精品解析：2025年黑龙江省齐齐哈尔市依安县依安县第三中学中考二模数学试题

2024-2025学年度下学期模拟测试 九年数学试卷 一、单选题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分） 1. 的倒数的绝对值是（ ） A. B. C. D. 2. 下列既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各式正确的是（ ） A. ； B. ； C. ； D. ． 4. 如图，△ABC中，AB=4，AC=5，以点A为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB，AC于D和E，再分别以点D，E为圆心，大于DE为半径作弧，两弧交于点F，连接AF并延长交BC于点M，MN⊥AC于N，MN=2，则△ABM的面积为（ ） A. 4 B. 5 C. 8 D. 10 5. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，在同一平面内，将△ABC绕点A顺时针旋转到△AB1C1的位置，连接BB1，若BB1∥AC1，则∠CAC1的度数是（　　） A. 10° B. 20° C. 30° D. 40° 6. 一个由相同小立方块搭成的几何体，从正面、左面、上面看到的形状图如图所示，则搭成这个几何体的小立方块的个数为（ ） A. 4个 B. 5个 C. 6个 D. 7个 7. 如图，线段，点A是线段 上一点（不与F，G两点重合），点C为 中点，过点D作交 于点E，若 与 的距离为4，设 长为，的面积为S，则S与x关系的图象大致是（ ） A. B. C. D. 8. 小华去商店购买、 两种玩具，共用了12元，种玩具每件1元， 种玩具每件3元．若每种玩具至少买一件，且种玩具的数量不少于 种玩具的数量，则小华的购买方案有（ ） A. 7种 B. 6种 C. 4种 D. 3种 9. 在不透明的布袋中有若干个球，这些球除颜色外完全相同，如果摸出红球的概率为，袋中红球有3个，则袋中共有球（ ）． A. 5个 B. 8个 C. 10个 D. 15个 10. 如图是抛物线的部分图象，其顶点坐标为，且与轴的一个交点在点和之间，则下列结论： ①；②；③：④当时，；⑤一元二次方程有两个不相等的实数根． 其中正确结论的个数是（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（每小题3分，满分21分） 11. 随着电子技术的不断进步，电子元件的尺寸大幅度缩小，在芯片上某种电子元件大约只占．这个数用科学记数法表示为_____________． 12. 如图，在平行四边形 中，两点均在对角线 上．要使四边形为平行四边形，在不添加辅助线的情况下，需要增加的一个条件是__________（写出一个即可）． 13. 若关于的方程无解，则 的值为________． 14. 若圆锥侧面展开图是面积为的扇形，扇形的弧长为，则圆锥的高为______． 15. 如图，在平面直角坐标系中， 三个顶点的坐标分别是，，， 与关于直线 对称，反比例函数（， ）的图象与A'B交于点C．若，则k的值为________． 16. 在中， ， 为BC边上的高，，则BC的长为___________． 17. 如图，在平面直角坐标系中， 的顶点在直线：上，顶点 在轴上， 垂直轴，且，顶点 在直线：上，；过点作直线的垂线，垂足为，交轴于，过点作垂直轴，交于点，连接，得到第一个；过点作直线的垂线，垂足为，交轴于，过点作垂直轴，交于点，连接，得到第二个；如此下去，…，则的面积是________． 三、解答题（共7道大题，共69分） 18. （1）计算：； （2）因式分解： 19. 解方程： 20. 某地区在所有中学开展《老师，我想对你说》心灵信箱活动，为师生之间的沟通增设了一个书面交流的渠道.为了解两年来活动开展的情况，某课题组从全地区随机抽取部分中学生进行问卷调查.对“两年来，你通过心灵信箱给老师总共投递过封信？”这一调查项设有四个回答选项，选项A：没有投过；选项B：一封；选项C：两；选项D：三封及以上.根据接受问卷调查学生的回答，统计出各选项的人数以及所占百分比，分别绘制成如下条形统计图和扇形统计图： （1）此次抽样调查了 名学生，条形统计图中m＝ ，n＝ ； （2）请将条形统计图补全； （3）接受问卷调查的学生在活动中投出的信件总数至少有 封； （4）全地区中学生共有110000名，由此次调查估算，在此项活动中，全地区给老师投过信件的学生约有多少名？ 21. 如图， 是半径为5的 的直径，点C、D是 上的点，且分别与相交于点． （1）求证：点D为的中点； （2）若，求的长； （3）若，点P是直径 上任意一点，直接写出的最小值． 22. 在同一条公路上有A、B、C三地，C地在A、B两地之间．甲车从A地出发匀速驶往B地，同时乙车从C地出发匀速驶往A地，到达A地因故停留3小时后按原路原速驶往B地．结果甲、乙两车同时到达B地，在两车行驶的过程中，甲、乙两车距B地的路程y（单位：千米）与甲车行驶时间x（单位：小时）之间的函数图象如图所示，请结合图象解决下列问题： （1）乙车的速度为 千米/时，在图中括号内填入正确数值； （2）求甲车从C地到B地过程中y与x的函数解析式，直接写出自变量x的取值范围； （3）两车出发后经过多长时间相距140千米？请直接写出答案． 23. 综合与实践 天府新区某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究： （1）问题发现：如图①，在等边三角形 中， 是边 上任意一点，连接 ，以 为边作等边三角形，连接，直接写出与的数量关系； （2）变式探究：如图②，在等腰三角形 中是边 上任意一点，以 为腰作等腰三角形，使，，连接，判断和的数量关系，并说明理由； （3）解决问题：如图③，在正方形ADBC中，P是BC上一点，以AP为边作正方形APEF，是正方形APEF的中心，连接，若正方形APEF的边长为6，，则正方形ADBC的边长为___________． 24. 综合与探究： 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，点，交轴于点 ，顶点为 ，连接 ， ． （1）求抛物线的解析式． （2）点 是直线 下方抛物线上的一动点，过点 作交轴于点 ，轴交 于点 ． ①当时，点 的坐标为 ． ②求的最大值； ③连接 并延长 交轴于点 ，点为轴上的一个动点，连接，则的最小值为 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度下学期模拟测试 九年数学试卷 一、单选题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分） 1. 的倒数的绝对值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，要先求出倒数，然后再求绝对值． 【详解】解：的倒数是，的绝对值是． 故选：B ． 【点睛】本题考查有理数的倒数和绝对值，熟练掌握倒数和绝对值的计算方法是关键． 2. 下列既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可． 【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； B．不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意； C．既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意； D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意． 故选C． 【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形的关键是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合． 3. 下列各式正确的是（ ） A. ； B. ； C. ； D. ． 【答案】D 【解析】 【分析】根据合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方法则逐一计算可得． 【详解】解：A、，该选项不符合题意； B、，该选项不符合题意； C、，该选项不符合题意； D、，该选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，合并同类项，幂的乘方与积的乘方，掌握，是解题的关键． 4. 如图，△ABC中，AB=4，AC=5，以点A为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB，AC于D和E，再分别以点D，E为圆心，大于DE为半径作弧，两弧交于点F，连接AF并延长交BC于点M，MN⊥AC于N，MN=2，则△ABM的面积为（ ） A. 4 B. 5 C. 8 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】过点 作，利用角平分线的性质，即角平分线上的点到两边的距离相等，得出，即可求解． 【详解】解：过点 作， 由题意得： 是 的角平分线， ， ， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，解题的关键是通过题意得出 是 的角平分线． 5. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，在同一平面内，将△ABC绕点A顺时针旋转到△AB1C1的位置，连接BB1，若BB1∥AC1，则∠CAC1的度数是（　　） A. 10° B. 20° C. 30° D. 40° 【答案】B 【解析】 【分析】根据旋转的性质，得到∠C1AB1＝∠CAB＝100°，AB1＝AB，∠CAC1＝∠BAB1，根据平行线的性质得到∠C1AB1+AB1B＝180°，然后由等腰三角形的性质，即可得到结论. 【详解】解：∵将△ABC绕点A顺时针旋转到△AB1C1的位置， ∴∠C1AB1＝∠CAB＝100°，AB1＝AB，∠CAC1＝∠BAB1， ∵BB1∥AC1， ∴∠C1AB1+AB1B＝180°， ∴∠AB1B＝80°， ∵AB＝AB1， ∴∠ABB1＝∠AB1B＝80°， ∴∠BAB1＝20°， ∴∠CAC1＝20°， 故选：B． 【点睛】本题考查了旋转的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键. 6. 一个由相同小立方块搭成的几何体，从正面、左面、上面看到的形状图如图所示，则搭成这个几何体的小立方块的个数为（ ） A. 4个 B. 5个 C. 6个 D. 7个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查根据从不同方向看到几何体的图形，判断组成几何体立方块的个数．根据从上面看到的图形，得出最底层小立方体的个数，再根据从正面和左面看到的图形得出每一层小立方体的层数和个数，从而计算出总的个数即可． 【详解】解：从上面看最底层有4个小立方体，由正面看可得有2层，上面一层是1个小立方体，从左面看，一列是1个小立方体，另一列有2个小立方体，如下图所示： ∴搭成这个几何体的小立方块的个数是个， 故选：B． 7. 如图，线段，点A是线段 上一点（不与F，G两点重合），点C为 中点，过点D作交 于点E，若 与 的距离为4，设 长为 ，的面积为S，则S与x关系的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，函数的图象，求出的面积是解答本题的关键．先证明四边形为平行四边形，然后求出的面积即可求解． 【详解】解：∵ ，， ∴四边形为平行四边形． ∵点C为 中点， ∴， ∴， ∴， 即始终保持不变． 故选：B． 8. 小华去商店购买 、 两种玩具，共用了12元， 种玩具每件1元， 种玩具每件3元．若每种玩具至少买一件，且 种玩具的数量不少于 种玩具的数量，则小华的购买方案有（ ） A. 7种 B. 6种 C. 4种 D. 3种 【答案】D 【解析】 【分析】设小华购买了A种玩具x件，则购买的B种玩具为件，根据题意列出不等式组进行解答便可． 【详解】解：设小华购买了A种玩具x件，则购买的B种玩具为件，根据题意得， ， 解得，3≤x≤9， ∵x为整数，也为整数， ∴x=3或6或9， ∴有3种购买方案． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组的应用题，正确表示出购买B种玩具的数量和正确列出不等式组是解决本题的关键所在． 9. 在不透明的布袋中有若干个球，这些球除颜色外完全相同，如果摸出红球的概率为，袋中红球有3个，则袋中共有球（ ）． A. 5个 B. 8个 C. 10个 D. 15个 【答案】D 【解析】 【分析】根据概率公式和摸出红球的概率，列出方程求解即可得到答案． 【详解】解：设袋中球共有个，其中有3个红球， 摸出红球的概率为， 由概率公式可得，解得，即袋中共有球个， 故选：D． 【点睛】本题考查随机事件概率公式的运用，如果一个事件有 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件 出现种结果，那么事件 的概率． 10. 如图是抛物线的部分图象，其顶点坐标为，且与 轴的一个交点在点和之间，则下列结论： ①；②；③：④当时，；⑤一元二次方程有两个不相等的实数根． 其中正确结论的个数是（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，图象法解一元二次不等式等知识．由题意知， ，， ，即，可判断①的正误，由，将代入可判断②的正误；根据，将其中一个 用 等量代换，可判断③的正误；根据直线，是过，且 随 增大而减小的一条直线，如图1，由图象可知，当时，，移项可判断④的正误；根据一元二次方程的判别式即可判断⑤． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴ ， ∵抛物线的对称轴为 ， ∴ ， ∴， ∵抛物线交y轴的正半轴， ∴， ∴，故①错误，故不符合要求； ∵， 即，，②正确，故符合要求； ，③正确，故符合要求； 设直线，则直线是过，且 随 增大而减小的一条直线，如图1， 由图象可知，当时，，即；④正确，故符合要求； 一元二次方程， ∴， ∵ ，， ∴， ∴， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根．故⑤正确，故符合要求； 综上，共有②③④⑤，4个正确的结论， 故选：D． 二、填空题（每小题3分，满分21分） 11. 随着电子技术的不断进步，电子元件的尺寸大幅度缩小，在芯片上某种电子元件大约只占．这个数用科学记数法表示为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据绝对值小于1的数可以用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，即可求解． 【详解】解：用科学记数法表示为． 故答案为：． 【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，熟练掌握一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定是解题的关键． 12. 如图，在平行四边形 中，两点均在对角线 上．要使四边形为平行四边形，在不添加辅助线的情况下，需要增加的一个条件是__________（写出一个即可）． 【答案】(答案不唯一) 【解析】 【分析】连接BD交AC于点O，由平行四边形的性质可得到OB=OD，要证明四边形BEDF为平行四边形，只需要OE=OF即可，故添加的条件只要能证明OE=OF即可． 【详解】如图，连接BD交AC于点O， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴OB=OD，OA=OC， 若AE=CF，则有AO-AE=CO-CF，即OE=OF， ∴四边形BEDF为平行四边形， 故答案为：AE=CF．答案不唯一． 【点睛】本题主要考查平行四边形的判定，掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．即①两组对边分别平行的四边形是平行四边形，②两组对边分别相等的四边形是平行四边形，③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，④两组对角分别相等的四边形是平行四边形，⑤对角线互相平分的四边形是平行四边形． 13. 若关于 的方程无解，则的值为________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了分式方程无解问题，掌握整式方程无解或分式方程有增根时，分式方程无解是关键． 将分式方程转化为整式方程，分整式方程无解和分式方程有增根两种情况求解． 【详解】解：去分母得：， 整理得：，即， 当，即时，整式方程无解，满足题意； 当，即时，， 此时分式方程的增根为或， 代入得：（无解）或， 解得：， 综上所述，的值为或． 14. 若圆锥侧面展开图是面积为的扇形，扇形的弧长为，则圆锥的高为______． 【答案】12cm##12厘米 【解析】 【分析】根据圆锥的侧面积=×弧长×母线长，可得圆锥的母线长，然后可以利用勾股定理求得圆锥的高，即可求解． 【详解】解：设母线长为R，由题意得： ， 解得R=13cm． 设圆锥的底面半径为r， 则，解得：r=5， 故圆锥的高为：． 故答案为：12 【点睛】本题考查圆锥侧面积公式的应用，解题的关键是牢记圆锥的侧面积=×弧长×母线长． 15. 如图，在平面直角坐标系中， 三个顶点的坐标分别是，，， 与关于直线 对称，反比例函数（， ）的图象与A'B交于点C．若，则k的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查等腰三角形的判定和性质，特殊角的三角函数及反比例函数的确定．过点B作轴，根据题意得出，，再由特殊角的三角函数及等腰三角形的判定和性质得出，，利用各角之间的关系，确定，B，D三点共线，结合图形确定，然后代入反比例函数解析式即可． 【详解】解：如图，过点B作轴， ，，， ，， ，， ，， ，， 与关于直线 对称， ，， ， ，B，D三点共线， ， ， ， ， 将其代入，得：， 故答案为：． 16. 在中， ， 为BC边上的高，，则BC的长为___________． 【答案】7或5 【解析】 【分析】如图所示，分D在BC之间和BC延长线上两种情况考虑，先由 求出BD，再求出BC的长． 【详解】解：如图，∵在Rt△ABD中， ，， ∴，即：， ∴， 当D在BC之间时，BC=BD+CD=6+1=7； 当D在BC延长线上时，BC=BD-CD=6-1=5； 故答案为：7或5． 【点睛】此题主要考查了解三角形，根据已知得出两种符合要求的图形，即三角形为钝角三角形或锐角三角形分别分析是解题关键． 17. 如图，在平面直角坐标系中， 的顶点 在直线：上，顶点 在 轴上，垂直 轴，且，顶点 在直线：上，；过点 作直线的垂线，垂足为，交 轴于，过点作垂直 轴，交于点，连接，得到第一个；过点作直线的垂线，垂足为，交 轴于，过点作垂直 轴，交于点，连接，得到第二个；如此下去，…，则的面积是________． 【答案】 【解析】 【分析】解直角三角形得出，，求出，证明， ，得出，，总结得出，从而得出． 【详解】解：， ， 轴， 点 的横坐标为， 直线， 点 的纵坐标为， ， ， 直线， ， ， ， ， 点的横坐标为：， ， ，，， ， ， ， ，， 轴，轴， ，， 轴，轴，轴， ， ，， ， ，， ， ， ， 同理， ，， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形相似的判定和性质，解直角三角形，三角形面积的计算，平行线的判定和性质，一次函数规律的探究，角平分线的性质．解题的关键是得出一般规律． 三、解答题（共7道大题，共69分） 18. （1）计算：； （2）因式分解： 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算、因式分解，熟练掌握实数运算法则、以及熟练应用平方差公式和提公因式法是解题的关键． （1）先分别计算负整数指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值、积的乘方，再进行加减计算即可； （2）利用平方差公式以及提公因式法分解因式即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 19. 解方程： 【答案】， 【解析】 【分析】根据题意先求出，再代入求根公式，即求出即可． 【详解】解：， 方程的系数分别是，，， ∴， ∴， ∴，． 【点睛】本题主要考查公式法求一元二次方程的解，掌握一元二次方程的求根公式是解题的关键． 20. 某地区在所有中学开展《老师，我想对你说》心灵信箱活动，为师生之间的沟通增设了一个书面交流的渠道.为了解两年来活动开展的情况，某课题组从全地区随机抽取部分中学生进行问卷调查.对“两年来，你通过心灵信箱给老师总共投递过封信？”这一调查项设有四个回答选项，选项A：没有投过；选项B：一封；选项C：两；选项D：三封及以上.根据接受问卷调查学生的回答，统计出各选项的人数以及所占百分比，分别绘制成如下条形统计图和扇形统计图： （1）此次抽样调查了 名学生，条形统计图中m＝ ，n＝ ； （2）请将条形统计图补全； （3）接受问卷调查的学生在活动中投出的信件总数至少有 封； （4）全地区中学生共有110000名，由此次调查估算，在此项活动中，全地区给老师投过信件的学生约有多少名？ 【答案】（1）500，225，25； （2）补全图形如下： （3）425；（4）全地区给老师投过信件的学生约有60500名. 【解析】 【分析】(1)由B选项人数及其所占百分比求得总人数，再用总人数乘以对应百分比可得m、n的值； (2)先求出C选项的人数，继而可补全图形； (3)各选项次数乘以对应人数，再求和即可得； (4)利用样本估计总体思想求解可得. 【详解】(1)此次调查的总人数为150÷30%＝500(人)， 则m＝500×45%＝225，n＝500×5%＝25， 故答案为500，225，25； (2)C选项人数为500×20%＝100(人)， 图略； (3)1×150+2×100+3×25＝425， 答：接受问卷调查的学生在活动中投出的信件总数至少有425封， 故答案为425； (4)由此次调查估算，在此项活动中，全地区给老师投过信件的学生约有110000×(1﹣45%)＝60500(名). 【点睛】本题考查了条形统计图，扇形统计图，用样本估计总体，准确识图，从中找到必要的信息是解题的关键. 21. 如图，是半径为5的 的直径，点C、D是 上的点，且分别与相交于点． （1）求证：点D为的中点； （2）若，求的长； （3）若，点P是直径上任意一点，直接写出的最小值． 【答案】（1）证明： 是 的直径， ． ， ， ， ，即点D是的中点． （2） （3）的最小值为 【解析】 【分析】对于（1），先根据直径所对的圆周角是直角得，再根据平行线得性质得，然后根据垂径定理得出答案； 对于（2），先说明是 的中位线，可得，即可得出答案； 对于（3），作点C关于的对称点，可得，连接，再确定点P的位置，然后求出，再根据含直角三角形的性质得，根据勾股定理求得 ，即可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：为的中点， ∴是 的中位线， ． 又∵半径为5， ． 【小问3详解】 解：作点C关于的对称点，即交于点P，连接， ． ， 此时的值最小， ， ， ． ∵点C与关于对称， ， ，． 作交 于点H， 则，则， 在中，， 根据勾股定理，得， ， 的最小值为． 22. 在同一条公路上有A、B、C三地，C地在A、B两地之间．甲车从A地出发匀速驶往B地，同时乙车从C地出发匀速驶往A地，到达A地因故停留3小时后按原路原速驶往B地．结果甲、乙两车同时到达B地，在两车行驶的过程中，甲、乙两车距B地的路程y（单位：千米）与甲车行驶时间x（单位：小时）之间的函数图象如图所示，请结合图象解决下列问题： （1）乙车的速度为 千米/时，在图中括号内填入正确数值； （2）求甲车从C地到B地过程中y与x的函数解析式，直接写出自变量x的取值范围； （3）两车出发后经过多长时间相距140千米？请直接写出答案． 【答案】（1）100，15； （2） （3）两车出发后经过1小时或小时或小时时相距140千米 【解析】 【分析】（1）根据乙车在A地因故停留3小时，得到乙车用了到达A地所用的时间，用路程除以时间求出速度，再用路程除以速度得到乙车从 地到达 地所用时间，即可得出结果； （2）设出解析式，利用待定系数法求出函数解析式即可； （3）分甲乙两车相遇之前，相遇之后乙车到达 地之前，和乙车到达 地之后，三种情况进行讨论求解即可． 【小问1详解】 解：∵乙车在A地因故停留3小时， ∴乙车到达A地所用的时间为小时， ∴乙车的速度为：千米/时， ∴乙车从 地到达 地所用时间为：小时， ∴总时间为：小时， 故答案为：； 【小问2详解】 解：由图象可知，甲车的速度为：千米/时， 设甲车从C地到B地过程中y与x的函数解析式为，由图象可知，直线经过点， ∴，解得：， ∴， 由图象可知， 地到 地的距离为， ∴甲车从 地到 地所用时间为：小时， ∴设甲车从C地到B地过程中y与x的函数解析式为； 【小问3详解】 设两车出发 小时后，相距140千米， ①乙车到达 地之前，甲乙两车相遇之前，两车相向而行，由题意，得：，解得： ； ②两车经过小时后相遇，相遇后，乙车到达 地之前：由题意，得： ，解得：； ③乙车从 地出发之后，，解得：； 综上：两车出发后经过1小时或小时或小时时相距140千米． 【点睛】本题考查一次函数的实际应用．从函数图象上有效的获取信息，是解题的关键． 23. 综合与实践 天府新区某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究： （1）问题发现：如图①，在等边三角形 中， 是边 上任意一点，连接 ，以 为边作等边三角形，连接，直接写出与的数量关系； （2）变式探究：如图②，在等腰三角形 中是边 上任意一点，以 为腰作等腰三角形，使，，连接，判断和的数量关系，并说明理由； （3）解决问题：如图③，在正方形ADBC中，P是BC上一点，以AP为边作正方形APEF，是正方形APEF的中心，连接，若正方形APEF的边长为6，，则正方形ADBC的边长为___________． 【答案】（1）； （2） ，理由如下： 和均为等腰三角形，且，， ， ， ， ， ， ， ， ，即， ， ， ； （3） ． 【解析】 【分析】(1)根据等边三角形的性质确定 ，，，结合角的和差关系确定，最后利用证明，从而根据全等三角形的性质即可求解； (2)根据等腰三角形底角相等、三角形内角和定理，角的和差关系确定，从而证明，得到，再结合边、角的数量关系得到，，根据“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”证明，从而根据相似三角形的性质解答即可； (3)连接和，根据正方形的性质易得到相关边角关系，易证明，由相似三角形的性质得出，可求出的长，最后在中根据勾股定理列出方程，解方程即可求解． 【小问1详解】 解： 和均为等边三角形， ，，， ， ， 在和中， ， ， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图所示，连接和， 四边形和四边形都是正方形，且是四边形的中心， ，即， ，， ， ， 又， ， 在中，设，则， 由勾股定理得，，即， 解得，（负值，舍去）， 正方形的边长为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了三角形和四边形的综合题．掌握等边三角形、等腰三角形、正方形的性质，全等三角形和相似三角形的判定与性质，勾股定理、解一元二次方程等知识，并熟练综合应用这些知识点是解题的关键． 24. 综合与探究： 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与 轴交于点，点，交 轴于点 ，顶点为 ，连接 ， ． （1）求抛物线的解析式． （2）点 是直线 下方抛物线上的一动点，过点 作交 轴于点 ，轴交 于点 ． ①当时，点 的坐标为 ． ②求的最大值； ③连接 并延长 交 轴于点 ，点为 轴上的一个动点，连接，则的最小值为 ． 【答案】（1） （2）①；②； 【解析】 【分析】（1）把点 和 代入二次函数解析式运算即可； （2）①过 作于点 ，利用相似的性质得到 的纵坐标，用待定系数法求出直线 的解析式后，代入 的纵坐标求解即可； ②利用二次函数和一次函数的表达式，设出点 和点 的坐标，再列出长度的表达式求解即可； ③过点作于点 ，过点 作于点 ，用二次函数的解析式求出 点坐标，即可运用待定系数法求出直线 的解析式，得到 的坐标，通过三角函数的比值关系证出，从而得到，故的时候有最小值，通过比值关系运算即可． 【小问1详解】 解：把，，代入可得： ， 解得：， ∴抛物线解析式为：； 【小问2详解】 ①解：过 作于点 ，如图所示： ∵把代入可得：， ∴，， 设直线 的函数解析式为： ，代入和得： ， 解得：， ∴直线 的函数解析式为：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵轴交 于点 ， ∴ 的纵坐标为： ， ∴把代入可得：， 解得：， ∴； ②解：∵点 在上， ∴设 点的坐标为，， ∴ 点的纵坐标为：， 由①得：直线 的函数解析式为：， ∴把代入可得：， 解得：， ∴， ∴， ∵， ∴当时，取得最大值为：； ③解：过点作于点 ，过点 作于点 ，如图所示： ∵， ∴， 设直线 的函数解析式为，代入和得： ， 解得：， ∴直线 的函数解析式为， 把代入可得：， ∴，， ∵， ∴在中，， ∴， ∴， ∴， ∴当的时候有最小值， ∵，， ∴． 【点睛】本题为二次函数与几何综合，考查了二次函数的图象性质及点的特征，一次函数的图象性质及点的特征，相似三角形的判定及性质，胡不归等知识点，熟练运用数形结合是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $