考点02 解一元二次方程（专项训练）数学新教材浙教版八年级下册

02 解一元二次方程 考点一：直接开方法解一元二次方程 1、直接开方法求的一元二次方程： 由平方根的定义可知： ①时，一元二次方程有 2 个 不相等 的实数根，分别是 或 。他们互为 相反数 。 ②当时，一元二次方程有 2 个 相等 的实数根，即 。 ③当时，一元二次方程 没有 实数根。 2、直接开方法解的一元二次方程： 同样由平方根的定义可知： ①当时，一元二次方程有 2 个 不相等 的实数根。方程开方降次得到一元一次方程或。所以它的两个实数根分别是 或 。 ②当时，一元二次方程有 2 个 相等 的实数根。方程开方降次得到一元一次方程，所以一元二次方程的两个实数根为 。 ③当时，一元二次方程 没有 实数根。 考点二：配方法解一元二次方程 1、配方法的定义： 将一元二次方程化成的形式在利用直接开方法解一元二次方程的方法。 2、配方法解一元二次方程的具体步骤： ①将方程化成 一般式 。 ②将 二次项 系数化为 1 。方程的左右两边同时除以 二次项系数 或乘以二次项系数的 倒数 。且将 常数项 移到等号的右边。 ③方程的左右两边同时加上 一次项系数的一半的平方 。 ④把方程的左边写成 完全平方式 ，右边是一个常数。 ⑤根据直接开方法解方程。 考点三：配方法求二次三项式的最值 1、配方法求二次三项式的最值： 利用配方法将二次三项式化成的形式判断二次三项式的最值为。若，则为二次三项式的 最小值 ；若，则为二次三项式的 最大值 。 2、具体步骤： ①提公因式，即提 二次项系数 。 ②配方，在一次项系数后面加上 一次项系数一半的平方 ，为了式子的值不发生变化，在减去 一次项系数一半的平方 。 ③将式子写成 的形式。注意拿到括号外的常数项一定要先乘以再拿出来。 考点四：利用公式法解一元二次方程——求根公式 1、求根公式： 由可知， 。 。我们把它叫做一元二次方程的求根公式。 ①时，一元二次方程有两个不相等的实数根。即 ； 。 ②时，一元二次方程有两个相等的实数根。即 。 ③时，一元二次方程没有实数根。 2、公式法解一元二次方程的步骤： ①将一元二次方程化成 一般形式 ，并确定 的值。 ②计算 的值，确定一元二次方程的根的情况。 ③根据根的情况把的值带入相应的求根公式求解。 考点五：利用因式分解法解一元二次方程 1、 因式分解的方法： ①提公因式法： ； ②公式法：平方差公式： ； 完全平方公式： ； ③十字相乘法：分解，若且，则 。 2、 因式分解法解一元二次方程的步骤： ①将一元二次方程的右边全部移到左边，使其右边为 0 。 ②对方程的左边进行 因式分解 ，使其成为两个整式的积的形式。 ③别分令两个整式为 0 ，得到两个一元一次方程。 ④解这两个一元一次方程，一元一次方程的解合起来就是一元二次方程的解。 考点六：整体法或换元法解一元二次方程 1、 整体法或换元法： 在解一元二次方程时，有时候会把含有未知数的一个式子看作一个整体，然后用一个简单的字母表示，起达到方程简化的目的，在解其方程的方法叫做整体法或换元法。 题型一：直接开方法解一元二次方程 1. 将方程化为或的形式。 2. 当 ( p > 0 ) 时，方程有两个不相等的实数根：或。 3. 当 ( p = 0 ) 时，方程有两个相等的实数根：( x = 0 ) 或 ( ax + b = 0 )。 4. 当 ( p < 0 ) 时，方程在实数范围内无解。 1. 开方时忘记“±”号，只写一个根。 2. 忽略 ( p ) 的符号，直接开方导致结果错误。 3. 形如开方后得到，忘记考虑移项符号。 4. 计算时未化简。 1．（24-25八年级下·浙江金华·期末）用直接开平方法解下列一元二次方程，其中无解的方程为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据方程，其中，才能用直接开平方法解答判断即可． 本题考查了一元二次方程的直接开平方法解方程，熟练掌握方法使用的条件是解题的关键． 【详解】解：A. ，有解，不符合题意；     B. 即，有解，不符合题意； C.     即，有解，不符合题意； D. 即，负数，无解，符合题意； 故选：D． 2．（24-25九年级下·浙江温州·开学考试）方程的解为______． 【答案】， 【分析】本题考查一元二次方程的解法，利用直接开平方法即可求解． 【详解】解：， ∴， ∴，， 故答案为：，． 3．（25-26八年级上·浙江·假期作业）用开平方法解下列一元二次方程： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】本题考查了直接开平方法解一元二次方程． （1）先通过移项得，再将系数化为1得，最后开方得出结果； （2）将式子直接开方即可得出结果； （3）先移项得，再开方得，最后即可得出结果； （4）两边同时开方得，分别解出两个式子的值即可得出结果． 【详解】（1）解：， ， ， ， 解得，． （2）解：， ， 解得，． （3）解：， ， ， 解得，． （4）解：， ， ∴或， 解得，． 4．（25-26八年级上·浙江宁波·开学考试）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程． （1）利用直接开平方法解方程即可求解． （2）利用直接开平方法解方程即可求解． 【详解】（1）解： ∴， ∴． （2）解： ∴， ∴． 5．（24-25七年级下·全国·课后作业）求下列各式中x的值： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查直接开方法解一元二次方程，掌握直接开方的计算方法是解题的关键． （1）先移项，再直接开方，即可求解； （2）先移项，再直接开方，即可求解； （3）先移项，再直接开方，即可求解． 【详解】（1）解：， 移项得，， ∴， 直接开方得，． （2）解：， 移项得，， 直接开方得，或， ∴． （3）解：， 直接开方得，或， ∴． 题型二：因式分解法解一元二次方程 1. 将方程化为的一般形式。 2. 将左边分解因式，常见方法：提公因式、公式法（平方差、完全平方）、十字相乘法。 3. 化为 ( (mx + p)(nx + q) = 0 ) 的形式。 4. 令每个因式等于0，得 ( mx + p = 0 ) 或 ( nx + q = 0 )，解出各根。 5. 注意：若分解后出现相同因式，则两个根相等。 1. 分解因式不彻底，如只提 ( x ) 得 ( x(x - 4) = 0 )，未继续化简。 2. 十字相乘法符号判断错误。 3. 两边同时除以含未知数的式子，导致漏根（如两边除以 ( x ) 漏掉 ( x = 0 )）。 4. 方程未化为0就直接分解因式。 1．（25-26八年级上·浙江·假期作业）解方程：，_______ 【答案】，． 【分析】本题考查了用因式分解法解一元二次方程．先将方程分解为，再根据“若两个因式的积为0，则至少一个因式为0”，分别求解两个一次方程，即可得到方程的解． 【详解】解：， 因式分解得， 则或， 解得，． 故答案为：，． 2．（25-26八年级上·浙江·假期作业）解下列一元二次方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的一般方法，是解题的关键． （1）用因式分解法解一元二次方程即可； （2）用因式分解法解一元二次方程即可； （3）先将方程变为一般形式，然后用因式分解法解一元二次方程即可； （4）先移项，然后用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：， 因式分解得：， ∴或， 解得：，； （2）解：， 因式分解得：， ∴或， 解得：，． （3）解：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 因式分解得：， ∴或， 解得：，． （4）解：， 移项得：， 因式分解得：， 即， ∴或， 解得：，． 3．（25-26八年级上·浙江·假期作业）解下列一元二次方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握因式分解的几种方法． （1）先移项，再对等号左边提取公因式进行因式分解，再解方程即可； （2）先移项，再对等号左边运用平方差公式进行因式分解，再解方程即可； 【详解】（1）解： 或 ∴． （2）解： 或 ∴． 4．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）解一元二次方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查解一元二次方程，涉及因式分解法解一元二次方程等知识，熟练掌握因式分解法解一元二次方程，是解题的关键． （1）由提公因式因式分解法直接求解即可得到答案； （2）由十字相乘因式分解法直接求解即可得到答案． 【详解】（1）解：， 因式分解，得， ∴或, ∴； （2）解：， 因式分解，得， ∴或， ∴． 5．（25-26八年级上·浙江·假期作业）解下列一元二次方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法． （1）对等号左边提取公因式进行因式分解，即可解方程； （2）对等号左边运用平方差公式进行因式分解，即可解方程； （3）对等号左边运用平方差公式进行因式分解，即可解方程； （4）先化为一般式，再对等号左边提取公因式进行因式分解，即可解方程． 【详解】（1）解：， ， 或， ∴，； （2）解：， ， 或， ∴，； （3）解： 或 ∴，； 即：， （4）解： 或 ∴，． 题型三：配方法解一元二次方程 1. 将方程化为的形式，若，先将二次项系数化为1：方程两边同除以 ( a )。 2. 将常数项移到等号右边：。 3. 配方：两边加上一次项系数一半的平方，即。 4. 左边写成完全平方形式：。 5. 用直接开方法求解。 1. 配方时漏加或加错常数项，如忘记两边同时加。 2. 二次项系数化为1时，只除左边，忘记右边也除。 3. 配方后右边通分错误。 4. 开方后符号错误或漏解。 1．（25-26八年级上·浙江·假期作业）用配方法解下列一元二次方程： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程．配方法的关键是在方程两边加上一次项系数一半的平方，将方程左边配成完全平方式，然后利用直接开平方法求解． 【详解】（1）解：， ， ， 解得，． （2）解：， ， ， ， 解得，． （3）解：， ， ， ， 解得，． （4）解：， ， ， ， 解得，． 2．（25-26八年级上·浙江·假期作业）用配方法解下列一元二次方程： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程．配方法的关键是在方程两边加上一次项系数一半的平方，将方程左边配成完全平方式，然后利用直接开平方法求解． （1）（2）（3）（4）分别利用配方法求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， 解得，． （2）解：， ， ， ， 解得，． （3）解：， ， ， ， 解得，． （4）解：， ， ， ， 解得，． 3．（25-26八年级上·浙江·假期作业）用配方法解下列一元二次方程： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2)， (3)， 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，解题的关键是掌握配方法的一般步骤：①把二次项的系数化为1；②把常数项移到等号的右边；③等式两边同时加上一次项系数一半的平方；④再直接开平方求解． （1）（3）直接按照配方法解一元二次方程的步骤求解即可； （2） 先化为一般式，再按照配方法解一元二次方程的步骤求解即可 【详解】（1）解： 解得； （2）解： ， ， ， ， 解得：，． （3）解： 解得：，． 4．（25-26八年级上·浙江·假期作业）用配方法解方程： (1)． (2) (3) 【答案】(1)， (2)， (3)， 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，解题的关键是掌握配方法的一般步骤：①把二次项的系数化为1；②把常数项移到等号的右边；③等式两边同时加上一次项系数一半的平方；④再直接开平方求解． （1）（3）直接按照配方法解一元二次方程的步骤求解即可； （2） 先化为一般式，再按照配方法解一元二次方程的步骤求解即可． 【详解】（1）解： ， ， ， ， ， ∴，． （2）解： ， ， ， ， 解得：，； （3）解： 解得：， 5．（25-26八年级上·浙江·假期作业）用配方法解下列一元二次方程： (1) (2) (3) 【答案】(1)， (2)， (3)， 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，解题的关键是掌握配方法的一般步骤：①把二次项的系数化为1；②把常数项移到等号的右边；③等式两边同时加上一次项系数一半的平方；④再直接开平方求解． 据此步骤分别求解以下方程即可． 【详解】（1）解： ， ， 或 解得：，； （2）解： ， ， 或． 解得：，； （3）解： 解得：，． 题型四：求根公式法解一元二次方程 1. 将方程化为一般式（）。 2. 计算判别式。 3. 若，方程无实数根。 4. 若，代入求根公式： 5. 化简结果，写出两根。 1. 代入公式时符号错误，特别是 ( b ) 的符号。 2. 判别式计算错误，尤其是 ( 4ac ) 的符号。 3. 化简时错误，如未化成。 4. 忘记的条件。 1．（25-26九年级上·重庆铜梁·期中）用公式法解一元二次方程时，首先要确定a，b，c的值，下列选项正确的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的定义，将方程化为一般形式后确定、、的值． 【详解】解：∵原方程为，移项得， ∴，，． 故选：D． 2．（25-26九年级上·新疆·期末）若一个一元二次方程的根为， 则该一元二次方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的求根公式， 通过比较给定根表达式与求根公式，确定二次项系数a、一次项系数b和常数项c的值，从而得到方程． 【详解】解：∵一元二次方程求根公式为 ， 给定根为， ∴，故， ，故， 又， ∴，代入，得，即，故， 因此方程为， 即， 故选：C． 3．（25-26八年级上·浙江·假期作业）用公式法解方程： (1)． (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】（）利用公式法解答即可求解； （）利用公式法解答即可求解； 本题考查了解一元二次方程，掌握公式法是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴， ∴，； （2）解：∵，，， ∴， ∴， ∴，． 4．（25-26八年级上·浙江·假期作业）用公式法解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（）利用公式法解答即可求解； （）利用公式法解答即可求解； 本题考查了解一元二次方程，掌握公式法是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴， ∴，； （2）解：∵，，， ∴， ∴， ∴，． 5．（25-26八年级上·浙江·假期作业）下面分别是甲、乙两位同学解方程的过程． 甲同学 解： 第一步 第二步 乙同学 解：∵ 第一步 ∴  第二步 ∴ 第三步 即， 第四步 (1)甲、乙两位同学的解题过程都出现了错误，甲同学是第 步开始出现错误，乙同学是第 步开始出现错误； (2)从两个方程中任选一个进行正确解答． 【答案】(1)一，一 (2)选甲：方程的解为；选乙：方程的解为 【分析】（）根据解答过程判断即可求解； （）选甲的方程：利用因式分解法直接解答即可；选乙的方程：先把方程转化为一般式，再利用公式法解答即可； 本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 【详解】（1）解：甲同学第一步开始出现错误，漏了的情况；乙同学第一步开始出现错误，没有把方程转化为一般式，误得到， 故答案为：一，一； （2）解：选甲的方程： ∵， ∴， ∴， 即， ∴或， ∴，； 选乙的方程： ∵， ∴， ∴，，， ∴， ∴， ∴，． 题型五：整体换元法解一元二次方程 1. 观察方程结构，找出重复出现的整体部分，设为新变量（如设，等）。 2. 将原方程转化为关于 ( t ) 的一元二次方程。 3. 解出 ( t ) 的值。 4. 将 ( t ) 回代，得到关于 ( x ) 的方程。 5. 解出 ( x )，并检验是否使原方程有意义。 1. 换元后忘记回代，只求出 ( t )。 2. 回代后得到 ( x ) 的方程解错。 3. 换元时忽略定义域，如需满足。 4. 设元不恰当，导致方程更复杂。 1．（24-25八年级下·浙江嘉兴·期末）已知关于x的方程（a，m，k均为常数，且）的两个解是，，则方程的解是（    ）． A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程. 根据题意把看做一个整体，根据方程的解，可得或，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵关于的方程（a，m，k均为常数，且）的两个解是，， ∴方程的解满足或， 解得，， 故选：B． 2．（25-26八年级上·浙江宁波·自主招生）已知关于的方程有________个实数根． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查换元法解一元二次方程，通过换元法将高次方程转化为二次方程，利用判别式求解，再根据平方的非负性判断实数根个数． 【详解】解：令，则原方程化为． ∵判别式． ∴， 解得，． 由，知有两个实数根，无实数根． 因此原方程有2个实数根． 故选：B． 3．（19-20八年级下·浙江温州·期中）已知：，那么_________． 【答案】5 【分析】本题主要考查了换元法和因式分解法解一元二次方程，设，将已知方程转化为关于的新方程，通过解新方程得到即的值． 【详解】解：设，则． 整理，得． 解得或（舍去）． 所以． 故答案为：5． 4．（24-25八年级下·浙江温州·期中）已知方程的解是，，则方程的解是______． 【答案】， 【分析】本题考查了利用换元法解一元二次方程：把看作一个整体，利用已知方程的解得到所解方程的解．把方程看作关于的一元二次方程，然后根据题意得到或，再解两个一次方程即可． 【详解】∵方程的解是，， ∴方程的解为或， 解得，，， 故答案为：，． 5．（25-26八年级上·浙江·假期作业）换元法是数学中非常重要的运算技巧．比如计算方程，我们可以先设，原式即为，求解关于y的一元二次方程，得，，由于，所以．即，解得，．认识了换元法，我们来解决下列问题： (1)用换元法求解方程：． (2)已知x和y都是正整数，且满足，求所有满足方程的x和y的解． 【答案】(1)， (2)或或或 【分析】本题考查了换元法解方程，一元二次方程的解，绝对值的非负性及正整数解的枚举． （1）观察到方程中反复出现（含绝对值），因此设，原式变为，解这个一元二次方程后，需结合的条件筛选有效解，再回代，通过绝对值的定义求出x的值； （2）利用换元法，观察到方程中反复出现，设，方程转化为关于m的一元二次方程：，解这个方程后，结合m为正整数的条件筛选有效解，根据，通过枚举正整数对得到所有解． 【详解】（1）解：设，原式变为：， ∴， ， ， ， 解得：，， ∵， ∴，即， 解得：，． （2）解：设，原式为， ∴， ， ， ， ， 解得：，， ∵x和y都是正整数， ∴， ∴x和y的解为或或或． 6．（25-26八年级上·浙江·假期作业）用换元法解方程： 【答案】， 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握整体换元的思想． 设，则原方程可化为，先求出，再解关于的一元二次方程即可． 【详解】解：设，则原方程可化为 解得：， ①当时，，解得：，； ②当时，，所以方程无解。 综上所述，原方程的根为：，． 题型六：配方法的应用 1. 对于二次三项式，可将其配方成的形式。 2. 配方步骤：先提二次项系数，再配方，最后整理。 3. 配方法常用于求二次函数的最值、证明代数式的正负、比较大小、求二次三项式的最值等。 4. 公式： 1. 提取二次项系数时，常数项被漏乘或错乘。 2. 配方时加的数忘记乘以前面的系数。 3. 符号错误，特别是负号的处理。 4. 配方后未写成标准形式，影响后续应用。 1．（2022八年级下·浙江杭州·竞赛）用配方法解方程，将方程变成的形式，则的值分别为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了运用配方法解一元二次方程，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 先整理方程，然后再运用完全平方公式配方即可解答． 【详解】解：， ， ， 所以． 故选：C． 2．（24-25八年级下·浙江绍兴·期中）把一元二次方程化为（，为常数）后，则___． 【答案】 【分析】本题考查了配方法的应用，将配方得出，从而可得，，代入代数式计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， ∵把一元二次方程化为， ∴，， ∴， 故答案为：． 3．（2024八年级下·浙江温州·竞赛）已知，则的值等于_________． 【答案】 【分析】本题考查了裂项法求和、配方法的应用，学会利用配方法求出未知数的值是解题的关键．利用配方法把方程变形为，求出的值，再代入到题目中的式子，利用裂项法求和即可解答． 【详解】解：， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ． 故答案为：． 4．（25-26八年级上·河南南阳·期中）阅读材料：形如的式子叫做完全平方式．有些多项式虽然不是完全平方式，但可以通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、代数最值等问题中都有广泛的应用． （一）用配方法分解因式：． 解： ． （二）用配方法求代数式的最小值． 解： ， ， ≥－1． 即的最小值为． 请仿照以上例子解答下列问题： (1)若代数式是完全平方式，则常数的值为_____；（直接写出结果） (2)用配方法分解因式：； (3)用配方法求代数式的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（）根据完全平方公式解答即可； （）仿照（一）解答即可； （）仿照（二）解答即可； 本题考查了完全平方公式，配方法及因式分解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：∵代数式是完全平方式， ∴， 即， ∴， 故答案为：； （2）解： ； （3）解： ， ∵， ∴， ∴ 即代数式的最小值是． 5．（2023九年级·浙江宁波·竞赛）已知实数a，b满足 (1)若，求的最小值； (2)设实数x，y满足，且，求a，b，x，y的值． 【答案】(1) (2)，，，或，，， 【分析】本题主要考查分式的混合运算，配方法求最小值，掌握分式的混合运算法则，配方法的运用是解题的关键． （1）根据题意得到，则原式化简得，由配方法求最值的计算方法即可求解； （2）根据题意得到，则，，所以，由得到，令，根据，得到，由此即可求解． 【详解】（1）解： ， ， ， ， 的最小值为． （2）解：， ， ， ， ∴， ， 当时，由得不成立， ∴， ，令， ， ，即， 整理得， 解得， ，，，或，，，． 6．（24-25八年级下·浙江杭州·开学考试）配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们定义：一个整数能表示成（a、b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”，例如，5是“完美数”，理由：因为，所以5是“完美数”． (1)已知10是“完美数”，请将它写成（a、b是整数）的形式__________； (2)已知（x、y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由． (3)已知实数x、y满足，求的最值． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)最大值为 【分析】本题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解此题的关键． （1）把拆成两个整数的平方即可； （2）根据S为“完美数”，利用完全平方公式配方，确定出的值即可； （3）表示出，代入中，配方后利用非负数的性质求出最大值即可． 【详解】（1）由题意得：； （2）当时，S为“完美数”，理由如下： ， ∵，为整数， ∴，也是整数， ∴当时，S为“完美数”； （3）∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当时，的值最大，最大值为． 题型七：涉及参数的一元二次方程求解 1. 先将方程化为一般式，明确参数的位置。 2. 判断是否为一元二次方程：需满足二次项系数。 3. 若方程有实数根，则需满足。 4. 若已知根的关系（如互为相反数、倒数等），结合根与系数关系列方程。 5. 解出参数，并检验是否满足和。 1. 忽略二次项系数为0的讨论，直接按一元二次方程求解。 2. 使用根与系数关系时，忘记检验。 3. 参数方程解错，或求参数时忽略多解情况。 4. 未检验参数是否使原方程有意义（如分母不为0）。 1．（24-25八年级下·浙江温州·月考）对于一元二次方程，下列说法：①若，则；②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；③若是方程的一个根，则一定有成立；④若是一元二次方程的根，则，其中正确的（　　） A．只有①② B．只有①②④ C．只有②③④ D．只有②③ 【答案】B 【分析】本题考查根的判别式，一元二次方程的解．利用根的判别式，方程的解使方程成立，逐一进行判断即可． 【详解】解：若，则方程有一个根为，则；故①正确； 若方程有两个不相等的实根，则：， 则：的判别式为， ∴方程必有两个不相等的实根；故②正确； 若是方程的一个根，则， 当时，，故③错误； 若是一元二次方程的根，则：， ∴， ∴；故④正确； 故选：B． 2．（24-25八年级下·浙江绍兴·期中）在桥梁结构的力学分析中，工程师们用到一元二次方程来计算结构的受力情况．对于这个方程，有下列说法： ①若，则方程必有一个根为； ②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ③若是方程的一个根，则一定有成立． 这些说法对于准确评估桥梁结构的稳定性至关重要，其中正确的是____________（填序号）． 【答案】①②/②① 【分析】本题主要考查一元二次方程的根、一元二次方程的根的判别式、等式的性质，熟练掌握一元二次方程的根、一元二次方程的根的判别式、等式的性质是解决本题的关键． 按照方程的解的含义、一元二次方程的实数根与判别式的关系、等式的性质等知识对各选项分别讨论，可得答案． 【详解】解：①当时，，所以方程必有一个根为，故①正确． ②方程有两个不相等的实根，则，那么，故方程必有两个不相等的实根，故②正确． ③由是方程的一个根，得． 当，则；当，则不一定等于，故③不一定正确． 综上所述：其中正确的是①②． 故答案为：①②． 3．（24-25八年级下·浙江绍兴·期中）已知关于x的一元二次方程. (1)若该方程有一个根是，求k的值. (2)若该方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查一元二次方程的根，根的判别式： （1）把代入，解关于k的方程即可； （2）若该方程有两个不相等的实数根，则，由此可解. 【详解】（1）解：把代入，得， 解得； （2）解：由题意，得， 解得. 4．（24-25八年级下·浙江舟山·期中）已知关于，是一元二次方程的两个实数根，若满足，则此类方程叫做差根方程，根据“差根方程”的定义，解决下列问题： (1)下列是“差根方程”的是______；（填写序号） ①；② (2)已知关于x的方程是“差根方程”，求a的值． (3)已知是直角三角形，的长为，若的两边的长是一个“差根方程”的两个实数根，求出这个差根方程． 【答案】(1)① (2) (3)或． 【分析】此题考查了勾股定理、解一元二次方程等知识，熟练掌握“差根方程”的定义是解题的关键． （1）解方程并根据定义进行判断即可； （2）解方程得到，，根据定义得到，即； （3）分为斜边和为直角边两种情况分别进行解答即可． 【详解】（1）解：① ∴； 解得 ∵； ∴是差根方程； ∴ 解得 ∵； 方程不是差根方程； 故答案为：① （2）， 因式分解得：， 解得：，， 关于的方程是“差根方程”， ，即； （3）当为斜边时，如图， 假设，可设, 由勾股定理得， 解得或（不合题意，舍去）， ∴， 解差根方程的两个根为1和2， ∴这个差根方程为，即， 当为直角边时，如图， 设，， 由勾股定理得， 解得， ∴， 解差根方程的两个根为3和2， ∴这个差根方程为，即， 差根方程为或． 5．（24-25八年级下·浙江金华·期中）已知关于的方程，其中，为实数． (1)当，时，求方程两根的平方和． (2)当时，若方程有一个根为，判断与的大小关系并说明理由． (3)若对于任何实数，此方程都有实数根，求的取值范围． 【答案】(1)50 (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）先把，代入，得出，解方程得出，，然后求出结果即可； （2）把方入方程得出，求出，即可得出答案； （3）根据根的判别式得出，整理得出，根据对于任何实数，此方程都有实数根，得出对于任何实数，恒成立，即可得出答案． 【详解】（1）解：当，时，方程为， 解得：，， ∴， 即两根的平方和为50． （2）解：把方入方程得： ， 整理得：， ∴， ∵， ∴， 即； （3）解：由题可知， 整理得：， 即， ∵对于任何实数，此方程都有实数根， ∴对于任何实数，恒成立， ∴． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，根的判别式，完全平方公式的应用，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法个根的判别式． 1．（23-24八年级下·浙江金华·月考）把方程化成的形式，则的值是（   ） A．3 B．9 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了用配方法解一元二次方程．先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方求出、的值，然后代值计算即可． 【详解】解：∵， ， ， ， ， ， 故选：B． 2．（24-25八年级下·浙江温州·期中）已知关于的方程与有相同的解，则与之间的等量关系为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解一元二次方程，首先解两个方程，找到它们的解，再根据有相同解的条件建立关于和的关系式． 【详解】解：， 解得：和． ∴， ∴， 解得：或． 若是第二个方程的解，则． 若是第二个方程的解，则． ∴或， ∴或即． 故选：D． 3．（24-25八年级下·浙江温州·期中）已知方程 的解是 ， ， 则方程 的解是（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，通过变量替换法，将新方程转化为已知解的方程形式，再解出对应的x值即可． 【详解】解：设，则原方程可转化为， ∵方程 的解是 ， ， ∴方程的解为，， 当时，，解得， 当时，，解得， 因此，方程的解为，， 故选：C． 4．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）将4个数a，b，c，d排成2行2列，两边各加一条竖直线记成，定义：，上述记号叫做2阶行列式，若，则___________ ． 【答案】0或 【分析】根据题中已知的新定义列出式子，然后化简得到关于的一元二次方程，解方程即可求出的值． 【详解】解：由得，， ， ， ， 或， 解得，或． 5．（24-25八年级下·浙江舟山·期末）定义：对于任意实数，有，其中等式右边是通常的乘法和减法运算，如：对已知类于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是___________． 【答案】 【分析】本题考查了新定义，一元二次方程根的判别式，先根据新定义将原方程化为，然后根据方程有两个不相等的实数根列式求解即可． 【详解】∵， ∴可变为， ∴． ∵方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴． 故答案为：． 6．（2026九年级上·浙江温州·专题练习）方程组的有理数解的个数为__________． 【答案】2 【分析】题目主要考查解三元方程组，分两种情况分析：当时，当时，分别求出有理数解即可得出结果，关键是对分析时，化简注意解的情况． 【详解】解：当时，方程组为：， 解得：或； 当时， ∵， ∴①， ∵， ∴②， 将②代入整理得：③， 由①得：， 代入③整理得：， 当时， 整理得：， ∴方程无有理数根， ∴即， ∴由①得：， ∴由②得：（不符合题意，舍去）， ∴方程组有两组有理数解：或， 故答案为：2． 7．（25-26八年级上·浙江·假期作业）解下列一元二次方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)， (2)， (3)， 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的一般方法，是解题的关键． （1）用因式分解法解一元二次方程即可； （2）先将方程变为一般形式，然后用因式分解法解一元二次方程即可； （3）用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：， 因式分解得：， 或， ，． （2）解：， 变为一般形式：， 因式分解得：， ∴或， 解得：，． （3）解： 因式分解得：， ∴或， 解得：，． 8．（25-26九年级上·浙江温州·月考）已知关于x的一元二次方程（），其中一个根为． (1)求的值． (2)解方程：． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查了一元二次方程根的意义及用公式法求一元二次方程的根，熟练掌握一元二次方程根的意义及用公式法求一元二次方程的根是解题的关键． （1）把代入求解，得到，再代入计算即可； （2）根据（1）的结果，可将方程化简为，再用公式法求一元二次方程的根即可． 【详解】（1）解：把代入，得， ， ； （2）解：， ， ∵， 可化简为， ， 即，． 9．（20-21八年级下·湖南长沙·期中）解方程∶ (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3)， (4)， 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键： （1）因式分解法解方程即可； （2）因式分解法解方程即可； （3）因式分解法解方程即可； （4）因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解：， ， ∴或， ∴； （2）， ， ∴或， ∴； （3）， ， ， ∴或， ∴，； （4）， ， ， ， ∴或， ∴，． 10．（22-23九年级上·山东枣庄·月考）解方程，可以将看成一个整体，设，则原方程可化①，解得，，当时，即，解得，，当时，即，解得，所以原方程的解为，，，． 解答问题： (1)上述解题过程，在由原方程得到方程①的过程中利用____法达到了降次的目的，体现了转化的数学思想． (2)请利用上述这种方法解方程：． (3)应用求值：已知实数，满足，则_____． 【答案】(1)换元 (2)， (3) 【分析】（1）根据题目解题的过程，设，将二次换元为一次，由此即可求解； （2）设，则原方程可化，因式分解法解一元二次方程即可求解； （3）设，则原方程可化，因式分解法解一元二次方程即可求解； 【详解】（1）解：上述解题过程，在由原方程得到方程①的过程中利用换元法达到了降次的目的，体现了转化的数学思想， 故答案为：换元． （2）解：设，则原方程可化，即 ∴，， 当时，，方程无实数解； 当时，，解方程得，，， ∴原方程的解为：，． （3）解：设，则原方程可化，则， ∴，， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，， ∴的值为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查解高次方程，掌握换元思想，进行降次方法解高次方程是解题的关键． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 02 解一元二次方程 考点一：直接开方法解一元二次方程 1、直接开方法求的一元二次方程： 由平方根的定义可知： ①时，一元二次方程有 2 个 不相等 的实数根，分别是 或 。他们互为 相反数 。 ②当时，一元二次方程有 2 个 相等 的实数根，即 。 ③当时，一元二次方程 没有 实数根。 2、直接开方法解的一元二次方程： 同样由平方根的定义可知： ①当时，一元二次方程有 2 个 不相等 的实数根。方程开方降次得到一元一次方程或。所以它的两个实数根分别是 或 。 ②当时，一元二次方程有 2 个 相等 的实数根。方程开方降次得到一元一次方程，所以一元二次方程的两个实数根为 。 ③当时，一元二次方程 没有 实数根。 考点二：配方法解一元二次方程 1、配方法的定义： 将一元二次方程化成的形式在利用直接开方法解一元二次方程的方法。 2、配方法解一元二次方程的具体步骤： ①将方程化成 一般式 。 ②将 二次项 系数化为 1 。方程的左右两边同时除以 二次项系数 或乘以二次项系数的 倒数 。且将 常数项 移到等号的右边。 ③方程的左右两边同时加上 一次项系数的一半的平方 。 ④把方程的左边写成 完全平方式 ，右边是一个常数。 ⑤根据直接开方法解方程。 考点三：配方法求二次三项式的最值 1、配方法求二次三项式的最值： 利用配方法将二次三项式化成的形式判断二次三项式的最值为。若，则为二次三项式的 最小值 ；若，则为二次三项式的 最大值 。 2、具体步骤： ①提公因式，即提 二次项系数 。 ②配方，在一次项系数后面加上 一次项系数一半的平方 ，为了式子的值不发生变化，在减去 一次项系数一半的平方 。 ③将式子写成 的形式。注意拿到括号外的常数项一定要先乘以再拿出来。 考点四：利用公式法解一元二次方程——求根公式 1、求根公式： 由可知， 。 。我们把它叫做一元二次方程的求根公式。 ①时，一元二次方程有两个不相等的实数根。即 ； 。 ②时，一元二次方程有两个相等的实数根。即 。 ③时，一元二次方程没有实数根。 2、公式法解一元二次方程的步骤： ①将一元二次方程化成 一般形式 ，并确定 的值。 ②计算 的值，确定一元二次方程的根的情况。 ③根据根的情况把的值带入相应的求根公式求解。 考点五：利用因式分解法解一元二次方程 1、 因式分解的方法： ①提公因式法： ； ②公式法：平方差公式： ； 完全平方公式： ； ③十字相乘法：分解，若且，则 。 2、 因式分解法解一元二次方程的步骤： ①将一元二次方程的右边全部移到左边，使其右边为 0 。 ②对方程的左边进行 因式分解 ，使其成为两个整式的积的形式。 ③别分令两个整式为 0 ，得到两个一元一次方程。 ④解这两个一元一次方程，一元一次方程的解合起来就是一元二次方程的解。 考点六：整体法或换元法解一元二次方程 1、 整体法或换元法： 在解一元二次方程时，有时候会把含有未知数的一个式子看作一个整体，然后用一个简单的字母表示，起达到方程简化的目的，在解其方程的方法叫做整体法或换元法。 题型一：直接开方法解一元二次方程 1. 将方程化为或的形式。 2. 当 ( p > 0 ) 时，方程有两个不相等的实数根：或。 3. 当 ( p = 0 ) 时，方程有两个相等的实数根：( x = 0 ) 或 ( ax + b = 0 )。 4. 当 ( p < 0 ) 时，方程在实数范围内无解。 1. 开方时忘记“±”号，只写一个根。 2. 忽略 ( p ) 的符号，直接开方导致结果错误。 3. 形如开方后得到，忘记考虑移项符号。 4. 计算时未化简。 1．（24-25八年级下·浙江金华·期末）用直接开平方法解下列一元二次方程，其中无解的方程为（  ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级下·浙江温州·开学考试）方程的解为______． 3．（25-26八年级上·浙江·假期作业）用开平方法解下列一元二次方程： (1) (2) (3) (4) 4．（25-26八年级上·浙江宁波·开学考试）解下列方程： (1)； (2)． 5．（24-25七年级下·全国·课后作业）求下列各式中x的值： (1)； (2)； (3)． 题型二：因式分解法解一元二次方程 1. 将方程化为的一般形式。 2. 将左边分解因式，常见方法：提公因式、公式法（平方差、完全平方）、十字相乘法。 3. 化为 ( (mx + p)(nx + q) = 0 ) 的形式。 4. 令每个因式等于0，得 ( mx + p = 0 ) 或 ( nx + q = 0 )，解出各根。 5. 注意：若分解后出现相同因式，则两个根相等。 1. 分解因式不彻底，如只提 ( x ) 得 ( x(x - 4) = 0 )，未继续化简。 2. 十字相乘法符号判断错误。 3. 两边同时除以含未知数的式子，导致漏根（如两边除以 ( x ) 漏掉 ( x = 0 )）。 4. 方程未化为0就直接分解因式。 1．（25-26八年级上·浙江·假期作业）解方程：，_______ 2．（25-26八年级上·浙江·假期作业）解下列一元二次方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 3．（25-26八年级上·浙江·假期作业）解下列一元二次方程： (1)； (2)． 4．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）解一元二次方程： (1)； (2)． 5．（25-26八年级上·浙江·假期作业）解下列一元二次方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型三：配方法解一元二次方程 1. 将方程化为的形式，若，先将二次项系数化为1：方程两边同除以 ( a )。 2. 将常数项移到等号右边：。 3. 配方：两边加上一次项系数一半的平方，即。 4. 左边写成完全平方形式：。 5. 用直接开方法求解。 1. 配方时漏加或加错常数项，如忘记两边同时加。 2. 二次项系数化为1时，只除左边，忘记右边也除。 3. 配方后右边通分错误。 4. 开方后符号错误或漏解。 1．（25-26八年级上·浙江·假期作业）用配方法解下列一元二次方程： (1) (2) (3) (4) 2．（25-26八年级上·浙江·假期作业）用配方法解下列一元二次方程： (1) (2) (3) (4) 3．（25-26八年级上·浙江·假期作业）用配方法解下列一元二次方程： (1) (2) (3) 4．（25-26八年级上·浙江·假期作业）用配方法解方程： (1)． (2) (3) 5．（25-26八年级上·浙江·假期作业）用配方法解下列一元二次方程： (1) (2) (3) 题型四：求根公式法解一元二次方程 1. 将方程化为一般式（）。 2. 计算判别式。 3. 若，方程无实数根。 4. 若，代入求根公式： 5. 化简结果，写出两根。 1. 代入公式时符号错误，特别是 ( b ) 的符号。 2. 判别式计算错误，尤其是 ( 4ac ) 的符号。 3. 化简时错误，如未化成。 4. 忘记的条件。 1．（25-26九年级上·重庆铜梁·期中）用公式法解一元二次方程时，首先要确定a，b，c的值，下列选项正确的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．（25-26九年级上·新疆·期末）若一个一元二次方程的根为， 则该一元二次方程为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·浙江·假期作业）用公式法解方程： (1)． (2) 4．（25-26八年级上·浙江·假期作业）用公式法解方程： (1)； (2)． 5．（25-26八年级上·浙江·假期作业）下面分别是甲、乙两位同学解方程的过程． 甲同学 解： 第一步 第二步 乙同学 解：∵ 第一步 ∴  第二步 ∴ 第三步 即， 第四步 (1)甲、乙两位同学的解题过程都出现了错误，甲同学是第 步开始出现错误，乙同学是第 步开始出现错误； (2)从两个方程中任选一个进行正确解答． 题型五：整体换元法解一元二次方程 1. 观察方程结构，找出重复出现的整体部分，设为新变量（如设，等）。 2. 将原方程转化为关于 ( t ) 的一元二次方程。 3. 解出 ( t ) 的值。 4. 将 ( t ) 回代，得到关于 ( x ) 的方程。 5. 解出 ( x )，并检验是否使原方程有意义。 1. 换元后忘记回代，只求出 ( t )。 2. 回代后得到 ( x ) 的方程解错。 3. 换元时忽略定义域，如需满足。 4. 设元不恰当，导致方程更复杂。 1．（24-25八年级下·浙江嘉兴·期末）已知关于x的方程（a，m，k均为常数，且）的两个解是，，则方程的解是（    ）． A．， B．， C．， D．， 2．（25-26八年级上·浙江宁波·自主招生）已知关于的方程有________个实数根． A．1 B．2 C．3 D．4 3．（19-20八年级下·浙江温州·期中）已知：，那么_________． 4．（24-25八年级下·浙江温州·期中）已知方程的解是，，则方程的解是______． 5．（25-26八年级上·浙江·假期作业）换元法是数学中非常重要的运算技巧．比如计算方程，我们可以先设，原式即为，求解关于y的一元二次方程，得，，由于，所以．即，解得，．认识了换元法，我们来解决下列问题： (1)用换元法求解方程：． (2)已知x和y都是正整数，且满足，求所有满足方程的x和y的解． 6．（25-26八年级上·浙江·假期作业）用换元法解方程： 题型六：配方法的应用 1. 对于二次三项式，可将其配方成的形式。 2. 配方步骤：先提二次项系数，再配方，最后整理。 3. 配方法常用于求二次函数的最值、证明代数式的正负、比较大小、求二次三项式的最值等。 4. 公式： 1. 提取二次项系数时，常数项被漏乘或错乘。 2. 配方时加的数忘记乘以前面的系数。 3. 符号错误，特别是负号的处理。 4. 配方后未写成标准形式，影响后续应用。 1．（2022八年级下·浙江杭州·竞赛）用配方法解方程，将方程变成的形式，则的值分别为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·浙江绍兴·期中）把一元二次方程化为（，为常数）后，则___． 3．（2024八年级下·浙江温州·竞赛）已知，则的值等于_________． 4．（25-26八年级上·河南南阳·期中）阅读材料：形如的式子叫做完全平方式．有些多项式虽然不是完全平方式，但可以通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、代数最值等问题中都有广泛的应用． （一）用配方法分解因式：． 解： ． （二）用配方法求代数式的最小值． 解： ， ， ≥－1． 即的最小值为． 请仿照以上例子解答下列问题： (1)若代数式是完全平方式，则常数的值为_____；（直接写出结果） (2)用配方法分解因式：； (3)用配方法求代数式的最小值． 5．（2023九年级·浙江宁波·竞赛）已知实数a，b满足 (1)若，求的最小值； (2)设实数x，y满足，且，求a，b，x，y的值． 6．（24-25八年级下·浙江杭州·开学考试）配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们定义：一个整数能表示成（a、b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”，例如，5是“完美数”，理由：因为，所以5是“完美数”． (1)已知10是“完美数”，请将它写成（a、b是整数）的形式__________； (2)已知（x、y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由． (3)已知实数x、y满足，求的最值． 题型七：涉及参数的一元二次方程求解 1. 先将方程化为一般式，明确参数的位置。 2. 判断是否为一元二次方程：需满足二次项系数。 3. 若方程有实数根，则需满足。 4. 若已知根的关系（如互为相反数、倒数等），结合根与系数关系列方程。 5. 解出参数，并检验是否满足和。 1. 忽略二次项系数为0的讨论，直接按一元二次方程求解。 2. 使用根与系数关系时，忘记检验。 3. 参数方程解错，或求参数时忽略多解情况。 4. 未检验参数是否使原方程有意义（如分母不为0）。 1．（24-25八年级下·浙江温州·月考）对于一元二次方程，下列说法：①若，则；②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；③若是方程的一个根，则一定有成立；④若是一元二次方程的根，则，其中正确的（　　） A．只有①② B．只有①②④ C．只有②③④ D．只有②③ 2．（24-25八年级下·浙江绍兴·期中）在桥梁结构的力学分析中，工程师们用到一元二次方程来计算结构的受力情况．对于这个方程，有下列说法： ①若，则方程必有一个根为； ②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ③若是方程的一个根，则一定有成立． 这些说法对于准确评估桥梁结构的稳定性至关重要，其中正确的是____________（填序号）． 3．（24-25八年级下·浙江绍兴·期中）已知关于x的一元二次方程. (1)若该方程有一个根是，求k的值. (2)若该方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围. 4．（24-25八年级下·浙江舟山·期中）已知关于，是一元二次方程的两个实数根，若满足，则此类方程叫做差根方程，根据“差根方程”的定义，解决下列问题： (1)下列是“差根方程”的是______；（填写序号） ①；② (2)已知关于x的方程是“差根方程”，求a的值． (3)已知是直角三角形，的长为，若的两边的长是一个“差根方程”的两个实数根，求出这个差根方程． 5．（24-25八年级下·浙江金华·期中）已知关于的方程，其中，为实数． (1)当，时，求方程两根的平方和． (2)当时，若方程有一个根为，判断与的大小关系并说明理由． (3)若对于任何实数，此方程都有实数根，求的取值范围． 1．（23-24八年级下·浙江金华·月考）把方程化成的形式，则的值是（   ） A．3 B．9 C． D． 2．（24-25八年级下·浙江温州·期中）已知关于的方程与有相同的解，则与之间的等量关系为（　　） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·浙江温州·期中）已知方程 的解是 ， ， 则方程 的解是（　　） A．， B．， C．， D．， 4．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）将4个数a，b，c，d排成2行2列，两边各加一条竖直线记成，定义：，上述记号叫做2阶行列式，若，则___________ ． 5．（24-25八年级下·浙江舟山·期末）定义：对于任意实数，有，其中等式右边是通常的乘法和减法运算，如：对已知类于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是___________． 6．（2026九年级上·浙江温州·专题练习）方程组的有理数解的个数为__________． 7．（25-26八年级上·浙江·假期作业）解下列一元二次方程： (1)； (2)； (3)． 8．（25-26九年级上·浙江温州·月考）已知关于x的一元二次方程（），其中一个根为． (1)求的值． (2)解方程：． 9．（20-21八年级下·湖南长沙·期中）解方程∶ (1) (2) (3) (4) 10．（22-23九年级上·山东枣庄·月考）解方程，可以将看成一个整体，设，则原方程可化①，解得，，当时，即，解得，，当时，即，解得，所以原方程的解为，，，． 解答问题： (1)上述解题过程，在由原方程得到方程①的过程中利用____法达到了降次的目的，体现了转化的数学思想． (2)请利用上述这种方法解方程：． (3)应用求值：已知实数，满足，则_____． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $