专题04 一元二次方程的应用12大题型（专项训练）数学新教材北京版八年级下册

专题04 一元二次方程的应用12大题型（解析版） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、根据题意列一元二次方程 1 题型二、传播问题 2 题型三、增长率问题 3 题型四、与图形有关的问题 5 题型五、数字问题 6 题型六、营销问题 8 题型七、动态几何问题 9 题型八、工程问题 11 题型九、行程问题 11 题型十、图表信息题 11 题型十一、握手循环问题 11 题型十二、其他问题 11 B综合攻坚・能力跃升 题型一、根据题意列一元二次方程 1．《九章算术》是我国古代数学名著，有题译文如下：今有门，不知其高宽；有竿，不知其长短．横放，竿比门宽长出尺；竖放，竿比门高长出尺；斜放，竿与门对角线长恰好相等．问门高、宽和对角线的长各是多少？设门对角线的长为尺，下列方程符合题意的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得：门高尺、宽尺，门对角线的长为尺，根据勾股定理列方程即可． 【详解】解：门对角线的长为尺， 门高尺、宽尺， 根据勾股定理可得：． 2．生活垃圾无害化处理可以降低垃圾及其衍生物对环境的影响．据统计，2020年全国生活垃圾无害化处理能力约为3.6亿吨，随着设施的增加和技术的发展，2025年提升到约8亿吨．如果设这几年全国生活垃圾无害化处理能力的年平均增长率为，那么根据题意可以列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查增长率问题的数学模型，掌握（为初始量，为年平均增长率，为增长年数，为最终量）是解题关键． 根据年平均增长率的变化规律，结合初始量、增长年数和最终量列出方程即可． 【详解】解：∵ 2020年全国生活垃圾无害化处理能力为亿吨，年平均增长率为， 又∵2020年到2025年共经过5年，且2025年处理能力约为亿吨， ∴经过5年增长后，处理能力可表示为亿吨， ∴可列方程为， 故选C． 3．秦岭是全球野生大熊猫的重要分布区，大熊猫与朱鹮、林麝、金丝猴、羚牛、金钱豹并称“秦岭六宝”．某网店售卖的大熊猫玩偶原本标价为元/个，因市场波动，经过两次降价后标价变为元/个，设大熊猫玩偶两次降价的平均降价率为，则根据题意可列方程为______． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用——平均变化率问题．对于“次平均变化率”问题，核心公式为：(“”对应增长率，“”对应降价率)．本题中，初始量是50元，最终量是40元，变化次数，变化类型是降价(用“”)，代入公式即可列出方程． 【详解】解：∵大熊猫玩偶的原价为50元/个，两次降价的平均降价率为， ∴第二次降价后，价格为元/个， ∴可列方程：． 故答案为：． 4．如图，用长为34米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为20米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在上用其他材料做了宽为1米的两扇小门（如图），所围成花圃面积为平方米；设花圃垂直于墙的边长为x米．则可列方程_______．（不用化简） 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，弄清题意、用表示出的长是解答本题的关键． 用篱笆的总长减去段垂直于墙的边长，然后加上两个门的长可表示出的长，然后再根据长方形面积公式列一元二次方程即可． 【详解】解：设花圃垂直于墙的边长为x米， 则， 根据题意可得， 故答案为：． 题型二、传播问题 5．在某云平台的一次网络安全事件中，最初有5台服务器感染了病毒．经过两轮感染后，共有245台服务器感染了病毒，则每轮感染中平均每台服务器感染___________台服务器． 【答案】6 【分析】设每轮传播中平均一台服务器会感染x台服务器，由经过两轮感染后共有245台服务器感染了病毒，建立方程求出其解即可． 【详解】解：设每轮中平均每台服务器感染服务器的台数为x，根据题意可得： ， 解得，（舍）， ∴每轮感染中平均每台服务器感染6台服务器． 6．某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出相同数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是31，则这种植物每个支干长出的小分支个数是________． 【答案】5 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设这种植物每个支干长出的小分支个数是x，根据主干、支干和小分支的总数是31，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】解：设这种植物每个支干长出的小分支个数是x， 依题意得：， 整理得：， 解得：（不合题意，舍去），， 则这种植物每个支干长出的小分支个数是． 故答案为：． 7．化学是一门以实验为基础的学科，九班化学课代表小聪在老师的培训下，学会了高锰酸钾制取氧气的实验室制法，回到班上后开始教同学做实验，第一节课手把手教会了名同学，若第二节课小聪因家中有事请假了，班上其余会做该实验的每名同学又手把手教会了名同学，这样全班名同学恰好都会做这个实验了，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握以上知识是解题的关键．设一个人每节课手把手教会了名同学，根据第二节课后全班人恰好都会做这个实验了，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】解：设一个人每节课手把手教会了名同学， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：的值是． 8．在化学老师的讲解下，小明同学第一个学会电解水实验，在接下来的分组实验课中，第一节课他教会了若干名同学，第二节课已经会做实验的同学每个人也教会了同样多的同学，这样全班49名同学恰好都会做这个实验了．问每个人一节课教会了多少名同学? 【答案】6 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设每个人一节课教会x名同学，则第一节课教会x名同学，第二节课教会名同学，根据“经过两节课全班49人恰好都会做这个实验了”，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】解：设每个人一节课教会x名同学，则第一节课教会x名同学，第二节课教会名同学， 根据题意得：， 即， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：每个人一节课教会6名同学． 题型三、增长率问题 9．某热门生态旅游景区为提升服务质量，持续优化游览体验，游客接待量逐年稳步增长．已知该景区2023年全年接待游客总量为200万人次，2025年全年接待游客总量达到288万人次，且这两年游客量的年平均增长率相同，那么该景区这两年接待游客的年平均增长率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，设该景区这两年接待游客的年平均增长率为x，根据2023年全年接待游客的总量和2025年全年接待游客的总量建立方程求解即可． 【详解】解：设该景区这两年接待游客的年平均增长率为x， 由题意得，， 解得或（舍去）， ∴该景区这两年接待游客的年平均增长率为， 故选：B． 10．共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放辆单车，计划第三个月投放单车的数量比第一个月多辆，则该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用（增长率问题），根据增长率问题的数量关系建立方程是解题的关键． 设月平均增长率为，根据第三个月投放量列出方程，求解即可． 【详解】解：第一个月投放辆，第三个月投放辆， 设月平均增长率为，则第二个月投放量为辆，第三个月投放量为辆， ， 解得，（不符合题意，舍去）， 所以该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为． 故答案为． 11．在全球新能源汽车产业蓬勃发展的浪潮中，中国凭借强大的产业实力和技术创新能力脱颖而出，已连续10年保持新能源汽车年产销量全球第一．随着技术迭代加速发展，某新能源汽车的电池成本持续下降，2023年电池成本约为1200元千瓦时，2025年电池成本约为972元千瓦时，求这两年该电池成本的年平均下降率． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用-增长率问题，审清题意、正确列出一元二次方程是解题的关键． 这两年该电池成本的年平均下降率为x，然后根据“2023年电池成本约为1200元千瓦时，2025年电池成本约为972元千瓦时”列出一元二次方程求解即可． 【详解】解：这两年该电池成本的年平均下降率为x， 由题意可得：， 解得：或（不符合题意舍去）． 答：这两年该电池成本的年平均下降率为． 12．为提升初三学生的数字化学习效率，学校上线了云端错题本工具，学生可自主上传错题、生成个性化错题卷．开学第一周，全年级使用该工具的学生有200人．经过两周的推广与同学的分享，第三周使用云端错题本的学生数量增长至242人． (1)求每周使用云端错题本的学生人数的平均增长率． (2)按照（1）中的平均增长率，估算第四周使用该工具的学生人数． 【答案】(1) (2)266人 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握题中的数量关系是解答本题的关键． （1）设从第一周到第三周使用云端错题本工具的学生人数平均增长率是x，根据题意列出方程，解方程即可求解 （2）按照（1）中的平均增长率，估算第四周使用该工具的学生人数即可． 【详解】（1）解：设每周使用云端错题本的学生人数的平均增长率为x，根据题意得， 解得，，（舍） 答：每周使用云端错题本的学生人数的平均增长率为； （2）解：（人）     即第四周使用该工具的学生人数约为266人． 题型四、与图形有关的问题 13．学生会准备举办一次摄影展览，在每张长和宽分别为厘米和厘米的矩形相片周围镶上一圈等宽的彩纸．经试验，彩纸面积为相片面积的时较美观，求所镶彩纸的宽．(精确到厘米) 【答案】所镶彩纸的宽约为厘米 【分析】本题考查一元二次方程在面积实际问题中的应用，核心是根据彩纸宽度表示出镶彩纸后大矩形的长和宽，利用“大矩形面积减去相片面积等于彩纸面积”的等量关系建立方程，求解后需结合实际意义舍去不合题意的负根，最后按要求精确结果． 【详解】解：设所镶彩纸的宽为厘米． 镶上彩纸后，大矩形的长为厘米，宽为厘米， 根据题意列方程：， 化简整理得：． 解得，(宽度不能为负，舍去)． 精确到厘米，． 答：所镶彩纸的宽约为厘米． 14．小军同学计划为一幅长寸，宽寸的创意画（图中阴影部分为其示意图）制作一个摆台画框，根据有关要求，画框的上、下边宽度相等，左、右边宽度相等，上、下边宽度是左、右边宽度的倍，若画框所占面积为创意画面积的，则摆台画框的左、右边宽度应是多少？ 【答案】寸 【分析】本题考查一元二次方程的建立与求解，矩形面积公式，根据题意构建关于画框宽度的一元二次方程是解题关键． 设画框左右宽度为寸，进而表示出上下宽度，再结合矩形面积公式与题目中的面积比例关系列出一元二次方程，求解后根据实际意义舍去负根，最终得出画框宽度． 【详解】解：设摆台画框的左、右边宽度为寸，则上、下边宽度为寸， 已知创意画的长为寸，宽为寸，则创意画的面积为平方寸， 画框所占面积为创意画面积的， 画框的面积为平方寸， 画框与创意画的总面积为平方寸， 带画框的整体长为寸，宽为寸， ， 可得， 即， 解得，（不合题意，舍去）， 故摆台画框的左、右边宽度为寸． 答：摆台画框的左、右边宽度应是寸． 15．如图，一个边长为的正方形花坛由4块全等的小正方形组成．在小正方形中，点分别在上，且，在、五边形三个区域上种植不同的花卉，每平方米的种植成本分别是20元、20元、10元． (1)当时，求小正方形种植花卉所需的费用； (2)试用含有的代数式表示五边形的面积； (3)当为何值时，大正方形花坛种植花卉所需的总费用是715元？ 【答案】(1)小正方形种植花卉所需的费用为190元 (2) (3) 【分析】本题考查正方形的性质，列代数式，一元二次方程的实际应用，正确的识图，准确的列出代数式和方程，是解题的关键． （1）先由题意得，再求出，然后算出小正方形面积、面积和面积，进而求解即可； （2）利用分割法求面积，列出代数式即可； （3）根据题意，列出一元二次方程进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴当时，， ∴小正方形面积为； 面积：，则费用：元； 面积：，则费用：元， ∴五边形面积：，则费用：元 ∴总费用：元； （2）解：由（1）可知：小正方形的边长为， ，， ， 五边形的面积 ； （3）解：由题意，得： 解得：； 当时，大正方形花坛种植花卉所需的总费用是715元． 16．如图，在矩形中，，．点从点出发，沿运动，速度为每秒个单位长度；点从点出发向点运动，速度为每秒个单位长度．、两点同时出发，当点运动到点时，两点同时停止运动，设点的运动时间为（秒）．连接、、． (1)点运动到点时，____________；当点运动到点时，的长度为____________． (2)当点在上时，用含的代数式表示的长． (3)当的面积为时，求的值． 【答案】(1)； (2) (3)的值为或 【分析】本题考查了矩形的性质，列代数式，一元二次方程的几何动点问题，一元一次方程的应用，三角形的面积等知识，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）点运动到点时，所走路程为，根据速度可得出的值；点从点出发向点运动，点回到中点，可直接求出． （2）结合动点的速度和方向进行列式表示的长，即可作答． （3）分三种情况讨论：点在上时，时，时，再逐个情况作图，结合动点的速度和方向进行列式表示，令，列方程求解即可． 【详解】（1）解：在矩形中，，， ， 点运动到点时，所走路程为， 点的速度为每秒个单位长度， （秒）， 点从点出发向点运动，速度为每秒个单位长度，， 当点运动到点时，（秒）， 此时点的运动路程为， 点从点出发，沿运动，速度为每秒个单位长度，，，， 此时点在边上，． 故答案为：，． （2）解：当点在时， ，， ，如图所示： 此时． （3）解：当点在上时，，如图所示： 则，，，， ， 令， 解得，（舍去）； 当点在时，，如图所示： 同理得， ， 令，解得； 当点在时，同时当点运动到点时，， 此时，如图所示： 同理得， ， 令，解得（舍去）； 综上所述，当的面积为时，则的值为或． 题型五、数字问题 17．一个两位数等于它个位上的数的平方，且个位上的数字比十位上的数大3，则这个两位数是（   ） A． B． C．或 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的应用，设十位数字为，表示出个位数字，根据题意列出方程求解即可． 【详解】解：设这个两位数的十位数字为，则个位数字为． 依题意得：， 解得:. ∴ 这个两位数为或． 故选：C． 18．如图是2025年4月的月历表，在此月历表上用一个正方形任意圈出2×2个位置上相邻的数（如2，3，9，10）．若圈出的4个数中最大数与最小数的积为128，设这4个数中最小数为x，则可列方程为______． 【答案】 【分析】此题考查了一元二次方程的应用．根据题意分别表示出最小数与最大数，进而利用最大数与最小数的积为128得出等式求出答案． 【详解】解：设这4个数中最小数是x，则最大数为：， 根据题意得：， 故答案为：． 19．已知两个两位数，将它们各自的十位数字和个位数字交换位置后，得到两个新两位数，且这两个新两位数分别与它们对应的原数不同，若这两个两位数的乘积与交换位置后两个新两位数的乘积相等，则称这样的两个两位数为“幸福数对”，例如：，所以13和62是“幸福数对”． (1)请判断21与48是否是“幸福数对”，并说明理由； (2)有一个两位数，十位上的数字为，个位上的数字为x，另一个两位数，十位上的数字为，个位上的数字为．若这两个两位数为“幸福数对”，求出这两个两位数． 【答案】(1)21与48是“幸福数对”，理由见解析 (2)42和36 【分析】本题考查新定义的判断，运用方程解决问题，理解题意是解题的关键； （1）根据“幸福数对”的定义计算即可； （2）根据“幸福数对”的定义计算得，解方程即可． 【详解】（1）解： 21与48是“幸福数对”． 理由如下： ，． ． 与48是“幸福数对”． （2）解：由题意，各数位上的数字均为0到9的整数，且十位数字不为0， 这两个两位数，分别为，． 将它们各自的十位数字和个位数字交换位置后，得到的新两位数为，． 这两个数为“幸福数对”， ． 化简，得． 解得 ，． 经检验，符合题意， ∴这两个两位数分别为42和36． 20．第十四届国际数学教育大会（）会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有共个基本数字．八进制数换算成十进制数是，表示的举办年份． (1)八进制数换算成十进制数是多少？ (2)小华设计了一个进制数，换算成十进制数是，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的运算以及一元二次方程的应用等知识，根据题意列出关于n的一元二次方程是解答本题的关键． （1）根据八进制换算成十进制的方法即可作答； （2）根据n进制换算成十进制的方法可列出关于n的一元二次方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解： （2）根据题意有：， ∴， 解得，（负值舍去）， 故的值为9． 题型六、营销问题 21．某商品的进价为每件40元，当售价为每件80元时，每星期可卖出200件，现需降价处理，且经市场调查发现：每降价1元，每星期可多卖出8件，店里每周利润要达到8450元．若设店主把该商品每件售价降低x元，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，准确分析找出等量关系列出方程是解题的关键． 先根据售价降低元，分别计算出每件商品的利润和销售量，再利用总利润每件利润销售量列出方程，即可得解． 【详解】解：原来售价为每件元，进价为每件元，利润为每件元，又每件售价降低元后，利润为每件元； 每降低1元，每星期可多卖出件，所以每件售价降低元，每星期可多卖出件，现在的销量为件， 根据题意得：． 故选． 22．某商店经销一种销售成本为20元/个的商品，当售价为每个30元时，每月可售出1000个，根据市场分析，每涨价1元，每月要少售出100个；每降价1元，则每月多售出100个．当该商品的售价定为（    ）元/个时，月利润为9600元 A．32 B．28 C．32或36 D．32或28 【答案】D 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用题，审清题意、正确列出一元二次方程是解题的关键． 设销售价应定为每件x元，然后根据题意列一元二次方程求解即可． 【详解】解：设销售价应定为每件x元， 当涨价时：由题意可得：， 整理得：， 解得：或（舍去）， 所以该商品的售价定为32元/个时，月利润为9600元； 当降价时：由题意可得：， 整理得：， 解得：（舍去）或， 所以该商品的售价定为28元/个时，月利润为9600元； 综上所述，当该商品的售价定为32或28元/个时，月利润为9600元． 故选D． 23．某皮衣专卖店销售某款皮衣，其进价为每件750元，经市场调查发现，按每件1100元出售，平均每天可售出30件，每件降价50元，平均每天的销售量可增加10件，皮衣专卖店想要平均每天获利12000元，则每件皮衣定价为多少元？ (1)以下是小明和小红的两种不同设法，请帮忙填完整； 小明：设每件皮衣降价x元， 由题意，可列方程为________________． 小红：设每件皮衣定价为y元， 由题意，可列方程为________________． (2)每件皮衣定价为________元时，皮衣专卖店平均每天获得12000元． 【答案】(1)； (2)1050或950 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解此题的关键． （1）根据利润单件利润件数列出一元二次方程即可； （2）根据（1）中列出的一元二次方程计算即可得解． 【详解】（1）解：小明：设每件皮衣降价x元，则平均每天的销售量为件， 依题意，得； 小红：设每件皮衣定价为y元，则平均每天的销售量为件， 依题意，得． （2）解：选择小明的设法，则， 整理，得， 解得，， 则定价为元或元， 答：每件皮衣定价为1050元或950元； 选择小红的设法，则， 整理，得， 解得，． 答：每件皮衣定价为1050元或950元． 24．芯片目前是全球紧缺资源，某市政府通过招商引进“芯屏汽合、集终生智”等优势产业，发展新兴产业，某芯片公司引进了一条内存芯片生产线，开工第一季度生产200万个，第三季度生产288万个．试回答下列问题： (1)已知第二、三季度生产量的平均增长率相等，求第二、三季度生产量的平均增长率； (2)经调查发现，1条生产线最大产能是600万个/季度，若每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减少20万个/季度，现该公司要保证每季度生产内存芯片2600万个，在增加产能同时又要节省投入成本的条件下（生产线越多，投入成本越大），应该再增加几条生产线？ 【答案】(1) (2)4条 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设第二，三季度生产量的平均增长率为，利用第三季度的生产量第一季度的生产量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）设应该再增加条生产线，则每条生产线的最大产能为万个/季度，根据该公司要保证每季度生产内存芯片2600万个，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再结合在增加产能同时又要节省投入成本，即可得出应该再增加4条生产线． 【详解】（1）解：设第二，三季度生产量的平均增长率为， 依题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：第二，三季度生产量的平均增长率为． （2）解：设应该再增加条生产线，则每条生产线的最大产能为万个/季度， 依题意得：， 整理得：， 解得：， 又∵在增加产能同时又要节省投入成本， ∴． 答：应该再增加4条生产线． 题型七、动态几何问题 25．如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点运动；同时，点从点出发沿以的速度向点运动，点运动到点时，点也停止运动；当的面积等于时，运动时间为（      ） A．2 B．4 C．10 D．2或10 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，关键是根据题意找到关系式． 设运动时间为，则，，利用三角形面积的计算公式结合的面积等于，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论． 【详解】解：四边形是矩形， ， ． 设运动时间为，则，， 根据题意列一元二次方程得： ， 整理得，， 整理得：， 解得，（不合题意，舍去）． 即当的面积等于时，运动时间为． 故选：A． 26．如图，在中,．点P从B出发，以的速度向终点C运动；同时，点Q从C出发，以的速度向终点A运动．后,的面积等于4，则t的值为(    ) A．1或4 B．2或4 C．2 D．1 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的应用及三角形面积公式，解题的关键是根据运动时间表示出线段长度，再结合面积公式列方程求解． 先根据运动速度和时间表示出、的长度；再利用直角三角形面积公式列出关于的方程；最后结合动点的运动范围求解的值． 【详解】解：由题意，秒后，，，则． 因为，所以，即， 化简得，解得，． 又因为点到的时间为秒，点到的时间为秒，故符合题意． 故选：A． 27．如图，在中，已知，，，点，是边上的两个动点，点从点开始，沿方向运动，速度为每秒个单位长度，点从点开始，沿方向运动，速度为每秒个单位长度，它们同时出发，设运动时间为秒．（值用小数表示）      （1）当为______时，是等腰三角形； （2）当点在上运动时，值从小到大依次是______，______，______时，为等腰三角形． 【答案】 6 【分析】本题考查了直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形不同边相等的各类情况，并用勾股定理求出对应线段长度是解题的关键． （1）先根据是等腰三角形，得到，用含有t的式子将表示出来，再围绕利用勾股定理，即可求解． （2）分别讨论、和三种情况，利用等腰三角形的性质和勾股定理先求的长度，再求t，即可求解． 【详解】解：（）如图， 由于，要使是等腰三角形，只能，， 在 中，， ，解得， 故答案为：； （）当点在上运动时，要使为等腰三角形，分三种情况， ①如图，当时， 可得， ， ， ， 在 中，， ， ， ，即，解得； ②如图，当时， 可知，即，解得； ③如图，当 ，过点作，垂足为点， 则， ， ， ， ， ，解得； 综上所述，当运动时间为秒或秒或秒时，为等腰三角形． 故答案为：，，． 28．如图，在长方形中，，，点P以的速度从顶点A出发，沿折线向点C运动，同时点Q以的速度从顶点C出发，沿向点D运动，当其中一个动点到达终点时，另一点也随之停止运动． (1)两动点运动几秒时，四边形的面积是长方形面积的？ (2)是否存在某一时刻，使得点P与点Q之间的距离为？若存在，求出该时刻；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)秒 (2)存在，或 【分析】（1）要使四边形的面积是长方形面积的，此时点P应在上，才能构成四边形．根据路程速度时间，分别用t的代数式表示、的长，再根据梯形的面积公式列方程求解； （2）根据勾股定理列方程即可，注意分情况考虑． 【详解】（1）解：设两动点运动t秒，使四边形的面积是长方形面积的． 根据题意，得，，， 长方形的面积， ， ， 解得：， 所以，两动点运动秒时，四边形的面积是长方形面积的． （2）解：存在，理由如下： 设两动点经过t秒使得点P与点Q之间的距离为． 点P到达B时，；点P到达C时，，      ①当时，如图①，过点作于点， 四边形是长方形， ，， ， 由勾股定理得：， ， 解得：，； ②当时，如图②， ， 由勾股定理得：， ， ， 此时，此方程无解． 综上所述，当两点运动时间为或时，点P与点Q之间的距离为． 题型八、工程问题 29．某花木园，计划在园中栽96棵桂花树，开工后每天比原计划多栽2棵，结果提前4天完成任务．问原计划每天栽多少棵？ 【答案】6 【分析】本题主要考查了可化为一元二次方程的分式方程的应用，正确的找出等量关系列出方程是解题的关键．利用分式方程解应用题时，一般题目中会有两个相等关系，在本题中“开工后每天比原计划多栽2棵”和“提前4天完成任务”，就是两个相等关系．根据题目所要解决的问题，选择第二个相等关系作为列方程的依据，而另一个则用来设未知数． 【详解】解：设原计划每天栽x棵，那么原计划完成任务所需的天数为，实际每天栽棵树棵，实际完成任务所需的天数为， 依题意列方程得： ， 整理得： 解方程得：（舍去） 故原计划每天栽6棵桂花树． 30．列方程解下列问题： 某大型腊肉加工厂只加工甲、乙两种腊肉礼盒，已知每名工人每天加工甲种腊肉礼盒数量是加工乙种腊肉礼盒数量的1.5倍．某天，当分配加工甲种腊肉礼盒的工人比加工乙种腊肉礼盒的工人少20人时，当天加工出厂的甲、乙种腊肉礼盒数量均为14400个． (1)求每名工人每天加工甲、乙两种腊肉礼盒数量各多少个？ (2)春节将至，订单激增．该厂一方面对所有工人重新分配：名加工乙种腊肉礼盒，其余的工人加工甲种腊肉礼盒：另一方面提高生产效率：每名工人每天加工乙种腊肉礼盒比以前增加个，每名工人每天加工甲种腊肉礼盒比以前增加个．已知该厂每天加工的甲、乙两种腊肉礼盒共36000个，求的值． 【答案】(1)360个；240个 (2)80 【分析】本题考查分式方程和一元二次方程的实际应用： （1）设每名工人每日加工乙种腊肉礼盒个，则每名工人每日加工甲种腊肉礼盒个，根据题意列分式方程，解方程即可． （2）先根据（1）中结论求出工人总数，再根据该厂每天加工的甲、乙两种腊肉礼盒共36000个，列一元二次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设每名工人每日加工乙种腊肉礼盒个，则每名工人每日加工甲种腊肉礼盒个． 根据题意，得． 化为整式方程，得， 解方程，得． 经检验，是原方程的解． 则． 答：每名工人每日加工甲种腊肉礼盒360个，每名工人每日加工乙种腊肉礼盒240个． （2）解：工人总数为：（人）． 根据题意，得． 整理得． 解得，（舍去）． 答：的值为80． 31．北京冬奥会期间，海内外掀起一股购买冬奥会吉祥物“冰墩墩”的热潮．某玩具厂接到6000箱“冰墩墩”的订单，需要在冬奥会闭幕之前全部交货．为了尽快完成订单，玩具厂改良了原有的生产线，每天可以多生产20箱“冰墩墩”，结果提前10天完成任务，求该玩具厂改良生产线前每天生产多少箱“冰墩墩”？ 【答案】100箱 【分析】设该玩具厂改良生产线前每天生产x箱“冰墩墩”，则该玩具厂改良生产线后每天生产(x+20)箱“冰墩墩”，根据题意即可列出分式方程，解分式方程即可求得． 【详解】解：设该玩具厂改良生产线前每天生产x箱“冰墩墩”，则该玩具厂改良生产线后每天生产箱“冰墩墩”， 根据题意得 整理得： 解得，(舍去) 经检验：，都是原方程的解，但不符合题意舍去， 故该玩具厂改良生产线前每天生产100箱“冰墩墩”． 【点睛】本题考查了分式方程的实际应用，找准等量关系，列出分式方程是解决本题的关键，注意要检验． 32．某快递公司分拣中心有两台自动分拣机（型号甲、型号乙），专门处理小件快递的分拣工作，机器效率稳定且符合行业实际标准：甲分拣机每小时能分拣400件快递，乙分拣机每小时能分拣500件快递． (1)电商大促期间，快件量激增，两台分拣机轮流工作共用了11小时，要确保分拣的快递总数不少于5000件才能避免快件积压，保障配送时效，则乙分拣机至少需要工作多少小时？ (2)日常运营中，原计划两台分拣机每天均工作8小时．为提升分拣效率，中心对机器进行了系统升级和算法优化：实际工作中，甲分拣机每小时比原计划多分拣100a件（），且每天比原计划少工作2a小时；乙分拣机每小时比原计划多分拣100件，每天比原计划少工作a小时．调整后，两台机器一天恰好分拣快递6000件，求a的值． 【答案】(1)乙分拣机至少工作小时 (2)的值为 【分析】本题考查一元一次不等式和一元二次方程的实际应用，掌握一元二次方程的实际应用是解题的关键． （1）设乙分拣机工作小时，则甲分拣机工作小时，根据题意，列出不等式，求解即可； （2）根据题意，列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：设乙分拣机工作小时，则甲分拣机工作小时， 根据题意列不等式， 解得 答：乙分拣机至少工作小时； （2）根据题意，甲分拣机实际效率为件/小时，实际工作时间为小时；乙分拣机实际效率为件/小时，实际工作时间为小时， 根据题意列方程，， 解得（不符合题意，故舍去）， 答：的值为． 题型九、行程问题 33．在物理中，沿着一条直线且速度均匀增大或减小的运动，叫做匀变速直线运动．在此运动过程中，每个时间段的平均速度为初速度和末速度的算术平均数，例如，在一个时段内，初速度为20米/秒，末速度为30米/秒，则这个时间段的平均速度为米/秒．运动路程等于时间与平均速度的乘积（即）．若一个小球以10米/秒的初速度沿平滑的直线向前滚动，并且均匀减速，5秒后小球停止运动． (1)小球的滚动速度平均每秒减少___________米/秒，从开始到滚动了秒后小球的速度为___________米/秒； (2)小球滚动24米用了多少秒？ 【答案】(1)2， (2)4秒 【分析】本题考查了一元二次方程在匀变速直线运动中的应用，涉及平均速度公式、路程公式．解题用到的思想是方程思想，方法是根据题意建立速度、时间、路程的数量关系，通过列方程求解；解题关键是理解匀变速直线运动中平均速度的计算方法（初末速度的算术平均数）以及路程公式即的应用；易错点是在求解时间时，忽略小球停止运动的时间限制（5秒），导致误选不符合实际的解． （1）根据“速度均匀减少”的特点，用初速度与停止时的速度差除以时间可求每秒速度减少量；再根据速度减少规律，得出t秒后的速度表达式． （2）先根据平均速度公式求出时间段内的平均速度，再结合路程公式即建立关于时间t的一元二次方程，求解后结合小球停止时间的限制，舍去不符合实际的解，得到最终时间． 【详解】（1）根据题意，小球平均每秒速度减少量为：（米/秒）． 从开始滚动t秒后，速度减少了米/秒，所以此时速度为：（米/秒）． 故答案为：2，． （2）根据题意，平均速度． 因为运动路程即，且米， 解得，． 因为小球5秒后停止运动，不符合实际情况，舍去． 答：小球滚动24米用了4秒． 34．一个小球以的速度开始向前滚动，并且均匀减速，后停止运动． (1)小球的滚动速度平均每秒少 ． (2)已知小球滚动用了秒．（温馨提示：表示小球滚动秒时的瞬时速度，平均速度，滚动路程） ①求这段时间内小球的平均速度（用含的整式表示） ②求值． 【答案】(1) (2)①，② 【分析】本题考查了列代数式，一元二次方程的应用． （1）从滚动到停下平均每秒速度减少值为：速度变化÷小球运动速度变化的时间，再进一步求解即可. （2）①利用列代数式即可； ②利用建立一元二次方程求解即可. 【详解】（1）解：从滚动到停下平均每秒速度减少值为：速度变化÷小球运动速度变化的时间， 即， 故小球的滚动速度平均每秒减少． （2）解：①这段时间内小球的平均速度； ②由题意得：， 整理得：， 解得：，， ∵， ∴不符合题意， ∴. 35．如图，甲、乙从直径的两端点、分别按顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动，甲运动的路程与时间之间满足关系式，乙以的速度匀速运动，半圆的长度为。 (1)甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了多长时间？ (2)甲、乙从开始运动到第二次相遇时，它们运动了多长时间？ 【答案】(1)甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了; (2)甲、乙从开始运动到第二次相遇时，它们运动了. 【分析】根据题意：甲乙第一次相遇时，二者的路程之和为半圆长度21cm，列方程计算即可； 甲乙第二次相遇时，二者的路程之和为三个半圆长度，列方程计算即可. 【详解】解：（1）由图可知，甲、乙第一次相遇时，走过的总路程为半圆的长度21cm. ， 解得，（不合题意，舍去）. 答：甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了. （2）由图可知，甲、乙第二次相遇时，走过的总路程为三个半圆的长度. ， 解得，（不合题意，舍去）. 答：甲、乙从开始运动到第二次相遇时，它们运动了. 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，正确找出等量关系，列出一元二次方程是解题的关键. 36．如图，钢球从斜面A顶端M由静止开始沿斜面滚下，速度每秒增加． (1)设（单位：）是滚动时间t（单位：s）时的速度，t和数量关系见下表： t（秒） 0 1 2 3 … （米/秒） 0 2 a b … 由题意可知：______，______； (2)若斜面A的坡面长为，此钢球由静止开始从顶端M滚到底端N， ①求钢球在此运动中滚动的时间； ②当此钢球滚动到N处时，由于惯性作用，又沿斜面B向上滚动，速度每秒减少．若斜面B的坡面足够长，此钢球最多离N处多远就会返回往下滚？（友情提示：路程，，是开始时速度，是t秒时的速度） 【答案】(1)4；6 (2)①4秒；②20米 【分析】本题主要查了一元二次方程的应用： （1）根据速度每秒增加，完成表格，即可求解； （2）①设此钢球由静止开始从顶端M滚到底端N需经过t秒，则到N处时钢球速度为米/秒，据题意列方程，即可求解；②设钢球滚动x秒就会返回往下滚，则往回滚时速度为0米/秒，由题意可知钢球到N处时速度为8米/秒，列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：； 故答案为：4；6 （2）解：①设此钢球由静止开始从顶端M滚到底端N需经过t秒， 则到N处时钢球速度为米/秒，据题意列方程为： ，解得：， ∵， ∴， 答：设此钢球由静止开始从顶端M滚到底端N需经过4秒； ②设钢球滚动x秒就会返回往下滚，则往回滚时速度为0米/秒， 由题意可知钢球到N处时速度为8米/秒， ∴， 解得：， 则（米） 答：钢球最多离N处20米就会返回往下滚． 题型十、图表信息题 37．如图是今年某月的日历表，小欧用一个平行四边形，框出6个数字，其中最小数与最大数的积是264，求小欧框出的最小数． 【答案】12 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据日历中的数字规律，确定最大数与最小数是解题的关键．设最小数为x，根据题意，得到最大数为，列出方程为，解方程即可． 【详解】设最小数为x，则最大数为， ， ， 解得（舍去）， 所以小欧框出的最小数是12． 38．【观察思考】 围棋起源于中国，至今已有4000多年的历史，围棋使用圆形黑、白两色棋子在方形格状的棋盘上对弈．如图是用黑、白两色围棋子摆出的一组有规律的“箭头”图案． 【规律发现】 （1）按此规律继续摆下去，第（为正整数）个图案中，白棋有____________个，黑棋有____________个；（用含的代数式表示） 【规律应用】 （2）若在第个图案中，黑棋和白棋的数量之积为253，求的值． 【答案】（1），；（2）10． 【分析】本题考查了图形的变化类问题、一元二次方程的应用等知识点，根据各个图形中棋子的颗数发现规律是解题的关键． （1）观察图形发现图形的规律，然后用规律写出第n个图案中黑色棋子的个数与白色棋子的个数即可； （2）由题意可得，然后解一元二次方程即可． 【详解】解：（1）第1个图案中白色棋子的个数为2，黑色棋子的个数为5； 第2个图案中白色棋子的个数为3，黑色棋子的个数为7； 第3个图案中白色棋子的个数为4，黑色棋子的个数为9； …… 第n个图案中白色棋子的个数为，黑色棋子的个数为． 故答案为：，． （2）由题意得：第个图案中，黑棋和白棋的数量之积为， 则，解得：或（不合题意舍弃）． 所以正整数n的值为10． 39．在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图是2024年10月份的日历．我们任意选择其中所示的菱形框部分，将每个菱形框部分中去掉中间位置的数之后，相对的两对数分别相乘，再相减，例如：，．不难发现，结果都是48． (1)请证明发现的规律； (2)若用一个如图所示菱形框，再框出5个数字，其中最小数与最大数的积为435，求出这5个数中的最大数． 【答案】(1)见解析 (2)这5个数中最大数为29． 【分析】本题考查一元二次方程的应用． （1）根据题目数据，设中间的数为a，则另外4个数可以用a的式子表示出来，即可列出算式进行证明； （2）设最大数为为x，则最小数为，列出一元二次方程解答即可． 【详解】（1）证明：设中间的数为a，则另外4个数分别为，，，， ∴； （2）解：设这5个数中最大数为x，则最小数为， 依题意，得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：这5个数中最大数为29． 40．体重为衡量个人健康的重要指标之一，表（1）为成年人利用身高（米）计算理想体重（公斤）的三种方式，由于这些计算方式没有考虑脂肪及肌肉重量占体重的比例，结果仅供参考． 表（1） 算法一 女性理想体重 男性理想体重 算法二 算法三 表（2） 实际体重 类别 大于理想体重的 肥胖 介于理想体重的 过重 介于理想体重的 正常 介于理想体重的 过轻 小于理想体重的 消瘦 (1)甲说：有的女性使用算法一与算法二算出的理想体重会相同．你认为正确吗？请说明理由． (2)无论我们使用哪一种算法计算理想体重，都可将个人的实际体重表（2）归类为的其中一种类别． ①一名身高为米的成年男性用算法二得出的理想体重不低于70公斤，直接写出的取值范围________． ②小王的父亲身高1.75米，体重为73公斤，请根据算法三算出父亲的理想体重，并评估他可能被归类为哪一种类别？ 【答案】(1)甲的说法不正确，理由见解析 (2)①；②过重 【分析】该题主要考查了求代数式的值，一元二次方程，一元一次不等式的应用，解题的关键是熟练掌握表中算法，两个表的互补性． （1）设女性身高为x米，根据算法一和算法二的计算方法表示出理想体重，列出方程求解，判断即可； （2）①由男性的理想体重算法二，列不等式，求出h的取值范围即可；②由男性的理想体重算法三，求出小王的父亲的理想体重，算出实际体重占理想体重的百分比，再对照表（2）比较即得． 【详解】（1）解：假设甲叙述正确，设女性的身高为x米， 根据题意，得， 整理，得， ∵， ∴原方程没有实数根， ∴假设不成立，即甲叙述错误； （2）解：①由题意可知：， 解得， 故答案为：； ②小王父亲的理想体重（公斤）， 实际体重占比， 过重， 答：小王的父亲体重被归类为过重类别． 题型十一、握手循环问题 41．在物理中，沿着一条直线且速度均匀地增大或减小的运动，叫作匀变速直线运动．在此运动过程中，每个时间段的平均速度为初速度和末速度的算术平均数，例如，在一个时间段内，初速度为10米/秒，末速度为30米/秒，则这个时间段的平均速度为（米/秒）．运动路程等于时间与平均速度的乘积（即）．若一个小球以10米/秒的初速度沿平滑的直线向前滚动，并且均匀减速，5秒后小球停止运动． (1)小球的滚动速度平均每秒减少________米，从开始到滚动了秒后小球的速度为________米/秒． (2)小球从开始到滚动21米用了多少秒？ (3)小球在最后一秒滚动了多少米？ 【答案】(1)2， (2)秒 (3)米 【分析】（1）根据以的速度开始向前滚动，并且均匀减速，5秒后小球停止运动列式计算即可； （2）设小球滚动21米用了秒，由时间速度路程，列出一元二次方程，解方程即可． （3）根据（1）中结论得出小球滚动距离，再代入和作差即可解答． 【详解】（1）解：小球的滚动速度平均每秒减少， 从开始到滚动了秒后小球的速度为米/秒， （2）解：设小球滚动21米用了秒，此时小球的末速度为 米/秒， 根据题意，得 整理得 解得 ， 当 时， ，不符合实际，舍去 因此 答：小球从开始到滚动21米用了3秒． （3）解：∵小球的滚动速度平均每秒减少，从开始到滚动了秒后小球的速度为米/秒， ∴小球滚动距离， 当时，， ∴小球滚动25米后停止， 当时，， 故小球在最后一秒滚动了米． 42．综合与实践问题情境：在数学活动课上，同学们对三角形点阵中前n行的点数计算进行探究活动．如图1，这是一个三角形点阵，从上到下有无数行，其中第一行有1个点，第二行有2个点，···第n行有n个点． (1)数学建模：容易发现10是三角形点阵前4行的点数和，但是遇到较大的点数，逐个数点很繁琐．在探究的过程中，将一个正立的三角形点阵倒立，再与正立的原三角形点阵拼成一个平行四边形点阵（如图2），三角形点阵的点数和为平行四边形点阵中点的数量的一半．由此得图1中三角形点阵前8行的点数和是________．图1中三角形点阵前n行的点数和是________． (2)问题解决：一群人走进果园去摘石榴，第一个人摘了1个石榴，第二个人摘了2个石榴，第三个人摘了3个石榴，以此类推，后进果园的人都比前一个人多摘一个石榴，这群人刚好把果园的石榴全部摘下来了，如果平均分配，每个人可以得到6个石榴，问这群人共有多少人？ 【答案】(1)36， (2)11人 【分析】（1）从图2可知平行四边形点阵是由n行每行个点组成的，所以总数为，而三角形点阵数量是同行数平行四边形点阵数量的一半，即，然后把代入计算即可； （2）设这群人有x人，根据（1）的结论可知这群人摘石榴的总数为，根据这些石榴平均分配每人可得6个，可建立方程求解． 【详解】（1）解：∵从图2可知平行四边形点阵是由n行每行个点组成的， ∴总数量为， ∵三角形点阵的点数和为平行四边形点阵中点的数量的一半， ∴图1中三角形点阵前n行的点数和为； 当时，， 即图1中三角形点阵前8行的点数和是36； （2）解：设这群人共有x人． 由题意得， 即， 解得（舍去），． 故这群人共有11人． 43．综合与实践 【项目主题】 班级劳动实践小组拟用正方形和圆形代表两种花卉为某单位设计花卉展览图案． 【项目准备】 正方形和圆形分别代表盆景和花卉，同学们已经知道数学公式：（n为正整数）． 【项目分析】 第1个图案中盆景的盆数为6，花卉的盆数为2； 第2个图案中盆景的盆数为10，花卉的盆数为7； 第3个图案中盆景的盆数为14，花卉的盆数为14； 第4个图案中盆景的盆数为18，花卉的盆数为23； ．．． 【项目实施】 按照以上规律，解答下列问题： (1)第5个图案中盆景的盆数为___________，花卉的盆数为___________； (2)第（为正整数）个图案中盆景的盆数为___________，花卉的盆数为___________； (3)已知该单位实施的花卉展览图案中花卉比盆景多77盆，求该单位购买盆景和花卉的盆数． 【答案】(1)22，34 (2) (3)该单位购买盆景42盆，花卉119盆 【分析】（1）根据材料提示计算即可； （2）根据图片的序号与图形中的数据关系，找出规律即可； （3）由（2）中的数量关系列式求解即可． 【详解】（1）解：第1个图案中盆景的盆数为，花卉的盆数为； 第2个图案中盆景的盆数为，花卉的盆数为； 第3个图案中盆景的盆数为，花卉的盆数为； 第4个图案中盆景的盆数为，花卉的盆数为； ∴第5个图案中盆景的盆数为，花卉的盆数为； 故答案为：22，34； （2）解：根据上述计算得到， 第（为正整数）个图案中盆景的盆数为，花卉的盆数为， 故答案为：； （3）解：设第个花卉展览图案中花卉比盆景多了77盆， 由题意得， 整理得，因式分解得， 解得或（不合题意，舍去）， 当时，， 答：该单位购买盆景42盆，花卉119盆． 44．月历中的奥秘（九年级版）：如图是年月的月历表，在此月历表上用一个矩形圈出三行三列的个数（如）．试解决以下的问题： (1)用矩形任意圈出的三行三列个数中，若最小的数设为，那么最中间的数可用表示为________，最大的数可用表示为________． (2)若矩形圈出的个数中，最大数与最小数的积为，这个数的和是多少？（请列方程解决） 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据图中每行和每列数的关系，即可得到答案． （2）设最小数为，最大数为，根据题意列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵每行的后一个数比前一个数大，每列的下一个数比上一个数大， ∴中间的数可用表示为， 最大的数可用表示为； 故答案为：；； （2）解：设最小数为，最大数为，根据题意可列方程：， ，解得或（舍去）， 最小数为，最大数为， 个数为， 其和为． 题型十二、其他问题 45．学校组织篮球联赛，赛制为单循环的形式（即每两队之间都赛一场）． (1)设有个球队参加比赛，比赛的场次数为，则与的关系是 ；（用含的代数式表示） (2)若学校计划安排场比赛，求应有多少个球队参加比赛？ 【答案】(1)； (2)学校应安排个球队参加比赛． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，关键是根据题意找到关系式． （1）利用比赛的总场数参赛球队支数（参赛球队支数），即可得与的关系； （2）根据题意可得，解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：根据题意可得， 故答案为：； （2）解：∵根据题意可得， ∴根据题意列一元二次方程得，， 解得，（舍）． 答：学校应安排个球队参加比赛． 46．某学校九年级举办了一场乒乓球比赛，比赛采用单循环赛制（每两位参赛选手之间都赛1场）． 乐乐和淇淇针对这次比赛有如下对话： 假设有x人报名参加比赛． (1)根据题意，乐乐列出的方程应该是：_________________________．请利用乐乐所列的方程分析淇淇的说法是否正确； (2)乐乐补充道：本次比赛的确一共进行了40场，只是在比赛过程中遇到了特殊情况，有1人身体不适，只参加了4场比赛后就中途退赛．请直接写出此时x的值． 【答案】(1)，淇淇的说法正确 (2)10 【分析】本题考查一元二次方程的应用，理解题意是解答的关键． （1）设有x人报名参赛，根据题意列方程，然后解方程，根据方程根的情况可得结论； （2）结合设有x人报名参赛，有一人比赛了4场后退出比赛，由题意得，整理并求解即可． 【详解】（1）解：     淇淇的说法正确，理由如下： 解得：，     ∵x取正整数， ∴，均不满足实际问题，舍去 所以淇淇的说法正确． （2）解：∵有一人比赛了4场后退出比赛， 由题意得， 解得（舍去）， ∴x的值为10． 47．（1）滦南县教育局十月举行了“初中杯篮球友谊赛”，采取单循环的比赛形式，即每两个球队之间都要比赛一场，计划安排55场比赛，那么共有多少支球队参加比赛呢？ （2）学校为奖励“初中杯篮球友谊赛”的优胜队员，派王老师到超市购买某种奖品，如下是超市销售员对王老师关于该奖品的销售信息的相关介绍： 方案一：若购买数量不超过10件，则单价为20元． 方案二：若购买数量超过10件，每多买一件，购买的所有奖品单价均降低元，但单价不得低于12元． 于是王老师便用300元买回了奖品，求王老师购买该奖品的件数． 【答案】（1）11支；（2）20件． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用． （1）设应邀请支篮球队参加比赛，根据题意列方程求解即可； （2）由题意可知奖品数超过了10件，设购买的件数为，根据题意列方程求解，进而判断是否符合题意即可． 【详解】（1）解：设应邀请支篮球队参加比赛， 根据题意，可列方程： 整理得 解得或（舍去） 答：应邀请11支篮球队参加比赛； （2）解：， 奖品数超过了10件， 设购买的件数为，则每件商品的价格为：元，根据题意可得： 解得：， 当时，； 当时，，不合题意舍去； 答：王老师购买该奖品的件数为20件． 48．作为国内围棋顶级职业联赛，2025“三国赤壁古战场杯”中国围棋甲级联赛吸引了众多爱好者关注．联赛采用循环赛制．每支队伍需与其余所有队伍各赛一场，充分展现各队实力．已知本次联赛共进行了120场激烈对决，求有多少支参赛队伍？ 【答案】有16支参赛队伍 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设有支参赛队伍，根据本次联赛共进行了120场激烈对决列方程求解即可． 【详解】解：设有支参赛队伍 解得（舍去） 答：有16支参赛队伍 1．（25-26九年级上·江苏徐州·期中）如图，在中,．点P从B出发，以的速度向终点C运动；同时，点Q从C出发，以的速度向终点A运动．后,的面积等于4，则t的值为(    ) A．1或4 B．2或4 C．2 D．1 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的应用及三角形面积公式，解题的关键是根据运动时间表示出线段长度，再结合面积公式列方程求解． 先根据运动速度和时间表示出、的长度；再利用直角三角形面积公式列出关于的方程；最后结合动点的运动范围求解的值． 【详解】解：由题意，秒后，，，则． 因为，所以，即， 化简得，解得，． 又因为点到的时间为秒，点到的时间为秒，故符合题意． 故选：A． 2．（25-26九年级上·全国·期末）如图是某月的日历表，在此日历表上用一个矩形圈出三行三列的 个数（如 ，，，，，，，，）．若圈出的 个数中，最大数与最小数的积为 ，则这 个数的和为 （   ） 日 一 二 三 四 五 六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，根据题意找出圈出的数中的数量关系是解题的关键． 设圈出的9个数中最小数为x，则最大数为，根据最大数与最小数的积为192列出方程求解x，再计算9个数的和． 【详解】解：∵最小数为x，最大数为，且， ∴， 解得或（舍去）， ∴最小数为8，最大数为24， ∴9个数为8、9、10、15、16、17、22、23、24， 其和为． 故选：D． 3．（2025九年级下·北京·专题练习）学生会举办摄影展览，在每张长和宽分别为厘米和厘米的长方形相片周围镶上一圈等宽的彩纸(如图)．经试验彩纸面积为相片面积的时较美观，则彩纸条的宽为_____． 【答案】厘米 【分析】本题考查一元二次方程在面积问题中的实际应用，关键是结合彩纸与相片面积的数量关系建立方程求解．首先设彩纸宽为厘米，分析得出镶彩纸后大长方形的长和宽；然后根据“彩纸面积=大长方形面积-相片面积”列出一元二次方程；最后解方程并舍去不符合实际的负根，得到彩纸的宽． 【详解】解：设彩纸条的宽为厘米． 镶上彩纸后，大长方形的长为厘米，宽为厘米，其面积为平方厘米； 由彩纸面积=大长方形面积-相片面积，可列方程： ， 化简整理得：， 因式分解得：， 解得：，(舍去)； 故答案为：厘米． 4．（25-26九年级上·北京·月考）2025年春节档动画电影《哪吒之魔童闹海》票房记录一再刷新，据网络平台数据显示，截至3月1日0时26分票房突破140亿，位居全球动漫电影票房榜首．2025年清明档（4月4日-4月6日）以总票房3.78亿元收官，4月4日的单日票房达到1.2亿，假设平均每天的票房增长率为，可列方程为___________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意并正确列方程是解题关键．假设平均每天的票房增长率为，由题意可知，4月4日的单日票房达到1.2亿，则5日的单日票房为亿，6日的单日票房为亿，再根据总票房3.78亿元列方程即可． 【详解】解：假设平均每天的票房增长率为， 则， 故答案为： 5．（25-26八年级上·河南周口·期末）如图，在中，，，．动点P从点B出发沿射线以的速度移动，设运动时间为，当为以或为底边的等腰三角形时，t的值是______． 【答案】或． 【分析】本题考查勾股定理和动点问题，设运动时间为，分别当为以或为底边的等腰三角形时，列方程解答即可． 【详解】解：设运动时间为， ， 当为以为底边的等腰三角形时，即， ∵，，， ∴， ∴，即， 解得：； 当为以为底边的等腰三角形时，即 ∴即 解得：或（舍去） ∴或． 6．（2025九年级下·北京·专题练习）学生会准备举办摄影展览，在一张长和宽分别为和的长方形相纸周围镶上一圈等宽的彩纸，经实验，彩纸面积为相纸面积的时较美观，求镶上的彩纸条的宽度(精确到)． 【答案】镶上的彩纸条的宽度约为 【分析】本题考查一元二次方程在几何面积问题中的实际应用，关键是根据“周围镶等宽彩纸”的条件，正确表示出镶纸后大长方形的长和宽，再利用彩纸与相纸的面积关系建立等量关系． 【详解】解：设镶上的彩纸条的宽度为． 根据题意，可列方程：． 整理化简为：． 在方程中，，，， 判别式， ， ； 答：镶上的彩纸条的宽度约为． 7．（25-26八年级下·北京·课后作业）如图，在长方形中，，，点P以的速度从顶点A出发，沿折线向点C运动，同时点Q以的速度从顶点C出发，沿向点D运动，当其中一个动点到达终点时，另一点也随之停止运动． (1)两动点运动几秒时，四边形的面积是长方形面积的？ (2)是否存在某一时刻，使得点P与点Q之间的距离为？若存在，求出该时刻；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)秒 (2)存在，或 【分析】（1）要使四边形的面积是长方形面积的，此时点P应在上，才能构成四边形．根据路程速度时间，分别用t的代数式表示、的长，再根据梯形的面积公式列方程求解； （2）根据勾股定理列方程即可，注意分情况考虑． 【详解】（1）解：设两动点运动t秒，使四边形的面积是长方形面积的． 根据题意，得，，， 长方形的面积， ， ， 解得：， 所以，两动点运动秒时，四边形的面积是长方形面积的． （2）解：存在，理由如下： 设两动点经过t秒使得点P与点Q之间的距离为． 点P到达B时，；点P到达C时，，      ①当时，如图①，过点作于点， 四边形是长方形， ，， ， 由勾股定理得：， ， 解得：，； ②当时，如图②， ， 由勾股定理得：， ， ， 此时，此方程无解． 综上所述，当两点运动时间为或时，点P与点Q之间的距离为． 8．（25-26九年级上·北京·期末）一款服装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件服装降价1元，那么平均每天可多售出2件． (1)设每件衣服降价x元，则每天销售量增加 件，每件商品盈利 元（用含x的代数式表示）； (2)每件服装降价多少元时，商家平均每天能盈利1200元； 【答案】(1)2x，（40﹣x） (2)10元或20元 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用、列代数式等知识点，找准等量关系、正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）根据每件服装降价1元，那么平均每天可多售出2件，据此列代数式即可； （2）设每件服装降价x元，则每件的销售利润为元，平均每天的销售量为件，利用商家每天销售该款服装获得的利润等于每件的销售利润与日销售量的积，据此可列出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合需要让利于顾客即可解答． 【详解】（1）解：设每件衣服降价x元，则每天销售量增加件，每件商品盈利元． 故答案为：，． （2）解：设每件服装降价x元，则每件的销售利润为元，平均每天的销售量为件， 依题意得：， 整理得：，解得：． 答：每件服装降价10元或20元时，能让利于顾客并且商家平均每天能盈利1200元． 9．（24-25八年级下·北京·期末）根据以下素材，完成探索任务． 情景 制定芯片生产线扩张方案． 素材一 2025年储存芯片成为了全球稀缺商品．某芯片公司引进了一条储存芯片生产线．开工第一季度生产200万个，第三季度生产288万个． 素材二 经调查发现，一条生产线最大满负荷产能是300万个/季度，若每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减少20万个/季度． 问题解决 任务一 根据素材一，若该生产线每季度生产量的增长率相等，求第一季度到第三季度生产量的每季度增长率． 任务二 根据素材二，为迎接2026年的储存芯片需求，需要增加生产线，现该公司要保证每季度生产储存芯片最大总产能达到1200万个，在增加产能同时要节省投入成本的条件下（生产线越多，投入成本越大），请你为该公司决定应该增加多少条生产线． 【答案】 任务一： 任务二：条 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是根据题意找到等量关系，列出方程并求解． 任务一：根据第一季度和第三季度的产量，利用平均增长率的公式列方程求解； 任务二：根据生产线数量与每条生产线产能的关系，列方程求解并根据节省成本的条件确定最终答案． 【详解】解：任务一： 设第一季度到第三季度生产量的每季度增长率为， 根据题意得：， 解得，（不符合题意，舍去）， 答：第一季度到第三季度生产量的每季度增长率为； 任务二： 设增加条生产线，则每条生产线产能为万个/季度， 根据题意得：， 整理得，即， 解得或， 在增加产能同时要节省投入成本， ． 答：应增加条生产线． 10．（25-26九年级上·北京·期中）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．为响应全民阅读活动，某班利用午休时间开设图书角．据统计，第一天有8人次借阅图书，借阅图书的人次逐天增加，到第三天累计借阅图书的人次达到38人次，借阅图书的人次的每天平均增长率相同． (1)求借阅图书的人次的每天平均增长率（请列方程解决此问）． (2)因条件限制，图书角每天接纳能力不超过30人次，在借阅人次的每天平均增长率不变的条件下，该图书角能否接纳第四天的借阅人次，并说明理由． 【答案】(1) (2)能接纳，理由见详解 【分析】本题考查了一元二次方程的应用． （1）先设借阅图书的人次的每天平均增长率为x，根据题意和题目中的数据，可以列出方程，再求解即可； （2）根据（1）知平均增长率为，列出第四天的借阅人次并计算再进行比较即可． 【详解】（1）解：设借阅图书的人次的每天平均增长率为x， 则根据题意可列方程为：， 解得，（舍）， 即借阅图书的人次的每天平均增长率为． （2）解：能接纳， 理由：由（1）知借阅图书的人次的每天平均增长率为， ∴第四天的借阅人次为， ∵， ∴该图书角能接纳第四天的借阅人次． 11．（25-26九年级上·北京·期中）电动车虽然方便了我们的日常出行，但是部分电动车充电过程中十分危险，一旦发生着火、爆炸，将造成非常严重的危害。“人车分离”是保障大家生命安全的重要手段，阳光小区为实现“人车分离”，在小区外面搭建了两个矩形电动车车棚（如图），一边利用小区的后墙（可利用墙长为），其他的边用总长的铁栅栏围成，左右两侧各开一个长的出口（出口处不用栅栏），铁栅栏的形状如“山”字形． (1)若车棚占地面积，试求出电动车车棚的长； (2)若小区拟利用现有栅栏对电动车车棚进行扩建，保持“山”字形不变，请问能围成占地面积为的电动车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 【答案】(1)电动车车棚的长为 (2)不能围成占地面积为的电动车车棚，理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根的判别式，根据题意列出方程是解题的关键． （1）设电动车车棚的宽为，则车棚的长，根据车棚占地面积为，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）设电动车车棚的宽为，则车棚的长，根据车棚占地面积为，列出一元二次方程，再由根的判别式即可得出结论． 【详解】（1）解：设电动车车棚的宽为，则车棚的长， 根据题意可得， 解得，， 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； 故电动车车棚的长为； （2）解：不能围成占地面积为的电动车车棚，理由如下： 设电动车车棚的宽为，则车棚的长， 根据题意可得， 化简可得， ， 故方程无解， 则不能围成占地面积为的电动车车棚． 12．（25-26九年级上·广东深圳·期中）我们知道可以用配方法、因式分解法、公式法等求解一元二次方程．在数学史上，我国及其他国家的数学家还研究过一元二次方程的几何解法． 例：用几何解法求方程即的正根． 方法（Ⅰ）：三国时期数学家赵爽用4个以和为邻边的矩形，用“拼”的方式构造边长为的大正方形（如图1）； （1）根据图1的构造，用不同的方式表示大正方形面积，可以得到新的方程：，解得正根 ； 方法（Ⅱ）：阿拉伯数学家以和为邻边构造一个矩形（如图2），利用“割”、“拼”、“补”的方式构造边长为的正方形（如图3、4）； （2）根据图4的构造，用不同的方式表示大正方形面积，可以得到新的方程： ，解得正根 ； （3）实际上，对关于的方程，可以用方法（Ⅰ）、（Ⅱ）求出方程的正根．若图1是由四个面积为5的相同矩形构成，中间围成的小正方形面积为16，那么，此方程中的 ，求得方程的正根为 ； （4）类比图1、图4，请选择一种方法求方程的正根． ①在图5的正方形中设计构图，并在图上标出相应的线段长度； ②根据①中的构图，可以得到新的方程： ，解得正根为 ． 【答案】（1）；（2）；；（3）5；；（4）①见解析；②； 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解一元二次方程的正数解的几何解法是解题的关键． （1）利用直接开方法解一元二次方程即可； （2）用不同的方式表示大正方形面积得到新的方程，然后求解即可； （3）根据题意求出，然后列出方程求解即可； （4）①根据据图1的方法构造即可； ②根据题意列出方程求解即可． 【详解】（1） 解得， ∴正根为； （2）大正方形的面积可以表示为，大正方形的面积还可以表示为， ∴可以得到新的方程：， ∴ 解得， ∴正根为； （3）∵图1是由四个面积为5的相同矩形构成，中间围成的小正方形面积为16， ∴， ∴ 解得， ∴正根为； （4）①∵ ∴ ∴ 如图5所示， ②∵ 根据题意得， ∴ 解得， ∴正根为． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 一元二次方程的应用12大题型 目录 A题型建模・专项突破 题型一、根据题意列一元二次方程 1 题型二、传播问题 2 题型三、增长率问题 3 题型四、与图形有关的问题 5 题型五、数字问题 6 题型六、营销问题 8 题型七、动态几何问题 9 题型八、工程问题 11 题型九、行程问题 11 题型十、图表信息题 11 题型十一、握手循环问题 11 题型十二、其他问题 11 B综合攻坚・能力跃升 题型一、根据题意列一元二次方程 1．《九章算术》是我国古代数学名著，有题译文如下：今有门，不知其高宽；有竿，不知其长短．横放，竿比门宽长出尺；竖放，竿比门高长出尺；斜放，竿与门对角线长恰好相等．问门高、宽和对角线的长各是多少？设门对角线的长为尺，下列方程符合题意的是（   ） A． B． C． D． 2．生活垃圾无害化处理可以降低垃圾及其衍生物对环境的影响．据统计，2020年全国生活垃圾无害化处理能力约为3.6亿吨，随着设施的增加和技术的发展，2025年提升到约8亿吨．如果设这几年全国生活垃圾无害化处理能力的年平均增长率为，那么根据题意可以列方程为（    ） A． B． C． D． 3．秦岭是全球野生大熊猫的重要分布区，大熊猫与朱鹮、林麝、金丝猴、羚牛、金钱豹并称“秦岭六宝”．某网店售卖的大熊猫玩偶原本标价为元/个，因市场波动，经过两次降价后标价变为元/个，设大熊猫玩偶两次降价的平均降价率为，则根据题意可列方程为______． 4．如图，用长为34米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为20米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在上用其他材料做了宽为1米的两扇小门（如图），所围成花圃面积为平方米；设花圃垂直于墙的边长为x米．则可列方程_______．（不用化简） 题型二、传播问题 5．在某云平台的一次网络安全事件中，最初有5台服务器感染了病毒．经过两轮感染后，共有245台服务器感染了病毒，则每轮感染中平均每台服务器感染___________台服务器． 6．某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出相同数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是31，则这种植物每个支干长出的小分支个数是________． 7．化学是一门以实验为基础的学科，九班化学课代表小聪在老师的培训下，学会了高锰酸钾制取氧气的实验室制法，回到班上后开始教同学做实验，第一节课手把手教会了名同学，若第二节课小聪因家中有事请假了，班上其余会做该实验的每名同学又手把手教会了名同学，这样全班名同学恰好都会做这个实验了，求的值． 8．在化学老师的讲解下，小明同学第一个学会电解水实验，在接下来的分组实验课中，第一节课他教会了若干名同学，第二节课已经会做实验的同学每个人也教会了同样多的同学，这样全班49名同学恰好都会做这个实验了．问每个人一节课教会了多少名同学? 题型三、增长率问题 9．某热门生态旅游景区为提升服务质量，持续优化游览体验，游客接待量逐年稳步增长．已知该景区2023年全年接待游客总量为200万人次，2025年全年接待游客总量达到288万人次，且这两年游客量的年平均增长率相同，那么该景区这两年接待游客的年平均增长率为（   ） A． B． C． D． 10．共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放辆单车，计划第三个月投放单车的数量比第一个月多辆，则该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为________． 11．在全球新能源汽车产业蓬勃发展的浪潮中，中国凭借强大的产业实力和技术创新能力脱颖而出，已连续10年保持新能源汽车年产销量全球第一．随着技术迭代加速发展，某新能源汽车的电池成本持续下降，2023年电池成本约为1200元千瓦时，2025年电池成本约为972元千瓦时，求这两年该电池成本的年平均下降率． 12．为提升初三学生的数字化学习效率，学校上线了云端错题本工具，学生可自主上传错题、生成个性化错题卷．开学第一周，全年级使用该工具的学生有200人．经过两周的推广与同学的分享，第三周使用云端错题本的学生数量增长至242人． (1)求每周使用云端错题本的学生人数的平均增长率． (2)按照（1）中的平均增长率，估算第四周使用该工具的学生人数． 题型四、与图形有关的问题 13．学生会准备举办一次摄影展览，在每张长和宽分别为厘米和厘米的矩形相片周围镶上一圈等宽的彩纸．经试验，彩纸面积为相片面积的时较美观，求所镶彩纸的宽．(精确到厘米) 14．小军同学计划为一幅长寸，宽寸的创意画（图中阴影部分为其示意图）制作一个摆台画框，根据有关要求，画框的上、下边宽度相等，左、右边宽度相等，上、下边宽度是左、右边宽度的倍，若画框所占面积为创意画面积的，则摆台画框的左、右边宽度应是多少？ 15．如图，一个边长为的正方形花坛由4块全等的小正方形组成．在小正方形中，点分别在上，且，在、五边形三个区域上种植不同的花卉，每平方米的种植成本分别是20元、20元、10元． (1)当时，求小正方形种植花卉所需的费用； (2)试用含有的代数式表示五边形的面积； (3)当为何值时，大正方形花坛种植花卉所需的总费用是715元？ 16．如图，在矩形中，，．点从点出发，沿运动，速度为每秒个单位长度；点从点出发向点运动，速度为每秒个单位长度．、两点同时出发，当点运动到点时，两点同时停止运动，设点的运动时间为（秒）．连接、、． (1)点运动到点时，____________；当点运动到点时，的长度为____________． (2)当点在上时，用含的代数式表示的长． (3)当的面积为时，求的值． 题型五、数字问题 17．一个两位数等于它个位上的数的平方，且个位上的数字比十位上的数大3，则这个两位数是（   ） A． B． C．或 D．无法确定 18．如图是2025年4月的月历表，在此月历表上用一个正方形任意圈出2×2个位置上相邻的数（如2，3，9，10）．若圈出的4个数中最大数与最小数的积为128，设这4个数中最小数为x，则可列方程为______． 19．已知两个两位数，将它们各自的十位数字和个位数字交换位置后，得到两个新两位数，且这两个新两位数分别与它们对应的原数不同，若这两个两位数的乘积与交换位置后两个新两位数的乘积相等，则称这样的两个两位数为“幸福数对”，例如：，所以13和62是“幸福数对”． (1)请判断21与48是否是“幸福数对”，并说明理由； (2)有一个两位数，十位上的数字为，个位上的数字为x，另一个两位数，十位上的数字为，个位上的数字为．若这两个两位数为“幸福数对”，求出这两个两位数． 20．第十四届国际数学教育大会（）会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有共个基本数字．八进制数换算成十进制数是，表示的举办年份． (1)八进制数换算成十进制数是多少？ (2)小华设计了一个进制数，换算成十进制数是，求的值． 题型六、营销问题 21．某商品的进价为每件40元，当售价为每件80元时，每星期可卖出200件，现需降价处理，且经市场调查发现：每降价1元，每星期可多卖出8件，店里每周利润要达到8450元．若设店主把该商品每件售价降低x元，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 22．某商店经销一种销售成本为20元/个的商品，当售价为每个30元时，每月可售出1000个，根据市场分析，每涨价1元，每月要少售出100个；每降价1元，则每月多售出100个．当该商品的售价定为（    ）元/个时，月利润为9600元 A．32 B．28 C．32或36 D．32或28 23．某皮衣专卖店销售某款皮衣，其进价为每件750元，经市场调查发现，按每件1100元出售，平均每天可售出30件，每件降价50元，平均每天的销售量可增加10件，皮衣专卖店想要平均每天获利12000元，则每件皮衣定价为多少元？ (1)以下是小明和小红的两种不同设法，请帮忙填完整； 小明：设每件皮衣降价x元， 由题意，可列方程为________________． 小红：设每件皮衣定价为y元， 由题意，可列方程为________________． (2)每件皮衣定价为________元时，皮衣专卖店平均每天获得12000元． 24．芯片目前是全球紧缺资源，某市政府通过招商引进“芯屏汽合、集终生智”等优势产业，发展新兴产业，某芯片公司引进了一条内存芯片生产线，开工第一季度生产200万个，第三季度生产288万个．试回答下列问题： (1)已知第二、三季度生产量的平均增长率相等，求第二、三季度生产量的平均增长率； (2)经调查发现，1条生产线最大产能是600万个/季度，若每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减少20万个/季度，现该公司要保证每季度生产内存芯片2600万个，在增加产能同时又要节省投入成本的条件下（生产线越多，投入成本越大），应该再增加几条生产线？ 题型七、动态几何问题 25．如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点运动；同时，点从点出发沿以的速度向点运动，点运动到点时，点也停止运动；当的面积等于时，运动时间为（      ） A．2 B．4 C．10 D．2或10 26．如图，在中,．点P从B出发，以的速度向终点C运动；同时，点Q从C出发，以的速度向终点A运动．后,的面积等于4，则t的值为(    ) A．1或4 B．2或4 C．2 D．1 27．如图，在中，已知，，，点，是边上的两个动点，点从点开始，沿方向运动，速度为每秒个单位长度，点从点开始，沿方向运动，速度为每秒个单位长度，它们同时出发，设运动时间为秒．（值用小数表示）      （1）当为______时，是等腰三角形； （2）当点在上运动时，值从小到大依次是______，______，______时，为等腰三角形． 28．如图，在长方形中，，，点P以的速度从顶点A出发，沿折线向点C运动，同时点Q以的速度从顶点C出发，沿向点D运动，当其中一个动点到达终点时，另一点也随之停止运动． (1)两动点运动几秒时，四边形的面积是长方形面积的？ (2)是否存在某一时刻，使得点P与点Q之间的距离为？若存在，求出该时刻；若不存在，请说明理由． 题型八、工程问题 29．某花木园，计划在园中栽96棵桂花树，开工后每天比原计划多栽2棵，结果提前4天完成任务．问原计划每天栽多少棵？ 30．列方程解下列问题： 某大型腊肉加工厂只加工甲、乙两种腊肉礼盒，已知每名工人每天加工甲种腊肉礼盒数量是加工乙种腊肉礼盒数量的1.5倍．某天，当分配加工甲种腊肉礼盒的工人比加工乙种腊肉礼盒的工人少20人时，当天加工出厂的甲、乙种腊肉礼盒数量均为14400个． (1)求每名工人每天加工甲、乙两种腊肉礼盒数量各多少个？ (2)春节将至，订单激增．该厂一方面对所有工人重新分配：名加工乙种腊肉礼盒，其余的工人加工甲种腊肉礼盒：另一方面提高生产效率：每名工人每天加工乙种腊肉礼盒比以前增加个，每名工人每天加工甲种腊肉礼盒比以前增加个．已知该厂每天加工的甲、乙两种腊肉礼盒共36000个，求的值． 31．北京冬奥会期间，海内外掀起一股购买冬奥会吉祥物“冰墩墩”的热潮．某玩具厂接到6000箱“冰墩墩”的订单，需要在冬奥会闭幕之前全部交货．为了尽快完成订单，玩具厂改良了原有的生产线，每天可以多生产20箱“冰墩墩”，结果提前10天完成任务，求该玩具厂改良生产线前每天生产多少箱“冰墩墩”？ 32．某快递公司分拣中心有两台自动分拣机（型号甲、型号乙），专门处理小件快递的分拣工作，机器效率稳定且符合行业实际标准：甲分拣机每小时能分拣400件快递，乙分拣机每小时能分拣500件快递． (1)电商大促期间，快件量激增，两台分拣机轮流工作共用了11小时，要确保分拣的快递总数不少于5000件才能避免快件积压，保障配送时效，则乙分拣机至少需要工作多少小时？ (2)日常运营中，原计划两台分拣机每天均工作8小时．为提升分拣效率，中心对机器进行了系统升级和算法优化：实际工作中，甲分拣机每小时比原计划多分拣100a件（），且每天比原计划少工作2a小时；乙分拣机每小时比原计划多分拣100件，每天比原计划少工作a小时．调整后，两台机器一天恰好分拣快递6000件，求a的值． 题型九、行程问题 33．在物理中，沿着一条直线且速度均匀增大或减小的运动，叫做匀变速直线运动．在此运动过程中，每个时间段的平均速度为初速度和末速度的算术平均数，例如，在一个时段内，初速度为20米/秒，末速度为30米/秒，则这个时间段的平均速度为米/秒．运动路程等于时间与平均速度的乘积（即）．若一个小球以10米/秒的初速度沿平滑的直线向前滚动，并且均匀减速，5秒后小球停止运动． (1)小球的滚动速度平均每秒减少___________米/秒，从开始到滚动了秒后小球的速度为___________米/秒； (2)小球滚动24米用了多少秒？ 34．一个小球以的速度开始向前滚动，并且均匀减速，后停止运动． (1)小球的滚动速度平均每秒少 ． (2)已知小球滚动用了秒．（温馨提示：表示小球滚动秒时的瞬时速度，平均速度，滚动路程） ①求这段时间内小球的平均速度（用含的整式表示） ②求值． 35．如图，甲、乙从直径的两端点、分别按顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动，甲运动的路程与时间之间满足关系式，乙以的速度匀速运动，半圆的长度为。 (1)甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了多长时间？ (2)甲、乙从开始运动到第二次相遇时，它们运动了多长时间？ 36．如图，钢球从斜面A顶端M由静止开始沿斜面滚下，速度每秒增加． (1)设（单位：）是滚动时间t（单位：s）时的速度，t和数量关系见下表： t（秒） 0 1 2 3 … （米/秒） 0 2 a b … 由题意可知：______，______； (2)若斜面A的坡面长为，此钢球由静止开始从顶端M滚到底端N， ①求钢球在此运动中滚动的时间； ②当此钢球滚动到N处时，由于惯性作用，又沿斜面B向上滚动，速度每秒减少．若斜面B的坡面足够长，此钢球最多离N处多远就会返回往下滚？（友情提示：路程，，是开始时速度，是t秒时的速度） 题型十、图表信息题 37．如图是今年某月的日历表，小欧用一个平行四边形，框出6个数字，其中最小数与最大数的积是264，求小欧框出的最小数． 38．【观察思考】 围棋起源于中国，至今已有4000多年的历史，围棋使用圆形黑、白两色棋子在方形格状的棋盘上对弈．如图是用黑、白两色围棋子摆出的一组有规律的“箭头”图案． 【规律发现】 （1）按此规律继续摆下去，第（为正整数）个图案中，白棋有____________个，黑棋有____________个；（用含的代数式表示） 【规律应用】 （2）若在第个图案中，黑棋和白棋的数量之积为253，求的值． 39．在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图是2024年10月份的日历．我们任意选择其中所示的菱形框部分，将每个菱形框部分中去掉中间位置的数之后，相对的两对数分别相乘，再相减，例如：，．不难发现，结果都是48． (1)请证明发现的规律； (2)若用一个如图所示菱形框，再框出5个数字，其中最小数与最大数的积为435，求出这5个数中的最大数． 40．体重为衡量个人健康的重要指标之一，表（1）为成年人利用身高（米）计算理想体重（公斤）的三种方式，由于这些计算方式没有考虑脂肪及肌肉重量占体重的比例，结果仅供参考． 表（1） 算法一 女性理想体重 男性理想体重 算法二 算法三 表（2） 实际体重 类别 大于理想体重的 肥胖 介于理想体重的 过重 介于理想体重的 正常 介于理想体重的 过轻 小于理想体重的 消瘦 (1)甲说：有的女性使用算法一与算法二算出的理想体重会相同．你认为正确吗？请说明理由． (2)无论我们使用哪一种算法计算理想体重，都可将个人的实际体重表（2）归类为的其中一种类别． ①一名身高为米的成年男性用算法二得出的理想体重不低于70公斤，直接写出的取值范围________． ②小王的父亲身高1.75米，体重为73公斤，请根据算法三算出父亲的理想体重，并评估他可能被归类为哪一种类别？ 题型十一、握手循环问题 41．在物理中，沿着一条直线且速度均匀地增大或减小的运动，叫作匀变速直线运动．在此运动过程中，每个时间段的平均速度为初速度和末速度的算术平均数，例如，在一个时间段内，初速度为10米/秒，末速度为30米/秒，则这个时间段的平均速度为（米/秒）．运动路程等于时间与平均速度的乘积（即）．若一个小球以10米/秒的初速度沿平滑的直线向前滚动，并且均匀减速，5秒后小球停止运动． (1)小球的滚动速度平均每秒减少________米，从开始到滚动了秒后小球的速度为________米/秒． (2)小球从开始到滚动21米用了多少秒？ (3)小球在最后一秒滚动了多少米？ 42．综合与实践问题情境：在数学活动课上，同学们对三角形点阵中前n行的点数计算进行探究活动．如图1，这是一个三角形点阵，从上到下有无数行，其中第一行有1个点，第二行有2个点，···第n行有n个点． (1)数学建模：容易发现10是三角形点阵前4行的点数和，但是遇到较大的点数，逐个数点很繁琐．在探究的过程中，将一个正立的三角形点阵倒立，再与正立的原三角形点阵拼成一个平行四边形点阵（如图2），三角形点阵的点数和为平行四边形点阵中点的数量的一半．由此得图1中三角形点阵前8行的点数和是________．图1中三角形点阵前n行的点数和是________． (2)问题解决：一群人走进果园去摘石榴，第一个人摘了1个石榴，第二个人摘了2个石榴，第三个人摘了3个石榴，以此类推，后进果园的人都比前一个人多摘一个石榴，这群人刚好把果园的石榴全部摘下来了，如果平均分配，每个人可以得到6个石榴，问这群人共有多少人？ 43．综合与实践 【项目主题】 班级劳动实践小组拟用正方形和圆形代表两种花卉为某单位设计花卉展览图案． 【项目准备】 正方形和圆形分别代表盆景和花卉，同学们已经知道数学公式：（n为正整数）． 【项目分析】 第1个图案中盆景的盆数为6，花卉的盆数为2； 第2个图案中盆景的盆数为10，花卉的盆数为7； 第3个图案中盆景的盆数为14，花卉的盆数为14； 第4个图案中盆景的盆数为18，花卉的盆数为23； ．．． 【项目实施】 按照以上规律，解答下列问题： (1)第5个图案中盆景的盆数为___________，花卉的盆数为___________； (2)第（为正整数）个图案中盆景的盆数为___________，花卉的盆数为___________； (3)已知该单位实施的花卉展览图案中花卉比盆景多77盆，求该单位购买盆景和花卉的盆数． 44．月历中的奥秘（九年级版）：如图是年月的月历表，在此月历表上用一个矩形圈出三行三列的个数（如）．试解决以下的问题： (1)用矩形任意圈出的三行三列个数中，若最小的数设为，那么最中间的数可用表示为________，最大的数可用表示为________． (2)若矩形圈出的个数中，最大数与最小数的积为，这个数的和是多少？（请列方程解决） 题型十二、其他问题 45．学校组织篮球联赛，赛制为单循环的形式（即每两队之间都赛一场）． (1)设有个球队参加比赛，比赛的场次数为，则与的关系是 ；（用含的代数式表示） (2)若学校计划安排场比赛，求应有多少个球队参加比赛？ 46．某学校九年级举办了一场乒乓球比赛，比赛采用单循环赛制（每两位参赛选手之间都赛1场）． 乐乐和淇淇针对这次比赛有如下对话： 假设有x人报名参加比赛． (1)根据题意，乐乐列出的方程应该是：_________________________．请利用乐乐所列的方程分析淇淇的说法是否正确； (2)乐乐补充道：本次比赛的确一共进行了40场，只是在比赛过程中遇到了特殊情况，有1人身体不适，只参加了4场比赛后就中途退赛．请直接写出此时x的值． 47．（1）滦南县教育局十月举行了“初中杯篮球友谊赛”，采取单循环的比赛形式，即每两个球队之间都要比赛一场，计划安排55场比赛，那么共有多少支球队参加比赛呢？ （2）学校为奖励“初中杯篮球友谊赛”的优胜队员，派王老师到超市购买某种奖品，如下是超市销售员对王老师关于该奖品的销售信息的相关介绍： 方案一：若购买数量不超过10件，则单价为20元． 方案二：若购买数量超过10件，每多买一件，购买的所有奖品单价均降低元，但单价不得低于12元． 于是王老师便用300元买回了奖品，求王老师购买该奖品的件数． 48．作为国内围棋顶级职业联赛，2025“三国赤壁古战场杯”中国围棋甲级联赛吸引了众多爱好者关注．联赛采用循环赛制．每支队伍需与其余所有队伍各赛一场，充分展现各队实力．已知本次联赛共进行了120场激烈对决，求有多少支参赛队伍？ 1．（25-26九年级上·江苏徐州·期中）如图，在中,．点P从B出发，以的速度向终点C运动；同时，点Q从C出发，以的速度向终点A运动．后,的面积等于4，则t的值为(    ) A．1或4 B．2或4 C．2 D．1 2．（25-26九年级上·全国·期末）如图是某月的日历表，在此日历表上用一个矩形圈出三行三列的 个数（如 ，，，，，，，，）．若圈出的 个数中，最大数与最小数的积为 ，则这 个数的和为 （   ） 日 一 二 三 四 五 六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 A． B． C． D． 3．（2025九年级下·北京·专题练习）学生会举办摄影展览，在每张长和宽分别为厘米和厘米的长方形相片周围镶上一圈等宽的彩纸(如图)．经试验彩纸面积为相片面积的时较美观，则彩纸条的宽为_____． 4．（25-26九年级上·北京·月考）2025年春节档动画电影《哪吒之魔童闹海》票房记录一再刷新，据网络平台数据显示，截至3月1日0时26分票房突破140亿，位居全球动漫电影票房榜首．2025年清明档（4月4日-4月6日）以总票房3.78亿元收官，4月4日的单日票房达到1.2亿，假设平均每天的票房增长率为，可列方程为___________． 5．（25-26八年级上·河南周口·期末）如图，在中，，，．动点P从点B出发沿射线以的速度移动，设运动时间为，当为以或为底边的等腰三角形时，t的值是______． 6．（2025九年级下·北京·专题练习）学生会准备举办摄影展览，在一张长和宽分别为和的长方形相纸周围镶上一圈等宽的彩纸，经实验，彩纸面积为相纸面积的时较美观，求镶上的彩纸条的宽度(精确到)． 7．（25-26八年级下·北京·课后作业）如图，在长方形中，，，点P以的速度从顶点A出发，沿折线向点C运动，同时点Q以的速度从顶点C出发，沿向点D运动，当其中一个动点到达终点时，另一点也随之停止运动． (1)两动点运动几秒时，四边形的面积是长方形面积的？ (2)是否存在某一时刻，使得点P与点Q之间的距离为？若存在，求出该时刻；若不存在，请说明理由． 8．（25-26九年级上·北京·期末）一款服装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件服装降价1元，那么平均每天可多售出2件． (1)设每件衣服降价x元，则每天销售量增加 件，每件商品盈利 元（用含x的代数式表示）； (2)每件服装降价多少元时，商家平均每天能盈利1200元； 9．（24-25八年级下·北京·期末）根据以下素材，完成探索任务． 情景 制定芯片生产线扩张方案． 素材一 2025年储存芯片成为了全球稀缺商品．某芯片公司引进了一条储存芯片生产线．开工第一季度生产200万个，第三季度生产288万个． 素材二 经调查发现，一条生产线最大满负荷产能是300万个/季度，若每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减少20万个/季度． 问题解决 任务一 根据素材一，若该生产线每季度生产量的增长率相等，求第一季度到第三季度生产量的每季度增长率． 任务二 根据素材二，为迎接2026年的储存芯片需求，需要增加生产线，现该公司要保证每季度生产储存芯片最大总产能达到1200万个，在增加产能同时要节省投入成本的条件下（生产线越多，投入成本越大），请你为该公司决定应该增加多少条生产线． 10．（25-26九年级上·北京·期中）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．为响应全民阅读活动，某班利用午休时间开设图书角．据统计，第一天有8人次借阅图书，借阅图书的人次逐天增加，到第三天累计借阅图书的人次达到38人次，借阅图书的人次的每天平均增长率相同． (1)求借阅图书的人次的每天平均增长率（请列方程解决此问）． (2)因条件限制，图书角每天接纳能力不超过30人次，在借阅人次的每天平均增长率不变的条件下，该图书角能否接纳第四天的借阅人次，并说明理由． 11．（25-26九年级上·北京·期中）电动车虽然方便了我们的日常出行，但是部分电动车充电过程中十分危险，一旦发生着火、爆炸，将造成非常严重的危害。“人车分离”是保障大家生命安全的重要手段，阳光小区为实现“人车分离”，在小区外面搭建了两个矩形电动车车棚（如图），一边利用小区的后墙（可利用墙长为），其他的边用总长的铁栅栏围成，左右两侧各开一个长的出口（出口处不用栅栏），铁栅栏的形状如“山”字形． (1)若车棚占地面积，试求出电动车车棚的长； (2)若小区拟利用现有栅栏对电动车车棚进行扩建，保持“山”字形不变，请问能围成占地面积为的电动车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 12．（25-26九年级上·广东深圳·期中）我们知道可以用配方法、因式分解法、公式法等求解一元二次方程．在数学史上，我国及其他国家的数学家还研究过一元二次方程的几何解法． 例：用几何解法求方程即的正根． 方法（Ⅰ）：三国时期数学家赵爽用4个以和为邻边的矩形，用“拼”的方式构造边长为的大正方形（如图1）； （1）根据图1的构造，用不同的方式表示大正方形面积，可以得到新的方程：，解得正根 ； 方法（Ⅱ）：阿拉伯数学家以和为邻边构造一个矩形（如图2），利用“割”、“拼”、“补”的方式构造边长为的正方形（如图3、4）； （2）根据图4的构造，用不同的方式表示大正方形面积，可以得到新的方程： ，解得正根 ； （3）实际上，对关于的方程，可以用方法（Ⅰ）、（Ⅱ）求出方程的正根．若图1是由四个面积为5的相同矩形构成，中间围成的小正方形面积为16，那么，此方程中的 ，求得方程的正根为 ； （4）类比图1、图4，请选择一种方法求方程的正根． ①在图5的正方形中设计构图，并在图上标出相应的线段长度； ②根据①中的构图，可以得到新的方程： ，解得正根为 ． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $