微专题01 一元二次方程中的含参数问题（专项训练）数学鲁教版五四制八年级下册

**基本信息** 以“定义-解-根的情况-韦达定理”为逻辑主线，构建“方法步骤+答题模板”双轨训练体系，培养参数问题的抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |根据定义求参数|6题|定身份→抓核心→列不等式|从一元二次方程定义出发，聚焦二次项系数非零本质| |已知解求参数|6题|代入消元→解新方程→检验|通过解的定义实现未知向已知转化，强化模型意识| |根据根的情况求参数|6题|化一般式→算Δ→列不等方程|以判别式为桥梁，建立根的性质与参数范围的推理关系| |韦达定理求参数|6题|写韦达式→转代数式→解验结合|融合韦达定理与判别式，培养严谨的数学思维与运算能力|

微专题01 一元二次方程中的含参数问题 题型01 根据一元二次方程的定义求参数的值（或取值范围） 考向分析：此类题型通常给出含有参数的方程，要求其成为一元二次方程时参数应满足的条件。核心得分点在于紧扣一元二次方程的“二次”属性，既要保证二次项存在，又要防止变形后二次项系数归零。 解题方法： 1. 定身份：将含有参数的方程化为一元二次方程的一般形式。 2. 抓核心：提取出二次项系数a（即含有参数的代数式）。 3. 列不等式：令二次项系数，解此不等式即可得到参数的取值范围；若求特定值，则直接令 4. 解出受限参数即可。 答题模板： 1. 化：去括号、移项、合并同类项，将方程化为一般形式。 2. 找：准确找出含有参数的二次项系数。 3. 列：根据“一元二次方程”列出不等式或限制条件，求出最终结果。 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）若方程是一元二次方程，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵原方程是一元二次方程，其二次项系数为， ∴， 解得． 2．（2026·江苏淮安·一模）若方程是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D．m为任意实数 【答案】A 【分析】根据一元二次方程的定义，一元二次方程的二次项系数不能为0，据此列不等式求解即可． 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴二次项系数， 解得． 3．（25-26八年级下·山东烟台·期中）已知 是关于x的一元二次方程，则a的值为(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2次的整式方程叫做一元二次方程，据此可得，解之即可得到答案． 【详解】解：根据题意可知，， 解得： 4．（25-26八年级下·重庆·期中）若方程是关于的一元二次方程，则的值为（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】一元二次方程需满足两个条件：未知数的最高次数为，且二次项系数不为，据此列关系式求解即可． 【详解】∵方程是关于的一元二次方程. ∴，解得：， ∴． 5．（25-26八年级下·浙江台州·期中）若关于x的方程是一元二次方程，则m的值为____． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义．根据一元二次方程的定义，一元二次方程只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2，二次项系数不为0，据此列出关于m的方程，求解即可得到m的值． 【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴x的最高次数为2，且二次项系数不为0， 可得：， ∴ 即． 6．（25-26九年级下·黑龙江·期中）已知关于的方程是一元二次方程，则的值为_____． 【答案】 1 【分析】根据方程的两边都是整式，只含有一个未知数，并且整理后未知数的最高次数是，二次项系数不为，像这样的方程叫做一元二次方程，据此解答即可． 【详解】解：方程是一元二次方程， ，且 ， 解得． 题型02 已知一元二次方程的解（根）求参数的值 考向分析：此类题型告知学生某个具体的数值是方程的解，要求代入求出方程中未知字母参数的值。核心得分点在于理解“解”的代入消元本质，以及求解后的检验还原。 解题方法： 1. 明定义：明确“方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值”。 2. 代入消元：直接将已知的解代入原方程中，原本含x的方程就会转化为一个关于未知参数的全新方程。 3. 解新方程：解这个新的一元一次方程或一元二次方程，求出参数的值。 4. 检验：若将求出的参数代回原方程会导致某些实际应用题无意义（如负数边长），则需舍去。 答题模板： 1. 审：明确题目给出的已知解的具体数值。 2. 代：将解代入原方程，消去未知数x。 3. 算：解关于参数的方程，得出参数的具体数值。 1．（25-26八年级下·浙江温州·期中）关于x的一元二次方程的一个解为，则实数t的值是（   ） A．6 B．4 C．3 D．0 【答案】C 【分析】根据一元二次方程解的定义，方程的解满足方程等式，将已知解代入原方程即可求出参数的值. 【详解】解：∵是一元二次方程的一个解， ∴将代入原方程，得， ∴. 2．（25-26九年级下·河南南阳·期中）对于实数a，b定义新运算：，例如：，若关于x的方程有一个根为1，则m的值是（    ） A． B． C． D．0 【答案】C 【详解】解：关于x的方程有一个根为1， ∴ ∴ ∴． 3．（25-26八年级下·浙江·期中）若是关于的一元二次方程的一个根，则的值为（    ） A．2024 B．2025 C．2027 D．2028 【答案】D 【详解】解：把代入方程得：， ∴， ∴． 4．（25-26八年级下·北京·期中）若关于的一元二次方程有一解为，则一元二次方程必有一解为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将所求方程整理变形，使其与原方程结构一致，通过换元利用已知方程的解求解即可. 【详解】解：∵关于的一元二次方程有一解为 ∴ 整理所求方程 移项得 提取公因式得 令，则方程变为，与原方程结构完全相同，故该方程的一个解为 即 解得 因此所求方程必有一解为 5．（2026·江苏扬州·一模）若是关于的一元二次方程的一个解，则的值为（） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】A 【分析】根据一元二次方程解的定义，能使方程左右两边相等的未知数的值是方程的解，将代入原方程，即可求解得到的值． 【详解】∵是一元二次方程的一个解， ∴， 整理得， 解得． 6．（2026·广东深圳·二模）若关于的一元二次方程的一个根为2，则的值为______． 【答案】3 【分析】根据一元二次方程根的定义，将已知根代入原方程，即可求出的值． 【详解】解：由题意，将代入方程，得， 整理得， 解得． 题型03 根据一元二次方程根的情况求参数的取值范围 考向分析：此类题型是本章的绝对重难点，通常给出“有两个不相等的实数根”、“有两个相等的实数根”或“无实数根”等前置条件，要求反推方程中参数的取值范围。核心得分点在于熟练运用根的判别式并建立对应的不等式（组）。 解题方法： 1. 化为一般式：先将方程整理为的标准形式，准确提取（注意符号）。 2. 计算判别式：写出的代数式。 3. 依题列不等（方）程： (1) 一元二次方程有实根：。 (2) 一元二次方程有两个相等实根：。 (3) 一元二次方程有两个不等实根：。 4. 联立求解：若题目强调“是一元二次方程”，需联立；若未强调，需分类讨论（退化为一次方程）和的情况。解不等式或方程，求出参数的范围。 答题模板： 1. 化：整理方程为一般形式，确定。 2. 判：计算判别式。 3. 列：根据题目根的情况，列出关于参数的不等（方）程。 4. 解：解不等（方）程组，得出参数的取值范围，注意是否需要舍去等号。 1．（2026·河北唐山·二模）对于实数，定义新运算“”：．若关于的方程有实数根，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用新定义运算可得，再根据一元二次方程根的判别式解答即可求解． 【详解】解：由题意得，， 整理得，， ∵方程有实数根， ∴， 解得． 2．（24-25九年级上·四川成都·期末）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】当一元二次方程有两个不相等的实数根时，根的判别式，据此列出关于的不等式，解不等式即可得到的取值范围． 【详解】解：由于方程有两个不相等的实数根， 则判别式 解得：． 3．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）若关于x的方程有两个不相等的实数根，则a的值可能是（   ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】根据一元二次方程的定义，二次项系数不为0，结合“有两个不相等的实数根”可得根的判别式大于0，据此求出a的取值范围，再判断选项即可. 【详解】解：∵方程 有两个不相等的实数根，因此方程是一元二次方程， ∴， 对于一元二次方程 ，，代入得： ， 由得 ，解得， 由得， 因此a的取值范围是且， 结合选项，只有B选项的满足该范围. 4．（2026·广东汕头·一模）已知关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是______． 【答案】 【详解】解：由题意得：， 解得． 5．（2026年江苏淮安市开明中学等校中考第一次模拟数学）若方程有两个实数根，则n的取值范围为__________． 【答案】 【详解】解：由已知，， 解得，． 6．（25-26九年级下·甘肃武威·期中）若关于x的方程（k为常数）有两个不相等的实数根，则k的取值范围是_______． 【答案】/ 【分析】已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， 可得根的判别式， 代入方程系数，解不等式即可得到k的取值范围． 【详解】解：方程中， ∵关于x的方程有两个不相等的实数根， ∴， 整理得， 解得． 题型04 已知根与系数的关系（韦达定理）求参数的代数式的值 考向分析：此类题型通常在已知方程有根的前提下，给出两根满足的特定关系式（如两根之和、两根之积、两根的平方和等），要求求出方程中参数的值或代数式的值。核心得分点在于“双管齐下”——既要运用韦达定理建立等式，又要利用判别式锁定参数范围。 解题方法： 1. 定有无：设方程的两根为。根据韦达定理，直接写出两根之和与两根之积的代数式。 2. 代入变形：将题目给出的关于根的代数式，通过完全平方公式等恒等变形为含有“两根之和”与“两根之积”的形式，然后代入韦达定理的结论，转化为只含参数的方程。 3. 求解并检验：解关于参数的方程。求出参数后，务必代入判别式Δ进行检验，确保（即方程确实有实数根），若不满足则舍去。 答题模板： 1. 写：明确的值，写出韦达定理的表达式。 2. 转：将目标代数式转化为含有和的形式，代入得到关于参数的方程。 3. 解：解参数方程，得到候选参数值。 4. 验：将候选值代入验证是否大于等于0，敲定最终答案。 1．（2026·河北唐山·二模）已知关于x的一元二次方程的两个实数根为、，且满足，则m的取值范围是（） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】先根据方程有两个实根得判别式，结合韦达定理，根据两根之和为正，分两根均非负和一正一负两类讨论；分别化简，结合不等式求解m的范围；合并两类结果，得到最终取值范围． 【详解】方程有两个实数根 是方程的两根 两根不可能同为负数 只有两根均为非负数和一正一负两种情况 情况一：两根均为非负数 ， ， ， ， ， 恒成立， 又， ， 情况二：两根一正一负 ， ， ， 两根一正一负， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 又， ， 或， ， ∴m的取值范围是． 2．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）已知a，b是方程的两个实数根，则的值是_____． 【答案】 【分析】根据一元二次方程解的定义及根与系数的关系得到，，代入计算即可． 【详解】解：∵a，b是方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴ ． 3．（2026·湖南长沙·模拟预测）已知关于x的一元二次方程有两个实数根，且，则__________ 【答案】4 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系，得到两根之和的表达式，结合已知条件构造关于的方程，求解即可得到的值． 【详解】解：已知一元二次方程 ，其中二次项系数，一次项系数， 根据根与系数的关系，可得：， ∵， ∴， 解得：， 验证判别式 ，原方程恒有两个不相等的实数根，符合题意． 4．（25-26八年级下·浙江金华·期中）若m，n是方程的两个实数根，则的值为____ ． 【答案】7 【分析】利用一元二次方程根的定义和根与系数的关系求解． 【详解】解：∵m，n是方程的两个实数根， ∴， ∵m是方程的实数根， ∴，变形得． 故 ． 5．（2026·四川成都·二模）已知，是一元二次方程的两个实数根，且，则的值为________． 【答案】5 【分析】利用根与系数的关系和根的定义，将已知条件转化为关于的方程． 【详解】解：，是一元二次方程的两个实数根， ，， 又是方程的根， ， 将代入已知条件中， 得，即， 将代入上式，得， 整理得， 因为， 所以， 解得． 6．（25-26八年级下·浙江温州·期中）已知关于x的一元二次方程有两个不相等实数根． (1)求的取值范围． (2)若该方程的两根异号，设其中一个实数根为a，记，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）由根的判别式计算即可求解； （2）由两根异号得出，结合1得出，由一元二次方程的根得出，进而可得出，然后利用一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：关于x的一元二次方程有两个不相等实数根． ， ． （2）证明：∵两根异号， ， 解得， 由（1）知， 的取值范围为， 为方程的一个实数根， ， ， ， ， ， 随的增大而增大， ∴当时，， ∵， ． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 微专题01 一元二次方程中的含参数问题 题型01 根据一元二次方程的定义求参数的值（或取值范围） 考向分析：此类题型通常给出含有参数的方程，要求其成为一元二次方程时参数应满足的条件。核心得分点在于紧扣一元二次方程的“二次”属性，既要保证二次项存在，又要防止变形后二次项系数归零。 解题方法： 1. 定身份：将含有参数的方程化为一元二次方程的一般形式。 2. 抓核心：提取出二次项系数a（即含有参数的代数式）。 3. 列不等式：令二次项系数，解此不等式即可得到参数的取值范围；若求特定值，则直接令 4. 解出受限参数即可。 答题模板： 1. 化：去括号、移项、合并同类项，将方程化为一般形式。 2. 找：准确找出含有参数的二次项系数。 3. 列：根据“一元二次方程”列出不等式或限制条件，求出最终结果。 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）若方程是一元二次方程，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（2026·江苏淮安·一模）若方程是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D．m为任意实数 3．（25-26八年级下·山东烟台·期中）已知 是关于x的一元二次方程，则a的值为(　　) A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·重庆·期中）若方程是关于的一元二次方程，则的值为（   ）． A． B． C． D． 5．（25-26八年级下·浙江台州·期中）若关于x的方程是一元二次方程，则m的值为____． 6．（25-26九年级下·黑龙江·期中）已知关于的方程是一元二次方程，则的值为_____． 题型02 已知一元二次方程的解（根）求参数的值 考向分析：此类题型告知学生某个具体的数值是方程的解，要求代入求出方程中未知字母参数的值。核心得分点在于理解“解”的代入消元本质，以及求解后的检验还原。 解题方法： 1. 明定义：明确“方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值”。 2. 代入消元：直接将已知的解代入原方程中，原本含x的方程就会转化为一个关于未知参数的全新方程。 3. 解新方程：解这个新的一元一次方程或一元二次方程，求出参数的值。 4. 检验：若将求出的参数代回原方程会导致某些实际应用题无意义（如负数边长），则需舍去。 答题模板： 1. 审：明确题目给出的已知解的具体数值。 2. 代：将解代入原方程，消去未知数x。 3. 算：解关于参数的方程，得出参数的具体数值。 1．（25-26八年级下·浙江温州·期中）关于x的一元二次方程的一个解为，则实数t的值是（   ） A．6 B．4 C．3 D．0 2．（25-26九年级下·河南南阳·期中）对于实数a，b定义新运算：，例如：，若关于x的方程有一个根为1，则m的值是（    ） A． B． C． D．0 3．（25-26八年级下·浙江·期中）若是关于的一元二次方程的一个根，则的值为（    ） A．2024 B．2025 C．2027 D．2028 4．（25-26八年级下·北京·期中）若关于的一元二次方程有一解为，则一元二次方程必有一解为（    ） A． B． C． D． 5．（2026·江苏扬州·一模）若是关于的一元二次方程的一个解，则的值为（） A．3 B．2 C．1 D．0 6．（2026·广东深圳·二模）若关于的一元二次方程的一个根为2，则的值为______． 题型03 根据一元二次方程根的情况求参数的取值范围 考向分析：此类题型是本章的绝对重难点，通常给出“有两个不相等的实数根”、“有两个相等的实数根”或“无实数根”等前置条件，要求反推方程中参数的取值范围。核心得分点在于熟练运用根的判别式并建立对应的不等式（组）。 解题方法： 1. 化为一般式：先将方程整理为的标准形式，准确提取（注意符号）。 2. 计算判别式：写出的代数式。 3. 依题列不等（方）程： (1) 一元二次方程有实根：。 (2) 一元二次方程有两个相等实根：。 (3) 一元二次方程有两个不等实根：。 4. 联立求解：若题目强调“是一元二次方程”，需联立；若未强调，需分类讨论（退化为一次方程）和的情况。解不等式或方程，求出参数的范围。 答题模板： 1. 化：整理方程为一般形式，确定。 2. 判：计算判别式。 3. 列：根据题目根的情况，列出关于参数的不等（方）程。 4. 解：解不等（方）程组，得出参数的取值范围，注意是否需要舍去等号。 1．（2026·河北唐山·二模）对于实数，定义新运算“”：．若关于的方程有实数根，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·四川成都·期末）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）若关于x的方程有两个不相等的实数根，则a的值可能是（   ） A． B．2 C． D． 4．（2026·广东汕头·一模）已知关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是______． 5．（2026年江苏淮安市开明中学等校中考第一次模拟数学）若方程有两个实数根，则n的取值范围为__________． 6．（25-26九年级下·甘肃武威·期中）若关于x的方程（k为常数）有两个不相等的实数根，则k的取值范围是_______． 题型04 已知根与系数的关系（韦达定理）求参数的代数式的值 考向分析：此类题型通常在已知方程有根的前提下，给出两根满足的特定关系式（如两根之和、两根之积、两根的平方和等），要求求出方程中参数的值或代数式的值。核心得分点在于“双管齐下”——既要运用韦达定理建立等式，又要利用判别式锁定参数范围。 解题方法： 1. 定有无：设方程的两根为。根据韦达定理，直接写出两根之和与两根之积的代数式。 2. 代入变形：将题目给出的关于根的代数式，通过完全平方公式等恒等变形为含有“两根之和”与“两根之积”的形式，然后代入韦达定理的结论，转化为只含参数的方程。 3. 求解并检验：解关于参数的方程。求出参数后，务必代入判别式Δ进行检验，确保（即方程确实有实数根），若不满足则舍去。 答题模板： 1. 写：明确的值，写出韦达定理的表达式。 2. 转：将目标代数式转化为含有和的形式，代入得到关于参数的方程。 3. 解：解参数方程，得到候选参数值。 4. 验：将候选值代入验证是否大于等于0，敲定最终答案。 1．（2026·河北唐山·二模）已知关于x的一元二次方程的两个实数根为、，且满足，则m的取值范围是（） A． B． C． D．或 2．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）已知a，b是方程的两个实数根，则的值是_____． 3．（2026·湖南长沙·模拟预测）已知关于x的一元二次方程有两个实数根，且，则__________ 4．（25-26八年级下·浙江金华·期中）若m，n是方程的两个实数根，则的值为____ ． 5．（2026·四川成都·二模）已知，是一元二次方程的两个实数根，且，则的值为________． 6．（25-26八年级下·浙江温州·期中）已知关于x的一元二次方程有两个不相等实数根． (1)求的取值范围． (2)若该方程的两根异号，设其中一个实数根为a，记，求证：． / 学科网（北京）股份有限公司 $