8.3用公式法解一元二次方程 同步自主达标测试题 2025-2026学年鲁教版（五四制）八年级数学下册

2025-2026学年鲁教版（五四制）八年级数学下册《8.3用公式法解一元二次方程》 同步自主达标测试题（附答案） 一、单选题（满分24分） 1．若一个一元二次方程的根为， 则该一元二次方程为（   ） A． B． C． D． 2．用公式法解一元二次方程时，的值为（） A．8 B．12 C．16 D．24 3．下列方程中，没有实数根的是（） A． B． C． D． 4．小明在解关于x的一元二次方程时，把一次项的符号抄成“”，得到其中一个根是，则方程根的情况，下列判断不正确的是（　　） A．无实数根 B．时，有两个相等的实数根 C．有两个实数根 D．有一个根是 5．已知关于的一元二次方程满足，且有两个相等的实数根，则下列结论错误的是（  ） A． B． C． D． 6．已知，，是的三边长，且关于的一元二次方程的两根相等，则为（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．任意三角形 7．已知等腰的一条边长为7，其余两边的边长恰好是方程的两个根，则的值是（    ） A．4 B．4或1 C．2 D．2或4或10 8．关于x的一元二次方程（a，b，c为常数，且，）下列说法： ①若一元二次方程无实数根，则一元二次方程也无实数根； ②若一元二次方程满足，，则一元二次方程有两个相同的实数根； ③若一元二次方程的一个根是，则是一元二次方程的根． 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题（满分24分） 9．若关于的方程的根的判别式的值为1，则______． 10．不解方程，判断方程的根的情况：________． 11．若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则______． 12．若方程有实数根，则实数k的取值范围为______． 13．若代数式与代数式的值互为相反数，则_________． 14．定义运算：．例如：，则方程的根______． 15．矩形两条对角线交于点，且、的长是关于的方程的根，则的值为__________． 16．定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．已知“凤凰”方程有两个相等的实数根，则下列结论：①②，③，④，⑤当时，方程有两个不相等的实数根．正确的有___________（填序号） 三、解答题（满分72分） 17．解方程： (1)； (2)． 18．已知关于的方程． (1)当时，求方程的根； (2)当取何值时，方程有两个不相等的实数根？ 19．关于的一元二次方程有实数根． (1)求的取值范围； (2)当时，已知是方程的一个根，求代数式的值． 20．已知关于的方程． (1)求证：无论取何值，这个方程总有实数根； (2)若等腰三角形的一边长，另两边、恰好是这个方程的两个根，求的周长． 21．已知关于的一元一次方程，其中，b、分别为三边的长． (1)如果是方程的根，试判断的形状，并说明理由； (2)如果是直角三角形，为斜边，证明：一元二次方程有两个相等的实数根； 22．若，则我们把形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”． (1)当时，则相应的“勾系一元二次方程”为________； (2)当时，求出相应“勾系一元二次方程”的根． (3)求证：关于的“勾系一元二次方程”必有实数根． 23．新定义：对于一元二次方程，若根的判别式是一个整数的平方或整式的平方，则此方程叫“友好方程”． (1)判断下列方程一定是“友好方程”有______个． ①；②；③； (2)若关于的一元二次方程，证明：此方程一定是“友好方程”； 24．定义：如果关于x的一元二次方程满足：，那么我们称这个方程为“黄金方程”． (1)判断一元二次方程是否为“黄金方程”，并说明理由； (2)已知是关于x的“黄金方程”，要构造一个以2为一个解的“黄金方程”，已知新的黄金方程与原黄金方程的二次项系数与常数项分别相同，求出这个“黄金方程”； (3)已知是关于x的“黄金方程”，若m是此方程的一个根，则m的值为多少？ 参考答案 1．解：∵一元二次方程求根公式为 ， 给定根为， ∴，故， ，故， 又， ∴，代入，得，即，故， 因此方程为， 即， 故选：C． 2．解：∵方程为标准形式， ∴， ∴． 故选A． 3．解：A．，由，故有实数根，不符合题意； B．可化为，由，故无实数根，符合题意； C．可化为，由，故有实数根，不符合题意； D．，由，故有实数根，不符合题意． 故选B． 4．解：∵小明抄错一次项符号，得方程，且为其根， ∴代入得，即， ∴． 对于原方程，即， 判别式 ∴原方程总有实数根，故A错误； 当时，，有两个相等实数根，故B正确； ，总有实数根，故C正确； 将代入，，故恒为根，D正确． 故选：A． 5．解：∵， ∴，，． ∵一元二次方程有两个相等的实数根，， ∴， ∴，选项A结论正确，不符合题意； ∵一元二次方程有两个相等的实数根，， ∴， ∴，选项B结论正确，不符合题意； ∵一元二次方程有两个相等的实数根，， ∴， ∴，选项C结论正确，不符合题意； ∵，，． ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴不一定为0，选项D结论错误，符合题意． 故选：D． 6．解：∵方程有两个相等的实数根， ∴， 即， ∴， ∴， ∴是以为斜边的直角三角形． 故选：A． 7．解：等腰一边长为7，其余两边为方程的两根， 分两种情况： ①当7为底边时，方程有两相等实根， ， 解得． 当时，方程化为，根为， 此时三边为3，3，7， ，不满足三角形三边关系， 舍去． ②当7为腰，则是方程的一个根， 代入得：， 即， 整理得， 解得或． 当时，方程化为， 根为或， 三边为7，7，15， ，不满足， 舍去． 当时，方程化为， 根为或， 三边为3，7，7， ，，，均成立， 有效． 综上，的值为4． 故选A． 8．解：对于①，无实数根， ； 方程的判别式， 也无实数根，故①正确； 对于②，， ，代入得，化简得； 将、代入，得； ，两边除以得， 其判别式， 有两个相同的实数根，故②正确； 对于③，是的根， ； 将代入，得， 是的根，故③正确； 综上，①②③均正确，正确的个数是3． 故选：D． 9．解：， ∵其根的判别式的值为1， ∴， 解得：． 10．解：∵， ∴方程没有实数根． 故答案为：没有实数根． 11．解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴，即， 解得； 故答案为：． 12．解：当时，方程变形为，有实数根； 当时，若方程有实数根， 则， 解得， 综上可知，实数k的取值范围为， 故答案为：． 13．解：由题意可得， 整理得 ， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴， 故答案为：． 14．解：∵，且， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴,． 故答案为：,． 15．解：矩形两条对角线交于点， ， 、的长是关于的方程的根， ， 解得， 即的值为． 故答案为：． 16．解：由题意可得，， ， 即， ， ，故①正确； ， 或， 当时，与矛盾， 不成立 ，，故②③④错误； ， ， ∴， ， ，即， 故当时，方程有两个不相等的实数根，故⑤正确； 所以正确的有①⑤， 故答案为：①⑤． 17．（1）解：， ， ， ， ， 解得； （2）解：， ∵， ∴， ∴． 18．（1）解：当时， ， 即 ， ， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴； （2）∵方程有两个不相等的实数根， ∴，且 ，且 解得 且． 19．（1）解：∵关于的一元二次方程有实数根 ∴， 即， 解得； （2）解：当时，则， 是方程的一个根， ． ． ． 20．（1）证明： ， ， ，即， 无论取何值，这个方程总有实数根； （2）解： ． 当时，，故舍去； 当或时， 即，解得， 所以的周长． 21．（1）解：等腰三角形，理由如下： 把代入方程得：得 ， ∴ ∴ ∴ 是等腰三角形； （2）证明：∵ 是直角三角形，c为斜边， ∴ ∴； ∵ ∵ ， ∴； ∴ 方程有两个相等的实数根； 22．（1）解：当时，则， 解得， 则相应的“勾系一元二次方程”为， 故答案为：； （2）解：当时，则， 解得， 则相应的“勾系一元二次方程”为， 当， ， ， ∴，； 当， ， ， ∴，； ∴“勾系一元二次方程”的根为，，，； （3）证明：对方程，判别式 ∵ ， ∴ 又 ∵， ∴ 故方程必有实数根． 23．（1）解：①方程中，，， ， 故①是“友好方程”； ②方程中，，， ， 故②不是“友好方程”； ③方程中，，， ， 故③是“友好方程”； “友好方程”有个； 故答案为：； （2）证明：方程中，，， ， 此方程一定是“友好方程”． 24．（1）解：一元二次方程是“黄金方程”．理由如下： ∵， 一元二次方程是“黄金方程”； （2）是关于x的“黄金方程”， ， ①， 设这个黄金方程为，则 ②， ， 这个方程的一个解为， ③， 把①代入得，， 这个黄金方程为． （3）∵是关于x的“黄金方程”， ∴， ∴， ∴原方程可化为， ∵m是此方程的一个根， ， 即， 解得或． 学科网（北京）股份有限公司 $