精品解析：2026年黑龙江齐齐哈尔市铁峰区初三数学适应性训练

初三数学适应性训练 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 的倒数为（　　） A. 3 B. C. D. 2. 剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，入选中国国家级非物质文化遗产名录．下列剪纸图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，点、在射线上，直线，，那么的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 由5个相同的小正方体组成的几何体如图所示，该几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 6. 如果关于的分式方程的解是正数，那么实数的取值范围是（） A. B. C. 且 D. 且 7. 如图，随机闭合开关、、中的两个，能让两盏灯泡、同时发光的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 为推广某农作物玉米品牌，计划将100千克的玉米粉分装成3千克和5千克“玉米粉礼盒”捐赠给社区（两种礼盒都要有且每种礼盒不少于10盒）．现要准备两种不同的包装盒，则准备方案共有（ ） A. 1种 B. 2种 C. 3种 D. 4种 9. 如图，在中，，，．点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿折线运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿向点运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设的面积为，运动时间为秒，则下列图象中大致反映与之间函数关系的是（ ） A. B. C. D. 10. 二次函数的图象如图所示，顶点坐标为；与轴的交点为和点；与轴的交点在与之间（包括端点）．其中正确结论的个数是（） ①；②；③点，，都在抛物线上，则；④方程无实根；⑤． A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、填空题（每小题3分，满分18分） 11. 电影《你好，李焕英》累计票房约54.1亿元，将54.1亿用科学记数法表示为_____． 12. 马面裙（图1），又名“马面褶裙”，是我国古代女子穿着的主要裙式之一，如图2，马面裙可以近似地看作扇环（和的圆心为点O），A为的中点，，则该马面裙裙面（阴影部分）的面积为______． 13. 如图，平行四边形中，，交于，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于、两点，作直线，交于点，交于点，连接，若，的周长为14，则的长为______． 14. 如图，点、为反比例函数图像上的点，过点、分别作轴，轴，垂足分别为、，连接、、，线段交于点，点、恰好为、的中点，当的面积为时，的值为______________________． 15. 如图，在中，，，D为平面内一动点，，连接，将绕点D逆时针旋转得到，连接，当点E落在的边上时，的长为________． 16. 如图，直线与轴交于点，与直线交于点，过点作的垂线交轴于点，过点作的平行线交于点，过点作的垂线交轴于点，过点作的平行线交于点，…按此方法作下去，则点的坐标是_____． 三、解答题（满分72分） 17. 计算： （1）计算： （2）因式分解： 18. 求不等式组：的所有非正整数解． 19. 解方程： 20. 开展航空航天教育对提升青少年的科学素养有重要的意义．某学校对学生进行了航空航天科普教育并组织全校学生参加航空航天知识竞赛，每个学生回答10道问题，每题10分，赛后发现所有学生知识竞赛成绩不低于70分，为了更好地了解本次知识竞赛的成绩分布情况，从所有学生答题成绩中随机抽取部分学生答题成绩作为样本进行整理，绘制条形统计图和扇形统计图．部分信息如下： 请根据以上信息，完成下列问题： （1）①此次抽查的学生总数为_______； ②请补全抽取的学生成绩条形统计图； ③条形统计图中学生竞赛成绩得分的众数为_________分； （2）在扇形统计图中：______，得分为“100分”这一项所对应的圆心角是_____度； （3）已知该校共有3000名学生，请估计该校得分不低于90分的学生有多少名？ 21. 如图，是的直径，是的切线，延长至点，连接，，且平分． （1）求证：是的切线； （2）若，求． 22. 无人机表演团队进行无人机表演训练，甲无人机从地面起飞，乙无人机从距离地面12米高的楼顶起飞，甲、乙两架无人机同时匀速上升，6秒时甲无人机到达训练计划指定的高度停止上升开始表演，完成表演动作后，按原速继续上升，乙无人机继续匀速上升，当甲、乙无人机按照训练计划同时到达距离地面的高度为48米时，进行了时长为t秒的联合表演，表演完成后以相同的速度同时返回地面．甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度（米）与无人机飞升的时间x（秒）之间的函数关系如图所示．请结合图象解答下列问题： （1）联合表演前，甲无人机的速度为_____，乙无人机的速度为_____，联合表演时长为_____； （2）求图中线段所在直线的函数解析式； （3）请直接写出两架无人机表演训练时，它们的高度差为8米的时间． 23. 在中，，将绕点旋转得到，点的对应点落在边上，连接． （1）如图1，求证：； （2）如图2，当时，求的长； （3）如图3，过点作的平行线交的延长线于点，过点作的平行线交于点G，与交于点． ①求证：； ②当时，直接写出的值． 24. 综合与探究 如图1，抛物线经过、、三点，对称轴与抛物线相交于点，与直线相交于点，连接，． （1）求该抛物线的解析式； （2）如图1，抛物线上是否存在一点，使，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）如图2，若点为直线上方抛物线上一动点，连接交于点，当的值最大时，求面积； （4）如图1，点是轴上的动点，连接，请直接写出的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初三数学适应性训练 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 的倒数为（　　） A. 3 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查倒数的定义，熟练掌握其定义是做题的关键．根据倒数的定义，进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴的倒数为． 故选：D． 2. 剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，入选中国国家级非物质文化遗产名录．下列剪纸图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形与中心对称图形的概念，解决本题的关键是熟练掌握轴对称图形与中心对称图形的概念． 根据轴对称图形的概念，即如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；根据中心对称图形的概念，即在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，由此判断选项即可． 【详解】解：A选项，既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不满足题意； B选项，是轴对称图形，不是中心对称图形，不满足题意； C选项，既是轴对称图形，又是中心对称图形，满足题意； D选项，既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不满足题意． 故选：C ． 3. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、，原计算错误； B、，原计算错误； C、不是同类二次根式，不能合并，原计算错误； D、，正确. 4. 如图，点、在射线上，直线，，那么的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据邻补角互补和两直线平行内错角相等，求出的度数． 【详解】解：，， ， ， ． 5. 由5个相同的小正方体组成的几何体如图所示，该几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：左视图：由左向右观察物体得到的视图，对于该几何体，左视图从左到右有两列，第1列为1个小正方形，第2列为2个小正方形，C选项符合． 6. 如果关于的分式方程的解是正数，那么实数的取值范围是（） A. B. C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【详解】先解分式方程得到x关于m的表达式，再根据解为正数且分式分母不为零，列不等式求解即可． 解：， 变形得， 方程两边同乘去分母得， 整理得， 解得， ∵分式方程的分母不能为0， ∴，即， 解得， ∵方程的解是正数， ∴，即， 解得， 综上，实数的取值范围是且． 7. 如图，随机闭合开关、、中的两个，能让两盏灯泡、同时发光的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用列举法进行求解即可. 【详解】解：由题意，随机闭合2个开关共有三种等可能的结果，其中，能让两盏灯泡、同时发光的结果只有一种情况， 故. 8. 为推广某农作物玉米品牌，计划将100千克的玉米粉分装成3千克和5千克“玉米粉礼盒”捐赠给社区（两种礼盒都要有且每种礼盒不少于10盒）．现要准备两种不同的包装盒，则准备方案共有（ ） A. 1种 B. 2种 C. 3种 D. 4种 【答案】B 【解析】 【分析】先设两种礼盒的盒数，根据总重量列二元一次方程，再结合两种礼盒盒数不少于10盒的限制，找出所有符合条件的正整数解，统计方案数即可. 【详解】解：设3千克装礼盒有x盒，5千克装礼盒有y盒，x，y均为正整数， 根据题意得 ，且 ， ∴， 又∵x，y均为正整数，且 ， ∴当时，； 当时，； 当时，（舍去）； 故准备方案共有2种. 9. 如图，在中，，，．点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿折线运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿向点运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设的面积为，运动时间为秒，则下列图象中大致反映与之间函数关系的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、动点问题的函数图象、直角三角形的性质以及二次函数和一次函数的性质，熟练掌握分阶段分析动点运动过程并建立函数关系式是解题的关键． 分点在上和点在上两个阶段，分别求出的面积与运动时间的函数关系式，再根据函数关系式判断图象． 【详解】解：当点在上时（）： 过点作于点． ，， ． 又，， ． ． 这是一个二次函数，开口向下，顶点在处，但此阶段，函数在上图象不断上升，当时，． 当点在上时（）, ∵四边形是平行四边形， ，点从到用时秒， 此时在上的运动距离为，方向上的高与上的高相同，即（当时，后续在上时，到的距离不变）． ， ． 这是一个一次函数，随的增大而减小，当时，． 综上，当时，是开口向下的二次函数的一部分，图象不断上升；当时，是一次函数，图象不断下降． 故选：A． 10. 二次函数的图象如图所示，顶点坐标为；与轴的交点为和点；与轴的交点在与之间（包括端点）．其中正确结论的个数是（） ①；②；③点，，都在抛物线上，则；④方程无实根；⑤． A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的图象与轴有两个交点，得，可判断①；根据对称轴为,得，根据二次函数图象交x轴于点，得，得，可判断②；根据点，，都在抛物线上，且的对称点为，当时，y随x的增大而增大， ，得，可判断③；根据直线在二次函数的图象上方，与二次函数图象不相交，和方程无实根，可判断④；根据二次函数的图象交y轴于点，得，由，得，由顶点，得，得, 即得，可判断⑤． 【详解】解：∵二次函数的图象与轴的交点为和点， ∴， ∴①正确； ∵顶点坐标为， ∴对称轴为直线， ∵对称轴为， ∴， ∴， 把代入， 得， ∴， ∴②不正确； ∵二次函数对称轴为，开口向下， ∴当时，y随x的增大而增大， ∵点，，都在抛物线上，的对称点为，且， ∴， ∴③不正确； ∵直线在二次函数的图象上方，与二次函数图象不相交， ∴方程无实根， ∴④正确； 对，令，则， ∴二次函数的图象交y轴于点， ∴， ∵， ∴ 把代入， 得. ∴， 即． ∴⑤正确． ∴正确的有①④⑤，共3个． 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质．熟练掌握二次函数图象开口方向，二次函数图象与ｘ轴、y轴的交点，对称轴，顶点坐标，二次函数的对称性增减性，从函数图像中获取信息，是解题的关键． 二、填空题（每小题3分，满分18分） 11. 电影《你好，李焕英》累计票房约54.1亿元，将54.1亿用科学记数法表示为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据科学记数法的形式，其中，为整数．先将54.1亿改写为普通整数形式，再按科学记数法的要求表示即可． 【详解】解：54.1亿=． 12. 马面裙（图1），又名“马面褶裙”，是我国古代女子穿着的主要裙式之一，如图2，马面裙可以近似地看作扇环（和的圆心为点O），A为的中点，，则该马面裙裙面（阴影部分）的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查阴影部分面积求解，解题的关键是熟知扇形的面积公式． 【详解】解：∵，，A为的中点， ∴为等边三角形，， ∴， ∴； 故答案为：． 13. 如图，平行四边形中，，交于，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于、两点，作直线，交于点，交于点，连接，若，的周长为14，则的长为______． 【答案】8 【解析】 【分析】由已知可得，再根据三角形的周长可以得到的长，从而得到的长． 【详解】解：由已知条件可知是的垂直平分线，所以， ∵的周长为， ∴， ∴， 即， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， 故答案为：8． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握平行四边形的性质、线段垂直平分线的作图与性质是解题关键． 14. 如图，点、为反比例函数图像上的点，过点、分别作轴，轴，垂足分别为、，连接、、，线段交于点，点、恰好为、的中点，当的面积为时，的值为______________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查反比例函数图像上点的坐标特征，设点的坐标为，则点，，根据三角形的面积公式可得出，即可得解．利用反比例函数图像上点的坐标特征表示出点的坐标是解题的关键． 【详解】解：设点的坐标为， ∵点、恰好为、的中点，轴，轴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵的面积为， ∴， 解得：． 故答案为：． 15. 如图，在中，，，D为平面内一动点，，连接，将绕点D逆时针旋转得到，连接，当点E落在的边上时，的长为________． 【答案】或 【解析】 【分析】首先得到，均为等腰直角三角形，然后根据题意分两种情况讨论，点E落在边上和点E落在边上，然后分别根据勾股定理和相似三角形的性质求解即可． 【详解】∵在中，，， ∴为等腰直角三角形， ∵将绕点D逆时针旋转得到， ∴均为等腰直角三角形， ∴， ①当点E落在边上时，如图所示，则点D在边上， ∴， 在中，； ②当点E落在边上时，如解图2所示． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 综上所述，的长为或． 【点睛】此题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解题的关键是根据题意分情况讨论． 16. 如图，直线与轴交于点，与直线交于点，过点作的垂线交轴于点，过点作的平行线交于点，过点作的垂线交轴于点，过点作的平行线交于点，…按此方法作下去，则点的坐标是_____． 【答案】 【解析】 【分析】分别过点作x轴的垂线，垂足分别为，依题意得，，，进而得，则，直线与直线表达式联立得交点坐标，进而得，因为，，都是锐角为的直角三角形，求出斜边长度，就可以确定坐标，且,，即，据此规律即可得出点的坐标． 【详解】解：分别过点作x轴的垂线，垂足分别为，如下图： 直线与x轴交于点， ，解得，即点坐标为，， 直线与直线交于点，两直线表达式联立得， 解得，即，， 轴， ， 在中，， ， 在中，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， 在中， ， ， ， 在中，， 即， 在中， ， ， ，， 都是锐角为的直角三角形， 设，则 ，， 设， ， 设， ， 以此类推，， ， ， ， ， ． 三、解答题（满分72分） 17. 计算： （1）计算： （2）因式分解： 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：（1）原式． 【小问2详解】 解：（2）原式． 18. 求不等式组：的所有非正整数解． 【答案】，，，0 【解析】 【分析】先求不等式组的解集，再确定非正整数解即0和负整数解即可； 【详解】解： 解不等式①得： 解不等式②得： ∴原不等式组的解集为 ∴满足不等式组的所有非正整数解是，，，0； 19. 解方程： 【答案】x1=4，x2=-1 【解析】 【分析】运用因式分解法可得． 【详解】解： ∴x-4=0或x+1=0 ∴x1=4，x2=-1 【点睛】考核知识点：解一元二次方程．运用因式分解法解方程是关键． 20. 开展航空航天教育对提升青少年的科学素养有重要的意义．某学校对学生进行了航空航天科普教育并组织全校学生参加航空航天知识竞赛，每个学生回答10道问题，每题10分，赛后发现所有学生知识竞赛成绩不低于70分，为了更好地了解本次知识竞赛的成绩分布情况，从所有学生答题成绩中随机抽取部分学生答题成绩作为样本进行整理，绘制条形统计图和扇形统计图．部分信息如下： 请根据以上信息，完成下列问题： （1）①此次抽查的学生总数为_______； ②请补全抽取的学生成绩条形统计图； ③条形统计图中学生竞赛成绩得分的众数为_________分； （2）在扇形统计图中：______，得分为“100分”这一项所对应的圆心角是_____度； （3）已知该校共有3000名学生，请估计该校得分不低于90分的学生有多少名？ 【答案】（1）①；②作图见解析；③ （2）， （3）名 【解析】 【分析】本题考查了扇形统计图和条形统计图的信息关联，用样本估计总体，求众数，正确读懂统计图是解题的关键． （1）先由得分100分的人数除以占比求出抽查的学生总数；由总数减去得分为70分，90分，100分的人数求出得分80分的人数，即可补全条形统计图；再根据众数的定义结合条形统计图即可求解众数； （2）由“”减去其余三项的占比即可求解，再由乘以得分分占比即可求解圆心角； （3）用乘以得分分和分的占比即可． 【小问1详解】 解：抽查的学生总数为（人）， 竞赛成绩为分的人数为：（人）， 补全学生成绩条形统计图： 由条形统计图可得，得分为分的人数最多，故众数为， 故答案为：①；③； 【小问2详解】 解：， ∴， ∴， 故答案为：，； 【小问3详解】 解：由题意得，（人）， 答：该校得分不低于90分的学生有人． 21. 如图，是的直径，是的切线，延长至点，连接，，且平分． （1）求证：是的切线； （2）若，求． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了圆的切线的判定与性质，解直角三角形，角平分线的性质定理等知识点，正确添加辅助线是解题的关键． （1）过点作于点L，根据切线的性质得到，再根据角平分线的性质定理得到，即可求证； （2）可得为等腰直角三角形，则，那么，设，则，则，再由即可求解． 【小问1详解】 证明：过点作于点L， ∵是的切线， ∴， ∵平分， ∴， ∴为半径，而， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：如图： ∵， ∴， ∵， ∴ 设， ∴， ∴， ∴． 22. 无人机表演团队进行无人机表演训练，甲无人机从地面起飞，乙无人机从距离地面12米高的楼顶起飞，甲、乙两架无人机同时匀速上升，6秒时甲无人机到达训练计划指定的高度停止上升开始表演，完成表演动作后，按原速继续上升，乙无人机继续匀速上升，当甲、乙无人机按照训练计划同时到达距离地面的高度为48米时，进行了时长为t秒的联合表演，表演完成后以相同的速度同时返回地面．甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度（米）与无人机飞升的时间x（秒）之间的函数关系如图所示．请结合图象解答下列问题： （1）联合表演前，甲无人机的速度为_____，乙无人机的速度为_____，联合表演时长为_____； （2）求图中线段所在直线的函数解析式； （3）请直接写出两架无人机表演训练时，它们的高度差为8米的时间． 【答案】（1）4米/秒，2米/秒，30秒 （2） （3）2秒或10秒或14秒 【解析】 【分析】（1）根据图象，得到甲无人机6秒飞升了24米，乙无人机6秒飞升了12米，根据速度的定义计算即可；设的解析式为，把代入解析式，确定解析式，再计算时，时间，计算即为联合表演时长； （2）设的解析式为，把代入解析式，确定m的值，根据甲无人机是匀速飞升的，得到，不妨设线段所在直线的函数解析式为，根据（1）得，代入求解即可； （3）利用分类思想，分情况求解即可． 【小问1详解】 解：根据图象，得到甲无人机6秒飞升了24米，乙无人机6秒飞升了12米， 故甲无人机的速度为：（米/秒）；乙无人机的速度为：（米/秒）； 设的解析式为，把代入解析式，得， 解得， 故解析式为， 当时，， 解得， 故联合表演时长为：（秒）； 【小问2详解】 解：设的解析式为，把代入解析式， 得， 解得， 故的解析式为 因为甲无人机是匀速飞升的， 故，不妨设线段所在直线的函数解析式为， 根据（1）得，代入解析式，得， 解得， 故线段所在直线的函数解析式为； 【小问3详解】 解：根据题意，当时，得， 整理，得， 解得（秒）； 设，根据题意，得，解得， 故甲无人机表演时间为（秒）， 当甲无人机在表演，乙无人机飞升8米时，也是符合要求的，此时乙无人机飞升的距离为 米， 因为的解析式为， 故， 解得（秒）； 当甲无人机表演完毕，继续飞升，根据题意，得， 解得（秒）； 故（秒）； 表演完毕以相同的速度返回，此时两架无人机没有距离差； 综上所述，两架无人机表演训练时，它们的高度差为8米的时间为2秒或10秒或14秒． 23. 在中，，将绕点旋转得到，点的对应点落在边上，连接． （1）如图1，求证：； （2）如图2，当时，求的长； （3）如图3，过点作的平行线交的延长线于点，过点作的平行线交于点G，与交于点． ①求证：； ②当时，直接写出的值． 【答案】（1）见解析 （2） （3）①见解析；② 【解析】 【分析】（1）根据旋转可得，则，即可证明． （2）根据，，可得，即可得出，过作，则，即，在中勾股定理求出，则，在中勾股定理求出，根据，得出，即可求出． （3）①设旋转角为，则，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可得出，，根据，得出，，即可得，根据，得出，即可得，证明，得出，结合，得出； ②根据，设，证明四边形是平行四边形，得出，由①得，在中，勾股定理得出，则，则，根据，得出，根据，得出，证明，，则，求出，由①可得，得出，证出点四点共圆，根据圆周角定理得出，证明，得出，设，则，根据旋转可得，则，联立求出，再根据即可求解． 【小问1详解】 证明：∵将绕点旋转得到，点的对应点落在边上， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴， 过作， ∴， ∴， 在中， 即， 解得：，（舍去）， ∴， 在中， ∴， ∵， ∴， 即， ∴． 【小问3详解】 ①证明：设旋转角为， 则， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； ②解：∵， ∴设， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， 由①得， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， 即， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， 由①可得， ∴， ∴点四点共圆， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， 则， 根据旋转可得， ∴， 联立可得， ∴． 【点睛】该题考查了相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，勾股定理，旋转的性质，圆周角定理，圆内接四边形，解直角三角形，平行四边形的性质和判定等知识点，解题的关键是掌握以上知识点，证明三角形相似． 24. 综合与探究 如图1，抛物线经过、、三点，对称轴与抛物线相交于点，与直线相交于点，连接，． （1）求该抛物线的解析式； （2）如图1，抛物线上是否存在一点，使，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）如图2，若点为直线上方抛物线上一动点，连接交于点，当的值最大时，求面积； （4）如图1，点是轴上的动点，连接，请直接写出的最小值． 【答案】（1）该抛物线的解析式是； （2）存在，点的坐标是或； （3）面积是； （4）的最小值是． 【解析】 【分析】（1）已知抛物线与x轴交于、，与y轴交于，将三点坐标代入，解三元一次方程组即可得到a、b、c的值． （2）先求直线的解析式为，再分析为等腰直角三角形得，最后设点（），结合分情况讨论． （3）设，过Q作轴交于G，表示出的长度，根据二次函数的性质求出的最大值，再利用三角形面积公式计算的最大面积． （4）先确定抛物线对称轴上的点M，通过将转化为点E到直线l的距离，结合垂线段最短确定最小值为． 【小问1详解】 解：将点、、代入，得方程组， 将代入前两个方程，得， 因为， 所以， 代入， 解得，， 因此，抛物线解析式为． 【小问2详解】 解：设直线为，代入、，得， 解得，， 所以直线的解析式为． 因为，为等腰直角三角形， 所以． 分两种情况： 情况一：点F在x轴上方 因为， 所以， 过C作于E，连接，如图， 在中， ； 因为， 所以； 所以， 设（）， 所以， 所以， 所以， 在中， 由勾股定理得， ， 代入抛物线， 解得（舍去）， 代入抛物线得， 所以， 情况二：点F在x轴下方， 过C作交FB延长线于点E，连接，如图， 因为， 所以， 所以的补角， 在中， 因为， 所以， 所以， 设（）， 所以， 所以， 在中， 由勾股定理得，， 代入抛物线， 解得，（舍去）， 代入抛物线得， 所以． 综上，点F的坐标为或． 【小问3详解】 解：设， 过Q作轴交于，如图， 所以． 因为， 所以， 当时，取得最大值， 所以． 【小问4详解】 解：抛物线的对称轴为， 代入直线得， 所以点M的坐标为． 过点C作直线l，使， 过M作直线l的垂线，垂足为D，垂线交y轴于E，如图， 此时为最小值， 所以． 【点睛】本题综合考查了二次函数解析式的求法（待定系数法）、一次函数解析式的确定、三角函数值的应用、直线与抛物线的交点问题、二次函数的最值问题以及几何最值中的胡不归模型．解题关键在于代入已知点求解析式，联立方程求交点，设点表线段用二次函数求最值，构造三角函数转化线段和利用垂线段最短求最值．易错点包括：忽略点F在x轴下方的情况、二次函数最值的计算错误、几何模型的构造不当． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $