正弦定理和余弦定理 课件-2027届高考数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“正弦定理和余弦定理”专题，依据课程标准明确理解定理、解决三角形度量及综合问题的考查要求，通过梳理三个高考关键点，对接高考评价体系，归纳解三角形、判断形状等常考题型，体现备考针对性。 课件亮点在于“真题训练+思维建模+素养提升”策略，如以2024新高考Ⅰ卷为例，通过“判类型-选定理-列方程”思维链培养数学思维，结合面积问题向量法应用发展数学语言表达。设“易错警示”和“母题变式”，助力学生掌握技巧提高得分率，教师可据此精准教学实现高效备考。

数 学 构建知识体系 形成关键能力 提高学科素养 精准高效备考 高考能力梯级集训 第7节　正弦定理和余弦定理 返回目录 目录 1 2 3 基础满分练 课前 自检自测·夯基固本 能力高分练 课中 关键能力·可视思维 素养提升练 课中 高考定向·捕捉热点 第7节　正弦定理和余弦定理 基础 满分练 课前 自检自测·夯基固本 三个高考关键点 关键点1 余弦定理的应用 1.(人教A版必修第二册教材习题改编)已知△ABC的角A,B,C所对的边分别为a,b,c,b=,a=1,B=,则c=(　　)[命题点❶] A. B.2 C. D.3 B 解析:由余弦定理得cos B=,即-,整理得c2+c-6=0,解得c=2(负值已舍去).故选B. 返回目录 2.(2025·山东枣庄二模)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且b=3,c2+9=a2+3c,则A=(　　)[命题点❶] A. B. C. D. C 解析:由b=3及c2+9=a2+3c,得b2+c2-a2=bc,由余弦定理, 得cos A=, 因为0<A<π,所以A= 返回目录 关键点2 正弦定理的应用 3.(人教A版必修第二册教材习题改编)在△ABC中,a=1,b=,B=60°,则A=(　　)[命题点❷] A.30° B.30°或150° C.60° D.60°或120° A 解析:由正弦定理得,解得sin A=,因为a<b,所以A为锐角,所以A=30°.故选A. 返回目录 4.(2025·河北秦皇岛一模)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足a=2,B=的三角形有两个,则b的取值范围为(　　)[命题点❷❸] A.(0,2) B.(2,4) C.(2,4) D.(2,2) D 解析:在△ABC中,a=2,B=,由△ABC有两解, 得解得2<b<2,所以b的取值范围为(2,2). 返回目录 关键点3 正弦、余弦定理的简单综合应用 5.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=3,A=,sin C=2sin B,则△ABC的面积是(　　) [命题点❶❷❹] A.　　　　B.　　　　C.　　　　D. B 解析:由正弦定理化简sin C=2sin B得c=2b,再由余弦定理 a2=b2+c2-2bccos A结合题干信息可得,9=b2+4b2-4b2cos, 得b=,c=2,则△ABC的面积是bcsin A=2 返回目录 6.(2025·湖南三模)在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知A=,b=3,△ABC的面积为6,则a=(　　)[命题点❶❹] A.65 B.17 C. D. C 解析:因为A=,又S△ABC=bcsin A=3c×sinc=6,所以c=4, 由余弦定理得,a2=b2+c2-2bccos A=32+-2×3×4=17,所以a= 返回目录 7.(2023·北京,7)在△ABC中,(a+c)(sin A-sin C)=b(sin A-sin B),则∠C=(　　) [命题点❶❷] A. B. C. D. B 解析:因为(a+c)(sin A-sin C)=b(sin A-sin B),所以由正弦定理得 (a+c)(a-c)=b(a-b),即a2-c2=ab-b2, 则a2+b2-c2=ab, 故cos C=, 又0<C<π,所以C= 返回目录 回归教材•考教衔接 1.余弦定理[❶] 余弦定理直接给出了三角形中角与三边的等量关系,已知三边长度可以解三角形,已知两边及夹角可以解三角形 条件 在△ABC中,三个角A,B,C所对的边分别是a,b,c 内容 a2=b2+c2-2bccos A; b2=c2+a2-2cacos B; c2=a2+b2-2abcos C 推论 cos A=;cos B=;cos C= 返回目录 2.正弦定理[❷] 正弦定理是角与边转化的桥梁.已知两边及一边的对角可以解三角形.已知两角和一边可以解三角形 条件 在△ABC中,三个角A,B,C所对的边分别是a,b,c,R为外接圆半径 内容 =2R 变形 (1)a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C; (2)sin A=,sin B=,sin C=; (3)a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C; (4)asin B=bsin A,bsin C=csin B,asin C=csin A 返回目录 3.在△ABC中,已知a,b和A时,解的情况[❸] 项目 A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系式 a=bsin A bsin A<a<b a≥b a>b a≤b 解的个数 一解 两解 一解 一解 无解 返回目录 4.三角形中常用的面积公式[❹] (1)S=aha(ha表示边a上的高); (2)S=absin C=acsin B=bcsin A; (3)S=r(a+b+c)(r为三角形的内切圆半径). 返回目录 能力 高分练 课中 关键能力•可视思维 考点1　利用正弦、余弦定理解三角形 命题视角:考查公式的记忆与简单计算,“知三求一”,即根据给出三角形中的三个元素(如两边一角、两角一边或三边)求解第四个元素(边或角). 例1 (一题多解)(2024·新高考Ⅱ,15)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin A+cos A=2. (1)求A; (2)若a=2,bsin C=csin 2B,求△ABC的周长. 返回目录 考点1 考点2 考点3 解:(1)(方法1)由sin A+cos A=2可得sin A+cos A=1,即sin(A+)=1,由于A∈(0,π),故A+,解得A= (方法2)由sin A+cos A=2,又sin2A+cos2A=1, 消去sin A得到4cos2A-4cos A+3=0=0,解得cos A=, 又A∈(0,π),故A= 返回目录 考点1 考点2 考点3 (方法3)设f(x)=sin x+cos x(0<x<π),则f(x)=2sin(x+) (0<x<π),显然当x=时,f(x)max=2,注意到f(A)=sin A+cos A=2=2sin(A+), f(x)max=f(A)在开区间(0,π)上取到最大值,于是x=A必定是极值点, 即f'(A)=0=cos A-sin A,即tan A=,又A∈(0,π),故A= (方法4)设a=(1,),b=(sin A,cos A), 由题意a·b=sin A+cos A=2, 根据向量的数量积公式,a·b=2cos<a,b>, 则2cos<a,b>=2⇔cos<a,b>=1,此时<a,b>=0,即a,b同向共线,根据向量共线条件,1·cos A=sin A⇔tan A=,又A∈(0,π),故A= 返回目录 考点1 考点2 考点3 (2)由题设条件和正弦定理得bsin C=csin 2Bsin Bsin C =2sin Csin Bcos B, 又B,C∈(0,π),则sin Bsin C≠0,进而cos B=,得到B=, 于是C=π-A-B=,sin C=sin(π-A-B)=sin(A+B)=sin Acos B+sin Bcos A =, 由正弦定理可得, 解得b=2,c=, 故△ABC的周长为2++3 返回目录 考点1 考点2 考点3 对点训练1 (2025·湖北武汉模拟)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且tan2C=. (1)证明:B=2C; (2)若b+c=a,求cos C. (1)证明:由已知得tan2C+tan2C·cos B=1-cos B, 所以cos B==cos 2C,又B,C∈(0,π),则B=2C或B+2C=2π,因为0<B+C<π,由B+2C=2π可得0<2π-C<π,则π<C<2π,不合题意,故B=2C. 返回目录 考点1 考点2 考点3 (2)解:由正弦定理得, 则,化简得cos C=, 由余弦定理,cos C=,故,即6b2-13bc+5c2=0, 因为B>C,故b>c,解得,或(舍去),故cos C= 返回目录 考点1 考点2 考点3 解题思维路径 返回目录 考点1 考点2 考点3 关键能力思维链 返回目录 考点1 考点2 考点3 考点2　判断三角形的形状 命题视角:给出一个关于三角形边和角的等式关系,要求判断三角形的形状. 例2 (多选)(2025·湖南一模)△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则“△ABC是直角三角形”的充分条件是(　　) A.sin A=cos B B.acos B=c C.acos A=bcos B D.sin 2A+sin 2B=sin 2C BD 返回目录 考点1 考点2 考点3 解析:对于A,sin A=cos B>0,且A∈(0,π),B∈(0,π),则B∈(0,),若A为锐角,则sin A=cos B=sin(-B),且-B∈(0,),此时A=-B,即A+B=;若A为钝角, 则sin A=cos B=sin(+B),且+B∈(,π), 此时A=+B,即A-B= 综上,△ABC为直角三角形或钝角三角形,故A不满足题意; 对于B,acos B=c, 由正弦定理得sin Acos B=sin C=sin(A+B), 即sin Acos B=sin Acos B+sin Bcos A,得sin Bcos A=0,由sin B>0, 解得cos A=0, 返回目录 考点1 考点2 考点3 又0<A<π,所以A=,即△ABC为直角三角形,故B符合题意; 对于C,由acos A=bcos B,得a=b, 整理得(a2-b2)(a2+b2-c2)=0,所以a=b或a2+b2=c2,即△ABC为等腰三角形或直角三角形,故C不符合题意; 对于D,sin 2C=sin 2A+sin 2B,sin 2C=sin[(A+B)+(A-B)]+sin[(A+B)-(A-B)] =sin(A+B)cos(A-B)+sin(A-B)cos(A+B)+sin(A+B)·cos(A-B)-sin(A-B)cos(A+B) =2sin(A+B)cos(A-B)=2sin Ccos(A-B), 即sin Ccos C=sin Ccos(A-B),由sin C>0,得cos C=cos(A-B), 即cos(A-B)=-cos(A+B), 返回目录 考点1 考点2 考点3 cos Acos B+sin Asin B=-cos Acos B+sin Asin B,得cos Acos B=0, 所以cos A=0或cos B=0,解得A=或B=, 即△ABC为直角三角形,故D符合题意. 返回目录 考点1 考点2 考点3 对点训练2 (一题多解)(2025·河南模拟)在△ABC中,sin A=,则△ABC的形状为(　　) A.直角三角形 B.等边三角形 C.等腰三角形 D.等腰三角形或直角三角形 A 返回目录 考点1 考点2 考点3 解析:(方法1)∵sin A=,A+B+C=π, ∴sin Acos B-sin Acos C=sin(A+B)-sin(A+C), ∴sin Acos B-sin Acos C=sin Acos B+cos Asin B-sin Acos C-cos Asin C, ∴cos A(sin B-sin C)=0,∴cos A=0或sin B-sin C=0, 又由sin A=可知,sin C-sin B≠0,∴cos A=0, ∴A=,∴△ABC为直角三角形. 返回目录 考点1 考点2 考点3 (方法2)记△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,由正弦定理、余弦定理及题设条件可得a=,且c-b≠0,化简得(b-c)(b2+c2-a2)=0, ∴b2+c2-a2=0,即b2+c2=a2, ∴△ABC为直角三角形. 返回目录 考点1 考点2 考点3 解题思维路径 返回目录 考点1 考点2 考点3 考点3　与三角形面积有关的问题 命题视角:与三角形面积相关的问题与正弦定理、余弦定理紧密结合是考查的热点.三角形面积有关的知识不仅能单独考查,更能深度融入各种综合题型中. 例3 (一题多解)(2023·新高考Ⅱ,17)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知△ABC面积为,D为BC的中点,且AD=1. (1)若∠ADC=,求tan B; (2)若b2+c2=8,求b,c. 返回目录 考点1 考点2 考点3 解:(1)(方法1)在△ABC中,因为D为BC中点,∠ADC=,AD=1, 则S△ADC=AD·DCsin∠ADC=1aa=S△ABC=,解得a=4,在△ABD中,∠ADB=,由余弦定理得c2=BD2+AD2-2BD·ADcos∠ADB, 即c2=4+1-2×2×1×(-)=7,解得c=,则cos B=, sin B=,所以tan B= 返回目录 考点1 考点2 考点3 (方法2)在△ABC中,因为D为BC中点,∠ADC=,AD=1,则S△ADC=AD·DCsin∠ADC=1aa=S△ABC=,解得a=4, 在△ACD中,由余弦定理得b2=CD2+AD2-2CD·ADcos∠ADC, 即b2=4+1-2×2×1=3,解得b=,有AC2+AD2=4=CD2,则∠CAD=, 所以C=过A作AE⊥BC于E,于是CE=ACcos C=,AE=ACsin C=,BE=,所以tan B= 返回目录 考点1 考点2 考点3 (2)(方法1)在△ABD与△ACD中,由余弦定理得 整理得a2+2=b2+c2,而b2+c2=8,则a=2, 又S△ADC=1×sin∠ADC=,解得sin∠ADC=1,而0<∠ADC<π,于是∠ADC=, 所以b=c==2. 返回目录 考点1 考点2 考点3 (方法2)在△ABC中,因为D为BC中点,则2,又, 于是4=2(b2+c2)=16,即4+a2=16,解得a=2,又S△ADC=1×sin∠ADC=,解得sin∠ADC=1,而0<∠ADC<π,于是∠ADC=, 所以b=c==2. 返回目录 考点1 考点2 考点3 对点训练3 (2025·四川巴中模拟)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知bsin=asin B. (1)求A; (2)若a=3,点D在边BC上,AD=2,DC=2DB,求△ABC的面积. 解:(1)由正弦定理得, sin Bsin=sin Asin B, 因为sin B>0,所以sin=sin A,即cos=sin A=2sincos又因为(0,),所以sin,故A= 返回目录 考点1 考点2 考点3 (2)由DC=2DB知,, 则有|||cos∠BAC,即4=b2+c2+bc,化简得b2+4c2+2bc=36. 在△ACD中,由余弦定理得cos∠ADC=,在△ABD中,由余弦定理得cos∠ADB=,由cos∠ADB+cos∠ADC=0,则2c2+b2=18, 则2(2c2+b2)=4c2+b2+2bc,化简得b=2c,则(2c)2+4c2+2×2c×c=36,即c2=3,则c=(负值舍去), 所以S△ABC=bcsin∠BAC= 返回目录 考点1 考点2 考点3 关键能力思维链 返回目录 考点1 考点2 考点3 方法导引 求解与三角形面积有关问题的方法 返回目录 考点1 考点2 考点3 素养 提升练 课中 高考定向•捕捉热点 命题趋势1:正弦定理和余弦定理在实现三角形边角关系的互化上发挥重要作用,高考命题会注重考查学生对这一知识的掌握程度,通过边角互化将已知条件转化为便于求解的形式. 1.(2024·全国甲,理11)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知B=60°,b2=ac,则sin A+sin C=(　　) A. B. C. D. C 返回目录 解析:由b2=ac,得sin Asin C=sin2B=, 又b2=a2+c2-2accos B=a2+c2-ac=ac,所以a2+c2=ac, 即sin2A+sin2C=sin Asin C=, 则(sin A+sin C)2=sin2A+sin2C+2sin Asin C=,所以sin A+sin C=故选C. 返回目录 命题趋势2:求三角形中的边长或周长的最值或范围是常见的命题点,通常需要学生结合基本不等式或三角函数的性质来求解. 2.(原创)在△ABC中,AC+AB=4,且cos A+2cos(A+)sin(A+)=0. (1)求角A; (2)求△ABC面积的最大值; (3)若D是△ABC边BC上的一点,且,证明AB·AC=4AD,并求的最小值. (提示:函数f(x)=x(1-x2)在区间(,+∞)上单调递减) 返回目录 解:(1)因为2cos(A+)sin(A+)=sin(2A+)=-cos 2A, 所以在△ABC中,由cos A+2cos(A+)·sin(A+)=0,可得cos A-2cos2A+1=0,解得cos A=-或cos A=1.又因为0<A<π,所以cos A=-,所以A= (2)由4=AC+AB≥2可得AB·AC≤4, 当且仅当AB=AC=2时等号成立. 所以S△ABC=AB·ACsin A4,所以△ABC面积的最大值为 返回目录 (3)在△ABC中,设角A,B,C所对的边分别为a,b,c, 因为,所以AD是∠BAC的平分线. 因为A=,所以∠BAD=∠CAD= 因为S△ABC=S△ABD+S△ADC, 所以bcsin∠BAC=c·AD·sinb·AD·sin, 即bc=AD(b+c)=4AD,所以AB·AC=4AD.设∠ADB=θ(<θ<), 在△ABD,△ACD中,由正弦定理可得,则BD=,CD= 返回目录 令λ=[,1),则a=BD+CD=λ(b+c)=4λ.在△ABC中,由余弦定理可得16λ2=b2+c2+bc=(b+c)2-bc=16-bc<16,解得-1<λ<1,所以λ∈[,1). 又, 令f(λ)=λ(1-λ2), 由题意可得函数f(λ)在区间[,1)上单调递减,则f(λ)max=f()=, 所以的最小值为 返回目录 $