微专题02 解一元二次方程综合（专项训练）数学鲁教版五四制八年级下册

**基本信息** 本专项聚焦解一元二次方程综合应用，通过“解法选择-转化求解-含参探究”三阶递进，构建“观察-转化-验证”解题闭环，融合口诀与模板提升系统性。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解法最优选择|6题|“观结构定方法”口诀+四步法（看-定-解-验）|从方程结构特征到解法优先级，培养抽象能力与运算能力| |高次与分式转化|6题|换元法“换-解-代-验”四步流程|通过辅助元实现降维转化，发展模型意识与推理意识| |含参方程探究|6题|公共根设元法+判别式兜底策略|逆向运用方程根的性质，提升逻辑推理与创新意识|

微专题02 解一元二次方程综合 题型01 解法的最优选择与灵活运用 考向分析：此类题型通常给出几个结构各异的一元二次方程，要求学生用最简便的方法求解，或者在填空题中直接写出方程的解。核心得分点在于迅速洞察方程的结构特征，避开繁琐的计算（如盲目使用公式法导致计算量过大而犯错）。 解题方法： 1. 观结构，定方法：拿到方程后，先观察方程是否缺少一次项（用直接开平方法），是否为一般形式且容易配方（用配方法），是否能提取公因式或十字相乘（用因式分解法），若以上均不适用，再用公式法。 2. 抓核心，巧变形：对于带有括号的方程，切忌直接展开。若两边有公共的因式，可通过移项后提取公因式实现降次；若形如，直接开平方最快。 3. 验结果，防漏解：开平方时不要漏掉负平方根；因式分解后至少有两个一次因式等于0，确保解的个数不遗漏。 核心公式与口诀： 1. 解题选择口诀：“缺一次项，直接开方；能分解，不配方；不得已，才用公式（法）。” 2. 十字相乘法口诀：“竖分常数项，交叉验中项，横写两因式。”（针对 答题模板： 1. 看：观察方程特点（是否缺项、是否易配方、是否能分解）。 2. 定：确定最佳解法（优先顺序：直接开平方法 →因式分解法 →配方法 →公式法）。 3. 解：规范书写求解步骤，得出。 1．（25-26七年级下·河南·期中）【阅读材料】配方法除了可以求解一元二次方程外，在因式分解、求代数式最值等问题中都有广泛应用． 例如：将先利用配方法变形为的形式，再分解因式． 配方： 分解因式： 【解决问题】根据以上材料，解答下列问题： (1)利用配方法把分解因式． (2)代数式的最小值是___________（直接写答案）． (3)若、、分别是的三边，且，试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)2 (3)等边三角形，理由见解析 【分析】（1）利用配方法进行因式分解即可； （2）利用配方法和完全平方的非负性进行求解即可； （3）利用配方法和非负性进行判断即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； ∵， ∴ ； ∴代数式的最小值是2； （3）解：， ， ， ， ∴， ∴， ∴为等边三角形． 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）用公式法解下列方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)， (2)， (3) 【分析】（1）用公式法解一元二次方程即可； （2）用公式法解一元二次方程即可； （3）用公式法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：， ， 代入求根公式，得， ，； （2）将方程化为一般形式，得， ， ， 代入求根公式，得， ，； （3）， ， 代入求根公式，得：， ． 3．（2026·安徽阜阳·二模）解方程： 【答案】 【详解】解： 或 ∴． 4．（25-26八年级下·浙江温州·期中）选择适当的方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1） 解： 所以，或 所以，； （2） 解： 所以 所以，． 5．（2026·四川广元·二模）先化简，再求值∶ ，其中满足 【答案】； 【详解】解： ； 解方程 或； ，，， ， ， 原式． 6．（25-26八年级下·安徽池州·期中）解方程：． 【答案】， 【详解】解： 或 ∴， 题型02 高次与分式方程的根式求解 考向分析：此类题型通常超出了一元二次方程的表层结构，表现为分式方程（分母含有未知数）或双二次方程（含有和）。核心得分点在于通过“换元”或“去分母”，将非一元二次方程转化为一元二次方程来求解。 解题方法： 1. 寻共性，设辅助元：观察到方程中重复出现的部分（如），将其设为新的未知数t，将原方程转化为关于t的一元二次方程。 2. 求新元，回代求解：解出t的值后，切记这只是中间量，必须将其代回 t=原表达式中，再次解关于x的方程。 3. 验根基，去增根：对于分式方程，必须将求得的x代入最简公分母检验，若为0则是增根，需舍去；对于偶次根式，需注意算术平方根的非负性。 答题模板： 1. 换：找出重复部分，设辅助未知数，将高次/分式方程化为一元二次方程。 2. 解：求出辅助未知数的值。 3. 代：将辅助未知数的值代回，求出原未知数的值。 4. 验：（针对分式方程）检验并舍去增根，写出最终解集。 1．（2026·上海崇明·二模）解方程： 【答案】 【详解】解： ∴ 去分母得到，， 整理得到，， 解得或， 经检验是增根，是分式方程的解 2．（2026·上海黄浦·二模）解方程组： 【答案】， 【分析】整理后得出，解一元二次方程，再代入①解答即可； 【详解】解： ，由分式分母不为0，得， ②可化为： ， 将①代入，得 ，解得：③， 由①得，代入③得：， 整理得：， 因式分解得， 解得或， 代入①求并检验，时，；时，，两组解都满足原方程， 因此，是原方程组的解． 3．（25-26九年级下·陕西·期中）解方程： 【答案】， 【分析】先将分式方程转化为整式方程，再解整式方程，注意检验是否为原分式方程的解． 【详解】解：， 方程两边同时乘得：， 去括号得：， 移项、合并同类项得：， 解得：，， 检验：当时，， 当时，， 因此，，是原分式方程的解． 4．（25-26九年级下·福建漳州·月考）解分式方程∶ 【答案】， 【详解】解： 方程两边同时乘以，得    整理，得∶ 化简得 解这个整式方程得： ， 经检验，是原方程的根． 原方程的解为，． 5．（25-26八年级下·上海·月考）解方程组： 【答案】， 【分析】设，则化为，解该分式方程求出或，再分类讨论求解即可． 【详解】解：设，则化为， 解得或， 当时，，代入，则， 解得； 当时，，代入，， 解得， 经检验，，都是原方程组的解， ∴原方程组的解为，． 6．（25-26八年级上·上海浦东新·期末）解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程（化为一元二次）等知识点，先去分母，转化为一元二次方程求解，再验根． 【详解】解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 解得：，， 经检验使分母为0，所以是增根， 是原分式方程的根． 题型03 含参一元二次方程的特殊解探究 考向分析：此类题型是解一元二次方程的逆向升华，通常给出两个方程有“公共根”，或者已知方程有“整数解/有理根”，要求探求未知参数的值。核心得分点在于“降维打击”——将参数视为常数解出未知数，或将未知数视为常数解参数。 解题方法： 1. 聚焦公共根：若两个方程共有一个根，可设这个公共根为，将其分别代入两个方程，得到关于和参数的二元一次方程组，通过加减消元法求出或参数。 2. 因式分解探参数：若方程含有参数且要求整数根，尝试将参数分离出来，或者将原方程看作关于参数的方程，利用十字相乘法进行因式分解，进而限制未知数的取值范围。 3. 判别式兜底：若要求方程有有理根或整数根，则必须保证判别式Δ是一个完全平方数（或有理数的平方），借此列出关于参数的新方程。 答题模板： 1. 设：若是公共根问题，设出公共根。 2. 立：代入建立方程组，或者通过移项提取公因式来降次。 3. 解：求出参数或公共根的具体值。 4. 验：将求得的参数代回原方程验证，确保方程成立且符合题目要求。 1．（25-26八年级上·上海虹口·期中）已知关于的一元二次方程． (1)求证：不论为任何实数，方程总有两个不相等的实数根． (2)若方程两个实数根的平方和等于5，求的值及方程的两根． 【答案】(1)见解析 (2)，根为，；或，根为1，2 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式和根与系数的关系（韦达定理），掌握根的判别式的计算及应用和根与系数的关系，并灵活转化是解题关键． （1）根据根的判别式与0的关系判断即可； （2）先将平方和转化为，再通过根与系数的关系（韦达定理），得到关于m的方程，解出m，并求出方程的根即可． 【详解】（1）证明：， 不论为任何实数，方程总有两个不相等的实数根； （2）解：设方程的两根为， 由韦达定理可知，， 方程两个实数根的平方和等于5，即， 又， ∴， 整理，得， 解得或， 当时，方程为，解得； 当时，方程为，解得； 综上，，根为，；或，根为1，2． 2．（25-26九年级上·重庆永川·期中）已知关于m的一元二次方程． (1)判断此方程根的情况； (2)等腰的两边、的长是方程的两个实数根，第三边的长为6，求m的值． 【答案】(1)方程有两个实数根 (2) 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式以及等腰三角形的性质，理解根的判别式是解题的关键． （1）根据一元二次方程根的判别式的值来确定； （2）先求解方程的根，再根据等腰三角形的性质和三角形三边关系来确定的值 【详解】（1）解：一元二次方程中， ，， ， ∵， 即， ∴，当时，， 方程有两个相等的实数根； 当时，， 方程有两个不相等的实数根． 方程有两个实数根． （2）方程，化为， ∴或， 解得， 当时，即， 那么， 此时三角形三边为3，3，6， ∵， 不满足三角形三边关系，舍去； 当或时，即， 此时三角形三边为3，6，6，满足三角形三边关系， ∴的值为6． 3．（25-26九年级上·湖南永州·期中）若关于x的一元二次方程的根均为整数，则称方程为“快乐方程”，通过计算发现，任何一个“快乐方程”的判别式一定为完全平方数，现规定为该“快乐方程”的“快乐数”，例如“快乐方程”，的两根均为整数，其“快乐数．若有另一个“快乐方程”的“快乐数”，且满足，则称与互为“开心数”． (1)“快乐方程”的“快乐数”为______． (2)若关于x的一元二次方程（m为整数，且）是“快乐方程”，求m的值； (3)已知关于x的一元二次方程与（n为整数）都是“快乐方程”，它们的“快乐数”互为“开心数”，求n的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查一元二次方程的整数根与有理根，解答本题的关键是熟练运用“快乐方程”的定义解决问题； （1）按照快乐数公式即可求解； （2）按照快乐数公式即可求解； （2）由，求出的值，再由，求出，，，建立方程求解即可． 【详解】（1）解：方程：的“快乐数，，； 故答案为：； （2）解：关于的一元二次方程，△， ，即：， 或36， ，（舍去）； （3）解：， ； ， ， ，，， 依题意得： ， 解得：或（不合题意）， n的值3． 4．（25-26八年级上·上海·期中）已知关于的方程有两个不同的实数解，求：的取值范围． 【答案】且或且 【分析】本题主要考查了分式方程，一元二次方程根的判别式，解不等式，解题的关键是熟练掌握相关内容．根据方程根的情况确定判别式的取值范围，从而得出参数的取值范围． 【详解】解：原方程两边同时乘以得，， 整理得，， ． 关于的方程有两个不同的实数解， ， 即， ， 解得，或， 又， 即且， ， 化简整理得，， 且． 综上，的取值范围是且或且． 5．（25-26九年级上·甘肃定西·月考）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，求的取值范围． 【答案】且． 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，方程是一元二次方程，，一元二次方程有两个不相等实数根，根的判别式. 【详解】解：依题意，得： ∴， 解得：， ∵， ∴且. 6．（2023九年级·全国·竞赛）为实数，关于的方程有三个不等的实数根． (1)求证：； (2)若该方程的三个不等实根恰为一直角三角形的三条边，求和的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查绝对值方程，一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系及判别式，勾股定理，掌握知识点是解题的关键． （1）先推导出，，由原方程有三个根，得到方程①，②中有一个方程有两个不等实数根，另一个方程有两个相等实数根，根据，即可解答； （2）根据方程①中的两根中必有一个大于方程②中的，而另一个小于，则，，，由勾股定理，得，继而推导出，将代入得到 ，求出，分类讨论，判断是否符合题意，即可解答． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ， ， ∵原方程有三个根， ∴方程①，②中有一个方程有两个不等实数根，另一个方程有两个相等实数根， 即或中必有一个大于0，一个等于0， ∵， ∴． （2）方程①中的两根中必有一个大于方程②中的，而另一个小于， ∴， 设， 则， 即， 由勾股定理，得 ， 即， ∴ 整理得：， 由（1）有，代入上式得 ， ∴． 当时，，这与题目中方程的根是直角三角形的边矛盾， ∴． 把代入中，得 ． 故． / 学科网（北京）股份有限公司 $学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 微专题02解一元二次方程综合 题型01解法的最优选择与灵活运用 解一元二次方程综合 题型02高次与分式方程的根式求解 题型03含参一元二次方程的特殊解探究 00 2 点兔破 题型01解法的最优选择与灵活运用 啸方法 考向分析：此类题型通常给出几个结构各异的一元二次方程，要求学生用最简便的方法求解，或者在填 空题中直接写出方程的解。核心得分点在于迅速洞察方程的结构特征，避开繁琐的计算（如盲目使用公 式法导致计算量过大而犯错)。 解题方法： 观结构，定方法：拿到方程后，先观察方程是否缺少一次项（用直接开平方法），是否为一般形式且容 易配方（用配方法），是否能提取公因式或十字相乘（用因式分解法），若以上均不适用，再用公式 法。 抓核心，巧变形：对于带有括号的方程，切忌直接展开。若两边有公共的因式，可通过移项后提取公因 式实现降次：若形如(c+a=b(b≥0)，直接开平方最快。 验结果，防漏解：开平方时不要漏掉负平方根：因式分解后至少有两个一次因式等于0，确保解的个数 不遗漏。 核心公式与口诀： 解题选择口诀：“缺一次项，直接开方；能分解，不配方；不得已，才用公式（法）。” 十字相乘法口诀：“竖分常数项，交叉验中项，横写两因式。”（针对 x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)=0 答题模板： 看：观察方程特点（是否缺项、是否易配方、是否能分解）。 定：确定最佳解法（优先顺序：直接开平方法→因式分解法→配方法→公式法）。 解：规范书写求解步骤，得出xx。 (25-26七年级下·河南期中)【阅读材料】配方法除了可以求解一元二次方程外，在因式分解、求代 1/5 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 数式最值等问题中都有广泛应用， 例如：将2-6x+8先利用配方法变形为a(+m+”的形式，再分解因式. 配方：x2-6x+8 =x2-6x+32-32+8 =(x-3)-1 分解因式：x2-6x+8 =(x-3)2-1 =(x-3+1)(x-3-1) =(x-2)(x-4) 【解决问题】根据以上材料，解答下列问题： (1)利用配方法把x-2x-35分解因式. 2+y2+4x-6y+15 (2)代数式 的最小值是 (直接写答案)· (3)若a、b、c分别是△ABC的三边，且a2+2b2+3c2-2ab-2b-6c+4=0,试判断△ABC的形状，并说 明理由. 2.(25-26八年级下·全国课后作业)用公式法解下列方程： 3 2+4x-1=0, 6x2-4=3x (2) 3x2+6x-1=0 (3) 3.(2026安徽阜阳二模)解方程：x2-2x-3=0 4.(25-26八年级下浙江温州期中)选择适当的方法解下列方程： 2x2-3x=0 1)1 2)-4r+3=0 215 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 x2-4x-2,x2-x 5。(2026四川广元二模)先化简，再求值：+4r+4+2x+x-,其中x满足x-4r+3=0. (2x-1)2=3(1-2x) 6. (25-26八年级下·安徽池州期中)解方程： 题型02高次与分式方程的根式求解 啸方法 考向分析：此类题型通常超出了一元二次方程的表层结构，表现为分式方程（分母含有未知数）或双二 次方程（含有x和x2)。核心得分点在于通过“换元”或“去分母”，将非一元二次方程转化为一元二 次方程来求解。 解题方法： 寻共性，设辅助元：观察到方程中重复出现的部分（如G,),将其设为新的未知数，将原方程转 化为关于t的一元二次方程。 求新元，回代求解：解出t的值后，切记这只是中间量，必须将其代回原表达式中，再次解关于x的 方程。 验根基，去增根：对于分式方程，必须将求得的x代入最简公分母检验，若为0则是增根，需舍去；对 于偶次根式，需注意算术平方根的非负性。 答题模板： 换：找出重复部分，设辅助未知数，将高次分式方程化为一元二次方程。 解：求出辅助未知数的值。 代：将辅助未知数的值代回，求出原未知数的值。 验：（针对分式方程）检验并舍去增根，写出最终解集。 山2026上海崇明二模)解方程：Xx+6x一3 [x+y=3, 2.(2026:上海黄浦·二模)解方程组： 1+1-3 [x y 2 3。(2520九年级下陕西期中)解方程：X十25-片2 1 x-2 （2526九年级下福建清州月考)解分式方程：2+14。 x x2-4 315 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 y+3x=4 x y 5.(25-26八年级下·上海月考)解方程组： 2x+y=3 x-1 6.(25-26八年级上·上海浦东新期末)解方程：x2-4 +13 x+2: 题型03含参一元二次方程的特殊解探究 啸方法 考向分析：此类题型是解一元二次方程的逆向升华，通常给出两个方程有“公共根”，或者已知方程有 “整数解/有理根”，要求探求未知参数的值。核心得分点在于“降维打击”一一将参数视为常数解出未 知数，或将未知数视为常数解参数。 解题方法： 聚焦公共根：若两个方程共有一个根，可设这个公共根为。，将其分别代入两个方程，得到关于。和参 数的二元一次方程组，通过加减消元法求出或参数。 因式分解探参数：若方程含有参数且要求整数根，尝试将参数分离出来，或者将原方程看作关于参数的 方程，利用十字相乘法进行因式分解，进而限制未知数的取值范围。 判别式兜底：若要求方程有有理根或整数根，则必须保证判别式△是一个完全平方数（或有理数的平 方)，借此列出关于参数的新方程。 答题模板： 设：若是公共根问题，设出公共根。 立：代入建立方程组，或者通过移项提取公因式(x-)来降次。 解：求出参数或公共根的具体值。 验：将求得的参数代回原方程验证，确保方程成立且符合题目要求。 2+(2m+1)x+m2+m=0 1.(25-26八年级上上海虹口期中)已知关于x的一元二次方程 (1)求证：不论m为任何实数，方程总有两个不相等的实数根. (2)若方程两个实数根的平方和等于5，求m的值及方程的两根， 2.(25-26九年级上重庆永川期中)已知关于m的一元二次方程x2-(m+3x+3m=0. (1)判断此方程根的情况： (2)等腰△ABC的两边AB、AC的长是方程x2-(m+3x+3m=0的两个实数根，第三边BC的长为6， 求m的值. 415 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 x2+bx+c=0(a≠0) 3.(25-26九年级上湖南永州期中)若关于x的一元二次方程 的根均为整数，则称 方程为“快乐方程”，通过计算发现，任何一个“快乐方程”的判别式b-4c一定为完全平方数，现 规定F(a,b,c)=4ac-b2 4a一为该“快乐方程”的“快乐数”，例如“快乐方程”x2-3x-4=0?的两根均 4×1×(-4)-（-3)225 为整数，其“快乐数F(1,-3,-4)= 4×1 4.若有另一个“快乐方程” px2+9x+r=0(p≠0 的“快乐数F(D9, ,且满足Fa,bc)cF(g,）,则称F(ac)与 F(p,）互为“开心数”. (1)“快乐方程”x2-2x-3=0的“快乐数”为一 2-(2m-1)x+m2-2m-3=0 (2)若关于x的一元二次方程 (m为整数，且<m<6)是“快乐方程”， 求m的值： 8已知关于x的一元二次方程-5x+6=0与-(a+2)x+2m=0 (n为整数)都是“快乐方程”，它 们的“快乐数”互为“开心数”，求n的值. 53x3k 4.(25-26八年级上上海期中)已知关于x的方程-x+x+1x2一i有两个不同的实数解，求：k的取 值范围。 5.（25-26九年级上·甘肃定西月考)已知关于'的一元二次方程mx+(2m+x+m-1=0 有两个不相等的 实数根，求m的取值范围. 6.(2023九年级全国竞赛)、b为实数，关于*的方程+a+-2 有三个不等的实数根， (1)求证：a2-4b-8=0: (2)若该方程的三个不等实根恰为一直角三角形的三条边，求a和b的值. 5/5