第45讲　第2课时　圆锥曲线中的最值与范围、证明与探索性问题课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦圆锥曲线综合问题，覆盖最值与范围、证明、探索性三大核心考点，依据高考评价体系梳理考查要求，通过2025新高考1卷等真题分析考点权重，归纳几何法、代数法等常考题型，构建系统备考框架。 课件亮点在于“真题溯源+方法归类+素养提升”策略，如例1利用椭圆定义转化最值问题，培养数学思维；例3探索性问题用“肯定顺推法”强化逻辑推理。特设解题模板与易错警示，助力学生掌握答题技巧，教师可据此精准教学，提升复习效率。

第八章 第45讲　圆锥曲线的综合问题 解析几何 第2课时　圆锥曲线中的最值与范围、证明与探索性问题 1 目标 1 最值与范围问题 (1) 若M是椭圆C上一动点，求|AM|＋|MF2|的最大值； 1 【解答】 　　　　根据题意作草图，易知F1(－1，0)，由椭圆的定义知|MF1|＋|MF2|＝2a＝4，于是|MF2|＝4－|MF1|．在△AMF1中，任意两边之差小于第三边，则|AM|＋|MF2|＝|AM|＋4－|MF1|＝4＋(|AM|－|MF1|)≤4＋|AF1|． (2) 过F1作一直线交椭圆C于P，Q两点，试求△PBQ的面积的取值范围． 1 【解答】 圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法： (1) 几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决； (2) 代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围． (1) 求椭圆C的标准方程． 【解答】 (2) 已知动点P不在y轴上，点R在射线AP上，且满足|AP|·|AR|＝3． ① 设P(m，n)，求点R的坐标(用m，n表示)； ② 设O为坐标原点，Q是椭圆C上的动点，直线OR的斜率是直线OP的斜率的3倍，求|PQ|的最大值． 【解答】 目标 2 证明问题 2 【解答】 2 (2) 在(1)的条件下，M为AP的中点，直线OM交C于点R(其中R在x轴上方)，求证：|OQ|2＋|OR|2＝|OB|2＋|OC|2． 【解答】 圆锥曲线证明问题的类型及求解策略 (1) 位置关系方面：如证明直线与曲线相切，直线间的平行、垂直，直线过定点等． (2) 数量关系方面：如相等、存在定值、恒成立等等．在熟悉圆锥曲线的定义与性质的前提下，一般采用直接法，通过相关的代数运算证明，有时也可用反证法证明． 目标 3 探索性问题 　　　(2025·汕头一模)已知△APQ的三个顶点都在抛物线y2＝4x上，其中A(1，2). (1) 当△APQ是直角三角形且∠A＝90°时，求证：直线PQ过定点． 3 【解答】 当n＝－2m＋1时，Δ≥0，不合题意，所以n＝2m＋5，故直线PQ的方程为x－5＝m(y＋2)，过定点(5，－2)． 　　　(2025·汕头一模)已知△APQ的三个顶点都在抛物线y2＝4x上，其中A(1，2). (2) 设直线PQ过点T(5，－2)，是否存在以弦PQ为底边的等腰三角形APQ？若存在，这样的三角形有几个？若不存在，请说明理由． 3 【解答】 存在性问题通常采用“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化．其步骤为：假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在；否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在． 配套练习题 (1) 求椭圆C的方程； 【解答】 (2) 过T(1，0)作两条倾斜角互补的直线，分别交椭圆C在x轴上方部分于D，E两点，求△DTE面积的最大值． 【解答】 (1) 求椭圆C的方程； 【解答】 (2) 过点P(4，0)的直线与C交于A，B两点，N为线段FP的中点，直线NB交直线MF于点Q，求证：AQ⊥y轴． 【解答】 3．已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点到准线的距离为2． (1) 求抛物线C的方程； 【解答】 3．已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点到准线的距离为2． (2) 过C上一动点P作圆M：(x－4)2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，求四边形PAMB面积的最小值． 【解答】 (1) 求椭圆C的标准方程． 【解答】 ① 求证：点Q在以MN为直径的圆外． ② 在l上是否存在点E使得△EMN是等边三角形？若存在，求出直线MN的方程；若不存在，请说明理由． 【解答】 由∠A＝90°，即·＝0，得＋(y1－2)(y2－2)＝0，则＝0，所以(y1－2)(y2－2)＝0或(y1＋2)(y2＋2)＋16＝0，从而y1y2－2(y1＋y2)＋4＝0或y1y2＋2(y1＋y2)＋20＝0，进而n＝－2m＋1或n＝2m＋5． $