第八章 一元二次方程 解答题专项突破 2025-2026学年鲁教版（五四制）数学八年级下册

**基本信息** 以解方程为基础，通过根的性质过渡到实际应用，构建“解法-性质-应用”三阶逻辑体系，强化运算能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解一元二次方程|4题|含开平方法、因式分解法、公式法|从直接开平方法到复杂方程转化，体现解法选择的合理性| |根的判别式与关系|5题|含参数讨论、根的性质证明|衔接方程解法，深化根的代数特征，培养推理意识| |应用（变化率）|3题|增长率/降低率模型|用方程表示变化规律，发展数据观念| |应用（几何）|3题|面积、动点距离问题|结合几何图形构建等量关系，强化几何直观| |应用（销售）|3题|利润、销量关系问题|建立经济问题数学模型，提升应用意识|

解答题专项突破之一元二次方程2025-2026 鲁教版（五四制）八年级下册 板块一：解一元二次方程 1.解方程 （1）x2﹣1＝80； （2）9x2+12＝16． 2．解方程（3x﹣4）2﹣（4x+1）2＝0． 3．解下列一元二次方程． （1）x2﹣4x﹣12＝0； （2）x（4x﹣1）＝3（4x﹣1）． 4．用适当的方法解下列一元二次方程： （1）x2+x﹣4＝0； （2）（2x+1）2+15＝8（2x+1）． 板块二：一元二次方程的解与根判别式，根与系数的关系 1.已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+2m﹣1＝0有x1，x2两实数根． （1）求m的取值范围； （2）是否存在实数m，满足（x1﹣1）（x2﹣1）＝﹣？若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由． 2.已知有关于x的一元二次方程（k+1）x2﹣（3k+1）x+2k＝0． （1）求k的取值范围，并判断该一元二次方程根的情况； （2）若方程有一个根为﹣2，求k的值及方程的另一个根； （3）若方程的一个根是另一个根3倍，求k的值． 3.已知关于x的一元二次方程x2﹣4mx+m2＝0． （1）求证：不论m为何值，该方程总有两个实数根； （2）若x＝1是该方程的根，求代数式（m﹣2）2+3的值． 4.已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+4k﹣3＝0． （1）求证：无论k取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）当一矩形ABCD的对角线长为AC＝，且矩形两条边AB和BC恰好是这个方程的两个根时，求矩形ABCD的周长． 5.已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m2+m＝0． （1）求证：无论m取何值时，方程都有两个不相等的实数根； （2）设该方程的两个实数根为a，b，若（2a+b）（a+2b）＝20，求m的值． 板块三：一元二次方程应用（变化率问题） 1.某企业2022年盈利1500万元，2024年克服全球金融危机的不利影响，仍实现盈利2160万元．从2022年到2024年，如果该企业每年盈利的年增长率相同，求： （1）该企业2023年盈利多少万元？ （2）若该企业盈利的年增长率继续保持不变，预计2025年盈利多少万元？ 2.为了满足师生的阅读需求，某校图书馆的藏书从2024年底到2026年底两年内由5万册增加到7.2万册． （1）求这两年藏书的年均增长率； （2）经统计知：中外古典名著的册数在2024年底仅占当时藏书总量的5.6%，在这两年新增加的图书中，中外古典名著所占的百分率恰好等于这两年藏书的年均增长率，那么到2026年底中外古典名著的册数占藏书总量的百分之几？ 3．现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展．据调查，某家小型“大学生自主创业”的快递公司，今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件．现假定该公司每月的投递总件数的增长率相同． （1）求该快递公司投递快递总件数的月平均增长率； （2）如果平均每人每月最多可投递快递0.6万件，那么该公司现有的20名快递投递业务员能否完成今年6月份的快递投递任务？如果不能，请问至少需要增加几名业务员？ 板块四：一元二次方程应用（几何问题） 1．在丝绸博览会期间，某公司展销如图所示的长方形工艺品，该工艺品长60cm，宽40cm，中间镶有宽度相同的三条丝绸条带．若丝绸条带的面积为650cm2，求丝绸条带的宽度； ​ 2.如图，有一农户要建一个矩形鸡舍，鸡舍的一边利用长为米的墙，另外三边用米长的篱笆围成，为方便进出，在垂直于墙的一边上留一个米宽的门， (1)若，问矩形的边长分别为多少时，鸡舍面积为平方米 (2)若住房墙的长度足够长，问鸡舍面积能否达到平方米？ 3.如图，已知A、B、C、D为矩形的四个顶点，，，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以的速度向点B移动，一直到点B为止，点Q以的速度向点D移动．问： (1)P、Q两点从出发开始几秒时，四边形的面积为？ (2)几秒时点P点Q间的距离是10厘米？ (3)P，Q两点间距离何时最小？ 板块五：一元二次方程应用（销售问题） 1.某市百货商店服装部在销售中发现“米奇”童装平均每天可售出20件，每件获利40元．为了扩大销售，减少库存，增加利润，商场决定采取适当的降价措施，经过市场调查，发现如果每件童装每降价1元，则平均每天可多售出2件，要想平均每天在销售这种童装上获利1200元，那么每件童装应降价多少元？ 2．今年元旦期间，某网络经销商进购了一批节日彩灯，彩灯的进价为每条40元，当销售单价定为52元时，每天可售出180条，为了扩大销售，决定采取适当的降价措施，经调查：销售单价每降低1元，则每天可多售出10条．若设这批节日彩灯的销售单价为x（元），每天的销售量为y（条）． （1）求每天的销售量y（条）与销售单价x（元）之间的函数关系式； （2）当销售单价为多少元时，销售这批节日彩灯每天所获得的利润为2000元？ 3.“天使草莓”是通过草莓杂交育种、脱毒育苗筛查等生物技术而培育的一种草莓品种，因其外观通体雪白、色泽透亮、汁多味美而深受广大消费者欢迎．今年春季，某水果店以60元/盒的价格购进一批名叫“天使”的新品种草莓进行销售．该商家在销售过程中发现当每盒的售价为100元时，平均每天可售出180盒．若每盒的售价每降价5元，则每天可以多售出10盒．设此种草莓每盒的售价为x元，每天销售此种草莓的利润为y元．    (1)用含x的式子表示每盒此种草莓的利润为______元，每天可卖出此种草莓的数量为______盒． (2)若该水果店计划每天销售此种草莓盈利6000元，问此种草莓每盒的售价应定为多少元？ 【答案】 解答题专项突破之一元二次方程2025-2026 鲁教版（五四制）八年级下册 板块一：解一元二次方程 1.解方程 （1）x2﹣1＝80； （2）9x2+12＝16． 【答案】解：（1）∵x2﹣1＝80， ∴x2＝81， ∴x＝±9， 即x1＝9，x2＝﹣9； （2）∵9x2+12＝16， ∴x2＝， ∵x＝±， 即x1＝，x2＝﹣． 2．解方程（3x﹣4）2﹣（4x+1）2＝0． 【答案】解：（3x﹣4）2﹣（4x+1）2＝0 ， ∴，x2＝﹣5． 3．解下列一元二次方程． （1）x2﹣4x﹣12＝0； （2）x（4x﹣1）＝3（4x﹣1）． 【答案】解：（1）因式分解可得，（x﹣6）（x+2）＝0， ∴x+2＝0或x﹣6＝0， 解得：x1＝6，x2＝﹣2， 故方程的解为：x1＝6，x2＝﹣2； （2）移项得，x（4x﹣1）﹣3（4x﹣1）＝0， 因式分解可得，（x﹣3）（4x﹣1）＝0， ∴x﹣3＝0，4x﹣1＝0， 解得：x1＝3，． 4．用适当的方法解下列一元二次方程： （1）x2+x﹣4＝0； （2）（2x+1）2+15＝8（2x+1）． 【答案】解：（1）x2+x﹣4＝0， ∵Δ＝12﹣4×1×（﹣4）＝1+16＝17＞0， ∴x＝， ∴x1＝，x2＝； （2）（2x+1）2+15＝8（2x+1）， （2x+1）2﹣8（2x+1）+15＝0， （2x+1﹣3）（2x+1﹣5）＝0， （2x﹣2）（2x﹣4）＝0， 2x﹣2＝0或2x﹣4＝0， x1＝1，x2＝2． 板块二：一元二次方程的解与根判别式，根与系数的关系 1.已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+2m﹣1＝0有x1，x2两实数根． （1）求m的取值范围； （2）是否存在实数m，满足（x1﹣1）（x2﹣1）＝﹣？若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由． 【答案】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣6x+2m﹣1＝0有x1，x2两实数根， ∴Δ＝（﹣6）2﹣4×1×（2m﹣1）＝40﹣8m≥0， 解得m≤5； （2）存在． 理由如下： 由根与系数的关系得x1+x2＝6，x1•x2＝2m﹣1， ∵， 即x1x2﹣（x1+x2）+1＝﹣， 即2m﹣1﹣6+1＝﹣， 方程化为m2﹣10m+24＝0， 解得m1＝4，m2＝6， 经检验m1＝4，m2＝6都是原方程的解， ∵m≤5， ∴m＝4． 2.已知有关于x的一元二次方程（k+1）x2﹣（3k+1）x+2k＝0． （1）求k的取值范围，并判断该一元二次方程根的情况； （2）若方程有一个根为﹣2，求k的值及方程的另一个根； （3）若方程的一个根是另一个根3倍，求k的值． 【答案】解：（1）∵关于x的一元二次方程（k+1）x2﹣（3k+1）x+2k＝0， ∴k+1≠0， ∴k≠﹣1； 而Δ＝[﹣（3k+1）]2﹣4×2k（k+1） ＝k2﹣2k+1 ＝（k﹣1）2≥0， ∴原方程方程有两个实数根． （2）∵方程有一个根为﹣2， ∴4（k+1）+2（3k+1）+2k＝0， 解得：， ∴方程为：， ∴x2+x﹣2＝0， ∴（x+2）（x﹣1）＝0， 解得：x1＝﹣2，x2＝1， ∴方程的另一个解为1． （3）∵（k+1）x2﹣（3k+1）x+2k＝0， ∴[（k+1）x﹣2k]（x﹣1）＝0， ∴（k+1）x﹣2k＝0，x﹣1＝0， 解得：，x2＝1， ∵方程的一个根是另一个根3倍， 当时，解得：k＝﹣3，经检验符合题意； 当时，解得：，经检验符合题意； 综上：k＝﹣3或． 3.已知关于x的一元二次方程x2﹣4mx+m2＝0． （1）求证：不论m为何值，该方程总有两个实数根； （2）若x＝1是该方程的根，求代数式（m﹣2）2+3的值． 【答案】（1）证明：∵Δ＝（﹣4m）2﹣4m2 ＝15m2≥0， ∴不论m为何值，该方程总有两个实数根； （2）解：把x＝1代入方程x2﹣4mx+m2＝0得1﹣4m+m2＝0， 即m2﹣4m＝1， ∴（m﹣2）2+3＝m2﹣4m+4+3＝1+4+3＝8． 4.已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+4k﹣3＝0． （1）求证：无论k取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）当一矩形ABCD的对角线长为AC＝，且矩形两条边AB和BC恰好是这个方程的两个根时，求矩形ABCD的周长． 【答案】1）证明：Δ＝（2k+1）2﹣4（4k﹣3） ＝4k2+4k+1﹣16k+12 ＝4k2﹣12k+13 ＝（2k﹣3）2+4， ∵（2k﹣3）2≥0， ∴Δ＞0， ∴无论k取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）根据题意得AB+BC＝2k+1，AB•BC＝4k﹣3， 而AB2+BC2＝AC2＝（）2， ∴（2k+1）2﹣2（4k﹣3）＝31， 整理得k2﹣k﹣6＝0，解得k1＝3，k2＝﹣2， 而AB+BC＝2k+1＞0，AB•BC＝4k﹣3＞0， ∴k的值为3， ∴AB+BC＝7， ∴矩形ABCD的周长为14． 5.已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m2+m＝0． （1）求证：无论m取何值时，方程都有两个不相等的实数根； （2）设该方程的两个实数根为a，b，若（2a+b）（a+2b）＝20，求m的值． 【答案】（1）证明：∵Δ＝[﹣（2m+1）]2﹣4（m2+m） ＝4m2+4m+1﹣4m2﹣4m ＝1＞0， ∴无论m取何值时，方程都有两个不相等的实数根； （2）解：∵该方程的两个实数根为a，b， ∴a+b＝＝2m+1，ab＝＝m2+m， ∵（2a+b）（a+2b） ＝2a2+4ab+ab+2b2 ＝2（a2+2ab+b2）+ab ＝2（a+b）2+ab， ∴2（a+b）2+ab＝20， ∴2（2m+1）2+m2+m＝20， 整理得：m2+m﹣2＝0， 解得：m1＝﹣2，m2＝1， ∴m的值为﹣2或1． 板块三：一元二次方程应用（变化率问题） 1.某企业2022年盈利1500万元，2024年克服全球金融危机的不利影响，仍实现盈利2160万元．从2022年到2024年，如果该企业每年盈利的年增长率相同，求： （1）该企业2023年盈利多少万元？ （2）若该企业盈利的年增长率继续保持不变，预计2025年盈利多少万元？ 【答案】解：（1）设每年盈利的年增长率为x， 根据题意，得1500（1+x）2=2160． 解得x1=0.2，x2=﹣2.2（不合题意，舍去）． ∴1500（1+x）=1500（1+0.2）=1800． 答：2023年该企业盈利1800万元． （2）2160（1+0.2）=2592． 答：预计2025年该企业盈利2592万元． 2.为了满足师生的阅读需求，某校图书馆的藏书从2024年底到2026年底两年内由5万册增加到7.2万册． （1）求这两年藏书的年均增长率； （2）经统计知：中外古典名著的册数在2024年底仅占当时藏书总量的5.6%，在这两年新增加的图书中，中外古典名著所占的百分率恰好等于这两年藏书的年均增长率，那么到2026年底中外古典名著的册数占藏书总量的百分之几？ 【答案】（1）20% （2）10% 【解答】解：（1）设这两年藏书的年均增长率是x， 5（1+x）2＝7.2， 解得，x1＝0.2，x2＝﹣2.2（舍去）， 答：这两年藏书的年均增长率是20%； （2）在这两年新增加的图书中，中外古典名著有（7.2﹣5）×20%＝0.44（万册）， 到2026年底中外古典名著的册数占藏书总量的百分比是：×100%＝10%， 答：到2026年底中外古典名著的册数占藏书总量的10%． 3．现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展．据调查，某家小型“大学生自主创业”的快递公司，今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件．现假定该公司每月的投递总件数的增长率相同． （1）求该快递公司投递快递总件数的月平均增长率； （2）如果平均每人每月最多可投递快递0.6万件，那么该公司现有的20名快递投递业务员能否完成今年6月份的快递投递任务？如果不能，请问至少需要增加几名业务员？ 【答案】解：（1）设该快递公司投递快递总件数的月平均增长率为x， 依题意得：10（1+x）2＝12.1， 解得：x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（不符合题意，舍去）． 答：该快递公司投递快递总件数的月平均增长率为10%． （2）12.1×（1+10%）＝13.31（万件）， ∵0.6×16＝9.6（万件），9.6＜13.31， ∴该公司现有的20名快递投递业务员不能完成今年6月份的快递投递任务． 设需要增加y名快递投递员， 依题意得：0.6（20+y）≥13.31， 解得：y≥， 又∵y为正整数， ∴y的最小值为3． 答：该公司现有的20名快递投递业务员不能完成今年6月份的快递投递任务，至少需要增加3业务员． 板块四：一元二次方程应用（几何问题） 1．在丝绸博览会期间，某公司展销如图所示的长方形工艺品，该工艺品长60cm，宽40cm，中间镶有宽度相同的三条丝绸条带．若丝绸条带的面积为650cm2，求丝绸条带的宽度； ​ 【答案】解：设丝绸条带的宽度为xcm， 由题意得：2x×40+（60﹣2x）x＝650， 整理得：x2﹣70x+325＝0， 解得：x1＝5，x2＝65 （不合题意，舍去）， 答：丝绸条带的宽度为5cm． 2.如图，有一农户要建一个矩形鸡舍，鸡舍的一边利用长为米的墙，另外三边用米长的篱笆围成，为方便进出，在垂直于墙的一边上留一个米宽的门， (1)若，问矩形的边长分别为多少时，鸡舍面积为平方米 (2)若住房墙的长度足够长，问鸡舍面积能否达到平方米？ 【答案】(1)长为米，宽为米 (2)不能 （1）解：设矩形鸡舍垂直于房墙的一边长为米，则矩形鸡舍的另一边长为米，依题意，得：，解得：，，当时，（舍去），当时，．答：矩形鸡舍的长为米，宽为米． （2）当鸡舍面积等于平方米时，依题意，得：，整理得：，∴，∴所围成鸡舍面积不能为90平方米．答：所围成鸡舍面积不能为90平方米． 3.如图，已知A、B、C、D为矩形的四个顶点，，，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以的速度向点B移动，一直到点B为止，点Q以的速度向点D移动．问： (1)P、Q两点从出发开始几秒时，四边形的面积为？ (2)几秒时点P点Q间的距离是10厘米？ (3)P，Q两点间距离何时最小？ 【答案】(1)5秒 (2)秒或秒 (3)秒 【详解】（1）解：当运动时间为t秒时，，， 依题意，得：， 解得：． 答：P，Q两点从出发开始到5秒时，四边形的面积为． （2）设出发秒后、两点间的距离是10厘米． 则，． 作于， 则， ， 解得：或， ∴、出发或秒时，，间的距离是10厘米； （3）， 当时，即时，最小． 板块五：一元二次方程应用（销售问题） 1.某市百货商店服装部在销售中发现“米奇”童装平均每天可售出20件，每件获利40元．为了扩大销售，减少库存，增加利润，商场决定采取适当的降价措施，经过市场调查，发现如果每件童装每降价1元，则平均每天可多售出2件，要想平均每天在销售这种童装上获利1200元，那么每件童装应降价多少元？ 【答案】解：设每件童装应降价x元， 由题意得：（40﹣x）（20+2x）=1200， 解得：x=10或x=20． 因为减少库存，所以应该降价20元． 2．今年元旦期间，某网络经销商进购了一批节日彩灯，彩灯的进价为每条40元，当销售单价定为52元时，每天可售出180条，为了扩大销售，决定采取适当的降价措施，经调查：销售单价每降低1元，则每天可多售出10条．若设这批节日彩灯的销售单价为x（元），每天的销售量为y（条）． （1）求每天的销售量y（条）与销售单价x（元）之间的函数关系式； （2）当销售单价为多少元时，销售这批节日彩灯每天所获得的利润为2000元？ 【答案】解：（1）根据题意，得销售量y与销售单价x之间为一次函数关系， 当x＝52时，y＝180；当x＝51时，y＝190； 设销售量y与销售单价x之间的函数关系为y＝kx+b， 则：，解得：， ∴销售量y与销售单价x之间的函数关系为y＝﹣10x+700， （2）根据题意，得（x﹣40）（﹣10x+700）＝2000， 整理，得：x2﹣110x+3000＝0， 解得：x1＝50，x2＝60， ∵扩大销售， ∴x＝50， ∴当销售单价为50元时，销售这批节日彩灯每天所获得的利润为2000元． 3.“天使草莓”是通过草莓杂交育种、脱毒育苗筛查等生物技术而培育的一种草莓品种，因其外观通体雪白、色泽透亮、汁多味美而深受广大消费者欢迎．今年春季，某水果店以60元/盒的价格购进一批名叫“天使”的新品种草莓进行销售．该商家在销售过程中发现当每盒的售价为100元时，平均每天可售出180盒．若每盒的售价每降价5元，则每天可以多售出10盒．设此种草莓每盒的售价为x元，每天销售此种草莓的利润为y元．    (1)用含x的式子表示每盒此种草莓的利润为______元，每天可卖出此种草莓的数量为______盒． (2)若该水果店计划每天销售此种草莓盈利6000元，问此种草莓每盒的售价应定为多少元？ 【答案】(1)；(2)90元 【详解】（1）解：∵此种草莓每盒的售价为x元，每盒进价60元， ∴每盒此种草莓的利润为元； 又∵每盒的售价每降价5元，则每天可以多售出10盒， ∴每天可卖出此种草莓的数量为：(盒) 故答案为：； （2）由题意得， 解得，(不符合题意舍去) 答：此种草莓每盒的售价应定为90元 学科网（北京）股份有限公司 $