第八章一元二次方程及其解法专项训练 2025-2026学年鲁教版（五四制）八年级数学下册

第八章一元二次方程及其解法专项训练 一、单选题 1．方程的解是（   ） A． B． C． D． 2．一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．无法判断 3．方程的根是（   ） A． B． C．， D．， 4．已知是一元二次方程的一个根，则的值为（    ） A．或2 B． C．2 D．0 5．若，是方程的两个根，则的值是（   ） A． B． C． D． 6．已知一元二次方程有一个根是1，则另一个根是（   ） A． B．2 C．1 D．0 7．下列一元二次方程中没有实数根的是（   ） A． B． C． D． 8．用配方法解方程，变形后的结果正确的是（    ） A． B． C． D． 9．若一元二次方程可转化为的形式，则的值为（   ） A．12 B．9 C．6 D．0 10．已知等腰三角形的腰和底边的长分别是一元二次方程的根，则该三角形的周长为（   ） A．12或10 B．12 C．8或10 D．10 二、填空题 11．方程 的解是______． 12．已知关于x的一元二次方程有两个实数根a，b，则___________． 13．若关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围为______． 14．方程的解是____________． 15．将4个数a，b，c，d排成2行2列，两边各加一条竖直线记成，定义：，上述记号叫做2阶行列式，若，则___________ ． 三、解答题 16．在实数范围内定义一种运算“*”，其运算法则为．如． (1)判断是否为一元二次方程． (2)判断和是否是方程的根． 17．按要求解方程： (1)；（用直接开平方法） (2)；（用配方法） (3)；（用公式法） (4)；（用因式分解法） 18．已知关于x的方程有两个不相等的实数根， (1)求k的取值范围； (2)该方程的两个不相等的实数根分别为，，且满足，求k的值． 19．用适当的方法解下列方程： (1)； (2)． (3)； (4)． 20．已知a是一元二次方程的一个根： (1)求的值 (2)求的值． 21．阅读材料：我们在解方程时，可以将看成一个整体，设，则原方程可化为，解得，．当时，，解得；当时，，解得，原方程的解为，． 根据上述材料，解下列方程： (1)； (2)． 22．已知一元二次方程． (1)求证：当时，方程总有两个不相等的实数根； (2)若一个等腰三角形的底边长是2，两条腰长分别是该方程的两个根，求的值以及这个等腰三角形的周长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第八章一元二次方程及其解法专项训练》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A C B D D C D B D 1．D 【分析】利用“若两个因式的乘积为0，则至少有一个因式的值为0”的性质，分别求解两个一次方程即可得到原方程的解． 【详解】解：∵ ∴或 解得． 2．A 【分析】对于一元二次方程，若，方程有两个不相等的实数根，若，方程有两个相等的实数根，若，方程无实数根，计算判别式即可判断根的情况． 【详解】对于一元二次方程，可得，，， ∴， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根． 3．C 【分析】把常数项移到方程右边，再把方程两边同时开平方即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， 解得，． 4．B 【分析】根据一元二次方程的解的定义，只需将代入方程中得到关于m的方程，然后解方程，结合一元二次方程的定义即可求解． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个根， ∴，且， 整理，得且， 解得． 5．D 【分析】根据根与系数的关系得到两根之和与两根之积，再将所求代数式因式分解，代入数值计算即可得到结果. 【详解】解：∵是方程的两个根， ∴由一元二次方程根与系数的关系可得： ，， 原式． 6．D 【分析】本题考查一元二次方程的根，根据方程根的定义，将已知根代入原方程求出的值，再将代回原方程求解，即可得到另一个根，解题需注意一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件. 【详解】解：∵一元二次方程有一个根是 ∴将代入原方程得， 化简得，即，解得. ∵原方程是一元二次方程， ∴二次项系数， 满足该条件，符合要求. 将代入原方程，得， 提取公因式得解得， ∴方程的另一个根是. 故选：D. 7．C 【分析】对于一元二次方程，当时方程没有实数根，计算各选项的判别式即可判断． 【详解】解：A 选项，， ， 方程有两个不相等的实数根，不符合题意； B 选项，， ， 方程有两个相等的实数根，不符合题意； C 选项，， ， 方程没有实数根，符合题意； D 选项，， ， 方程有两个不相等的实数根，不符合题意． 8．D 【详解】解：， 移项得， 配方，方程两边同时加一次项系数一半的平方得， 由完全平方公式得，选项符合题意． 9．B 【分析】利用配方法进行配方后，求出的值，进而求出的值即可； 【详解】解：， ， ， ， ∴, ∴， ∴. 10．D 【分析】先求出一元二次方程的解，再根据三角形三边关系定理即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ∴，， 当腰长为2，底边长为4时，，不符合三角形三边关系定理， 当腰长为4，底边长为2时，，符合三角形三边关系定理， ∴该等腰三角形的周长为． 11．， 【分析】利用直接开平方法求解一元二次方程即可． 【详解】解： ， ∴或， 解得． 12． 【分析】先根据根与系数的关系求出两根乘积的值，再代入计算即可得到结果． 【详解】解：∵一元二次方程有两个实数根a，b， ∴， ∴． 13．且 【分析】先根据一元二次方程的定义确定二次项系数不为0，再利用根的判别式建立不等式，联立求解即可得到的取值范围． 【详解】解：关于的方程是一元二次方程， ， 该方程有两个不相等的实数根， 根据一元二次方程根的判别式， 即：， 计算得， 解得：， 实数的取值范围是且． 14． ．/． 【分析】本题主要考查了运用平方根解方程，灵活运用平方根解方程是解题的关键．通过移项和开平方解方程，运用平方根的性质求解． 【详解】解：移项得， 开平方得，即， 当时，解得； 当时，解得． 故答案为：． 15．0或 【分析】根据题中已知的新定义列出式子，然后化简得到关于的一元二次方程，解方程即可求出的值． 【详解】解：由得，， ， ， ， 或， 解得，或． 16．(1)是 (2)不是  是 【分析】本题考查了新定义运算、一元二次方程的定义以及方程根的检验方法，掌握新运算的转化规则和方程根的验证方法是解题的关键． （1）根据新运算的法则，将展开并整理成整式方程形式，再根据一元二次方程的定义进行判断； （2）先根据新运算将转化为整式方程，再将和分别代入方程，通过检验等式是否成立来判断是否为方程的根． 【详解】（1）解：由题意可得， 整理，得， 是一元二次方程． （2）解：由题意可得， 整理，得． 当时，， 不是方程的根． 当时，， 是方程的根． 17．(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）先变形为，然后利用直接开平方法即可求解； （2）先变形为，再利用配方法得到，然后利用直接开平方法即可求解； （3）先计算判别式的值，然后利用公式法即可求解； （4）把方程化为，然后利用因式分解法即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴ ， ∴ ∴； （4）解：∵， ∴， ∴． 18．(1) (2) 【分析】（1）根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到，然后解该不等式即可求得k的取值范围； （2）利用根与系数的关系得，，然后将其代入列出关于k的方程，通过解方程来求k的值． 【详解】（1）解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴，，． ， 解得； （2）解：∵方程的两个不相等的实数根分别为，， ∴，， ∵ ， 解得， ， ． 19．(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】（1）先两边同除以，再用直接开平方法求解； （2）用配方法将方程化为完全平方式，再开平方求解； （3）用因式分解法求解； （4）先展开整理为一般式，再因式分解求解． 【详解】（1）解：， ， ， ，． （2）解：， ， ， ， ，． （3）解：， ， ，． （4）解：， ， ， ， ，． 20．(1)2 (2)2025 【分析】（1）根据a是一元二次方程的一个根，得到，整体代入法求值即可； （2）利用降幂和整体代入法进行计算即可. 【详解】（1）解：∵a是一元二次方程的一个根， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴ . 21．(1)， (2)， 【分析】（1）设，则原方程可化为，解方程，即可求解； （2）设，则原方程可化为，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：设，则原方程可化为， 解得，． 当时，，解得； 当时，，解得． 原方程的解为，． （2）解：设，则原方程可化为， 解得．             ， 即或， 解得，． 22．(1)证明见解析 (2)；8 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式、等腰三角形的定义等知识点，熟练掌握它们的性质是解题的关键． （1）先求出该方程的判别式，再根据判别式的意义即可证明结论； （2）一个等腰三角形的底边长是2，且两条腰长分别是该方程的两个根，即该方程有两个相等的实数根，再根据根的判别式列方程求解即可． 【详解】（1）证明：， ， ， 当时，方程总有两个不相等的实数根． （2）解：∵一个等腰三角形的底边长是2，两条腰长分别是该方程的两个根， ∴该方程有两个相等的实数根， ∴，解得：或， 当时，原方程可化为，即，解得：，不符合题意； 当时，原方程可化为，即，解得：， ∴该等腰三角形的两腰均为3， ∴该等腰三角形的周长为． 综上，，等腰三角形的周长为8． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $