微专题03 一元二次方程与实际问题（专项训练）数学鲁教版五四制八年级下册

**基本信息** 以“问题情境—模型构建—规范解答”为主线，分题型提炼解题模板，系统培养从实际问题中抽象等量关系的数学建模能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |平均变化率问题|6题|四步解题法（审基数、定次数、套公式、舍不合理解）|从病毒传播、经济增幅等情境抽象“a(1±x)ⁿ=b”模型，体现数学抽象与应用意识| |几何图形面积问题|6题|画图标注法（单双边路处理、面积公式应用）|通过围栏、道路等图形问题，建立“长×宽=面积”的方程关系，发展几何直观| |营销与利润问题|6题|联动关系分析法（售价-销量-利润联动）|基于“单件利润×销量=总利润”，培养数据分析与逻辑推理能力| |循环与握手问题|6题|互动类型区分法（双向/单向计数公式）|从握手、球赛等情境抽象“n(n-1)/2”或“n(n-1)”模型，强化数学建模| |数字问题与日历规律|6题|多位数表示法与日历规律（10a+b结构、日期差7）|通过两位数、日历问题，建立数字关系方程，提升符号意识|

微专题03 一元二次方程与实际问题 题型01 平均变化率问题（增长/下降/传播） 考向分析：此类题型通常以“病毒传播”、“细胞分裂”、“经济增幅”或“产量变化”为背景。核心得分点在于准确找准基础量（a）、变化次数（n）和终止量（b），并熟练运用增长模型。 解题方法： 1. 审清基数与方向：明确起始量a和最终量b。若是“增长”用“＋”，“下降”用“－”。 2. 确定变化次数：仔细研读题目，明确经过了几轮变化（如“两轮传染”、“连续两年”）。 3. 套用核心公式：直接代入。其中x为增长率/下降率，n为变化次数。 4. 结合实际取舍：解出x后，增长率通常取正值，下降率取负值（或按题意保留小数形式）。 答题模板： 1. 设：设平均每次的增长率（或下降率）为x。 2. 列：寻找“最终量”，根据变化过程列出等式。 3. 解：运用直接开平方法或因式分解法求解方程。 4. 答：根据实际情况对解进行取舍（如增长率x不能为负），写出最终答案。 1．（25-26九年级上·山西运城·月考）运城临猗苹果是山西省名优特产，其果色鲜艳，果肉脆甜，汁水丰富，富含人体所必需的各类营养成分，年获国家农产品地理标志登记保护，年入选国家特色农产品优势区，深受老百姓的喜爱．年临猗某果园苹果年产吨，年实现了年产吨的目标． (1)求该果园年至年苹果年产量的年平均增长率． (2)某果库以元的成本采购了苹果吨，目前可以以元/吨的价格售出．如果储藏起来，每星期会损失吨，且每星期需要支付各种费用元，但同时每星期每吨的价格会上涨元，那么储藏多少个星期后，出售这批苹果可获利元？ 2．（24-25九年级上·河北石家庄·月考）“阳光玫瑰”是一种优质的葡萄品种．某葡萄种植基地2021年年底已经种植“阳光玫瑰”300亩，到2023年年底“阳光玫瑰”的种植面积达到432亩． (1)求该基地“阳光玫瑰”种植面积的年平均增长率． (2)某水果市场9月底以25元的价格从基地批发500千克“阳光玫瑰”放在冷库内，冷库存放一天需费用100元（储藏时间不超过12天），此时“阳光玫瑰”市场价为30元每千克，因国庆黄金周的到来，此后每千克“阳光玫瑰”的市场价格每天上涨1.5元，但是，平均每天还有10千克“阳光玫瑰”变质丢弃．若市场经理想获得4500元的利润，需将“阳光玫瑰”储藏多少天后一次性售出． 3．（23-24九年级上·重庆渝中·自主招生）某科技公司生产销售一种电子产品，该产品总成本包括技术成本、制造成本、销售成本三部分，经核算，2018年该产品各部分成本所占比例约为（a为整数）．且2018年该产品的技术成本为400万元． (1)若2018年产品总成本超过1800万元，但不超过2000万元，确定a的值； (2)在（1）的条件下，为降低总成本，该公司2019年及2020年增加了技术成本投入，确保这两年技术成本都比前一年增加一个相同的百分数，制造成本在这两年里都比前一年减少；同时为了扩大销售量，2020年的销售成本将在2018年的基础上提高，经过以上变革，预计2020年该产品总成本仅为2018年该产品总成本的，求m的值． 4．（25-26九年级上·江西·期中）化学是一门以实验为基础的学科，九班化学课代表小聪在老师的培训下，学会了高锰酸钾制取氧气的实验室制法，回到班上后开始教同学做实验，第一节课手把手教会了名同学，若第二节课小聪因家中有事请假了，班上其余会做该实验的每名同学又手把手教会了名同学，这样全班名同学恰好都会做这个实验了，求的值． 5．（2022·湖北宜昌·模拟预测）五峰县某茶叶公司预计用3年时间实现三种茶叶产品售出万元的目标．年，出售产品A和B的销售额是C产品的2倍、4倍．随后两年，A产品每年都增加b万元，预计A产品三年总销售额为万元时达成目标：B产品销售额从年开始逐年按同一百分数递减，依此规律，在年只需售出5万元，即可顺利达成；C产品年销售额在前一年基础上的增长率是A产品年销售额增长率的1.5倍，年的销售额比该产品前两年的销售总和还多4万元，若这样，C产品也可以如期售完．经测算，这三年的A产品、C产品的销售总额之比达到． (1)这三年用于C产品的销售额达到多少万元？ (2)求B产品逐年递减的百分数． 6．（22-23九年级上·浙江温州·阶段检测）（1）把长为的线段任意分成3条线段，求这3条线段能够构成一个三角形的3条边的概率． （2）据统计，2008年底该市汽车拥有量为75万辆，而截止到2010年底，该市的汽车拥有量已达108万辆．为了保护环境，缓解汽车拥堵，该市拟控制汽车总量，要求到2012年底全市汽车拥有量不超过125.48万辆；且从2011年初起，该市此后每年报废的汽车数量是上年底汽车拥有量的．假设每年新增汽车数量相同，请估算出该市从2011年初起每年新增汽车数量最多不超过多少万辆，并求出求2008年底至2010年底该市汽车拥有量的年平均增长率． 题型02 几何图形面积问题（围栏/道路/图案） 考向分析：此类题型通常以“围矩形场地”、“修建十字形道路”或“设计相框”为载体。核心得分点在于根据图形特征，准确用未知数表示出目标区域的长和宽，并利用面积公式建立等式。 解题方法： 1. 画图标注：遇到不规则图形或带边框的图形，务必先画出示意图，并将已知的数值和设定的未知数标在图上。 2. 单双道/内外框处理： (1) 单边路/单边框：长、宽各减少一个路宽/边框宽。 (2) 双边十字路：长、宽各减少两个路宽；若求草坪面积，直接用（长－2x）（宽－2x）＝草坪面积。 (3) 列面积等式：核心公式S＝长×宽。若图形可分割，用“大减小”；若不可割，用“长×宽”。 答题模板： 1. 设：设所求的未知量（通常为宽度、边长）为x。 2. 表：用含x的代数式准确表示出目标图形的长和宽。 3. 列：根据等量关系“长×宽＝面积”列出方程。 4. 解：求解方程，并根据实际意义（如边长必须为正数且小于原长/宽）舍去不合理解。 1．（2026·安徽阜阳·二模）综合与实践 【项目主题】班级劳动实践小组拟用正方形和等腰直角三角形地砖铺设社区小广场． （1）【项目准备】已知图中小正方形地砖的面积为，则等腰直角三角形地砖的面积为①_____，图形中心的稍大正方形地砖的面积为②_____． （2）【项目分析】第1个图形中，小正方形的个数为，等腰直角三角形的个数为； 第2个图形中，小正方形的个数为，等腰直角三角形的个数为； 第3个图形中，小正方形的个数为，等腰直角三角形的个数为； ．．． 根据规律， 第4个图形中，小正方形的个数为③_____，等腰直角三角形的个数为④_____， （3）【项目实施】如果社区小广场是按以上方法铺设的面积为的正方形广场，则需要小正方形地砖的块数为⑤_____，等腰直角三角形地砖的块数为⑥_____． 请将上述材料中横线上所缺内容补充完整： ①_____；②_____；③_____；④_____；⑤_____．⑥_____． 2．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）某农户计划利用现有的一道墙（墙长为米），另三边用总长为米的铁丝网围成一个长方形养鸡场，其中平行于墙的一边留出米宽的门（门不用铁丝网），围成的长方形养鸡场总面积为平方米． (1)当时，养鸡场平行于墙的一边的长是多少? (2)若要保证能围成符合要求的养鸡场，且仅存在一种围法，求墙长的取值范围； (3)若农户想将养鸡场面积扩大到平方米，在铁丝网长度不变且墙足够长的条件下，能否实现?若能，求出此时垂直于墙的边的长度；若不能，请说明理由． 3．（2026·安徽芜湖·二模）综合与实践 【项目主题】 班级劳动实践小组拟用正方形和圆形两种花盆架为花卉展览设计整体轮廓为等腰直角三角形形状（虚线图形）的花卉展览架． 【项目准备】设计如图所示的花卉展览架中正方形花盆架边长为，每个正方形花盆架中放置一盆盆景，每个圆形花盆架中放置一盆花卉，同学们已经知道数学公式：（为正整数）． 【项目分析】 第1个展览架中花卉的盆数为1，盆景的盆数为3； 第2个展览架中花卉的盆数为，盆景的盆数为6； 第3个展览架中花卉的盆数为，盆景的盆数为10； 第4个展览架中花卉的盆数为，盆景的盆数为15； … 【项目实施】 按照以上规律，解答下列问题： (1)第5个展览架中花卉的盆数为__，盆景的盆数为___ (2)第（为正整数）个展览架中花卉的盆数为____，盆景的盆数为____； (3)若展览架中花卉比盆景多43盆，求展览架等腰直角三角形（虚线图形）的斜边长． 4．（2026·上海青浦·二模）被誉为“金果子”的草莓，是青浦区乡村产业振兴的一个亮点．某草莓采摘园计划通过互联网销售草莓，需设计一款底面积为的有盖子的长方体快递包装盒，所用的材料为长，宽的长方形硬纸板．制作方法如下：在每一张纸板的四个角上分别剪去两个相同的正方形和两个相同的长方形（如方案1图所示）．然后折叠成一个有盖纸盒（盒盖与盒底大小形状相同） 为了优化设计，草莓采摘园的老板借助提出了一种改进方案（称为方案2），方案2也需要在四个角上分别剪去两个相同的正方形和两个相同的长方形．对方案2的优点给出了如下评价： 1．节省材料，成本更低：两种方案体积相同，底面积相同，但方案2表面积更小，用料更省，长期生产可降低包装成本． 2．结构更稳固：方案2底面更接近正方形，重心更稳，抗压性更好，运输时不易变形、挤压，能更好保护物品． 接下来请你帮助老板解决以下问题： (1)设方案1中剪去的正方形的边长为，求包装盒的表面积； (2)尝试在备用图中画出方案2，并通过计算说明AI对方案2“表面积最小”的评价是否准确？ 5．（2026·广东东莞·一模）项目学习 【项目主题】利用闲置硬纸板制作长方体收纳盒收纳玩具． 【项目素材】两块长为100cm，宽为40cm的长方形硬纸板． 【任务要求】 任务一：如图1，把一块长方形硬纸板的四角各剪去一个同样大小的正方形，再沿虚线折成一个无盖的长方体收纳盒． 任务二：如图2，把另一块长方形硬纸板的四角各剪去一个同样大小的长方形，再沿虚线折成一个有盖的长方体收纳盒，EF和HG两边恰好重合且无重叠部分． 【问题解决】 (1)若任务一中设计的收纳盒的底面积为，求剪去的正方形的边长为多少？ (2)若任务二中设计的收纳盒的底面积为．判断能否把一个长宽高的尺寸如图3所示的玩具车完全放入该收纳盒并盖上盖子，请简述理由． 6．（25-26八年级下·安徽六安·期中）某地面停车场为长方形，其面积为，共设计了如图所示的56个停车位，每个停车位的尺寸都一样，且长比宽多，通车道的宽度都相等． (1)求停车位的宽． (2)该停车场原收费6元/小时，日均运营成本为200元，高峰时段（时长为12个小时）车位全满，平峰时段（时长为12个小时）使用率为50%．现计划调整收费：每小时上涨a元，高峰时段使用率不受影响，但平峰时段使用率会降低，若调整后日均利润为8536元，求a的值． 题型03 营销与利润问题（进价/售价/销量） 考向分析：此类题型常以“商场促销”、“商品买卖”为背景，给出进价、售价、销量、利润之间的关系。核心得分点在于敏锐捕捉“销量的变化规律”，理清总利润的计算逻辑。 解题方法： 1. 确定基准量：明确商品原来的售价、原来的销量以及单件利润。 2. 找联动关系：题目通常会说“每涨价x元，销量就减少kx件”（或反之）。此时设涨/跌价为x，则新的销量为原销量±kx。 3. 套总利润公式：总利润＝（单次售价－单次进价）×销量。 4. 注意定义域：售价不能低于进价（除非亏本甩卖题），销量不能为负数。 答题模板： 1. 设：设涨（或降）价为x元（也可设售价为x元，视题目而定）。 2. 表：分别表示出当前的单件利润和当前销量。 3. 列：根据“单件利润×销量＝预定总利润”列出方程。 4. 解：解方程，并根据实际情况（如降价幅度不能超过进价的多少）进行取舍。 1．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）某社区为丰富居民文化生活，新建了一个图书室，初始藏书量为200册．参照以往的管理统计，当每本书的月借阅费定为6元时，所有藏书均可被借出；月借阅费每增加1元（增加费用不超过5元），未被借出的图书将增加4册；已借出的书每册月维护成本为2元（包括消毒、修补）；未被借出的书每册月仓储管理成本为1元． (1)当月借阅费为10元时，求图书的借阅量； (2)设每本书的月借阅费增加a元，写出该图书室月维护与管理成本的总和（用含a的代数式表示）； (3)若每月借阅利润为1144元，求每本书的月借阅费． 2．（2026·福建三明·一模）2026年是农历丙午马年，马年吉祥物深受大众喜爱，某超市购进一批马年吉祥物进行销售，每个进货价为30元，当每个售价为40元时，平均每月可售出600个，经调查发现，当售价在40元至60元范围内时，该吉祥物的售价每上涨1元，月销售量就会减少10个． (1)若售价上涨x元，平均每月销售量为y个，则y与x的函数关系式为______； (2)若超市要实现平均每月10000元的销售利润，则这种马年吉祥物的售价应定为多少元？ 3．（25-26九年级上·四川成都·期末）某公司研制出一种新产品，每件产品成本元，销售单价定为元．为了鼓励商家购买该产品，公司决定若一次购买该产品不超过件，每件按元销售；若一次购买该产品超过件，每多购买一件，所购全部产品销售单价降低元，但销售单价均不低于元． (1)设一次购买该产品的数量为件（为正整数），销售单价为元，请写出与的函数关系式； (2)公司在商家一次购买该产品时，能否恰好获利元？若能，求出此时该产品的销售单价；若不能，说明理由． 4．（25-26九年级上·重庆荣昌·期末）荣昌陶是中国三大名陶之一、我区某荣昌陶销售店有，两种陶产品，已知种产品的售价比种产品的售价多元/件,去年月份最后一周，该店销售的种产品数量与种产品数量相同，产品销售总额为元，比该周产品销售总额多元． (1)求该店、两种荣昌陶产品的销售单价各是多少元? (2)今年第一周、该店对这两种产品进行销售处理．与去年月最后一周相比，对种产品售价每降低元、销售数量将增加件，种产品单价提高元销售，销售数量没有变化．该店这两种产品的销售总额比去年月最后一周多元，该店对种产品每件售价降低多少元? 5．（25-26九年级上·广东清远·期末）综合与实践： 探索果园土地规划和销售利润问题 素材1： 某农户承包了一块长方形果园，如图是果园的平面图，其中米，米，准备在果园的四周铺设道路，上下两条横向道路（沿方向）的宽度都为米，左右两条纵向道路（沿方向）的宽度都为米，道路围合的中间矩形区域为种植园区（如图中阴影区域）．出于货车通行等因素的考虑，道路宽度不超过14米，且不小于7米． 素材2：该农户在种植园区种植草莓，市场调研信息：草莓培育一年可产果，若每平方米草莓的月销售利润为100元，每月可销售出5000平方米种植面积对应的草莓产量（即月销售覆盖5000平方米的种植面积）．受天气原因，农户决定降价促销，若每平方米的草莓月利润每下调1元，每月可多销售125平方米种植面积对应的草莓产量，果园每月的承包费为20000元． 问题解决 问题1 （1）种植园区的长为______米，宽为_______米；（用含的代数式表示） 问题2 （2）若种植园区的面积为44800平方米，道路设置的宽度是否符合要求？请说明理由． 问题3 （3）若农户预期一个月的总利润为552000元，为让客户得到实惠，每平方米草莓的月利润应该下调多少元？（总利润=销售利润-承包费） 6．（2025八年级上·安徽滁州·专题练习）某青年党支部在精准扶贫活动中，给结对帮扶的贫困家庭赠送甲、乙两种树苗让其栽种．已知乙种树苗的价格比甲种树苗的价格少元，用元购买乙种树苗的数量恰好是用元购买甲种树苗的数量的． (1)求甲、乙两种树苗每棵的价格各是多少元； (2)在实际帮扶中，他们决定再次购买甲、乙两种树苗，购买甲种树苗的数量与第一次相同，购买乙种树苗的数量比第一次多棵，而甲种树苗和乙种树苗均有涨价，甲种树苗的价格比第一次购买时的价格高元，乙种树苗的价格比第一次购买时的价格高元，最终发现第二次购买两种树苗的总费用比第一次购买两种树苗的总费用高元，求的值． 题型04 循环与握手问题（两两互动模型） 考向分析：此类题型多以“多人聚会握手”、“球队循环赛”、“互赠贺卡”或“网络节点通讯”为载体。核心得分点在于区分“双向互动”与“单向传递”，避免重复或遗漏计数。 解题方法： 1. 辨别互动类型： (1) 双向互动（握手、单循环赛）：甲与乙握手，乙与甲握手算同一次。总人数n，总次数为。 (2) 单向传递（互送礼物、写信、双循环赛）：甲给乙礼物，乙给甲礼物算两次。总人数n，总次数为。 2. 列方程：设总人数为n（或直接设未知量），根据上述规律列出一元二次方程。 3. 求解取整：人数或物品数必须为正整数，若解出非整数解，需结合题意四舍五入或舍去。 答题模板： 1. 设：设参与互动的总人数为n。 2. 列：判断属于“双向”还是“单向”，代入对应公式。 3. 解：运用因式分解法求解一元二次方程。 4. 验：将解代入原题检验，确保人数为正整数。 1．（25-26九年级上·湖北咸宁·期末）某次同学聚会，所有到会同学都互相握一次手，共握手45次，则参加聚会的同学共有多少人？设参加聚会的同学共有人． (1)填空：根据题意，可列方程：_； (2)我们都知道连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线，也都知道四边形的对角线有2条，多边形的对角线可以有27条吗？如果可以，求出多边形的边数；如果不可以，请说明理由． 2．（25-26九年级上·江西赣州·期末）请阅读下面材料，解决后面的问题： 材料一：单循环赛规则是：每个参赛队伍在比赛中只与其他队伍对决一次，例如有4支队伍参加的单循环比赛中，每支队伍需要与其他3支队伍各进行一场比赛，每支队伍要进行场比赛，这4支队伍的比赛总场次为：． 材料二：淘汰赛规则是：参赛队伍按照抽签配对比赛，失败一方被淘汰出局、胜利一方进入下一轮，每一轮淘汰掉一半队伍，直至产生最后的冠军．例如甲、乙、丙、丁四支球队进行淘汰赛过程如图所示． 材料三：足球比赛的积分规则为：胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0分． 问题一：贵州“村超”，是贵州榕江县举办的乡村足球联赛，是贵州的一张靓丽名片，在早期的一届比赛中，有一支球队参加了10场比赛，以不败战绩获积分24分，求该球队胜的场次和平的场次分别是多少？ 问题二：近几年贵州“村超”报名队伍不断增多，在某届比赛中，组织者统计发现，如果全程按照单循环赛进行，共需要进行190场比赛． ①共有多少支球队参加这场比赛？ ②因为场次太多，经研究决定采用如下方案：先把参赛队伍按照某种规则平均分成四个小组，小组内通过单循环赛确定前两名，然后把四个小组的前两名交叉配对通过淘汰赛决出冠军，这种方案共需要多少场比赛就能决出冠军？ 3．（25-26九年级上·甘肃武威·期末）某学校九年级举办了一场乒乓球比赛，比赛采用单循环赛制（每两位参赛选手之间都赛1场）． 乐乐和淇淇针对这次比赛有如下对话： 假设有x人报名参加比赛． (1)根据题意，乐乐列出的方程应该是：_________________________．请利用乐乐所列的方程分析淇淇的说法是否正确； (2)乐乐补充道：本次比赛的确一共进行了40场，只是在比赛过程中遇到了特殊情况，有1人身体不适，只参加了4场比赛后就中途退赛．请直接写出此时x的值． 4．（25-26九年级上·河北廊坊·期中）九年级举办了乒乓球比赛，比赛采用单循环赛制（即每位参赛者与其他参赛者各比赛1场），嘉嘉说：“本次比赛一共进行了40场．”淇淇说：“你说的不对，按这个赛制不应该是40场．”设有x人报名参加比赛． (1)依据两人对话，乐乐列出方程：．请用乐乐所列方程分析淇淇的说法是否正确； (2)赛后经查询发现，因为有一人身体不适，参与4场比赛后中途退赛，所以比赛才进行了40场，求x的值． 5．（23-24九年级上·辽宁鞍山·月考）【问题提出】：某校要举办足球赛，若有5支球队进行单循环比赛（即全部比赛过程中任何一队都要分别与其他各队比赛一场且只比赛一场），则该校一共要安排多少场比赛？ 【构建模型】：生活中的许多实际问题，往往需要构建相应的数学模型，利用模型的思想来解决问题． 为解决上述问题，我们构建如下数学模型： 如图①，我们可以在平面内画出5个点（任意3个点都不在同一条直线上），其中每个点各代表一支足球队，两支球队之间比赛一场就用一条线段把他们连接起来，由于每支球队都要与其他各队比赛一场，即每个点与另外4个点都可连成一条线段，这样一共连成条线段，而每两个点之间的线段都重复计算了一次，实际只有10条线段，所以该校一共要安排10场比赛． (1)若学校有6支足球队进行单循环比赛，借助图②，我们可知该校一共要安排_______场比赛；根据以上规律，若学校有n支足球队进行单循环比赛，则该校一共要安排_______场比赛； (2)实际应用：往返于青岛和济南的同一辆高速列车，中途经青岛北站、潍坊、青州、淄博4个车站（每种车票票面都印有上车站名称与下车站名称），那么在这段线路上往返行车，要准备车票的种数为_______种； (3)书本习题变式：一个凸多边形共有14条对角线，它是几边形？是否存在有33条对角线的凸多边形？如果存在，它是几边形？如果不存在，说明得出结论的道理． 6．（2026·河北唐山·二模）我校要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排9天，每天安排5场比赛．比赛组织者应邀请多少个队参赛． 题型05 数字问题与日历规律 考向分析：此类题型通常以“一个两位数的十位与个位数字之和为某值，交换位置后新数与原数的关系”为背景，或者隐藏在日历表中“相邻日期的平方和”问题。核心得分点在于掌握多位数的代数表示法以及日历的排布规律。 解题方法： 1. 两位数表示法：若一个两位数，十位数字为a，个位数字为b，则这个两位数应表示为10a＋b，而不是a＋b。这是最容易踩坑的地方。 2. 抓日历规律： (1) 同一列上下相邻两数相差7（周历）。 (2) 同一行左右相邻两数相差1。 (3) 若设中间数为x，则三个连续数可设为。 3. 还原与取舍：解出数字后，必须还原到原数中检验，确保个位和十位数字都是0~9的整数（且十位不为0）。 答题模板： 1. 设：设个位（或十位）数字 x，并用x表示出另一个数位上的数字。 2. 表：准确写出“原数＝10×十位＋个位”和“新数”的表达式。 3. 列：根据题目给出的等量关系（如“新数与原数的和/差/积”）列出方程。 4. 解：求解方程，还原数字，写出最终的原数。 1．（2026·湖北黄石·一模）如图，这是一张2026年1月的月历表．在此月历表上可以用一个正方形框任意圈出4个数（如2，3，9，10）． (1)若圈出的4个数中最小的数为x，则最大的数为________．（用含x的代数式表示） (2)在小组活动中，小丽通过计算，得到框出的4个数之和为45．小颖认为小丽一定算错了．小颖的说法正确吗？说明理由． (3)若圈出的4个数中最大的数与最小的数的乘积为105，求这4个数中最小的数． 2．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）对于任意一个三位数，如果满足各个数位上的数字都不为零，且十位上的数字的平方等于百位上的数字与个位上的数字之积的4倍，那么称这个数为“如意数”．例如：，因为，所以169是“如意数”． (1)已知一个“如意数”（，其中为正整数），所满足的关系式是什么．（请直接写出关系式！） (2)小明利用（1）中“如意数”中的构造了两个一元二次方程①与②，若是方程①的一个根，是方程②的一个根，小明经探究得出结论：与的乘积是一定值．请判断小明的结论是否正确？如果正确，请求出这个定值． (3)在（2）中条件下，且，请直接写出满足条件的一个的值． 3．（25-26八年级下·安徽阜阳·月考）2026年4月5日是我国的传统节日清明节，又称踏青节、行清节、三月节、祭祖节等，在每年4月4日至6日之间，是祭祀、祭祖和扫墓的节日．清明节源自上古时代的祖先信仰与春祭礼俗，兼具自然与人文两大内涵，既是自然节气点，也是传统节日．清明节与春节、端午节、中秋节并称为中国四大传统节日．在本月日历表上可以用一个方框圈出4个数（如图所示）．若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为153，求这个最小数．（请用方程知识解答） 4．（25-26九年级上·四川资阳·期末）阅读下列材料： 已知实数，满足，试求的值． 解：设，则原方程变为，整理得，，，即． 上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化． 根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程． (1)已知实数，满足，则_____； (2)若，求的值； (3)若四个连续正整数的积为120，求这四个连续正整数． 5．（25-26八年级下·全国·课后作业）小明同学是一位诗词爱好者，在学习了《一元二次方程及其应用》这一章后，改编了苏轼的词《念奴娇·赤壁怀古》：“大江东去，浪淘尽，千古风流人物．而立之年督东吴，早逝英年两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿同．哪位学子算得快，多少年华数周瑜？”其中蕴含着一道数学问题：周瑜在30岁时已经担任东吴的都督，去世时年龄为两位数，该数的十位数字比个位数字小3，个位数字的平方恰好等于该数．求周瑜去世时的年龄． 6．（25-26八年级上·河南周口·期末）已知两个两位数，将它们各自的十位数字和个位数字交换位置后，得到两个新两位数，且这两个新两位数分别与它们对应的原数不同，若这两个两位数的乘积与交换位置后两个新两位数的乘积相等，则称这样的两个两位数为“幸福数对”，例如：，所以13和62是“幸福数对”． (1)请判断21与48是否是“幸福数对”，并说明理由； (2)有一个两位数，十位上的数字为，个位上的数字为x，另一个两位数，十位上的数字为，个位上的数字为．若这两个两位数为“幸福数对”，求出这两个两位数． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 微专题03 一元二次方程与实际问题 题型01 平均变化率问题（增长/下降/传播） 考向分析：此类题型通常以“病毒传播”、“细胞分裂”、“经济增幅”或“产量变化”为背景。核心得分点在于准确找准基础量（a）、变化次数（n）和终止量（b），并熟练运用增长模型。 解题方法： 1. 审清基数与方向：明确起始量a和最终量b。若是“增长”用“＋”，“下降”用“－”。 2. 确定变化次数：仔细研读题目，明确经过了几轮变化（如“两轮传染”、“连续两年”）。 3. 套用核心公式：直接代入。其中x为增长率/下降率，n为变化次数。 4. 结合实际取舍：解出x后，增长率通常取正值，下降率取负值（或按题意保留小数形式）。 答题模板： 1. 设：设平均每次的增长率（或下降率）为x。 2. 列：寻找“最终量”，根据变化过程列出等式。 3. 解：运用直接开平方法或因式分解法求解方程。 4. 答：根据实际情况对解进行取舍（如增长率x不能为负），写出最终答案。 1．（25-26九年级上·山西运城·月考）运城临猗苹果是山西省名优特产，其果色鲜艳，果肉脆甜，汁水丰富，富含人体所必需的各类营养成分，年获国家农产品地理标志登记保护，年入选国家特色农产品优势区，深受老百姓的喜爱．年临猗某果园苹果年产吨，年实现了年产吨的目标． (1)求该果园年至年苹果年产量的年平均增长率． (2)某果库以元的成本采购了苹果吨，目前可以以元/吨的价格售出．如果储藏起来，每星期会损失吨，且每星期需要支付各种费用元，但同时每星期每吨的价格会上涨元，那么储藏多少个星期后，出售这批苹果可获利元？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，解决本题的关键是根据题意找出等量关系，列出方程求解． 设果园年至年苹果年产量的年平均增长率为，可列方程，解方程即可求出平均增长率； 设储藏个星期后，出售这批苹果可获利元，根据利润总售价总成本，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：设果园年至年苹果年产量的年平均增长率为， 根据题意可得：， 解得：，(不符合题意，舍去)， ， 答：果园年至年苹果年产量的年平均增长率为； （2）解：设储藏星期后出售这批苹果可获利元， 根据题意可得：， 整理得：， 解得：，， 答：储藏个星期后出售这批苹果可获利元． 2．（24-25九年级上·河北石家庄·月考）“阳光玫瑰”是一种优质的葡萄品种．某葡萄种植基地2021年年底已经种植“阳光玫瑰”300亩，到2023年年底“阳光玫瑰”的种植面积达到432亩． (1)求该基地“阳光玫瑰”种植面积的年平均增长率． (2)某水果市场9月底以25元的价格从基地批发500千克“阳光玫瑰”放在冷库内，冷库存放一天需费用100元（储藏时间不超过12天），此时“阳光玫瑰”市场价为30元每千克，因国庆黄金周的到来，此后每千克“阳光玫瑰”的市场价格每天上涨1.5元，但是，平均每天还有10千克“阳光玫瑰”变质丢弃．若市场经理想获得4500元的利润，需将“阳光玫瑰”储藏多少天后一次性售出． 【答案】(1) (2)10 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该基地“阳光玫瑰”种植面积的年平均增长率为x，根据“2021年年底已经种植“阳光玫瑰”300亩，到2023年年底“阳光玫瑰”的种植面积达到432亩”列出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论； （2）设将“阳光玫瑰”储藏y天后一次性售出，根据“销售额成本利润”，可列出关于y的一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：设该基地“阳光玫瑰”种植面积的年平均增长率为x， 由题意得，， 解得，（舍）， 答：该基地“阳光玫瑰”种植面积的年平均增长率为． （2）解：设将“阳光玫瑰”储藏y天后一次性售出， ， 解得，（舍）， 答：需将“阳光玫瑰”储藏10天后一次性售出． 3．（23-24九年级上·重庆渝中·自主招生）某科技公司生产销售一种电子产品，该产品总成本包括技术成本、制造成本、销售成本三部分，经核算，2018年该产品各部分成本所占比例约为（a为整数）．且2018年该产品的技术成本为400万元． (1)若2018年产品总成本超过1800万元，但不超过2000万元，确定a的值； (2)在（1）的条件下，为降低总成本，该公司2019年及2020年增加了技术成本投入，确保这两年技术成本都比前一年增加一个相同的百分数，制造成本在这两年里都比前一年减少；同时为了扩大销售量，2020年的销售成本将在2018年的基础上提高，经过以上变革，预计2020年该产品总成本仅为2018年该产品总成本的，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了比例的应用，一元一次不等式组的应用，以及一元二次方程的应用，读懂题意是解题的关键． （1）根据比例的应用列出关于一元一次不等式组，即可得出a的取值范围，再根据a为整数即可得出答案． （2）由（1）可得2018年的总成本，根据2020年该产品总成本仅为2018年该产品总成本的，列出关于m的一元二次方程求解即可得出答案． 【详解】（1）由题意得： 解得： ∵a为整数， ∴； （2）由（1）可得：2018年产品总成本为：(万元)， 则2018年的制造成本为（万元），销售成本为（万元）， 由题意得： 令，则 ∴， 整理得： 解得：，， ∴，（舍去） 则． 4．（25-26九年级上·江西·期中）化学是一门以实验为基础的学科，九班化学课代表小聪在老师的培训下，学会了高锰酸钾制取氧气的实验室制法，回到班上后开始教同学做实验，第一节课手把手教会了名同学，若第二节课小聪因家中有事请假了，班上其余会做该实验的每名同学又手把手教会了名同学，这样全班名同学恰好都会做这个实验了，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握以上知识是解题的关键．设一个人每节课手把手教会了名同学，根据第二节课后全班人恰好都会做这个实验了，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】解：设一个人每节课手把手教会了名同学， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：的值是． 5．（2022·湖北宜昌·模拟预测）五峰县某茶叶公司预计用3年时间实现三种茶叶产品售出万元的目标．年，出售产品A和B的销售额是C产品的2倍、4倍．随后两年，A产品每年都增加b万元，预计A产品三年总销售额为万元时达成目标：B产品销售额从年开始逐年按同一百分数递减，依此规律，在年只需售出5万元，即可顺利达成；C产品年销售额在前一年基础上的增长率是A产品年销售额增长率的1.5倍，年的销售额比该产品前两年的销售总和还多4万元，若这样，C产品也可以如期售完．经测算，这三年的A产品、C产品的销售总额之比达到． (1)这三年用于C产品的销售额达到多少万元？ (2)求B产品逐年递减的百分数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由A产品三年总销售额为万元时达成目标及这三年的A产品、C产品的销售总额之比达到列式计算即可得到三年C产品的销售额． （2）设2019年产品的销售额为万元，则产品的销售额为万元，产品的销售额为万元，根据A产品三年总销售额为万元，C产品三年的销售额为万元，列出方程组，解得，根据B产品年销售额为万元，B产品销售额从年开始逐年递减百分数为，在年只需售出5万元列等量关系即可； 【详解】（1）解：（万元） 答：这三年用于C产品的销售额达到万元． （2）解：设2019年产品的销售额为万元，则产品的销售额为万元，产品的销售额为万元，B产品逐年递减的百分数为， 由题意知： ， 整理得：，解得：， 由题意知： ，即：， 整理得：， 解得：，（舍） 答：B产品逐年递减的百分数为． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及二元一次方程组的应用，正确找出等量关系，列出对应的方程是解决本题的关键． 6．（22-23九年级上·浙江温州·阶段检测）（1）把长为的线段任意分成3条线段，求这3条线段能够构成一个三角形的3条边的概率． （2）据统计，2008年底该市汽车拥有量为75万辆，而截止到2010年底，该市的汽车拥有量已达108万辆．为了保护环境，缓解汽车拥堵，该市拟控制汽车总量，要求到2012年底全市汽车拥有量不超过125.48万辆；且从2011年初起，该市此后每年报废的汽车数量是上年底汽车拥有量的．假设每年新增汽车数量相同，请估算出该市从2011年初起每年新增汽车数量最多不超过多少万辆，并求出求2008年底至2010年底该市汽车拥有量的年平均增长率． 【答案】（1）；（2）该市每年新增汽车数量最多不能超过20万辆；2008年底至2010年底该市拥有量的年平均增长率为 【分析】（1）根据三角形三边关系求解即可； （2）设2008年底至2010年底该市拥有量的年平均增长率为x，设从2011年初起每年新增汽车数量为y万辆，然后根据题意列出一元二次方程和一元一次不等式方程并求解即可． 【详解】解：（1）设其中两条线段的长为，则第3条线段的长为，于是的取值范围是： ① 要使3条线段构成一个三角形的3条边，其充要条件是其中任意一条线段的长度小于其余两条线段的长度之和．这等价于每条线段的长度都小于，即 ② 将视为坐标系的坐标，， 而满足条件②的点在以为顶点的内， 故所求概率为 答：3条线段能构成一个三角形的三边的概率为； （2）设2008年底至2010年底该市拥有量的年平均增长率为x， 根据题意得， 解得（不合题意，舍去）， 设从2011年初起每年新增汽车数量为y万辆， 根据题意得， 解得． 答：该市每年新增汽车数量最多不能超过20万辆；2008年底至2010年底该市拥有量的年平均增长率为． 【点睛】本题考查了一元二次方程和一元一次不等式的应用、三角形三边关系和概率计算方法，解决本题的关键是掌握数形结合的思想． 题型02 几何图形面积问题（围栏/道路/图案） 考向分析：此类题型通常以“围矩形场地”、“修建十字形道路”或“设计相框”为载体。核心得分点在于根据图形特征，准确用未知数表示出目标区域的长和宽，并利用面积公式建立等式。 解题方法： 1. 画图标注：遇到不规则图形或带边框的图形，务必先画出示意图，并将已知的数值和设定的未知数标在图上。 2. 单双道/内外框处理： (1) 单边路/单边框：长、宽各减少一个路宽/边框宽。 (2) 双边十字路：长、宽各减少两个路宽；若求草坪面积，直接用（长－2x）（宽－2x）＝草坪面积。 (3) 列面积等式：核心公式S＝长×宽。若图形可分割，用“大减小”；若不可割，用“长×宽”。 答题模板： 1. 设：设所求的未知量（通常为宽度、边长）为x。 2. 表：用含x的代数式准确表示出目标图形的长和宽。 3. 列：根据等量关系“长×宽＝面积”列出方程。 4. 解：求解方程，并根据实际意义（如边长必须为正数且小于原长/宽）舍去不合理解。 1．（2026·安徽阜阳·二模）综合与实践 【项目主题】班级劳动实践小组拟用正方形和等腰直角三角形地砖铺设社区小广场． （1）【项目准备】已知图中小正方形地砖的面积为，则等腰直角三角形地砖的面积为①_____，图形中心的稍大正方形地砖的面积为②_____． （2）【项目分析】第1个图形中，小正方形的个数为，等腰直角三角形的个数为； 第2个图形中，小正方形的个数为，等腰直角三角形的个数为； 第3个图形中，小正方形的个数为，等腰直角三角形的个数为； ．．． 根据规律， 第4个图形中，小正方形的个数为③_____，等腰直角三角形的个数为④_____， （3）【项目实施】如果社区小广场是按以上方法铺设的面积为的正方形广场，则需要小正方形地砖的块数为⑤_____，等腰直角三角形地砖的块数为⑥_____． 请将上述材料中横线上所缺内容补充完整： ①_____；②_____；③_____；④_____；⑤_____．⑥_____． 【答案】①；②2；③56；④28；⑤756；⑥84 【分析】（1）根据题目条件及图形计算即可； （2）根据图片的序号与图形中的数据关系，找出规律即可； （3）由（2）中的数量关系列方程求解即可． 【详解】解：（1）图中小正方形地砖的面积为，则等腰直角三角形地砖的面积是小正方形地砖的面积的一半，为，图形中心的稍大正方形地砖的面积是小正方形地砖的面积的两倍，为； （2）第1个图形可分成4个等腰梯形， 其中1个等腰梯形中，小正方形的个数为，等腰直角三角形的个数为， 第1个图形中小正方形的个数为，等腰直角三角形的个数为； 第2个图形中小正方形的个数为，等腰直角三角形的个数为， 第3个图形中小正方形的个数为，等腰直角三角形的个数为； 第4个图形中小正方形的个数为，等腰直角三角形的个数为； （3）第个图形中小正方形的个数为，等腰直角三角形的个数为； 第1个图形的面积是， 第2个图形的面积是， 第3个图形的面积是， ．．． 第个图形的面积是， 当时，解得（负值舍去）， 当时，． 铺设该广场需要小正方形地砖的块数为756，等腰直角三角形地砖的块数为84． 2．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）某农户计划利用现有的一道墙（墙长为米），另三边用总长为米的铁丝网围成一个长方形养鸡场，其中平行于墙的一边留出米宽的门（门不用铁丝网），围成的长方形养鸡场总面积为平方米． (1)当时，养鸡场平行于墙的一边的长是多少? (2)若要保证能围成符合要求的养鸡场，且仅存在一种围法，求墙长的取值范围； (3)若农户想将养鸡场面积扩大到平方米，在铁丝网长度不变且墙足够长的条件下，能否实现?若能，求出此时垂直于墙的边的长度；若不能，请说明理由． 【答案】(1)当时，养鸡场平行于墙的一边的长是米； (2)墙长的取值范围是； (3)不能实现，理由见解析． 【分析】（）设养鸡场垂直于墙的一边的长是米，则平行于墙的一边的长是米，根据题意得，然后解方程并检验即可； （）由（）得平行于墙的一边的长是米或是米，然后分当时；当时；当时，进行讨论即可； （）设养鸡场垂直于墙的一边的长是米，则平行于墙的一边的长是米，根据题意得，整理得，由即可判断． 【详解】（1）解：设养鸡场垂直于墙的一边的长是米，则平行于墙的一边的长是米， 根据题意得， 整理得：， 解得：，， 当时，平行于墙的一边的长是，不符合题意； 当时，平行于墙的一边的长是，符合题意； 答：当时，养鸡场平行于墙的一边的长是米； （2）解：由（）得平行于墙的一边的长是米或是米， 当时，两边都不超过墙长，有种围法； 当时，两边都不超过墙长，有种围法； 当时，两边都超过墙长，无法围成； ∴墙长的取值范围是； （3）解：不能实现，理由， 设养鸡场垂直于墙的一边的长是米，则平行于墙的一边的长是米， 根据题意得， 整理得：， ∵， ∴该方程无实数根， 即围成养鸡场的面积不能达到平方米， ∴不能实现． 3．（2026·安徽芜湖·二模）综合与实践 【项目主题】 班级劳动实践小组拟用正方形和圆形两种花盆架为花卉展览设计整体轮廓为等腰直角三角形形状（虚线图形）的花卉展览架． 【项目准备】设计如图所示的花卉展览架中正方形花盆架边长为，每个正方形花盆架中放置一盆盆景，每个圆形花盆架中放置一盆花卉，同学们已经知道数学公式：（为正整数）． 【项目分析】 第1个展览架中花卉的盆数为1，盆景的盆数为3； 第2个展览架中花卉的盆数为，盆景的盆数为6； 第3个展览架中花卉的盆数为，盆景的盆数为10； 第4个展览架中花卉的盆数为，盆景的盆数为15； … 【项目实施】 按照以上规律，解答下列问题： (1)第5个展览架中花卉的盆数为__，盆景的盆数为___ (2)第（为正整数）个展览架中花卉的盆数为____，盆景的盆数为____； (3)若展览架中花卉比盆景多43盆，求展览架等腰直角三角形（虚线图形）的斜边长． 【答案】(1)29，21 (2)， (3)66米 【分析】（1）根据材料提示计算即可； （2）根据图片的序号与图形中的数据关系，找出规律即可； （3）设第x个展览架中花卉比盆景多43盆，再利用（2）中的数量关系列方程求得x的值，进而求得第10个展览架中盆景的盆数为，最后求斜边长即可． 【详解】（1）解：第1个展览架中花卉的盆数为1，盆景的盆数为； 第2个展览架中花卉的盆数为，盆景的盆数为； 第3个展览架中花卉的盆数为，盆景的盆数为； 第4个展览架中花卉的盆数为，盆景的盆数为； ∴第5个展览架中花卉的盆数为 ，盆景的盆数为 ． （2）解：第1个展览架中花卉的盆数为1，盆景的盆数为； 第2个展览架中花卉的盆数为，盆景的盆数为； 第3个展览架中花卉的盆数为，盆景的盆数为； 第4个展览架中花卉的盆数为，盆景的盆数为； 第5个图案中花卉的盆数为，盆景的盆数为 ． 第n个展览架中花卉的盆数为 ． 盆景的盆数为 ． （3）解：设第x个展览架中花卉比盆景多43盆， 由题意得 ， 整理得，解得：或（不合题意，舍去）， 当时，即第10个展览架中盆景的盆数为． 所以展览架等腰直角三角形（虚线图形）的斜边长66米． 4．（2026·上海青浦·二模）被誉为“金果子”的草莓，是青浦区乡村产业振兴的一个亮点．某草莓采摘园计划通过互联网销售草莓，需设计一款底面积为的有盖子的长方体快递包装盒，所用的材料为长，宽的长方形硬纸板．制作方法如下：在每一张纸板的四个角上分别剪去两个相同的正方形和两个相同的长方形（如方案1图所示）．然后折叠成一个有盖纸盒（盒盖与盒底大小形状相同） 为了优化设计，草莓采摘园的老板借助提出了一种改进方案（称为方案2），方案2也需要在四个角上分别剪去两个相同的正方形和两个相同的长方形．对方案2的优点给出了如下评价： 1．节省材料，成本更低：两种方案体积相同，底面积相同，但方案2表面积更小，用料更省，长期生产可降低包装成本． 2．结构更稳固：方案2底面更接近正方形，重心更稳，抗压性更好，运输时不易变形、挤压，能更好保护物品． 接下来请你帮助老板解决以下问题： (1)设方案1中剪去的正方形的边长为，求包装盒的表面积； (2)尝试在备用图中画出方案2，并通过计算说明AI对方案2“表面积最小”的评价是否准确？ 【答案】(1) (2)见详解 【分析】（1）根据图形可知剪去的长方形的长为，则包装盒的表面积=长方形硬纸板的面积-正方形面积-长方形面积； （2）根据底面积相同，可解方程得底边长宽分别为，则包装盒的表面积=长方形硬纸板的面积-正方形面积-长方形面积，即可验证方案． 【详解】（1）解：由题意可得， ，， ∴ 则剪去的长方形的长为： 则包装盒的表面积长方形硬纸板的面积正方形面积长方形面积； （2）解：∵ ，底面积等于， ∴， 解得：或（舍去）， 当时，方案1包装盒的表面积为：， ∵两种方案体积相同，底面积相同，底面更接近正方形， ∴得图 当， 时，满足条件， ∴， 则包装盒的表面积长方形硬纸板的面积正方形面积长方形面积 方案2包装盒的表面积为：， 则对方案2“表面积最小”的评价准确． 5．（2026·广东东莞·一模）项目学习 【项目主题】利用闲置硬纸板制作长方体收纳盒收纳玩具． 【项目素材】两块长为100cm，宽为40cm的长方形硬纸板． 【任务要求】 任务一：如图1，把一块长方形硬纸板的四角各剪去一个同样大小的正方形，再沿虚线折成一个无盖的长方体收纳盒． 任务二：如图2，把另一块长方形硬纸板的四角各剪去一个同样大小的长方形，再沿虚线折成一个有盖的长方体收纳盒，EF和HG两边恰好重合且无重叠部分． 【问题解决】 (1)若任务一中设计的收纳盒的底面积为，求剪去的正方形的边长为多少？ (2)若任务二中设计的收纳盒的底面积为．判断能否把一个长宽高的尺寸如图3所示的玩具车完全放入该收纳盒并盖上盖子，请简述理由． 【答案】(1) (2)不能；理由见解析． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，读懂题意，列出方程是解题的关键． （）设剪去的小正方形的边长为，由题意得，然后解方程并检验即可； （）根据题意，设收纳盒的高为，则收纳盒底面的长为，宽为，则，求出收纳盒的高长宽高，从而即可判断玩具车能否完全放入． 【详解】（1）解：（1）设剪去的小正方形的边长为，由题意得： ， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：剪去的小正方形的边长为； （2）解：根据题意，设收纳盒的高为， 则收纳盒底面的长为，宽为， ∴， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴收纳盒的高为； 收纳盒的长为，收纳盒的宽为， ∵（玩具车长小于收纳盒长），（玩具车高小于收纳盒高），但（玩具车宽大于收纳盒宽）， ∴玩具车不能完全放入该收纳盒． 6．（25-26八年级下·安徽六安·期中）某地面停车场为长方形，其面积为，共设计了如图所示的56个停车位，每个停车位的尺寸都一样，且长比宽多，通车道的宽度都相等． (1)求停车位的宽． (2)该停车场原收费6元/小时，日均运营成本为200元，高峰时段（时长为12个小时）车位全满，平峰时段（时长为12个小时）使用率为50%．现计划调整收费：每小时上涨a元，高峰时段使用率不受影响，但平峰时段使用率会降低，若调整后日均利润为8536元，求a的值． 【答案】(1)车位的宽为 (2) 【分析】（1）设停车位的宽为，则停车位的长为，然后，根据长方形停车场的平面示意图找到长方形的长和宽，运用长方形的面积=长×宽，列出方程并解方程即可； （2）根据题意找到调整收费后对应的高峰时段总收费及平峰时段总收费，根据高峰时段总收费+平峰时段总收费-运营成本=日均利润为8536元，列出关于的方程，解方程再讨论实际情况即可． 【详解】（1）解：设停车位的宽为，则停车位的长为， 根据题意，得， 整理，得，    解得，， ∵不合题意， ∴． 答：停车位的宽为；       （2）解：根据题意，得， 整理，得 ， 解得，， ∵， ∴， ∴不合题意， ∴． 题型03 营销与利润问题（进价/售价/销量） 考向分析：此类题型常以“商场促销”、“商品买卖”为背景，给出进价、售价、销量、利润之间的关系。核心得分点在于敏锐捕捉“销量的变化规律”，理清总利润的计算逻辑。 解题方法： 1. 确定基准量：明确商品原来的售价、原来的销量以及单件利润。 2. 找联动关系：题目通常会说“每涨价x元，销量就减少kx件”（或反之）。此时设涨/跌价为x，则新的销量为原销量±kx。 3. 套总利润公式：总利润＝（单次售价－单次进价）×销量。 4. 注意定义域：售价不能低于进价（除非亏本甩卖题），销量不能为负数。 答题模板： 1. 设：设涨（或降）价为x元（也可设售价为x元，视题目而定）。 2. 表：分别表示出当前的单件利润和当前销量。 3. 列：根据“单件利润×销量＝预定总利润”列出方程。 4. 解：解方程，并根据实际情况（如降价幅度不能超过进价的多少）进行取舍。 1．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）某社区为丰富居民文化生活，新建了一个图书室，初始藏书量为200册．参照以往的管理统计，当每本书的月借阅费定为6元时，所有藏书均可被借出；月借阅费每增加1元（增加费用不超过5元），未被借出的图书将增加4册；已借出的书每册月维护成本为2元（包括消毒、修补）；未被借出的书每册月仓储管理成本为1元． (1)当月借阅费为10元时，求图书的借阅量； (2)设每本书的月借阅费增加a元，写出该图书室月维护与管理成本的总和（用含a的代数式表示）； (3)若每月借阅利润为1144元，求每本书的月借阅费． 【答案】(1)184册 (2)元 (3)8元 【分析】（1）根据题意得到增加的费用，再用增加的费用得到未被借出的册数，最后，用总册数未被借出的册数=图书的借阅量即可； （2）根据每本书的月借阅费增加a元，得未被借出的图书数量为册，进而得到借出的图书数量为册，最后，运用每册月维护成本借出的图书数量未被借出的书每册月仓储管理成本未被借出的图书数量，即可得出月维护与管理成本的总和； （3）根据题意找出等量关系式：(每本书的月借阅费-每本书的维护成本)借出的图书数量-未被借出的书每册月仓储管理成本未被借出的图书数量每月借阅利润，列出关于x的方程，然后，解方程即可． 【详解】（1）解：(元)，(册)， ∴借出的图书为（册）；                        （2）解：∵每本书的月借阅费增加a元， ∴未被借出的图书数量为册， 借出的图书数量为册，则月维护与管理成本的总和为：， 整理，得  ， ∴该图书室月维护与管理成本的总和为元； （3）解：设每本书的月借阅费为x元，则该月未被借出的图书册数为， 可列方程：， 解得， 由题意，月借阅费增加不超过5元，即，解得，故舍去， ∴若每月借阅利润为1144元，则每本书的月借阅费为8元． 2．（2026·福建三明·一模）2026年是农历丙午马年，马年吉祥物深受大众喜爱，某超市购进一批马年吉祥物进行销售，每个进货价为30元，当每个售价为40元时，平均每月可售出600个，经调查发现，当售价在40元至60元范围内时，该吉祥物的售价每上涨1元，月销售量就会减少10个． (1)若售价上涨x元，平均每月销售量为y个，则y与x的函数关系式为______； (2)若超市要实现平均每月10000元的销售利润，则这种马年吉祥物的售价应定为多少元？ 【答案】(1)； (2)售价应定为50元 【分析】（1）根据“吉祥物的售价每上涨1元，月销售量就会减少10个”列函数关系式即可． （2）设售价上涨x元，根据“超市要实现平均每月10000元的销售利润”列方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意可得， ∵售价在40元至60元范围内， ∴， 则y与x的函数关系式为； （2）解法一：设售价上涨x元． 依题意得：， 解得：，． ∴当时，售价为元； 当时，售价为元， 又∵售价在40元元范围内， ∴不符合题意，舍去． ∴售价应定为50元． 解法二：设售价应定为x元． 依题意得：， 解得：，， 又∵售价在40元元范围内， ∴不符合题意，舍去． ∴售价应定为50元． 3．（25-26九年级上·四川成都·期末）某公司研制出一种新产品，每件产品成本元，销售单价定为元．为了鼓励商家购买该产品，公司决定若一次购买该产品不超过件，每件按元销售；若一次购买该产品超过件，每多购买一件，所购全部产品销售单价降低元，但销售单价均不低于元． (1)设一次购买该产品的数量为件（为正整数），销售单价为元，请写出与的函数关系式； (2)公司在商家一次购买该产品时，能否恰好获利元？若能，求出此时该产品的销售单价；若不能，说明理由． 【答案】(1)且为正整数 (2)公司能恰好获利元，此时该产品的销售单价为元 【分析】（）分，和三种情形分别解答即可； （）依据题意，结合（）分三种情况列出方程解答即可求解； 本题考查了一元二次方程的应用，一次函数的应用，理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：当时，购买数量不超过件，按原价销售， ； ∵销售单价最低为元， 令， 解得， ∴当购买数量超过件且不超过件时，单价随购买数量增加而降低， 当时，每多买件，单价降低元， ， 即； 当时，单价已降至最低元，不再继续降价， ； 综上，与的函数关系式为且为正整数； （2）解：当时，销售单价，单件利润， 当时， 解得，不在的范围内，故此情况不成立； 当时，销售单价，单件利润为， 当时， 解得， ，符合题意， ∴此时销售单价元； 当时，销售单价，单件利润， 当时， 解得， ∵购买数量必须为正整数， ∴此情况不成立； 综上，公司能恰好获利元，此时该产品的销售单价为元． 4．（25-26九年级上·重庆荣昌·期末）荣昌陶是中国三大名陶之一、我区某荣昌陶销售店有，两种陶产品，已知种产品的售价比种产品的售价多元/件,去年月份最后一周，该店销售的种产品数量与种产品数量相同，产品销售总额为元，比该周产品销售总额多元． (1)求该店、两种荣昌陶产品的销售单价各是多少元? (2)今年第一周、该店对这两种产品进行销售处理．与去年月最后一周相比，对种产品售价每降低元、销售数量将增加件，种产品单价提高元销售，销售数量没有变化．该店这两种产品的销售总额比去年月最后一周多元，该店对种产品每件售价降低多少元? 【答案】(1)种产品的销售单价是元/件，种产品的销售单价是元/件 (2) 【分析】本题考查分式方程与一元二次方程的应用，准确理解题意是解题的关键． （1）设种产品的销售单价是元/件，种产品的销售单价是元/件，根据题意，列出分式方程，求解即可； （2）令种产品每件售价降低元，则销售数量将增加件，根据题意，列出一元二次方程，求解即可． 【详解】（1）解：设种产品的销售单价是元/件，种产品的销售单价是元/件， 故可得方程， 解得，符合题意要求， 故种产品的销售单价是元/件，种产品的销售单价是元/件． （2）解：去年月、销售量为件， 令种产品每件售价降低元，则销售数量将增加件， 种产品销售量为件，种产品销售量不变，为件， 根据题意，得出方程 ， 化简得， 解得（舍去）， 故对种产品每件售价降低50元． 5．（25-26九年级上·广东清远·期末）综合与实践： 探索果园土地规划和销售利润问题 素材1： 某农户承包了一块长方形果园，如图是果园的平面图，其中米，米，准备在果园的四周铺设道路，上下两条横向道路（沿方向）的宽度都为米，左右两条纵向道路（沿方向）的宽度都为米，道路围合的中间矩形区域为种植园区（如图中阴影区域）．出于货车通行等因素的考虑，道路宽度不超过14米，且不小于7米． 素材2：该农户在种植园区种植草莓，市场调研信息：草莓培育一年可产果，若每平方米草莓的月销售利润为100元，每月可销售出5000平方米种植面积对应的草莓产量（即月销售覆盖5000平方米的种植面积）．受天气原因，农户决定降价促销，若每平方米的草莓月利润每下调1元，每月可多销售125平方米种植面积对应的草莓产量，果园每月的承包费为20000元． 问题解决 问题1 （1）种植园区的长为______米，宽为_______米；（用含的代数式表示） 问题2 （2）若种植园区的面积为44800平方米，道路设置的宽度是否符合要求？请说明理由． 问题3 （3）若农户预期一个月的总利润为552000元，为让客户得到实惠，每平方米草莓的月利润应该下调多少元？（总利润=销售利润-承包费） 【答案】（1）， （2）符合要求，理由见详解 （3）每平方米草莓的月利润应该下调48元 【分析】本题主要考查一元二次方程的运用，理解数量关系正确列式是关键． （1）根据图示，结合题意列式即可； （2）根据面积的计算，结合（1）列式求解即可； （3）设每平方米草莓的月利润应该下调元，根据数量关系列式求解即可． 【详解】解：（1）根据图示，种植园区的长米，宽为米； （2）符合要求，理由如下， ， 整理得，， 解得，，， ∵道路宽度不超过14米，且不小于7米， ∴，即道路设置的宽度符合要求； （3）设每平方米草莓的月利润应该下调元， ∴， 整理得，， 解得，，， ∵让客户得到实惠， ∴每平方米草莓的月利润应该下调48元． 6．（2025八年级上·安徽滁州·专题练习）某青年党支部在精准扶贫活动中，给结对帮扶的贫困家庭赠送甲、乙两种树苗让其栽种．已知乙种树苗的价格比甲种树苗的价格少元，用元购买乙种树苗的数量恰好是用元购买甲种树苗的数量的． (1)求甲、乙两种树苗每棵的价格各是多少元； (2)在实际帮扶中，他们决定再次购买甲、乙两种树苗，购买甲种树苗的数量与第一次相同，购买乙种树苗的数量比第一次多棵，而甲种树苗和乙种树苗均有涨价，甲种树苗的价格比第一次购买时的价格高元，乙种树苗的价格比第一次购买时的价格高元，最终发现第二次购买两种树苗的总费用比第一次购买两种树苗的总费用高元，求的值． 【答案】(1)10元；8元 (2)12 【分析】本题考查了分式的应用，一元二次方程的应用； （1）设甲种树苗每棵的价格是元，则乙种树苗每棵的价格是元，根据题意列出分式方程，解方程，并检验即可求解； （2）根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：设甲种树苗每棵的价格是元，则乙种树苗每棵的价格是元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ， 答：甲种树苗每棵的价格是元，乙种树苗每棵的价格是元； （2）解：由（1）可知，棵，棵， 由题意得：， 整理得：， 解得：，不符合题意，舍去， 答：的值为． 题型04 循环与握手问题（两两互动模型） 考向分析：此类题型多以“多人聚会握手”、“球队循环赛”、“互赠贺卡”或“网络节点通讯”为载体。核心得分点在于区分“双向互动”与“单向传递”，避免重复或遗漏计数。 解题方法： 1. 辨别互动类型： (1) 双向互动（握手、单循环赛）：甲与乙握手，乙与甲握手算同一次。总人数n，总次数为。 (2) 单向传递（互送礼物、写信、双循环赛）：甲给乙礼物，乙给甲礼物算两次。总人数n，总次数为。 2. 列方程：设总人数为n（或直接设未知量），根据上述规律列出一元二次方程。 3. 求解取整：人数或物品数必须为正整数，若解出非整数解，需结合题意四舍五入或舍去。 答题模板： 1. 设：设参与互动的总人数为n。 2. 列：判断属于“双向”还是“单向”，代入对应公式。 3. 解：运用因式分解法求解一元二次方程。 4. 验：将解代入原题检验，确保人数为正整数。 1．（25-26九年级上·湖北咸宁·期末）某次同学聚会，所有到会同学都互相握一次手，共握手45次，则参加聚会的同学共有多少人？设参加聚会的同学共有人． (1)填空：根据题意，可列方程：_； (2)我们都知道连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线，也都知道四边形的对角线有2条，多边形的对角线可以有27条吗？如果可以，求出多边形的边数；如果不可以，请说明理由． 【答案】(1) (2)多边形对角线可以有27条，即多边形的边数为9 【分析】（1）设参加聚会的同学共有人，每个人与其他个人握手，所有到会同学都互相握一次手，因此总次数为，根据共握手45次，列出方程即可． （2）设多边形的边数为，对角线数量为27，依题意可以得到方程，解方程即可． 本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握解方程是解题的关键． 【详解】（1）解：设参加聚会的同学共有人，每个人与其他个人握手，所有到会同学都互相握一次手，因此总次数为，根据共握手45次， 列出方程为：， 故答案为：． （2）解：设多边形的边数为，对角线数量为27 依题意可以得到方程 化简为 解得或 因为为正整数，所以 答：多边形对角线可以有27条，即多边形的边数为9． 2．（25-26九年级上·江西赣州·期末）请阅读下面材料，解决后面的问题： 材料一：单循环赛规则是：每个参赛队伍在比赛中只与其他队伍对决一次，例如有4支队伍参加的单循环比赛中，每支队伍需要与其他3支队伍各进行一场比赛，每支队伍要进行场比赛，这4支队伍的比赛总场次为：． 材料二：淘汰赛规则是：参赛队伍按照抽签配对比赛，失败一方被淘汰出局、胜利一方进入下一轮，每一轮淘汰掉一半队伍，直至产生最后的冠军．例如甲、乙、丙、丁四支球队进行淘汰赛过程如图所示． 材料三：足球比赛的积分规则为：胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0分． 问题一：贵州“村超”，是贵州榕江县举办的乡村足球联赛，是贵州的一张靓丽名片，在早期的一届比赛中，有一支球队参加了10场比赛，以不败战绩获积分24分，求该球队胜的场次和平的场次分别是多少？ 问题二：近几年贵州“村超”报名队伍不断增多，在某届比赛中，组织者统计发现，如果全程按照单循环赛进行，共需要进行190场比赛． ①共有多少支球队参加这场比赛？ ②因为场次太多，经研究决定采用如下方案：先把参赛队伍按照某种规则平均分成四个小组，小组内通过单循环赛确定前两名，然后把四个小组的前两名交叉配对通过淘汰赛决出冠军，这种方案共需要多少场比赛就能决出冠军？ 【答案】问题一：这支球队胜的场次是7场，平的场次是3场；问题二：①总参赛队伍为20支；②这种方案共需要47场比赛决出冠军 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，一元二次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，设这支球队胜的场次是场，则平的场次是场，列出二元一次方程组，进行解方程，即可作答． （2）先算出报名队伍是20支，再根据把参赛队伍按照某种规则平均分成四个小组，得出每个小组有5支报名队伍，算出四个小组的总比赛场数，再加上淘汰赛需要进行7场比赛，即可作答． 【详解】解：问题一：设这支球队胜的场次是场，则平的场次是场， 由题意得：， 解得：， 答：这支球队胜的场次是7场，平的场次是3场； 问题二：①设总参赛队伍为支， 由题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 即总参赛队伍为20支； ②平均分成四个小组，每组5支球队， 小组内通过单循环赛确定前两名， 小组内比赛共（场）， 把四个小组的前两名交叉配对通过淘汰赛决出冠军， 淘汰赛需（场）， 这种方案决出冠军共需要比赛（场）， 答：这种方案共需要47场比赛决出冠军． 3．（25-26九年级上·甘肃武威·期末）某学校九年级举办了一场乒乓球比赛，比赛采用单循环赛制（每两位参赛选手之间都赛1场）． 乐乐和淇淇针对这次比赛有如下对话： 假设有x人报名参加比赛． (1)根据题意，乐乐列出的方程应该是：_________________________．请利用乐乐所列的方程分析淇淇的说法是否正确； (2)乐乐补充道：本次比赛的确一共进行了40场，只是在比赛过程中遇到了特殊情况，有1人身体不适，只参加了4场比赛后就中途退赛．请直接写出此时x的值． 【答案】(1)，淇淇的说法正确 (2)10 【分析】本题考查一元二次方程的应用，理解题意是解答的关键． （1）设有x人报名参赛，根据题意列方程，然后解方程，根据方程根的情况可得结论； （2）结合设有x人报名参赛，有一人比赛了4场后退出比赛，由题意得，整理并求解即可． 【详解】（1）解：     淇淇的说法正确，理由如下： 解得：，     ∵x取正整数， ∴，均不满足实际问题，舍去 所以淇淇的说法正确． （2）解：∵有一人比赛了4场后退出比赛， 由题意得， 解得（舍去）， ∴x的值为10． 4．（25-26九年级上·河北廊坊·期中）九年级举办了乒乓球比赛，比赛采用单循环赛制（即每位参赛者与其他参赛者各比赛1场），嘉嘉说：“本次比赛一共进行了40场．”淇淇说：“你说的不对，按这个赛制不应该是40场．”设有x人报名参加比赛． (1)依据两人对话，乐乐列出方程：．请用乐乐所列方程分析淇淇的说法是否正确； (2)赛后经查询发现，因为有一人身体不适，参与4场比赛后中途退赛，所以比赛才进行了40场，求x的值． 【答案】(1)正确 (2)10 【分析】本题考查一元二次方程的应用，理解题意是解答的关键． （1）设有人报名参赛，根据题意列方程，然后解方程，根据方程根的情况可得结论； （2）结合设有人报名参赛，有一人比赛了4场后退出比赛，由题意，整理并求解即可． 【详解】（1）解：依题意，， ∴， 整理得 解得，不为整数， ∴方程的解不符合实际，按这个赛制不应该是40场， 故淇淇的说法是正确， （2）解：∵有一人比赛了4场后退出比赛， 由题意得， 整理得， ∴， 解得（舍去）， ∴x的值为． 5．（23-24九年级上·辽宁鞍山·月考）【问题提出】：某校要举办足球赛，若有5支球队进行单循环比赛（即全部比赛过程中任何一队都要分别与其他各队比赛一场且只比赛一场），则该校一共要安排多少场比赛？ 【构建模型】：生活中的许多实际问题，往往需要构建相应的数学模型，利用模型的思想来解决问题． 为解决上述问题，我们构建如下数学模型： 如图①，我们可以在平面内画出5个点（任意3个点都不在同一条直线上），其中每个点各代表一支足球队，两支球队之间比赛一场就用一条线段把他们连接起来，由于每支球队都要与其他各队比赛一场，即每个点与另外4个点都可连成一条线段，这样一共连成条线段，而每两个点之间的线段都重复计算了一次，实际只有10条线段，所以该校一共要安排10场比赛． (1)若学校有6支足球队进行单循环比赛，借助图②，我们可知该校一共要安排_______场比赛；根据以上规律，若学校有n支足球队进行单循环比赛，则该校一共要安排_______场比赛； (2)实际应用：往返于青岛和济南的同一辆高速列车，中途经青岛北站、潍坊、青州、淄博4个车站（每种车票票面都印有上车站名称与下车站名称），那么在这段线路上往返行车，要准备车票的种数为_______种； (3)书本习题变式：一个凸多边形共有14条对角线，它是几边形？是否存在有33条对角线的凸多边形？如果存在，它是几边形？如果不存在，说明得出结论的道理． 【答案】(1)15， (2)30， (3)七，不存在，见详解 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、判别式的意义、多边形的对角线的条数： （1）结合图中的数学模型，得6支足球队进行单循环比赛，即，根据以上规律，若学校有n支足球队进行单循环比赛，则，即可作答． （2）中途经过4个车站，共6个站往返行车，再根据以上规律即可得结论． （3）先设一个凸多边形共有14条对角线，它是边形，根据，解出即可作答．再设存在有33条对角线的凸多边形为边形，根据，解出即可作答． 【详解】（1）解：依题意，6支足球队进行单循环比赛，即（场）， ∵学校有n支足球队进行单循环比赛， ∴（场） 则该校一共要安排场比赛； （2）解：中途经青岛北站、潍坊、青州、淄博4个车站（每种车票票面都印有上车站名称与下车站名称）， 那么在这段线路上往返行车， 要准备车票的种数为：（种）． 故答案为：30； （3）解：依题意，设一个凸多边形共有14条对角线，它是边形， 得 ∴ 则（舍去） ∴一个凸多边形共有14条对角线，它是七边形； 不存在有33条对角线的凸多边形： 设存在有33条对角线的凸多边形为边形，且为正整数， 得 则 ∵不是整数， ∴不是整数 所以不存在33条对角线的凸多边形． 6．（2026·河北唐山·二模）我校要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排9天，每天安排5场比赛．比赛组织者应邀请多少个队参赛． 【答案】10 【分析】先根据赛程安排算出总比赛场数为场，再设邀请个 队参赛，根据题意总共的比赛场数为，列一元二次方程进行求解即可， 【详解】解：∵赛程计划安排9天，每天安排5场比赛， 总比赛场数为 场， 设比赛组织者应邀请个队参赛， 参赛的每两个队之间都要比赛一场， 比赛总场数为， 由此可得方程：， 解得 （不符合题意，舍去）， 比赛组织者应邀请10个队参赛． 题型05 数字问题与日历规律 考向分析：此类题型通常以“一个两位数的十位与个位数字之和为某值，交换位置后新数与原数的关系”为背景，或者隐藏在日历表中“相邻日期的平方和”问题。核心得分点在于掌握多位数的代数表示法以及日历的排布规律。 解题方法： 1. 两位数表示法：若一个两位数，十位数字为a，个位数字为b，则这个两位数应表示为10a＋b，而不是a＋b。这是最容易踩坑的地方。 2. 抓日历规律： (1) 同一列上下相邻两数相差7（周历）。 (2) 同一行左右相邻两数相差1。 (3) 若设中间数为x，则三个连续数可设为。 3. 还原与取舍：解出数字后，必须还原到原数中检验，确保个位和十位数字都是0~9的整数（且十位不为0）。 答题模板： 1. 设：设个位（或十位）数字 x，并用x表示出另一个数位上的数字。 2. 表：准确写出“原数＝10×十位＋个位”和“新数”的表达式。 3. 列：根据题目给出的等量关系（如“新数与原数的和/差/积”）列出方程。 4. 解：求解方程，还原数字，写出最终的原数。 1．（2026·湖北黄石·一模）如图，这是一张2026年1月的月历表．在此月历表上可以用一个正方形框任意圈出4个数（如2，3，9，10）． (1)若圈出的4个数中最小的数为x，则最大的数为________．（用含x的代数式表示） (2)在小组活动中，小丽通过计算，得到框出的4个数之和为45．小颖认为小丽一定算错了．小颖的说法正确吗？说明理由． (3)若圈出的4个数中最大的数与最小的数的乘积为105，求这4个数中最小的数． 【答案】(1) (2)小颖的说法正确，理由见解析 (3)7 【分析】（1）根据月历表的特点列式即可； （2）设圈出的4个数中最小的数为m，则其他三个数分别为，根据题意列出方程，解方程即可得到答案； （3）设圈出的4个数中最小的数为，则最大的数为，根据题意可得方程，解方程即可得到答案； 【详解】（1）解：由题意得，圈出的4个数中最小的数为，则最大的数为； （2）解：小颖的说法正确，理由如下： 设圈出的4个数中最小的数为m，则其他三个数分别为， ∵框出的4个数之和为45， ∴， 解得：， 根据题意得：m为整数， ∴不符合题意， ∴小丽一定算错了，小颖的说法正确． （3）解：设圈出的4个数中最小的数为，则最大的数为， ∴， ∴， ∴， ∴或， 解得或（舍去）， ∴这4个数中最小的数为7． 2．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）对于任意一个三位数，如果满足各个数位上的数字都不为零，且十位上的数字的平方等于百位上的数字与个位上的数字之积的4倍，那么称这个数为“如意数”．例如：，因为，所以169是“如意数”． (1)已知一个“如意数”（，其中为正整数），所满足的关系式是什么．（请直接写出关系式！） (2)小明利用（1）中“如意数”中的构造了两个一元二次方程①与②，若是方程①的一个根，是方程②的一个根，小明经探究得出结论：与的乘积是一定值．请判断小明的结论是否正确？如果正确，请求出这个定值． (3)在（2）中条件下，且，请直接写出满足条件的一个的值． 【答案】(1) (2)小明的结论正确． (3)满足条件的一个的值为121（或242或363或484） 【分析】（1）根据“如意数”的定义解答即可； （2）将代入一元二次方程得，将代入一元二次方程得，再将两边同除以得，根据两个方程都有两个相等的实数根得，从而求出； （3）由，得，．然后将代入一元二次方程得，即，再根据即可求出，结合，其中a，b，c为正整数和“如意数”的定义解答即可． 【详解】（1）解：是如意数， ； （2）解：小明的结论正确． 是一元二次方程的一个根，是一元二次方程的一个根， ， 将两边同除以得：， 将看成是方程的两个根， 方程有两个相等的实数根， ，即； （3）解：， ， ， ， 解得：， ∵，其中a，b，c为正整数， 满足条件的一个的值为121（或242或363或484）． 3．（25-26八年级下·安徽阜阳·月考）2026年4月5日是我国的传统节日清明节，又称踏青节、行清节、三月节、祭祖节等，在每年4月4日至6日之间，是祭祀、祭祖和扫墓的节日．清明节源自上古时代的祖先信仰与春祭礼俗，兼具自然与人文两大内涵，既是自然节气点，也是传统节日．清明节与春节、端午节、中秋节并称为中国四大传统节日．在本月日历表上可以用一个方框圈出4个数（如图所示）．若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为153，求这个最小数．（请用方程知识解答） 【答案】最小数为9 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用． 先根据题中图表，找到最小数与最大数之间的关系，设四个数中最小数为x，则最大数为，再根据题意，建立方程并解这个一元二次方程，最后舍去负数，即可得到结果． 【详解】解：设四个数中最小数为x，则最大数为， 由题意得：， 整理得：， ∴， 即 解得：，（舍） 答：最小数为9． 4．（25-26九年级上·四川资阳·期末）阅读下列材料： 已知实数，满足，试求的值． 解：设，则原方程变为，整理得，，，即． 上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化． 根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程． (1)已知实数，满足，则_____； (2)若，求的值； (3)若四个连续正整数的积为120，求这四个连续正整数． 【答案】(1) (2)该式的值为9 (3)2，3，4，5 【分析】本题考查了换元法，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替(即换元)，则能使复杂的问题简单化． （1）设，则，解得：，得； （2）设，则，即，解得或，由，得，即可求解； （3）设最小正整数为x，则，即：，设，则，解得：，，由x为正整数，得，解得，（舍去），即可求解． 【详解】（1）解：， 设， 则原方程变为， 整理得，，， 即． 故答案为：. （2）设， 则，， 解得：或， 由，得， 即． 故该式的值为9. （3）设最小正整数为，则， 即：， 设，则， 解得：，， 为正整数， ， ． 解得，（舍去）， ，，． 这四个连续正整数为2，3，4，5． 5．（25-26八年级下·全国·课后作业）小明同学是一位诗词爱好者，在学习了《一元二次方程及其应用》这一章后，改编了苏轼的词《念奴娇·赤壁怀古》：“大江东去，浪淘尽，千古风流人物．而立之年督东吴，早逝英年两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿同．哪位学子算得快，多少年华数周瑜？”其中蕴含着一道数学问题：周瑜在30岁时已经担任东吴的都督，去世时年龄为两位数，该数的十位数字比个位数字小3，个位数字的平方恰好等于该数．求周瑜去世时的年龄． 【答案】周瑜去世时的年龄为36岁 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，数字问题，掌握根据数字间的关系列方程，求解后结合实际意义检验根的合理性是解题的关键． 设周瑜去世时年龄的十位数字为，根据十位与个位的数量关系表示出个位数字，再根据个位数字的平方等于该两位数列方程，求解后结合30岁时担任都督的实际条件检验，确定年龄． 【详解】解：设周瑜去世时年龄的十位数字是． 依题意，得， 即，解得（不合题意，舍去），， ， ， ∴周瑜去世时的年龄为36岁． 6．（25-26八年级上·河南周口·期末）已知两个两位数，将它们各自的十位数字和个位数字交换位置后，得到两个新两位数，且这两个新两位数分别与它们对应的原数不同，若这两个两位数的乘积与交换位置后两个新两位数的乘积相等，则称这样的两个两位数为“幸福数对”，例如：，所以13和62是“幸福数对”． (1)请判断21与48是否是“幸福数对”，并说明理由； (2)有一个两位数，十位上的数字为，个位上的数字为x，另一个两位数，十位上的数字为，个位上的数字为．若这两个两位数为“幸福数对”，求出这两个两位数． 【答案】(1)21与48是“幸福数对”，理由见解析 (2)42和36 【分析】本题考查新定义的判断，运用方程解决问题，理解题意是解题的关键； （1）根据“幸福数对”的定义计算即可； （2）根据“幸福数对”的定义计算得，解方程即可． 【详解】（1）解： 21与48是“幸福数对”． 理由如下： ，． ． 与48是“幸福数对”． （2）解：由题意，各数位上的数字均为0到9的整数，且十位数字不为0， 这两个两位数，分别为，． 将它们各自的十位数字和个位数字交换位置后，得到的新两位数为，． 这两个数为“幸福数对”， ． 化简，得． 解得 ，． 经检验，符合题意， ∴这两个两位数分别为42和36． / 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