精品解析：江西南昌市南昌县2025-2026学年度第二学期期中考试八年级数学试卷

南昌县2025－2026学年度第二学期期中考试八年级数学试卷 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 使有意义的x的取值范围是（ ） A. x≠1 B. x≥1 C. x＞1 D. x≥0 2. 下列式子是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各组数中，是勾股数的是（ ） A. 1，3， B. 2，4，5 C. 6，8，10 D. 5，10，15 4. 在平行四边形中，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 若一个正多边形的内角和为，则这个正多边形的一个外角为（ ） A. B. C. D. 6. 如图所示，在矩形中，点的坐标是，则的长是（ ） A. B. C. D. 7. 已知﹣，则的解为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，中为上的中线，，垂足为，，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 比较大小：_________ 10. 若最简二次根式与是同类根式，则________. 11. 如图所示的是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，其中阴影部分的面积是 _______． 12. 如图，在中，，是延长线上一点，是上一点，，，分别是的中点，则的长为____． 13. 如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重合部分构成四边形，P为上一点，连接，若四边形的面积为，纸条的宽为3，，则的长是___． 14. 在等腰三角形纸片中，，，将此等腰三角形纸片沿底边上的中线剪成两个全等的三角形，用这两个三角形拼成一个平行四边形，则平行四边形的周长为______． 三、解答题（本大题共4小题，每小题6分，共24分） 15. 计算： （1）； （2）． 16. 如图，在四边形中，连接，点是上的两点，连接，，，，． 求证： （1）； （2）． 17. 如图是的正方形网格，的顶点都在格点上，请仅用无刻度直尺按下列要求作图（保留作图痕迹）． （1）在图1中，作线段，点D，E分别在上且； （2）如图2，在的边上找一点F，使． 18. 某太阳能热水器的横截面示意图如图所示，已知真空热水管与支架所在直线相交于点，且．支架与水平线垂直，，，．求： （1）支架的长． （2）真空热水管的长．（结果均保留根号） 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 19. 【阅读材料】小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如：；； （1）填空： ， ． （2）进一步研究发现：形如的化简，只要我们找到两个正数，使，即，那么便有： ． 【拓展提升】 （3）化简：（请写出化简过程）． 20. 如图，在中，，是中点，，是的角平分线，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求的长． 21. 如图①，美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形． （1）弦图中包含了一大，一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为a．较短的直角边为b，斜边长为c，结合图①，试验证勾股定理； （2）如图②，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓线的周长为80，，求该飞镖状图案的面积； （3）如图③，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为、、，若，求． 五、解答题（本大题共1小题，每小题10分，共10分） 22. 如图1，正方形的边长为2．E、F分别为边、上的动点，的周长为4，是延长线上的一点，且． （1）求证：； （2）试问的大小是否为定值，如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由； （3）如图2，若为边的中点，过点作，垂足为．求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南昌县2025－2026学年度第二学期期中考试八年级数学试卷 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 使有意义的x的取值范围是（ ） A. x≠1 B. x≥1 C. x＞1 D. x≥0 【答案】B 【解析】 【详解】∵有意义， ∴x﹣1≥0，即x≥1． 故选B． 2. 下列式子是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式的判定，被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式，对选项逐个判断即可． 【详解】解：A、是最简二次根式，符合题意； B、，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意； C、，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意； D、，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意． 3. 下列各组数中，是勾股数的是（ ） A. 1，3， B. 2，4，5 C. 6，8，10 D. 5，10，15 【答案】C 【解析】 【分析】勾股数是指满足的三个正整数，需同时满足是正整数且符合勾股定理这两个条件． 【详解】解：A选项：不是正整数，不符合勾股数定义，故A不符合题意； B选项：∵，，，不满足勾股定理，故B不符合题意； C选项：∵，，即，且6、8、10均为正整数，符合勾股数定义，故C符合题意； D选项：∵，，，不满足勾股定理，故D不符合题意． 【点睛】注意勾股数不仅要满足，还要满足三个数为正整数． 4. 在平行四边形中，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形的对角相等即可得出答案． 【详解】四边形是平行四边形 故选C． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握“平行四边形的对角相等”是解题的关键． 5. 若一个正多边形的内角和为，则这个正多边形的一个外角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据多边形内角和公式求出边数，再根据外角和定理求出一个外角的度数即可；本题主要考查了多边形的内角和公式与外角和定理，熟练掌握多边形内角和公式和外角和定理是解题的关键． 【详解】解：设正多边形的边数为， ∴， 解得， 又∵多边形的外角和为， ∴一个外角的度数为． 故选：B． 6. 如图所示，在矩形中，点的坐标是，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质以及勾股定理，过点作轴的垂线交于点，连接．根据矩形的性质，的长度即为的长度，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：过点作轴的垂线交于点，连接． 点的坐标是， ， ， 矩形， ∴， 故选：C． 7. 已知﹣，则的解为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由两边平方得，从而得出，再两边开方即可得出答案． 【详解】解： （负舍） 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式的运算及通过对完全平方式的变形求值，解决本题的关键是熟练掌握完全平方公式的恒等变形． 8. 如图，中为上的中线，，垂足为，，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，能得出是直角三角形是解此题的关键． 首先由勾股定理的逆定理可判定是直角三角形，再根据勾股定理即可求得的长，最后根据三角形的面积公式即可求出． 【详解】解：∵，中为上的中线， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ， ， ∴， 故选：D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 比较大小：_________ 【答案】＜ 【解析】 【分析】将两数平方后比较大小，可得答案. 【详解】∵，，18＜20 ∴＜ 故填：＜. 【点睛】本题考查比较无理数的大小，无理数的比较常用平方法. 10. 若最简二次根式与是同类根式，则________. 【答案】1 【解析】 【分析】根据同类二次根式的定义可得a+2=5a-2，即可求出a值. 【详解】∵最简二次根式与是同类根式， ∴a+2=5a-2， 解得：a=1. 故答案为1 【点睛】本题考查了同类二次根式：把各二次根式化为最简二次根式后若被开方数相同，那么这样的二次根式叫同类二次根式；熟记定义是解题关键. 11. 如图所示的是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，其中阴影部分的面积是 _______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，由勾股定理求出，的值，即可解决问题，掌握勾股定理的应用是解题的关键． 【详解】解：如图， 由勾股定理得：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 12. 如图，在中，，是延长线上一点，是上一点，，，分别是的中点，则的长为____． 【答案】 【解析】 【分析】先根据三角形的中位线定理可得，，再得出，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵分别是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∵， ∴， 同理可得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴在中，． 13. 如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重合部分构成四边形，P为上一点，连接，若四边形的面积为，纸条的宽为3，，则的长是___． 【答案】 【解析】 【分析】如图：过作 ,过B作,则；由三角形的面积可得，运用勾股定理可得，再运用勾股定理可得，最后运用勾股定理即可解答 【详解】解：如图：过作 ,过B作, 由题意可得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，正确做出辅助线、构造直角三角形是解答本题的关键． 14. 在等腰三角形纸片中，，，将此等腰三角形纸片沿底边上的中线剪成两个全等的三角形，用这两个三角形拼成一个平行四边形，则平行四边形的周长为______． 【答案】14或16或18 【解析】 【分析】如图，过点作于点D，由三线合一得到，然后利用勾股定理求出，然后分三种情况讨论求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点D， ∵，， ∴， ∴， 如图①所示：可得四边形 是矩形，则其四边形的周长为：， 如图②所示：可得四边形是平行四边形，则其四边形的周长为：， 如图③所示：可得四边形是平行四边形，则其四边形的周长为：． 三、解答题（本大题共4小题，每小题6分，共24分） 15. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式 【小问2详解】 解：原式 16. 如图，在四边形中，连接，点是上的两点，连接，，，，． 求证： （1）； （2）． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由，可得到，再利用证明全等即可； （2）由（1）可得，得到，证出后，可推出四边形为平行四边形，即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； 【小问2详解】 由（1）可得：， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴． 17. 如图是的正方形网格，的顶点都在格点上，请仅用无刻度直尺按下列要求作图（保留作图痕迹）． （1）在图1中，作线段，点D，E分别在上且； （2）如图2，在的边上找一点F，使． 【答案】（1）见解析 （2）见解析． 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质“对角线相互平分”，结合三角形中位线定理，分别取的中点E，D，连接即可． （2）取的中点D，连接，取的中点E，连接并延长，交于点F，则点F即为所求． 本题考查作图—应用与设计作图、三角形中位线定理、等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理及其逆定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【小问1详解】 解：如图所示，根据矩形的性质，分别取到的中点E，D，连接，则线段即为所求． 【小问2详解】 解：如图2，取的中点D，连接，取的中点E，连接并延长，交于点F， 此时，则， ∴， ∴，即， 则点F即为所求． 18. 某太阳能热水器的横截面示意图如图所示，已知真空热水管与支架所在直线相交于点，且．支架与水平线垂直，，，．求： （1）支架的长． （2）真空热水管的长．（结果均保留根号） 【答案】（1）支架的长为 （2）真空热水管的长为 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的应用、直角三角形度角性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． （1）在中，根据，，根据直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半得到，然后根据勾股定理即可求出支架的长． （2）首先在中，根据，，结合勾股定理求出的长，进而求出、的长，最后根据线段的和差关系即可求出真空热水管的长． 【小问1详解】 解：在中， ， ， ． 故支架的长为． 【小问2详解】 解：在中，， ． 设． ， ， 解得， ， ，， ． 故真空热水管的长为． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 19. 【阅读材料】小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如：；； （1）填空： ， ． （2）进一步研究发现：形如的化简，只要我们找到两个正数，使，即，那么便有： ． 【拓展提升】 （3）化简：（请写出化简过程）． 【答案】（1），； （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质，完全平方公式的应用，解题的关键是掌握完全平方公式，把式子正确转化为完全平方公式的形式． （1）根据完全平方公式对式子进行配方，求解即可； （2）根据题意，将式子配成完全平方式的形式，求解即可； （3）分别对，进行化简，变成完全平方式的形式，然后根据二次根式的性质进行化简，求解即可． 【小问1详解】 解：， ， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵两个正数 ∴ ∴； 【小问3详解】 解：， 同理可得， ∴， ， ， ． 20. 如图，在中，，是中点，，是的角平分线，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（）由平行线的性质可得，又是的角平分线，则，故有，所以，然后通过直角三角形的性质得，再证明四边形是平行四边形，又从而求证； （）先证明是等边三角形，则，由平行四边形的性质得，所以，然后得出是等边三角形，则有，，再通过角度和差求出，最后由勾股定理即可求解． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴， ∵，是中点， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； 【小问2详解】 解：∵， 又∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 21. 如图①，美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形． （1）弦图中包含了一大，一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为a．较短的直角边为b，斜边长为c，结合图①，试验证勾股定理； （2）如图②，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓线的周长为80，，求该飞镖状图案的面积； （3）如图③，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为、、，若，求． 【答案】（1）见解析 （2）120 （3）9 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的证明，正方形的性质，一元二次方程． （1）依据图1中的大正方形的面积可以用四个三角形面积和中间小正方形面积之和表示，也可以用直角三角形斜边的边长表示，即可得； （2）可设，根据勾股定理列出方程可求x，再根据直角三角形面积公式计算即可求解； （3）设每个三角形的面积都为y，则，，即可得，根据，即可得． 【小问1详解】 解：根据题意得， ， 则； 【小问2详解】 解：∵四个全等的直角三角形，外围轮廓线的周长为80， ∴， 设，则， 由勾股定理可得，， ， ， 解得：， ∴， ∴该飞镖状图案的面积是； 【小问3详解】 解：设每个三角形的面积都为y， ∴，， ∴， 又∵， ∴． 五、解答题（本大题共1小题，每小题10分，共10分） 22. 如图1，正方形的边长为2．E、F分别为边、上的动点，的周长为4，是延长线上的一点，且． （1）求证：； （2）试问的大小是否为定值，如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由； （3）如图2，若为边的中点，过点作，垂足为．求的最小值． 【答案】（1）见解析 （2）的大小是定值，定值为 （3） 【解析】 【分析】（1）利用正方形的性质证明，得到，再利用角的和差得到，即可证明； （2）由的周长为4，得到，由正方形的边长为2得到，得到，进而利用线段的和差推出，通过证明得到，结合即可得出结论； （3）连接，利用全等三角形的性质得到，利用三角形的面积公式得到，利用勾股定理求出的长，再根据即可求出的最小值． 【小问1详解】 证明：∵正方形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵的周长为4， ∴， ∵正方形的边长为2， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 由（1）得，， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∴的大小是定值，定值为； 【小问3详解】 解：连接， ∵正方形的边长为2， ∴，， ∴是的高， ∵， ∴是的高， 由（2）得，， ∴， ∴， 由（2）得，， ∴， ∵为边的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的性质与判定、勾股定理、三角形的面积公式、线段最值问题，正确找出全等三角形并证明是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $