圆锥曲线中的最值与范围问题课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦圆锥曲线中的最值与范围问题，依据高考评价体系明确两大核心考点，通过真题分析归纳代数法、几何法等常考题型，突出高考备考的针对性和实用性。 课件亮点在于高考真题驱动的实战训练，如以2020新高考Ⅱ椭圆面积最值题为例，示范几何法求切线距离的技巧，培养学生的数学思维和运算能力。通过变式训练和解题步骤拆解，帮助学生掌握答题方法，教师可据此高效指导复习，提升备考效率。

高考热点11　圆锥曲线中的最值与 范围问题 返回目录 类型1 圆锥曲线中的最值问题 圆锥曲线中常见的最值问题的解法 1.代数法:把问题利用代数方法表示为某个(些)变量(如直线的斜率、截距、点的横(纵) 坐标等)的函数,然后通过变形,利用函数方法或基本不等式法等进行求解. 2.几何法:利用圆锥曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解. 返回目录 典例1    (2020新高考Ⅱ,21,12分)已知椭圆C: + =1(a>b>0)过点M(2,3),点A为其左顶 点,且AM的斜率为 . (1)求C的方程; (2)点N为椭圆上任意一点,求△AMN的面积的最大值. 解析    (1)由题意可知直线AM的方程为y-3= (x-2),即x-2y=-4,当y=0时,解得x=-4,所以a= 4, 由椭圆C: + =1(a>b>0)过点M(2,3),可得 + =1,解得b2=12,所以C的方程为 + =1. (2)设与直线AM平行的直线方程为x-2y=m(m≠-4),当直线与椭圆相切时,与AM距离比较 远的直线与椭圆的切点为N,此时△AMN的面积取得最大值. 返回目录   联立 消去x得16y2+12my+3m2-48=0,所以Δ=144m2-4×16(3m2-48)=0,即m2=64,解 得m=±8,与AM距离比较远的直线方程为x-2y=8,两平行线(直线AM与直线x-2y=8)之间 的距离为d= = ,|AM|= =3 .所以△AMN的面积的最大值为 ×3  × =18. 返回目录 变式训练 1.(关键元素变式)(2021全国乙文,20,12分)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F到准线 的距离为2. (1)求C的方程; (2)已知O为坐标原点,点P在C上,点Q满足 =9 ,求直线OQ斜率的最大值. 返回目录 解析    (1)∵抛物线y2=2px(p>0)的焦点F到准线的距离为2, ∴p=2. ∴抛物线C的方程为y2=4x. (2)第一步:设点写向量坐标,利用向量相等坐标相同得点Q的坐标. 设点P(4 ,4x0),Q(x1,y1), 则 =(x1-4 ,y1-4x0), ∵F(1,0),∴ =(1-x1,-y1), ∵ =9 , 返回目录 ∴  整理得  第二步:用参数x0表示kOQ,利用基本不等式求其最值. ∴kOQ= = , 当kOQ最大时,x0>0, ∴kOQ= ≤ = , 返回目录 当且仅当4x0= 时取“=”,此时x0= ,点P的坐标为(9,6),因此kOQ的最大值为 .   返回目录 类型2 圆锥曲线中的范围问题 圆锥曲线中的范围问题的解题策略 1.建立不等关系解决圆锥曲线中的范围问题. (1)利用判别式构造不等关系,解决取值范围问题; (2)利用基本不等式构造不等关系,解决取值范围问题; (3)利用已知或隐含的不等关系建立不等式(组),解决取值范围问题; 返回目录 (4)利用圆锥曲线的几何特征构造不等关系,解决取值范围问题. 2.建立目标函数解决圆锥曲线中的范围问题. (1)把问题利用代数方法表示为某个(些)变量的函数,通过讨论函数的值域来求取值范 围. (2)利用已知参数的取值范围,求新参数的取值范围,解这类问题的核心是在两个参数之 间建立等量关系. 返回目录 典例2　在平面直角坐标系xOy中,若抛物线C:y2=2px(p>0)的准线与圆M:(x+1)2+y2=1相 切于点A,直线AB与抛物线C切于点B,点N在圆M上,则 · 的取值范围为 ( ) A.[0,8]　　     B.[2-2 ,2+2 ] C.[4-4 ,4+4 ]　　     D.[4 -4,4 +4]     C     返回目录 解析　抛物线C:y2=2px(p>0)的准线方程为x=- ,   圆M的圆心为M(-1,0),半径为1,由直线x=- 与圆M相切,得 =1,解得p=4或p=0(舍 去),所以抛物线C的方程为y2=8x,A(-2,0), 由题意知直线AB的斜率存在且不为零, 设直线AB的方程为x=my-2,联立 消去x,得y2-8my+16=0,由Δ=64m2-64=0,解得m 返回目录 =±1, 不妨设点B在第一象限,则m=1,则有y2-8y+16=0,则y=4, 此时x=y-2=2,即点B(2,4),所以 =(4,4), 由点N在圆M上,设N(-1+cos θ,sin θ), 则 =(1+cos θ,sin θ), 所以 · =4+4cos θ+4sin θ=4 ·sin  +4∈[4-4 ,4+4 ].当点B在第四象限时, 同理可得 · ∈[4-4 ,4+4 ]. 故选C. 返回目录 典例3　已知双曲线C的离心率为e,左、右焦点分别为F1,F2,点M在C的左支上运动且不 与顶点重合,记I为△MF1F2的内心,λ= ,若e∈[2,4],求λ的取值范围. 解析　设双曲线C的方程为 - =1(a>0,b>0),过I作直线MF1,MF2,F1F2的垂线,垂足分别 为A,B,D,如图,   因为I为△MF1F2的内心,【提示:内心为三角形角平分线的交点】所以|MA|=|MB|,|F1A|= |F1D|,|F2D|=|F2B|, 返回目录 所以|MF2|-|MF1|=|MB|+|F2B|-|MA|-|F1A|=|F2D|-|F1D|=2a, 因为|F1F2|=|F1D|+|F2D|=2c, 所以|F1D|=c-a,|F2D|=a+c, 所以λ= = = = = =1+ , 显然λ=1+ 在e∈[2,4]上单调递减,则λ∈ . 返回目录 变式训练 2.(设问条件变式)平面直角坐标系中,点( ,1)在以F1,F2为左、右焦点的双曲线C:  - =1(a>0,b>0)上,双曲线C的渐近线和y轴将xOy平面六等分. (1)求双曲线C的标准方程; (2)若不过F1的直线l与C交于不同的两点A,B.设l的斜率为k(k≠0),若k为直线AF1,BF1斜 率的等差中项,求F2到l的距离d的取值范围. 返回目录 解析    (1)因为点( ,1)在C上, 所以 - =1①, 又双曲线C的渐近线和y轴将xOy平面六等分, 所以渐近线与x轴的夹角为 , 则 = ②, 由①②解得a2=3,b2=1, 因此双曲线C的方程为 -y2=1. 返回目录 (2)设直线l的方程为y=kx+m,A(x1,y1),B(x2,y2), 【思路点拨:利用条件k为直线AF1,BF1的斜率的等差中项,通过代数法建立参数m,k的等 量关系,结合点到直线的距离公式建立d与参数的函数关系式,消元后得到一元函数,利 用函数的单调性求取值范围】 联立 消去y得(1-3k2)x2-6kmx-3(m2+1)=0, 由Δ=36k2m2+12(1-3k2)(m2+1)>0,得m2+1>3k2, 由根与系数的关系得x1+x2= ,x1x2=- , 因为k为直线AF1,BF1的斜率的等差中项,所以 + =2k,把y1=kx1+m,y2=kx2+m代入, 返回目录 得(kx1+m)(x2+2)+(kx2+m)(x1+2)=2k(x1+2)(x2+2),整理得(m-2k)(x1+x2+4)=0, 当m-2k=0时,直线l为y=k(x+2),此时直线过F1,不符合题意, ∴x1+x2=-4,即 =-4,∴m=2k- , 代入m2+1>3k2化简得9k4-15k2+4>0, 解得0<k2< 或k2> . d= = = , 令 =t,t∈ ∪(2,+∞), 返回目录 则 =t2-1,∴d= , 又y= - 在 ,(2,+∞)上均单调递减, ∴y∈(-∞,1)∪( ,4), 故d∈[0,+∞). 返回目录 $