=DF，∴RtΔAED≌RtΔCDF(HL)， ∴∠A=∠C， ∴∠A=∠B=∠C， ∴ΔABC是等边三角形． 点睛：本题考查了等边三角形的判定、等腰三角形的性质以及直角三角形全等的判定与性质．解题的关键是证明∠A=∠C． 16. 如图，在网格中，每个小正方形的边长为1，要求只用一把无刻度的直尺作图． （1）在图1中作一个以为腰的等腰三角形，其顶点都在格点上． （2）在图2中作所有以为一边的直角三角形，其顶点都在格点上． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据格点特点作等腰三角形即可； （2）分别以为直角边或以为斜边，作直角三角形即可． 【小问1详解】 解：如图，为所求作的等腰三角形；（作出一种即可） 【小问2详解】 解：如图，、、、为所求作的直角三角形． 【点睛】本题主要考查了在网格中作等腰三角形和直角三角形，解题的关键是注意网格中互相垂直的线段作法． 17. 若关于、的二元一次方程组的解，满足，求的取值范围． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是解二元一次方程组，掌握二元一次方程组的解法是解题关键．利用二元一次方程组，得到，再结合，即可求出的取值范围． 【详解】解： ， 由得：， ， ， ， ． 四、解答题：（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 已知在中，的平分线交于点D，． （1）如图1，求证：是等腰三角形； （2）如图2，若平分交于E，，在边上取点F使，若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）4 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的判定与性质、三角形的外角性质以及角直角三角形的边角关系，掌握等腰三角形的判定与性质，角直角三角形的边角关系是解决问题的关键． （1）根据角平分线得到，由得到，再通过等量代换，结合等角对等边即可证明； （2）先根据平行得到，故由（1）可知，，然后通过等边对等角以及三角形外角性质得到，继而可证明，然后根据角直角三角形性质得到，最后得到． 【小问1详解】 证明：∵是的平分线， ， ， ， ， ； 即是等腰三角形； 【小问2详解】 解：∵， ，， 又平分， ， 由（1）可知，， ， ， ， ∴， ∴， ， 又∵， ． 19. 某餐饮公司销售、两种套餐，已知购买2份套餐和3份套餐共用了84元；1份套餐和2份套餐共用了51元． （1）求套餐、套餐的单价各多少元： （2）某单位从该餐饮公司购买、两种套餐共20份，费用不超过330元，求该单位最少能购买多少份套餐． 【答案】（1）A套餐的单价为15元，B套餐的单价为18元 （2）10份 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组、一元一次不等式的应用， （1）设套餐的单价为元，套餐的单价为元，列出二元一次方程组，即可作答； （2）设该单位购买份套餐，则购买份套餐，根据题意列出一元一次不等式，问题随之得解． 【小问1详解】 设套餐的单价为元，套餐的单价为元， 根据题意得：， 解得：， 即：A套餐的单价为15元，B套餐的单价为18元； 【小问2详解】 设该单位购买份套餐，则购买份套餐， 根据题意得：， 解得：， 该单位最少能购买10份套餐． 20. 如图，已知点A、C分别在∠GBE的边BG、BE上，且AB＝AC，AD//BE，∠GBE的平分线与AD交于点D，连接CD． （1）求证：①AB＝AD；②CD平分∠ACE． （2）猜想∠BDC与∠BAC之间有何数量关系？并对你的猜想加以证明． 【答案】（1）①见解析；②见解析；（2），证明见解析 【解析】 【分析】（1）①根据平行线的性质得到∠ADB=∠DBC，由角平分线的定义得到∠ABD=∠DBC，等量代换得到∠ABD=∠ADB，根据等腰三角形的判定即可得到AB=AD；②根据平行线的性质得到∠ADC=∠DCE，由①知AB=AD，等量代换得到AC=AD，根据等腰三角形的性质得到∠ACD=∠ADC，求得∠ACD=∠DCE，即可得到结论； （2）根据角平分线的定义得到∠DBC=∠ABC，∠DCE=∠ACE，由于∠BDC+∠DBC=∠DCE于是得到∠BDC+∠ABC=∠ACE，由∠BAC+∠ABC=∠ACE，于是得到∠BDC+∠ABC=∠ABC+∠BAC，即可得到结论． 【详解】（1）证明：平分 ∴∠ABD=∠DBC ∴∠ADB=∠DBC ∴∠ABD=∠ADB， ； ②， 平分 （2） 理由：∵CD、BD分别平分∠ACE，∠ABE， ，∠DBC=∠ABC， 又 又∵∠BDC+∠DBC=∠DCE ∴∠BDC+∠ABC=∠ACE， ∴∠BDC+∠ABC=∠ABC+∠BAC， ∴． 【点睛】本题考查三角形的外角性质，等腰三角形的判定，角平分线的定义，平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定和三角形的外角性质是解题的关键． 五、解答题：(本大题共2小题，每小题9分，共18分) 21. 已知：△A1B1C1三个顶点的坐标分别为A1(﹣3，4)，B1(﹣1，3)，C1(1，6)，把△A1B1C1先向右平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度后得到△ABC，且点A1的对应点为A，点B1的对应点为B，点C1的对应点为C． （1）在坐标系中画出△ABC； （2）画出△ABC关于原点O对称的△A2B2C2； （3）设点P在y轴上，且△APB与△ABC的面积相等，求点P的坐标． 【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析；（3）P（0，5）或（0，﹣3）． 【解析】 【分析】（1）根据已知条件，分别将A1，B1，C1，三点向右平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到点，，三点的坐标，然后首尾依次相连，即可得△ABC； （2）根据（1）中所得A，B，C三点，找出其关于原点的对称点，，，然后将其首尾依次相连，即可得到△A2B2C2； （3）用矩形面积减去三个三角形面积即可求得△ABC的面积，设，根据各个点的坐标，利用三角形面积公式，构建方程即可求解． 【详解】（1）A1，B1，C1，三点向右平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到A(0，1)，B(2，0)，C(4，3)，然后将这三点首尾相连，得到如图，△ABC即为所求； （2）A，B，C，关于原点的对称点分别为：A2(0，-1)，B2(-2，0)，C2(-4，-3)，然后将这三点首尾相连，得到如图，△A2B2C2即为所求； （3）， 设P（0，m），由题意，， 解得：m=5或﹣3，∴P（0，5）或（0，﹣3）． 【点睛】本题考查作图-平移变换、中心对称、三角形面积、矩形面积等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题． 22. 定义新运算为：对于任意实数a、b都有，等式右边都是通常的加法、减法、乘法运算，比如． （1）求的值． （2）若，求x的取值范围． （3）若不等式组恰有三个整数解，求实数a的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用新运算的规则直接进行计算即可； （2）利用新运算的规则对不等式转化，再进行求解； （3）利用新运算的规则对不等式组进行转化，然后解不等式组，再结合该不等式组恰有个整数解确定的取值范围． 【小问1详解】 解：． 【小问2详解】 解：， ， ． 【小问3详解】 解：由，得， 解不等式①，得； 解不等式②，得． 原不等式组的解集为． 又原不等式组恰有个整数解， 原不等式的整数解为，，． ， 解得． 【点睛】本题考查了对定义新运算理解与运用，解不等式（组），解决本题的关键是将新运算转化为普通四则运算进行求解． 六 、解答题：（本大题12分） 23. 【综合与实践】 （1）【阅读理解】如图①，在四边形中，，点是的中点，若是的平分线，试判断之间的等量关系． 解决此问题可以用如下方法：延长交的延长线于点，易证，得到，从而把转化在一个三角形中即可判断：之间的等量关系为__________； （2）【问题探究】如图②，在四边形中，与的延长线交于点，点是的中点，若是的平分线，试探究之间的等量关系，并证明你的结论； （3）【问题解决】如图③，与交于点，且点是的中点，点在线段上，且，若，求的值． 【答案】（1） （2），证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）延长交的延长线于点F，用证明，得到，从而得到，再利用是∠的平分线推导，得到； （2）与（1）同理可证，得到，再证明，继而得解； （3） 延长交的延长线于点H，用证明，得到，从而求得，过点作于，推导，可知，利用含角的直角三角形的性质求出，再证明可得，从而得解． 【小问1详解】 解：（1），理由如下： 如图， ∵点E是的中点， ∴， ∵， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∴， ∵是∠的平分线， ∴， ∴； 【小问2详解】 ，理由：延长相交于点 ∵点E是的中点， ∴， ∵， ∴， 在和中 ， ∴ 是的角平分线 ， ； 【小问3详解】 延长相交于 由（2）同理得，() 过点作于， 在中，，， 根据勾股定理得， 在和中， 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等角对等边，等腰三角形的判定与性质，勾股定理等知识，延长线段，用截长补短的方法构造出全等三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $