专题02 一元二次方程的解法专训10大题型（专项训练）数学新教材北京版八年级下册

专题02 一元二次方程的解法专训10大题型（解析版） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、一元二次方程的定义 1 题型二、一元二次方程的解求参 2 题型三、一元二次方程解的估算 3 题型四、选用合适的解法解一元二次方程 5 题型五、配方法的应用 6 题型六、换元法解一元二次方程 8 题型七、根据判别式判断一元二次方程根的情况 9 题型八、根据一元二次方程根的情况求参数 9 题型九、一元二次方程与几何结合问题 9 题型十、一元二次方程的新定义问题 9 B综合攻坚・能力跃升 题型一、一元二次方程的定义 1．下列方程属于一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一元二次方程“只含一个未知数、未知数最高次数为2、是整式方程”三个条件逐一判断选项． 【详解】解：一元二次方程需同时满足三个条件：只含有1个未知数，未知数的最高次数为2，是整式方程. 对各选项分析如下： A选项含有两个未知数，不满足条件，排除； B选项未知数的最高次数为1，不满足条件，排除； C选项分母含有未知数，不是整式方程，不满足条件，排除； D选项只含1个未知数，未知数最高次数为2，且是整式方程，满足一元二次方程的定义． 2．若关于x的方程是一元二次方程，则m的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元二次方程的定义，需满足两个条件：最高次项的次数为2，且二次项系数不为0，据此列等式和不等式求解即可． 【详解】解：方程是一元二次方程， ∴且， 解得且， ∴． 3．若关于x的方程是关于x的一元二次方程，则m的取值是（    ） A．任意实数 B．1或 C．1 D． 【答案】C 【分析】根据一元二次方程的定义求解，一元二次方程需满足条件，未知数最高次数为2，且二次项系数不为0，据此计算m的取值即可 【详解】解：∵关于x的方程是关于x的一元二次方程， ∴， 解得或， ∵ ∴， ∴． 4．若是关于x的一元二次方程，则k的值为______． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的定义得到未知数最高次数为2，二次项系数不为0，据此列式求解即可． 【详解】解：是关于的一元二次方程， ，且， 解得：或，， ． 题型二、一元二次方程的解求参 5．若是关于的一元二次方程的一个根，则的值为（    ） A．2024 B．2025 C．2027 D．2028 【答案】D 【详解】解：把代入方程得：， ∴， ∴． 6．若关于的一元二次方程有一解为，则一元二次方程必有一解为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将所求方程整理变形，使其与原方程结构一致，通过换元利用已知方程的解求解即可. 【详解】解：∵关于的一元二次方程有一解为 ∴ 整理所求方程 移项得 提取公因式得 令，则方程变为，与原方程结构完全相同，故该方程的一个解为 即 解得 因此所求方程必有一解为 7．若关于的一元二次方程有一根为2022，则一元二次方程必有一根为_____________． 【答案】/ 【分析】对所求一元二次方程整理变形后，利用换元法得到与已知方程形式一致的方程，结合已知方程的根求出所求方程的根即可． 【详解】解：将方程变形为， 设，则可得， ∵一元二次方程有一根为， ∴有一根为， 即， 解得， ∴一元二次方程必有一根为． 8．若m是一元二次方程的一个根，求代数式的值． 【答案】6 【分析】本题考查了一元二次方程的解，代数式求值，完全平方公式，平方差公式，准确计算是解题的关键． 首先根据根的定义得到，得到，然后利用完全平方公式，平方差公式进行计算，然后整体代入即可解答． 【详解】解：∵m是一元二次方程的一个根， ∴ ∴， ， ． 题型三、一元二次方程解的估算 9．根据表格，判断关于x的方程的一个解的范围是（   ） x 1.1 1.2 1.3 1.4 0.84 2.29 3.76 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由表格找到的值在两个相邻处分别小于和大于，则方程的解就在这两个之间． 【详解】解： 由表格可知：当时，， 当时，， 方程的一个解的取值范围为． 10．输入一组数据，按下列程序进行计算，输出结果如表： 20.5 20.6 20.7 20.8 20.9 输出 3.44 9.21 分析表格中的数据，估计方程的一个正数解的大致范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由表格可知， 当时，，即， 当时，，即， ∴时，． 11．设方程的正根介于整数与之间，则____________． 【答案】2 【分析】本题考查解一元二次方程，估算无理数的大小，熟练掌握解方程的方法是解题的关键．利用配方法解出的方程后利用夹逼法求得正根在哪两个连续整数之间即可． 【详解】解：， 移项得：， 配方得：， 即， 直接开平方得：， 解得，， ， ， ， 则， 故答案为：2． 12．根据表格对应值，判断关于的一元二次方程的一个解的范围是___________． 0 1 2 【答案】 【分析】本题考查了估算一元二次方程的近似解：用列举法估算一元二次方程的近似解，具体方法是：给出一些未知数的值，计算方程两边结果，当两边结果越接近时，说明未知数的值越接近方程的根． 利用时，，而时，可判断当时，． 【详解】解：的解，即为当时的取值， 由表知，当时，， 当时，， ∴在时，， 故答案为：． 题型四、选用合适的解法解一元二次方程 13．选择合适的方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）移项得． ∴， ∴或， 解得，． （2），，， ， 则， 解得，． 14．选择适当方法解下列方程： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)，； (2)； (3)，； (4)，． 【详解】（1）解：， ， ， 解得：，； （2）解：， ， ， ， ， 解得：； （3）解：， ， ， ， ， ， 解得：，； （4）解：， ， ， ， ， 或， 解得：，． 15．解下列一元二次方程 (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)，； (2)，； (3)，． 【分析】（1）利用因式分解法求解一元二次方程即可； （2）利用直接开平方法求解一元二次方程即可； （3）利用公式法求解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：， ， ， 解得，； （2）解：， ， ∴，， 解得，； （3）解：， ，，, ， ∴， 解得，． 16．用适当的方法解下列方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)，． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， 解得：，； （2）解：， ， ， ， 则或， 解得：，． 题型五、配方法的应用 17．我们称形如的方程为关于x的“标准二次方程”．若两个一元二次方程可以写成和的形式（和相同，），则称它们是“伙伴方程”．如与就是“伙伴方程”．已知与是伙伴方程，那么代数式能取的最大值是（　　） A．2025 B．2026 C．2027 D．2028 【答案】D 【分析】根据“伙伴方程”的定义可得可以变形，展开成一般式后根据系数相等列方程解得，，最后根据求解即可． 【详解】解：∵与是伙伴方程， ∴可以变形， 即， ∴，， 解得，， ∴， ∴代数式能取的最大值是． 18．已知为实数，，，则与的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】比较两个代数式的大小，采用作差法，对作差结果配方后，利用平方数的非负性判断差的符号，即可得到与的大小关系． 【详解】解：∵，， ∴， 去括号整理得：， 即：， ∵为实数，任意实数的平方非负，可得， ∴，即， ∴． 19．若（x、y为实数），则W的最小值为________． 【答案】3 【分析】本题考查配方法的应用，通过配方法将原式化为完全平方和的形式，利用非负数的性质求最小值即可． 【详解】解： ， ∵，， ∴，当， 时取等号， 故的最小值为； 故答案为：3． 20．把代数式通过配方等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性来增加题目的已知条件，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用． 例如：①用配方法分解因式：． 原式． ②利用配方法求最小值：求最小值． 解：，．因为不论取何值，总是非负数，即．所以，所以当时，有最小值，最小值是． 根据上述材料，解答下列问题： (1)填空：_____； (2)将变形为的形式，并求出的最小值； (3)若，，其中a为任意实数，试比较M与N的大小，并说明理由． 【答案】(1)； (2) (3)，理由见解析 【分析】本题主要考查配方法，完全平方公式，完全平方式的非负性，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）根据完全平方公式即可得到答案； （2）先将变形为的形式 （3）根据，进行判断即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：；； （2）解：， ， ， 故最小值为； （3）解：，， ， ， ， ， ． 题型六、换元法解一元二次方程 21．解方程时，令，那么换元后去分母整理得到的整式方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将原方程中对应部分用换元后的y替换，再对分式方程去分母整理得到整式方程即可解答． 【详解】解：∵令，可得 将其代入原方程得： 方程两边同乘（）去分母得：， 移项整理得：， 因此换元后整理得到的整式方程为． 22．已知，则 _________． 【答案】2 【分析】本题主要考查了换元法解一元二次方程，掌握运用换元法解一元二次方程是解题关键． 根据换元法可得一元二次方程，然后运用因式分解法解一元二次方程即可解答． 【详解】解：设， ∵ 则， ∴， 则或， ∴或（舍去）； ∴． 故答案为：2． 23．换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法，我们通常把未知数或变量称为元．所谓换元法，就是解题时，把某个式子看成一个整体，用一个新的变量去代替它，从而使得复杂问题简单化．换元的实质是转化，关键是构造元和设元． 例如：解方程组，令，． 原方程组化为，解得， 把代入，，得，解得． 原方程组的解为． (1)解方程组； (2)解方程组． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查换元法解方程组，掌握换元法的处理过程是解题的关键． （1）找出共有的式子看成整体，这里有和． （2）找出共有的式子看成整体，这里有和，也可以看成和． 【详解】（1）解：， 移项整理得，，（将移到等式左边为，再变成负号凑成共有的式子形式） 令，， 则原方程组化为， 解得， 把代入，， 得，解得， 原方程组的解为； （2）解：， 方法一：移项整理得，，即， 令，，原方程组化为， 解得， 把代入，， 得，解得， 原方程组的解为； 方法二：移项整理得，，即， 令，，原方程组化为， 解得， 把代入，， 得，解得，（这里：） 原方程组的解为． 24．请阅读下列材料： 问题：已知方程，求一个新的一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为，则，所以， 把代入已知方程，得， 化简得：，故所求方程为． 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． (1)已知方程，利用“换根法”求一个新的一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的3倍； (2)求解这个新方程的根． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）根据所给的材料，设所求方程的根为y，再表示出x，代入原方程，整理即可得出所求的方程； （2）根据配方法求解即可． 【详解】（1）解：设所求方程的根为，则，所以， 把代入已知方程，得， 化简得：， 故所求方程为； （2）解：， ， ， ， ∴，． 题型七、根据判别式判断一元二次方程根的情况 25．一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．只有一个实数根 【答案】A 【分析】当时方程有两个不相等的实数根，当时方程有两个相等的实数根，当时方程没有实数根，计算判别式的值后即可判断根的情况． 【详解】解：对于一元二次方程 ，可得系数 ，，． ∴， ∴该方程有两个不相等的实数根． 26．关于x的一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】B 【分析】计算出根的判别式，判断其符号即可得到方程根的情况． 【详解】解：对于一元二次方程， ∵，，， ∴， ∵对任意实数，都有， ∴， ∴原方程有两个不相等的实数根． 27．已知关于的方程，下列说法正确的是（   ） A．时，方程有两个相等的实数解 B．时，方程有一个实数解 C．时，方程无实数解 D．时，方程总有两个不相等的实数解 【答案】A 【分析】本题分和两种情况讨论，时方程为一元一次方程，可直接求解判断，时利用一元二次方程根的判别式判断根的情况，逐一验证选项即可． 【详解】解：分情况讨论： 当时，原方程化为，解得，有一个实数解，因此选项C错误． 当时，原方程是一元二次方程，计算根的判别式： 因此 当时， ，方程有两个相等的实数解，选项A正确． 当时， ，方程有两个不相等的实数解，因此选项B错误． 当时，，方程有两个相等的实数解，因此选项D错误． 28．已知关于的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个实数根． (2)若该方程的一个根是另一个根的3倍，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)或 ． 【分析】（1）先计算出根的判别式的值得到，然后根据根的判别式的意义即可得到结论； （2）先解方程得出，，再分两种情况：当时，当时，分别列出方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）证明：， 该方程总有两个实数根； （2）解：∵， ， 解得：，， 方程的一个根是另一个根的3倍， 当时，， 解得：； 当时，， 解得：， 综上所述，的值为或 ． 题型八、根据一元二次方程根的情况求参数 29．已知关于的一元二次方程有实数根． (1)求k的取值范围； (2)如果取符合条件的最大整数，且一元二次方程与有一个相同的根，求常数的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意可得，解之即可得到答案； （2）根据（1）所求结合题意可得，解方程可得，则是方程的一个根，把代入方程中计算求解即可． 【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴， ∴； （2）解：∵取符合条件的最大整数，且， ∴， ∴方程即为方程，即， 解得； ∵一元二次方程与有一个相同的根， ∴是方程的一个根， ∴， ∴． 30．已知方程是一元二次方程． (1)求证：不论m取何值，该一元二次方程一定有两个不相等的实数根； (2)若方程只有非负整数根，求m的值． 【答案】(1)见解析 (2)，， 【分析】（1）计算，并判断即可； （2）先解方程，然后根据方程只有非负整数根，得出或或，再分别解方程即可． 【详解】（1）证明： ， ∵， ∴， ∴不论m取何值，该一元二次方程一定有两个不相等的实数根． （2）解：解方程， ， 或， ∴，， ∵方程只有非负整数根， ∴或或， 解得或或，经检验，都符合题意． 31．已知关于的一元二次方程． (1)若，解此方程； (2)若方程没有实数根，求的最小整数值． 【答案】(1)， (2)2 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程． （1）若，则方程为：，利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）由方程没有实数根得，得到关于k的一元一次不等式，解之，然后取最小整数值即可． 【详解】（1）解：若，则方程为：， ， ∴或， 解得：，； （2）解：∵方程没有实数根， ∴， 即， 解得：， ∴的最小整数值为2． 32．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若m是正整数，方程的两个实数根都是整数，求m的值． 【答案】(1)见解析 (2)或3 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，因式分解法解一元二次方程，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据一元二次方程根的判别式计算得出，即可得证； （2）先利用因式分解法方程可得，，再结合题意分析即可得出结果． 【详解】（1）证明： ． ∵， ∴． ∴方程总有两个实数根． （2）解：∵， ∴， ∴或， 解得，． ∵m是正整数，方程的两个实数根都是整数， ∴或3． 题型九、一元二次方程与几何结合问题 33．已知关于的一元二次方程，其中，，分别为三边的长． (1)如果是方程的根，试判断的形状，并说明理由． (2)如果是等边三角形，试判断1是否是这个一元二次方程的根． 【答案】(1)是等腰三角形   见解析 (2)是 【分析】本题考查了一元二次方程的根的定义、等腰三角形与等边三角形的性质，掌握代入法验证方程根的方法和三角形边长的性质是解题的关键． （1） 将代入方程，化简后得到与的数量关系，根据等腰三角形的定义判断的形状； （2） 根据等边三角形三边相等的性质，代入方程化简，再将代入检验等式是否成立，判断是否为方程的根． 【详解】（1）解：是等腰三角形．理由如下： ∵把代入方程，得， ， ， 的形状是等腰三角形． （2）解：∵是等边三角形， ． ， ， 即． ∵是的边长， ∴， ∴． 当时，左边右边， 是这个一元二次方程的根． 34．如图是证明勾股定理时可用到的一个图形，，，是和的边长，我们把关于x的一元二次方程称为“弦系一元二次方程”，请解决下列问题： (1)请结合图形证明勾股定理，并判断关于x的“弦系一元二次方程”是否有实根？ (2)若是“弦系一元二次方程”的一个根，且四边形的周长是，求四边形的面积？ 【答案】(1)证明见解析；一定有实根 (2) 【分析】本题属于四边形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理的证明，完全平方公式及一元二次方程根的判别式等知识，解题的关键是理解“弦系一元二次方程”的定义，灵活运用所学知识解决问题． （1）利用证明，得出，进而得出，利用梯形面积公式即可得出，利用一元二次方程根的判别式可得，即可得出一定有实根； （2）把代入可得，利用勾股定理及完全平方公式得出，根据四边形的周长是，得出，根据即可得出四边形的面积． 【详解】（1）证明：由图可知，，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即． ∵， ∴， ∴一定有实根． （2）解：∵是“弦系一元二次方程”的一个根， ∴，即， ∴， ∵四边形的周长是， ∴，即， ∴， 解得：， ∴ ． 35．追本溯源：题（1）是北师大版初中数学九年级上册第57页复习题，请你完成解答，提炼方法后完成题（2）． (1)解方程时，我们可以将看成一个整体，设，则原方程可化为，解得，．当，即，解得；当，即，解得．所以原方程的解，．请你利用这种方法解方程：． (2)已知为的三边，若，请判断的形状，说明理由． 【答案】(1)， (2)直角三角形，理由见解析 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，因式分解法解一元二次方程，勾股定理的逆定理，解一元一次方程等，熟练掌握换元法解一元二次方程是解题的关键． （1）根据题中方法，设，将原方程可化为，解方程求出，；分别代入求出的值即可； （2）根据题中方法，设，求出，结合，根据勾股定理的逆定理即可求解． 【详解】（1）解:设， 得， 解得：，， 当即时，解得：； 当即时，解得：； 所以原方程的解为：，； （2）解：是直角三角形， 理由：是的三边， ， ， 设， 则原方程可化为， 解得：，（舍去）， 得． 又， ． ． 是直角三角形． 36．纸张的剪裁中蕴含着有趣的数学． 如图，将一张正方形纸片裁剪成4个形状、大小完全相同的图形，可以再拼接成形状不同的矩形．      (1)请在图2中画出一个与图1不同的裁剪方式，将正方形纸片裁剪成4个形状、大小完全相同的图形，并画出拼接后的矩形．（裁剪和拼图过程均无缝且不重叠） (2)如图3，在正方形纸片的边，，，上分别取点，，，，且．连接，，，相交于点． i．求证：垂直平分； ii．将正方形纸片沿，裁剪后，发现所得到的4个图形形状、大小完全相同．如图4，将这4个图形围成大正方形，中空的部分是一个小正方形（阴影）．若五个部分面积完全相等，猜想与的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)i．见解析；ii．，证明见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，矩形的性质，解一元二次方程，图形的拼剪，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）连接正方形的对角线，再把四个等腰直角三角形拼成矩形即可； （2）i、证明四边形是正方形即可； ii、设，（）．根据图形面积建立方程，解一元二次方程求解． 【详解】（1）解：拼剪方法如图所示： （2）i、证明：如图中，连接，，，． 四边形是正方形， ，， ， ， ， ，， 四边形是菱形， ， ， ， 四边形是正方形， 垂直平分； ii、解：结论：． 理由：设，（）． 由题意，， ∴， ∴， ∴或， ∵， ∴， ∴． 题型十、一元二次方程的新定义问题 37．对于非零实数x，y，定义如下运算：，若，则a的值为_________． 【答案】或4 【分析】本题主要考查了新定义，解一元二次方程和解一元一次方程，根据新定义可得当时，，当时，，分别解方程即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴当时，即为， 解得； 当时，即为， 解得或（舍去）， 综上所述，a的值为或4， 故答案为：或4． 38．定义新运算：规定，例如，若，则的值为___________． 【答案】 或 【分析】本题考查了新定义运算和一元二次方程的求解，解题的关键是根据新定义列出方程并准确求解． 根据新运算规则列出方程，整理为一元二次方程后，用求根公式求解． 【详解】解：由新定义，得 ， 即 ， 整理得 ． 解此一元二次方程，判别式 ， ， 解得 ，． 故答案为： 或 39．对实数a，b，定义运算“*”如下：．例如：．若，则x的值为______ 【答案】或 【分析】本题考查了实数的新定义运算，公式法解一元二次方程，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 根据新定义，转化为一元二次方程，先化为一般形式，再利用公式法求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ，，， ， ， 即，， 故答案为：或． 40．定义：符号的含义为：当时，，当时，，如：，． （1）________； （2）方程的解是________． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程，解一元一次不等式，配方法，解题的关键是正确理解定义以及熟练运用一元二次方程的解法． （1）通过比较二次函数与常数2的大小关系，利用配方法求得，从而根据定义得出结果； （2）根据与的大小关系分类讨论，分别解方程并验证解的取值范围是否符合条件． 【详解】解：（1）对于 ，需比较与2的大小， 配方法： ， 因此恒有， ∵当 时，， ∴， 故答案为：； （2）方程， 分以下两种情况讨论： ①当，即时，， 则，即， 解得， 其中符合条件，不符合条件，舍去； ②当，即 时，， 则，即， 解得， 其中 符合条件，不符合条件，舍去； 综上，方程的解为． 故答案为：． 1．（25-26九年级下·北京·月考）若关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的取值可能是（   ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【分析】一元二次方程有两个不相等的实数根时，判别式，据此求出k的取值范围，即可判断选项． 【详解】解：∵关于的方程有两个不相等的实数根， ∴该方程是一元二次方程，即，且判别式， ， 解得：， ∴k的取值范围是且，选项中只有符合该范围． 2．（25-26九年级上·北京·月考）用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为（    ） A． B． C．0 D．3 【答案】D 【分析】本题考查配方法的应用，已知字母的值，求代数式的值．通过配方法将方程化为完全平方形式，确定和的值，即可得的值． 【详解】解：∵ , ∴, ∴, ∴， ∴， ∴． 故选：D． 3．（24-25八年级下·北京·期末）对于实数，定义运算，我们把它叫做二阶行列式，例如：．若有两个不相等的实数，满足，则的值可以是（    ） A． B．20 C．202 D．2025 【答案】A 【分析】本题考查了实数的运算和一元二次方程根的判别式，熟练掌握判别式是解题的关键．根据题意得到关于的一元二次方程，然后求得根的判别式的值，再根据有两个不相等的实数，满足，求出的取值范围，再选择即可． 【详解】解：， ， 整理得， 有两个不相等的实数，满足， ，且， ，且， 只有选项A符合， 故选：A ． 4．（24-25八年级下·北京东城·期末）定义一种新运算：，，则方程的解是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题主要考查了新定义运算与一元二次方程的求解，熟练掌握新运算的定义并将其转化为常规方程是解题的关键． 根据新运算的定义，将方程左右两边分别转化为代数表达式，得到一元二次方程，然后求解． 【详解】∵，， ∴方程的左边：， 方程的右边：， ∴方程化为， 展开：， 即， 移项：， 解方程：， ∴，， 故选：A． 5．（2026九年级下·北京·专题练习）已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是________． 【答案】 且 【分析】对于一元二次方程，若方程有实数根，则根的判别式，据此列不等式求解即可. 【详解】解：∵是关于的一元二次方程， ∴. ∵该一元二次方程有实数根， ∴， 整理得， 解得， 综上，的取值范围是且. 6．（25-26九年级上·山东聊城·月考）三角形的两边长分别是3和4，第三边长是方程的根，则该三角形的周长为______． 【答案】10 【分析】本题考查解一元二次方程，解题的关键是熟练求解一元二次方程，本题属于基础题型． 根据一元二次方程的解法以及三角形三边关系即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， 当时， 由于，故能围成三角形； 三角形的周长为， 当时， 由于，故不能围成三角形， 故答案为：10． 7．（24-25八年级下·北京通州·期末）若x、y为实数，且，则___________． 【答案】 3 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，利用得出关于t的一元二次方程是解题关键，注意平方都是非负数． 通过换元法，设 ，将原方程转化为关于 的二次方程，求解并考虑非负性． 【详解】解：设 ，则 ． 原方程化为 ， 即 ． 解得 或 ． 由于 ， 故 ． 因此 ． 故答案为：3 8．（24-25八年级下·北京门头沟·期末）新定义：关于的一元二次方程与称为“同族二次方程”，例如： 与是“同族二次方程”．现有关于的一元二次方程与是“同族二次方程”，则代数式的最小值是______． 【答案】2024 【分析】此题考查了配方法的应用，非负数的性质，以及一元二次方程的定义，弄清题中“同族二次方程”的定义是解题关键．利用“同族二次方程”定义可得，再利用多项式相等的条件列出关于与的方程求解，进而利用非负数的性质确定出代数式的最小值即可． 【详解】解：关于的一元二次方程与是“同族二次方程”， ， ， ，， 解得：，， 将，代入，得， ，且 代数式的最小值是2024， 故答案为：2024． 9．（25-26八年级下·北京·课后作业）用公式法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2) 【分析】利用公式法对所给一元二次方程分别进行求解即可． 【详解】（1）解：， 化为一般形式：， ， 则， 所以，． （2）解：， ， 则， 所以． 10．（25-26八年级下·北京·课后作业）阅读下列材料： （1）将分解因式，我们可以按下面的方法解答： 解：步骤：①竖分二次项与常数项： ，． ②交叉相乘，验中间项：    ． ③横向写出两因式：． 我们将这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫做十字相乘法． （2）根据乘法原理：若，则或． 试用上述方法和原理解下列方程： ①； ②； ③； ④． 【答案】①，；②，；③，；④， 【分析】利用十字相乘法因式分解求解． 【详解】解：①， 因式分解得：， ∴或， 解得：，； ②， 因式分解得：， ∴或， 解得：，； ③， 因式分解得：， ∴或， 解得：，； ④， 因式分解得： ∴或 解得：，． 11．（25-26九年级下·北京·月考）已知关于的一元二次方程． (1)求证：此方程总有两个实数根； (2)如果此方程的两个实数根都为整数，求整数的值． 【答案】(1)见解析 (2)或、2、 【分析】（1）求出的值，再判断出其符号即可； （2）先求出x的值，再由方程的两个实数根都是整数，求出m的值即可． 【详解】（1）证明：∵是关于x的一元二次方程， ∴， ∵， ∴此方程总有两个实数根； （2）由一元二次方程的求根公式得，， ∴，， ∵、都为整数， ∴或、2、． 12．（25-26九年级上·四川成都·期末）阅读下面材料：把形如的二次三项式（或其中一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即．利用配方法可以解决某些代数式值的最小（或最大）问题． 例如：当取何值时，代数式有最小（或最大）值？ 当时，代数式有最小值2． 【直接应用】（1）请仿照上述例子解决问题：当取何值时，代数式有最小（或最大）值？ 【类比应用】（2）已知（为任意实数），判断与的大小关系，并说明理由； 【拓展应用】（3）如图，要围成一个矩形菜地，一边靠墙（墙长20米），另三边用总长36米的篱笆围成． ①请直接写出与的函数关系式及自变量的取值范围； ②当为何值时，围成的矩形菜地的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】（1）当时，代数式有最小值，最小值为；（2），理由见解析；（3）①；②当时，围成的矩形菜地的面积最大，最大面积是162平方米 【分析】本题主要考查了配方法的应用，一元一次不等式组的应用，熟知配方法是解题的关键． （1）把原代数式变形为，再仿照题意求解即可； （2）利用作差法得到，据此可得结论； （3）①根据篱笆的长度可求出对应的关系式，再根据墙的长度和x要为正数列出不等式组求出x的取值范围即可；②根据矩形的面积公式列出矩形的面积关于x的关系式，再利用配方法求解即可． 【详解】解：（1） ， ∵， ∴， ∴当，即时，代数式有最小值，最小值为； （2），理由如下： ∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）①由题意得，， ∵， ∴， ∴； ②设围成的矩形菜地的面积为S， 则 ， ∵， ∴， ∴， ∴当，即时，S有最大值，最大值为162， ∴当时，围成的矩形菜地的面积最大，最大面积是162平方米． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 一元二次方程的解法专训10大题型 目录 A题型建模・专项突破 题型一、一元二次方程的定义 1 题型二、一元二次方程的解求参 2 题型三、一元二次方程解的估算 3 题型四、选用合适的解法解一元二次方程 5 题型五、配方法的应用 6 题型六、换元法解一元二次方程 8 题型七、根据判别式判断一元二次方程根的情况 9 题型八、根据一元二次方程根的情况求参数 9 题型九、一元二次方程与几何结合问题 9 题型十、一元二次方程的新定义问题 9 B综合攻坚・能力跃升 题型一、一元二次方程的定义 1．下列方程属于一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．若关于x的方程是一元二次方程，则m的值是（    ） A． B． C． D． 3．若关于x的方程是关于x的一元二次方程，则m的取值是（    ） A．任意实数 B．1或 C．1 D． 4．若是关于x的一元二次方程，则k的值为______． 题型二、一元二次方程的解求参 5．若是关于的一元二次方程的一个根，则的值为（    ） A．2024 B．2025 C．2027 D．2028 6．若关于的一元二次方程有一解为，则一元二次方程必有一解为（    ） A． B． C． D． 7．若关于的一元二次方程有一根为2022，则一元二次方程必有一根为_____________． 8．若m是一元二次方程的一个根，求代数式的值． 题型三、一元二次方程解的估算 9．根据表格，判断关于x的方程的一个解的范围是（   ） x 1.1 1.2 1.3 1.4 0.84 2.29 3.76 A． B． C． D． 10．输入一组数据，按下列程序进行计算，输出结果如表： 20.5 20.6 20.7 20.8 20.9 输出 3.44 9.21 分析表格中的数据，估计方程的一个正数解的大致范围为（    ） A． B． C． D． 11．设方程的正根介于整数与之间，则____________． 12．根据表格对应值，判断关于的一元二次方程的一个解的范围是___________． 0 1 2 题型四、选用合适的解法解一元二次方程 13．选择合适的方法解下列方程： (1)； (2)． 14．选择适当方法解下列方程： (1) (2) (3) (4) 15．解下列一元二次方程 (1)； (2)； (3)． 16．用适当的方法解下列方程： (1) (2) 题型五、配方法的应用 17．我们称形如的方程为关于x的“标准二次方程”．若两个一元二次方程可以写成和的形式（和相同，），则称它们是“伙伴方程”．如与就是“伙伴方程”．已知与是伙伴方程，那么代数式能取的最大值是（　　） A．2025 B．2026 C．2027 D．2028 18．已知为实数，，，则与的大小关系为（    ） A． B． C． D． 19．若（x、y为实数），则W的最小值为________． 20．把代数式通过配方等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性来增加题目的已知条件，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用． 例如：①用配方法分解因式：． 原式． ②利用配方法求最小值：求最小值． 解：，．因为不论取何值，总是非负数，即．所以，所以当时，有最小值，最小值是． 根据上述材料，解答下列问题： (1)填空：_____； (2)将变形为的形式，并求出的最小值； (3)若，，其中a为任意实数，试比较M与N的大小，并说明理由． 题型六、换元法解一元二次方程 21．解方程时，令，那么换元后去分母整理得到的整式方程是（    ） A． B． C． D． 22．已知，则 _________． 23．换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法，我们通常把未知数或变量称为元．所谓换元法，就是解题时，把某个式子看成一个整体，用一个新的变量去代替它，从而使得复杂问题简单化．换元的实质是转化，关键是构造元和设元． 例如：解方程组，令，． 原方程组化为，解得， 把代入，，得，解得． 原方程组的解为． (1)解方程组； (2)解方程组． 24．请阅读下列材料： 问题：已知方程，求一个新的一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为，则，所以， 把代入已知方程，得， 化简得：，故所求方程为． 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． (1)已知方程，利用“换根法”求一个新的一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的3倍； (2)求解这个新方程的根． 题型七、根据判别式判断一元二次方程根的情况 25．一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．只有一个实数根 26．关于x的一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 27．已知关于的方程，下列说法正确的是（   ） A．时，方程有两个相等的实数解 B．时，方程有一个实数解 C．时，方程无实数解 D．时，方程总有两个不相等的实数解 28．已知关于的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个实数根． (2)若该方程的一个根是另一个根的3倍，求的值． 题型八、根据一元二次方程根的情况求参数 29．已知关于的一元二次方程有实数根． (1)求k的取值范围； (2)如果取符合条件的最大整数，且一元二次方程与有一个相同的根，求常数的值． 30．已知方程是一元二次方程． (1)求证：不论m取何值，该一元二次方程一定有两个不相等的实数根； (2)若方程只有非负整数根，求m的值． 31．已知关于的一元二次方程． (1)若，解此方程； (2)若方程没有实数根，求的最小整数值． 32．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若m是正整数，方程的两个实数根都是整数，求m的值． 题型九、一元二次方程与几何结合问题 33．已知关于的一元二次方程，其中，，分别为三边的长． (1)如果是方程的根，试判断的形状，并说明理由． (2)如果是等边三角形，试判断1是否是这个一元二次方程的根． 34．如图是证明勾股定理时可用到的一个图形，，，是和的边长，我们把关于x的一元二次方程称为“弦系一元二次方程”，请解决下列问题： (1)请结合图形证明勾股定理，并判断关于x的“弦系一元二次方程”是否有实根？ (2)若是“弦系一元二次方程”的一个根，且四边形的周长是，求四边形的面积？ 35．追本溯源：题（1）是北师大版初中数学九年级上册第57页复习题，请你完成解答，提炼方法后完成题（2）． (1)解方程时，我们可以将看成一个整体，设，则原方程可化为，解得，．当，即，解得；当，即，解得．所以原方程的解，．请你利用这种方法解方程：． (2)已知为的三边，若，请判断的形状，说明理由． 36．纸张的剪裁中蕴含着有趣的数学． 如图，将一张正方形纸片裁剪成4个形状、大小完全相同的图形，可以再拼接成形状不同的矩形．      (1)请在图2中画出一个与图1不同的裁剪方式，将正方形纸片裁剪成4个形状、大小完全相同的图形，并画出拼接后的矩形．（裁剪和拼图过程均无缝且不重叠） (2)如图3，在正方形纸片的边，，，上分别取点，，，，且．连接，，，相交于点． i．求证：垂直平分； ii．将正方形纸片沿，裁剪后，发现所得到的4个图形形状、大小完全相同．如图4，将这4个图形围成大正方形，中空的部分是一个小正方形（阴影）．若五个部分面积完全相等，猜想与的数量关系，并证明． 题型十、一元二次方程的新定义问题 37．对于非零实数x，y，定义如下运算：，若，则a的值为_________． 38．定义新运算：规定，例如，若，则的值为___________． 39．对实数a，b，定义运算“*”如下：．例如：．若，则x的值为______ 40．定义：符号的含义为：当时，，当时，，如：，． （1）________； （2）方程的解是________． 1．（25-26九年级下·北京·月考）若关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的取值可能是（   ） A．0 B． C． D． 2．（25-26九年级上·北京·月考）用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为（    ） A． B． C．0 D．3 3．（24-25八年级下·北京·期末）对于实数，定义运算，我们把它叫做二阶行列式，例如：．若有两个不相等的实数，满足，则的值可以是（    ） A． B．20 C．202 D．2025 4．（24-25八年级下·北京东城·期末）定义一种新运算：，，则方程的解是（   ） A．， B．， C．， D．， 5．（2026九年级下·北京·专题练习）已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是________． 6．（25-26九年级上·山东聊城·月考）三角形的两边长分别是3和4，第三边长是方程的根，则该三角形的周长为______． 7．（24-25八年级下·北京通州·期末）若x、y为实数，且，则___________． 8．（24-25八年级下·北京门头沟·期末）新定义：关于的一元二次方程与称为“同族二次方程”，例如： 与是“同族二次方程”．现有关于的一元二次方程与是“同族二次方程”，则代数式的最小值是______． 9．（25-26八年级下·北京·课后作业）用公式法解下列方程： (1)； (2)． 10．（25-26八年级下·北京·课后作业）阅读下列材料： （1）将分解因式，我们可以按下面的方法解答： 解：步骤：①竖分二次项与常数项： ，． ②交叉相乘，验中间项：    ． ③横向写出两因式：． 我们将这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫做十字相乘法． （2）根据乘法原理：若，则或． 试用上述方法和原理解下列方程： ①； ②； ③； ④． 11．（25-26九年级下·北京·月考）已知关于的一元二次方程． (1)求证：此方程总有两个实数根； (2)如果此方程的两个实数根都为整数，求整数的值． 12．（25-26九年级上·四川成都·期末）阅读下面材料：把形如的二次三项式（或其中一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即．利用配方法可以解决某些代数式值的最小（或最大）问题． 例如：当取何值时，代数式有最小（或最大）值？ 当时，代数式有最小值2． 【直接应用】（1）请仿照上述例子解决问题：当取何值时，代数式有最小（或最大）值？ 【类比应用】（2）已知（为任意实数），判断与的大小关系，并说明理由； 【拓展应用】（3）如图，要围成一个矩形菜地，一边靠墙（墙长20米），另三边用总长36米的篱笆围成． ①请直接写出与的函数关系式及自变量的取值范围； ②当为何值时，围成的矩形菜地的面积最大？最大面积是多少？ 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $