微专题03 相似三角形与函数问题（专项训练）数学鲁教版五四制八年级下册

**基本信息** 聚焦相似三角形与函数综合问题，构建“静态坐标求解—动态存在探究—解析式系数确定”三阶方法体系，通过分类讨论与参数表达培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |静态相似求坐标|6题|坐标转线段→分类列比例方程→验根|相似判定（AA/SAS）与坐标系线段计算结合| |动态相似存在性|6题|参数表坐标→推导等角→列分式方程|函数动点与相似判定的动态转化，培养模型观念| |求函数解析式|6题|系数表坐标→相似比建方程→解待定系数|相似性质与函数表达式的代数化，提升应用意识|

品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 微专题03相似三角形与函数问题 题型01坐标系中利用相似求未知点坐标（静态相似） 相似三角形与函数问题 题型02函数图像中由动点引发的相似存在性问题（动态相似） 题型03利用相似三角形求解函数解析式中的待定系数 微点鱼破 题型01坐标系中利用相似求未知点坐标（静态相似) 煤方法 考向分析：此类题型通常给出平面直角坐标系中几个己知点的坐标，要求在坐标轴或已知直线上寻找一个 未知点，使得该点与已知两点构成的三角形与另一个已知三角形相似。核心得分点在于将坐标转化为线段 长度，并熟练运用“分类讨论”思想处理“对应顶点不确定”的情况。 解题方法： 1.坐标转线段：根据已知点的坐标，计算出相关三角形的边长（注意利用水平或竖直线段简化计算）。 2. 定相似类型：结合图形特征，预判可能的相似判定定理（通常优先考虑“两边成比例且夹角相等”或 “AA”)。 3. 分类列方程：因为对应顶点不确定，通常存在两种可能。设未知点坐标，根据相似比列出比例方程。 4. 解方程求坐标：解出未知数的值，注意检验点是否满足题意（如是否在坐标轴的正半轴上）。 答题模板： 1.算：求出己知三角形的各边长（或斜率关系）。 2.设：设所求点的坐标。 3.分：分情况讨论。 4.列：根据对应边成比例列出比例式。 5.解：求解方程，得出点的坐标，注意多个解的情况。 1.(2026八年级下·重庆，专题练习)如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的顶点A在y轴正半 轴上，顶点C坐标为(4,0)，顶点D坐标为6,10)，对角线BD经过坐标原点O,边AB与x轴交于点E, 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 则E点坐标为 D B 2.(25-26九年级上陕西西安月考)如图，在ABC中，AB=AC,AD1BC,AC与x轴交于点E,已 知点D的坐标是(4,0)，点A的坐标是(10,6· B (1)点B的坐标是 DE= (2)探究：在x轴上是否存在点P,使以A、D、P为顶点的三角形与△CDE相似？若存在，请求出点P的 坐标；若不存在，请说明理由. 3.(24-25八年级下·辽宁大连月考)综合与探究： 【问题背景】 如图，在平面直角坐标系中，ABC的边BC在x轴上，点A坐标为0,8)，OB=4,AC⊥AB,点P 是线段CB上的动点，点P从C点向点B出发，速度为每秒2个单位长度，到达终点B停止运动.设点 P的运动时间为(t之0)秒，连接AP. 珠 BO C BO 备用图 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【问题解决】 (1)求点P的坐标. 【深入探究】 (2)当LPAB=LOAC时，求点P的坐标。 【拓展提升】 (3)在y轴上一点D坐标为0,3)，作DE⊥AP于点E,连接DP,是否存在点P,使PD平分LOPA? 若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由. 4.(24-25九年级上·四川成都阶段检测)如图，在矩形0ABC中，点0为坐标原点，点A的坐标为0,3)， 点C的坐标为4,0)，点P在BC边上，直线I的解析式为y=2x-3,直线I交AB于点D,交OC于点E D E 图1 图2 图3 (I)如图1，连接AE,求D,E的坐标； (2)如图2，若以AE和EP为邻边作矩形AEPQ,求点Q的坐标； (3)如图3，在第一象限内，直线1上是否存在点M,使△APM是等腰直角三角形？若存在，求出M的坐 标；若不存在，说明理由 5.(2025·甘肃张掖·三模)如图，边长为5的正方形0ABC的顶点O在坐标原点处，点A,C分别在x轴、 y轴的正半轴上，点E是OA边上的点（不与点A重合），EF⊥CE,且与正方形外角平分线AG交于点 P 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (I)当点E坐标为3,0)时，试证明CE=EP (2)如果将上述条件“点E坐标为3,0)”改为“点E坐标为1,0)(1>0)”，结论CE=EP是否仍然成立，请说 明理由； (3)在y轴上是否存在点M,使得四边形BMEP是平行四边形？若存在，用t表示点M的坐标；若不存在， 说明理由， 6.(25-26九年级上辽宁沈阳·月考)如图1，在平面直角坐标系中，0为坐标原点，口0ABC的顶点A的坐 标为4,0)，点B的坐标为10,6)，点D为对角线AC的中点。 E 图1 备用图 (1)填空：点C的坐标为，点D的坐标为 (2)点P为边AB上的动点，过点P作直线l⊥x轴于点E,交边BC于点Q,设点P的横坐标为m. ①求点P的纵坐标（用含m的代数式表示）： ②连接DP,DQ,若DPQ的面积为2，求m的值； (③)在(2)②的条件下，且AP<AB,过点P作直线，1y轴，点M在直线1上，纵坐标为t,点N在 直线上，横坐标为6-1，直线EN交边OC于点R,连接AM,若NR=，AM,请直接写出t的值. 题型02函数图像中由动点引发的相似存在性问题（动态相似） 嫩方法 考向分析：此类题型通常以一次函数或反比例函数的图像为载体，图像上有一个或两个动点。题目要求探 索在某一特定位置时，图中由动点与定点构成的三角形是否与某一固定三角形相似。核心得分点在于用含 参数的代数式表示动点的坐标，并利用相似关系列出分式方程或一元二次方程。 解题方法： 1.表坐标：根据函数图像解析式，用含参数的代数式表示出动点的横、纵坐标。 2. 找定值：确定题目中的不变量，如定点的坐标、定直线的关系（平行或垂直）。 3. 导关系：结合平行线的性质或垂直关系，推导出图中存在的相等角（为“AA”判定或“SAS”判定做 准备)。 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 4.列比例式求解：根据判定的相似类型，列出对应边成比例的方程，求解参数。注意分式方程要验根， 确保分母不为零。 答题模板： 1.设：设出动点的坐标。 2.表：用所设参数表示出相关线段的长度或斜率。 3. 推：寻找并证明一组角相等。 4. 列：根据“AA”或“SAS”列出比例方程。 5.解：解方程求出参数的值，代回求出具体坐标。 1.(2526九年级上四川阶段检测)如图，在平面直角坐标系中，直线)y=青x+4与X维、》轴分别交于 A、B两点，点D(0,-6)在y轴的负半轴上，若将△DAB沿直线AD折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的 点C处. 备用图 备用图 (1)求直线CD的函数解析式： (2)在直线AB上是否存在一点P,使得△PBO与△ADC相似？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说 明理由； (3)若点M为直线AD上一点，在平面直角坐标系内，是否存在点N,使以点B、E、M、N为顶点的 四边形为矩形，若存在，请求出点N的坐标，若不存在，请说明理由 2.(23-24九年级上河南平顶山期中)阅读与思考： 如图是两位同学对一道习题的交流，请认真阅读下列对话并完成相应的任务， 在ABC中，AB=8,BC=5,AC=4,D是线段AB上一点，且BD=6,过点D作DE交AC于点E,使以 A,D,E为顶点的三角形与ABC相似，求DE的长 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 如图，过点D作DE/BC,交AC于点E, 则△ADE~△ABC D DE AD BC-DB DE-D BC-AB-DB.BC-55 DB 这个解答中有两个错误， 其中有一个是比例式写错了！ ()写出正确的比例式及后续解答。 (2)指出另一个错误，并给出正确解答， (3)如图，己知矩形ABCD的边长AB=3cm,BC=6cm,某一时刻，动点M从A点出发沿AB方向以 1cm/s的速度向B点匀速运动；同时，动点N从D点出发沿DA方向以2cm/s的速度向A点匀速运动， 是否存在时刻t,使以A,M,N为顶点的三角形与△ACD相似？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说 明理由。 B 3.(25-26九年级上山东青岛阶段检测)如图，在菱形ABCD中，对角线AC=12cm,BD=16cm,在 Rt△QEF中，∠QEF=90°，边QE和BO重合，边EF和OC重合.如图②，△QEF从图①所示位置出 发，沿BD方向匀速运动，速度为Icm/s;同时，动点P从点D出发，沿DA方向匀速运动，速度为 2cm/s.连接AQ,PE.设运动时间为(s)(0<1<5).解答下列问题： B(O) B OE C(F) 图① 图② (I)当t为何值时，DP=DE? (②)在运动过程中，是否存在某一时刻t,使△DPE与△EFQ相似？若存在，求出t的值；若不存在，请说 明理由 (3)是否存在时刻t,使得P、E、C三点共线？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由. 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (4)连接AF、PQ,是否存在时刻七，使得AF⊥QP？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由. 4.(25-26九年级上·河南开封期末)如图，正方形ABCD的边长是4，E是BC的中点，点P在射线AD上， 过点P作PF⊥AE,垂足是点F. 4 B (I)求证：△PFA∽△ABE: (2)当点P在射线AD上运动时，设AP=x,是否存在实数x,使以P、F、E为顶点的三角形与△ABE相 似？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由 5.(2026黑龙江牡丹江一模)如图，在平面直角坐标系中，O为原点，口ABCD的顶点B,C在x轴上， 点A在y轴上，0A=0C=20B,且0A,0B的长是关于方程x2-6x+k=0的两根，直线 y=x+1-2≤1<4分别与x轴，y轴，线段AD,射线AB交于点E,F,P,Q. A EO (I)请直接写出点D的坐标以及点P为AD中点时t的值； (2)猜想线段PO与线段AP的数量关系，并证明； (3)在x轴上是否存在点M,使∠PMQ=90°，且△MPQ与AOB相似？若存在，请直接写出t的值；若 不存在，请说明理由. 6.(24-25九年级上山西长治期末)已知：如图，在ABC中，∠BAC=90°，AB=3cm,BC=5cm,点 P从点A出发，沿AC方向匀速运动，速度为lcms;同时点Q从点C出发，沿CB方向匀速运动，速度 为lcm/s,设运动时间为t秒，解答下列问题： 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A 各用图 (1)当t为何值时，ABC与△PQC相似？ (2)是否存在某一时刻t,使S△Qc:S西边形AQP=1:4,若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由. (3)是否存在某一时刻，使△PQC为等腰三角形？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由. 题型03利用相似三角形求解函数解析式中的待定系数 嫦方法 考向分析：此类题型通常给出两个函数的图像交点，或者给出一个几何图形（如直角三角形）的顶点在某 个函数图像上，并且己知这几个顶点构成的三角形相似。要求求出函数解析式中的未知系数。核心得分点 在于利用相似得比例，代入坐标建立关于系数的方程。 解题方法： 1. 描点定形：在草稿纸上画出大致图像，标出已知点和未知点的大致位置，确定三角形的形状。 2. 用系数表示距离：将图像上的关键点坐标用含有待定系数的代数式表示出来。 3. 找比例列方程：根据两个三角形相似，提取出一组简单的对应边比例关系（优先选直角边或水平竖直 线段)，列出等式。 4. 求解系数：解关于函数系数的方程，求出未知数。若是反比例函数，注意利用“横纵坐标乘积相等” 简化计算。 答题模板： 1.设：设所求的函数解析式。 2.代：将己知点坐标代入，得到一个含参数的等式。 3. 联：结合相似三角形的性质或其他对应边比例)，建立方程。 4. 解：解一元一次方程或二元一次方程组，求出待定系数。 5.答：写出完整的函数解析式 1.(25-26九年级下·山东东营·开学考试)如图一束光线从点A-6,4)出发，经过y轴上的点B反射后经过 点C(-2,0),则BC所在直线的解析式为() 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A.y=3x+1 B.y=x+1 C.y=x+I D.y=5x+2 2 2.(25-26九年级上·上海期中)如图，ABC中，AB=3,AC=2,点D、E分别在边AC、AB上， ∠ADE=∠B,如果AD=x,AE=y,那么y关于x的函数解析式及定义域为 4 3.(23-24八年级下·四川绵阳期末)如图，在平面直角坐标系xoy中，直线y=-x+4与x轴、y轴交于 B、C两点，已知A-3,O,连接AC,D、E分别为线段AC、BC上动点（不含端点），连接DE. D 41 MO B A B 图1 图2 (1)求直线AC所对应的函数解析式； (2)如图1，作DM⊥x轴于点M,作EN⊥x轴于点N,当四边形DMNE是正方形时，求AD长度； (3)如图2，F为x轴上动点，连接EF,当四边形ADEF是平行四边形时，若设点F的横坐标为x,点 D的纵坐标为y,请求y关于x的函数解析式及相应x的取值范围， 4.(2024江苏苏州二模)己知一个直角三角形纸片0AB,其中∠A0B=90°，0A=2,0B=4.如图1， 将该纸片放置在平面直角坐标系中，折叠该纸片，折痕与边OB交于点C,与边AB交于点D. B B A 01 A 0 A 图1 备用图1 备用图2 (I)若折叠后点B与点A重合，求直线AC的解析式： 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)若折叠后点B落在边OA上的点为B,设OB=x,OC=y,试求出y关于x的函数解析式，并直接 写出y的取值范围； (3)若折叠后点B落在边OA上的点为B,且使B"D∥OB,则△B”OC的周长为·（请直接在答题 卷相应位置上写出答案) 5.(2024河北沧州一模)如图1，直线h:y=x+b经过点A(-4,0),B(4,4),动点，P(-Q+1,a+3),的轨 迹为直线2，直线2与x轴交于点C,与y轴交于点D,与直线h交于点Q. 图1 图2 (I)求直线h的解析式. (2)直接写出直线2的解析式： ,并求出点Q的坐标. (3)如图2，将直线h向下平移得到直线1，直线13与直线2的交点为E,与y轴交于点F,与x轴交于点 G,当E为CD的中点时，从点C发出射线CM,交直线I3于点M,若aGCM与△GOF相似，求此时 GM的长. 6.(23-24九年级上·黑龙江哈尔滨开学考试)已知，平面直角坐标系中，直线0A经过点A(4,-4); 图3 图2 图3 (1)如图1，求直线OA的解析式； (2)如图2，点B为直线AO上方一点，连接AB,过B作AB的垂线交x轴于点C,连接OB,设△OBC的 面积为S,点B的纵坐标为t,当BC=BA时，求S与t的函数解析式： (3)如图3，在(2)的条件下，当点B在第一象限，过点C作BC的垂线交BO的延长线于点D,若 BC=2CD,求S的值. 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 微专题03 相似三角形与函数问题 题型01 坐标系中利用相似求未知点坐标（静态相似） 考向分析：此类题型通常给出平面直角坐标系中几个已知点的坐标，要求在坐标轴或已知直线上寻找一个未知点，使得该点与已知两点构成的三角形与另一个已知三角形相似。核心得分点在于将坐标转化为线段长度，并熟练运用“分类讨论”思想处理“对应顶点不确定”的情况。 解题方法： 1. 坐标转线段：根据已知点的坐标，计算出相关三角形的边长（注意利用水平或竖直线段简化计算）。 2. 定相似类型：结合图形特征，预判可能的相似判定定理（通常优先考虑“两边成比例且夹角相等”或“AA”）。 3. 分类列方程：因为对应顶点不确定，通常存在两种可能。设未知点坐标，根据相似比列出比例方程。 4. 解方程求坐标：解出未知数的值，注意检验点是否满足题意（如是否在坐标轴的正半轴上）。 答题模板： 1. 算：求出已知三角形的各边长（或斜率关系）。 2. 设：设所求点的坐标。 3. 分：分情况讨论。 4. 列：根据对应边成比例列出比例式。 5. 解：求解方程，得出点的坐标，注意多个解的情况。 1．（2026八年级下·重庆·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点A在y轴正半轴上，顶点C坐标为，顶点D坐标为，对角线经过坐标原点O，边与x轴交于点E，则E点坐标为________． 【答案】 【分析】如图：过点B作轴于点F，轴于点M，由平移的性质求出B点的横坐标为，证明，由相似三角形的性质得出求出，求出点A的坐标，由三角形的面积即可解答． 【详解】解：如图：过点B作轴于点F，轴于点M， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴B点的横坐标为， ∵， ∴， ∴，即，解得：， ∴点B的坐标为， 设，则，解得：， ∴， ∵， ∴，解得：， ∴． 2．（25-26九年级上·陕西西安·月考）如图，在中，，，与轴交于点，已知点的坐标是，点的坐标是． (1)点的坐标是_______，_______； (2)探究：在轴上是否存在点，使以、、为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)存在，或 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，勾股定理，求一次函数与坐标轴的交点坐标，等腰直角三角形的性质与判定，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）过点A作轴于H，则，进而得到，则可得到；证明是等腰直角三角形，得到，则；由三线合一定理得到点D为的中点，则，求出直线解析式，进而求出直线与x轴的交点坐标即可得到答案； （2）可证明；则以、、为顶点的三角形与相似时，只存在和这两种情况；据此利用相似三角形的性质讨论求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，过点A作轴于H， ∵点的坐标是，点的坐标是， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴； ∵， ∴点D为的中点， ∴ 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， 在中，当时，， ∴， ∴； （2）解：由（1）得，； ∵， ∴， ∴； ∴以、、为顶点的三角形与相似时，只存在和这两种情况； 当， ∴，即， ∴， ∴点P的坐标为，即； 当时， ∴，即， ∴， ∴点P的坐标为，即； 综上所述，点P的坐标为或． 3．（24-25八年级下·辽宁大连·月考）综合与探究： 【问题背景】 如图，在平面直角坐标系中，的边在x轴上，点A坐标为，，，点P是线段上的动点，点P从C点向点B出发，速度为每秒2个单位长度，到达终点B停止运动．设点P的运动时间为秒，连接． 【问题解决】 （1）求点P的坐标． 【深入探究】 （2）当时，求点P的坐标． 【拓展提升】 （3）在y轴上一点D坐标为，作于点E，连接，是否存在点P，使平分？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）点P的坐标为；（3）存在， 【分析】（1）证明，求得，即可求得点P坐标为； （2）证明，根据等腰三角形的判定可得，由勾股定理列方程，即可求解； （3）先根据勾股定理计算，根据全等三角形的性质和勾股定理可求解． 【详解】解：（1）∵点A坐标为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴点C坐标为， ∵， ∴点P坐标为； （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得：， ∴点P的坐标为； （3）存在，如图2， ∵平分，，， ∴， ∵， ∴， 由勾股定理得：， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得：， ∴， 解得：． 此时，由对称性可得当在负半轴上，， ∵， ∴此时不符合题意，舍去； 综上：存在点P，使平分，此时． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，坐标与图形等知识，利用勾股定理解决问题是解本题的关键． 4．（24-25九年级上·四川成都·阶段检测）如图，在矩形中，点为坐标原点，点A的坐标为，点的坐标为，点在边上，直线的解析式为，直线交于点，交于点． (1)如图1，连接，求D，E的坐标； (2)如图2，若以和为邻边作矩形，求点的坐标； (3)如图3，在第一象限内，直线l上是否存在点M，使是等腰直角三角形？若存在，求出M的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)； (2)点的坐标为 (3)存在，点的坐标为或或 【分析】（1）根据点在直线上，当时解出的值即可求出点的坐标，根据、的纵坐标相等，再代入直线上，即可求出点的坐标； （2）设的坐标为，根据矩形性质以及等腰直角三角形性质，当时，在外边，故不成立；当时，利用勾股定理求出点坐标，设点，结合矩形对边相等即可求出点坐标，再设反函数解析式，代入求解即可； （3）分三种情况：①当时，在上方与在下方时，通过三角形全等得到对应边相等，进行求解；②当时，在上方，同样的方法进行求解，得到不在边上，不符合题意；当时，且在第一象限，以同样的方法结合全等三角形求解即可． 【详解】（1）解：为矩形，点的坐标为，点的坐标为， ，， 直线的解析式为， 当，， ， ， ， ， ，解得：， ； （2）解：如图，过点作于点， 点，点，点， ，，. ，， 四边形是矩形， ，. 又， . ， 又， ， ，即， 解得， ， ， ， 又， ， ，即， 解得，， 点的横坐标为，纵坐标为， 即点的坐标为． （3）解：使是等腰直角三角形， 设，， ①当时，如下图，在上方，过点作交轴于，交与延长线于，   是等腰直角三角形， ，， ， ， 又， ， ，， ，解得：， ； 在下方，如下图，过点作交轴于，交与延长线于，   是等腰直角三角形， 同理可证， ，， ，解得：， ， 当时，的坐标为或； ②当时，如下图，在上方，过点作轴于， 是等腰直角三角形， 同理可证， ，， ，解得：， 此时不在边上，不符合题意； ③当时，且在第一象限，如下图，过点作交轴于，与交于点， 是等腰直角三角形， 同理可证， ，， ，解得：， ， 综上所述点坐标为或或． 【点睛】本题考查了一次函数的综合题，矩形的性质，等腰三角性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，直角坐标系中两点间的距离，三角形相似的判定和性质，正确作出辅助线，分情况讨论是解答本题的关键． 5．（2025·甘肃张掖·三模）如图，边长为的正方形的顶点在坐标原点处，点，分别在轴、轴的正半轴上，点是边上的点（不与点重合），，且与正方形外角平分线交于点． (1)当点坐标为时，试证明 (2)如果将上述条件“点坐标为”改为“点坐标为”，结论是否仍然成立，请说明理由； (3)在轴上是否存在点，使得四边形是平行四边形若存在，用表示点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)仍然成立，理由见解析 (3)存在使得四边形是平行四边形 【分析】（1）过点P作轴于H，可证明是等腰直角三角形，得到；证明，利用相似三角形的性质可推出，则可证明，得到； （2）同（1）证明即可； （3）由平行四边形的性质和（2）的结论可得；证明，得到，则，即． 【详解】（1）证明：如图所示，过点P作轴于H， ∵四边形是边长为5的正方形， ∴，， ∴； ∵， ∴， ∴； ∵平分， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴； ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：仍然成立，理由如下： ∵， ∴， ∴； 同理可证明， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵四边形是平行四边形， ∴， 由（2）可得， ∴； ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴存在使得四边形是平行四边形； 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，正方形的性质，坐标与图形，等腰直角三角形的性质与判定，平行四边形的性质等等，正确作出辅助线构造相似三角形是解题的关键． 6．（25-26九年级上·辽宁沈阳·月考）如图1，在平面直角坐标系中，为坐标原点，的顶点的坐标为，点的坐标为，点为对角线的中点． (1)填空：点的坐标为_____，点的坐标为_____； (2)点为边上的动点，过点作直线轴于点，交边于点，设点的横坐标为． ①求点的纵坐标（用含的代数式表示）； ②连接，若的面积为2，求的值； (3)在（2）②的条件下，且，过点作直线轴，点在直线上，纵坐标为，点在直线上，横坐标为，直线交边于点，连接，若，请直接写出的值． 【答案】(1)， (2)①点的纵坐标为；②的值为6或9 (3)2.5或7 【分析】（1）根据平行四边形的性质，得到，根据平行于轴的直线上的点的纵坐标相同，以及两点间的距离公式，求出点坐标，中点坐标公式求出点坐标即可； （2）①求出直线的解析式，进而求出点的纵坐标即可；②根据三角形的面积公式，列出方程进行求解即可； （3）根据题意，得到，进而得到点的坐标，表示出的坐标，证明，得到，进而得到，设直线交于点，求出点的坐标，分点在点的左侧和点在点的右侧，两种情况，进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即：， ∵为的中点， ∴，即：； （2）①∵， ∴设直线的解析式为， ∴，解得， ∴， 当时，， ∴点的纵坐标为； ②∵过点作直线轴于点，交边于点， ∴， 由①知：， ∴， ∵， ∴点到的距离为， ∴，解得，； 故的值为6或9； （3）由题意，可知：， ∴，， ∴， ∴， ∵轴，轴， ∴，，轴， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 设直线交于点， ∵，直线的解析式为， ∴直线的解析式为， ∴； 当点在点的左侧时，如图： ∵轴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； 当点在点的右侧时，如图： ∵轴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上：或． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，一次函数与几何的综合应用，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 题型02 函数图像中由动点引发的相似存在性问题（动态相似） 考向分析：此类题型通常以一次函数或反比例函数的图像为载体，图像上有一个或两个动点。题目要求探索在某一特定位置时，图中由动点与定点构成的三角形是否与某一固定三角形相似。核心得分点在于用含参数的代数式表示动点的坐标，并利用相似关系列出分式方程或一元二次方程。 解题方法： 1. 表坐标：根据函数图像解析式，用含参数的代数式表示出动点的横、纵坐标。 2. 找定值：确定题目中的不变量，如定点的坐标、定直线的关系（平行或垂直）。 3. 导关系：结合平行线的性质或垂直关系，推导出图中存在的相等角（为“AA”判定或“SAS”判定做准备）。 4. 列比例式求解：根据判定的相似类型，列出对应边成比例的方程，求解参数。注意分式方程要验根，确保分母不为零。 答题模板： 1. 设：设出动点的坐标。 2. 表：用所设参数表示出相关线段的长度或斜率。 3. 推：寻找并证明一组角相等。 4. 列：根据“AA”或“SAS”列出比例方程。 5. 解：解方程求出参数的值，代回求出具体坐标。 1．（25-26九年级上·四川·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于、两点，点在轴的负半轴上，若将沿直线折叠，点恰好落在轴正半轴上的点处． (1)求直线的函数解析式； (2)在直线上是否存在一点，使得与相似？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)若点为直线上一点，在平面直角坐标系内，是否存在点，使以点、、、为顶点的四边形为矩形，若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点P坐标为或 (3)存在，或或 【分析】本题考查用待定系数法求一次函数解析式，一次函数与几何综合，相似三角形的性质和判定，矩形的性质和判定； （1）设直线的表达式为，先求出C点坐标，然后将C、D坐标代入解析式即可； （2）由折叠得，，①当时，，利用，得出直线解析式与直线的函数解析式值相同，求出直线的函数解析式再与直线解析式联立，即可求出的坐标，②当时，，利用翻折的性质可得点重合，将直线的函数解析式与直线解析式联立，即可求出的坐标； （3）以点、、、为顶点的四边形为矩形，①当为对角线时，、相交于点F，利用矩形的性质，对角线相等且互相平分，先求出点F的坐标，利用可求出的坐标，进而求出的坐标，②当为对角线时，、相交于点F，此时点重合，利用F的坐标，求出的坐标，③当为对角线时，、相交于点F，此时共线，点N在直线上，利用F的坐标，求出的坐标． 【详解】（1）解：在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点， 当时，，当时，， ,, , 将沿直线折叠，点B恰好落在x轴正半轴上的点C处， , ∴, ， 设直线的表达式为，将代入得： ,解得：, 直线的函数解析式为． （2）解：在直线上存在一点P，使得与相似，理由如下： 由折叠得，， ①当时，，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∴， 设直线的表达式为，将代入得： ,解得：, 直线的函数解析式为， ∵， ∴直线的函数解析式为， 将直线的函数解析式与直线解析式联立： ，解得：， ∴， ②当时，，如图所示： ∵，， ∴， ∵直线的函数解析式为，直线解析式为， ∴， ∵， ∴关于直线对称， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵点都在直线上， ∴点重合， 将直线的函数解析式与直线解析式联立： ，解得：， ∴． 综上：点P坐标为或． （3）解：当为对角线时，、相交于点F，如图所示： 由翻折可得， ∴， ∵四边形为矩形， ∴为中点， ∴， ∵，， ∴， ∵点为直线上一点， ∴设， ∴， 解得：或（舍去） ， ∴， ∵为中点， ∴，即， 当为对角线时，、相交于点F， ∵， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴共线， 又∵点为直线上一点， ∴点重合， ∵四边形为矩形， ∴为中点， ∴， ∴，即， 当为对角线时，、相交于点F， ∵， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴共线， ∴点N在直线上， 设， ∵点为直线上一点， 设， ∵四边形为矩形， ∴为中点， ∴，解得：， ∴，即． 综上：若点为直线上一点，在平面直角坐标系内，存在点或或，使以点、、、为顶点的四边形为矩形． 2．（23-24九年级上·河南平顶山·期中）阅读与思考： 如图是两位同学对一道习题的交流，请认真阅读下列对话并完成相应的任务． 在中，是线段上一点，且，过点作交于点，使以为顶点的三角形与相似，求的长．    (1)写出正确的比例式及后续解答． (2)指出另一个错误，并给出正确解答， (3)如图，已知矩形的边长，某一时刻，动点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动；同时，动点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动，是否存在时刻，使以为顶点的三角形与相似?若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由．    【答案】(1)，见解析 (2)没有进行分类讨论，见解析 (3)存在，或 【分析】本题主要考查三角形的性质，分类讨论是解题的关键． （1）根据三角形相似的性质得到，再进行计算； （2）根据题意可知另一个错误在于未进行分类讨论，进而解答即可； （3）根据题意可知有两种情况分别是和，然后列出方程计算即可． 【详解】（1）解：由题意得， 正确的比例式是， ； （2）解：另一个错误在于未进行分类讨论，如图，过点作 ，则， ， ， 综上所述，为或． （3）解：当时，设，则， 则由得， ， 解得：； 当时， 则由得， 解得： 综上所述，当或时以为顶点的三角形与相似． 3．（25-26九年级上·山东青岛·阶段检测）如图，在菱形中，对角线，，在中，，边和重合，边和重合．如图②，从图①所示位置出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，动点从点出发，沿方向匀速运动，速度为．连接，．设运动时间为．解答下列问题： (1)当 t为何值时，？ (2)在运动过程中，是否存在某一时刻，使与相似？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． (3)是否存在时刻t，使得P、E、C三点共线？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． (4)连接，是否存在时刻t，使得？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，或 (3)存在， (4)存在， 【分析】本题考查菱形的性质，平移的性质，相似三角形的性质和判定，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）由四边形是菱形，，，得，，，由题意，，，根据列方程求解即可； （2）由平移得，，，而，所以，分两种情况讨论，一是，则，所以，求得；二是，则，所以，求得． （3）当P、E、C三点共线时，，可证，则，利用此列方程求解即可； （4）根据题意，可证明，则可得的长，再证明，则，得到方程，求解即可． 【详解】（1）解：四边形是菱形，，， ，，， 由平移知， 由题意，，， ∵， ∴， ， ∴当 t为时，； （2）解：存在， 由平移得，，， ， ， ， 当或时，与相似， 当时， ， ， ， ， 解得； 当时， ， ， ， ， 解得， 故存在或时，与相似； （3）解：当P、E、C三点共线时， ， ， ， ， ， ， 解得，（舍）， ∴存在时刻，使得P、E、C三点共线； （4）解：作于M，设交于点H， ， ， ， ， 即， ， ， ， ， ， 设交于点N， ∵， ， 又， ， 又， ， ， ， 解得． ∴存在时刻，使得． 4．（25-26九年级上·河南开封·期末）如图，正方形的边长是，是的中点，点在射线上，过点作，垂足是点． (1)求证：； (2)当点在射线上运动时，设，是否存在实数，使以为顶点的三角形与相似？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)或 【分析】（1）根据相似三角形的判定方法进行论证； （2）分情况讨论不同对应关系下的相似即可求得结果． 【详解】（1）证明：∵正方形中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：当时， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵为的中点，， ∴， ∴； 当时， ∴， ∵正方形中， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵为的中点，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上：当或时，以为顶点的三角形与相似． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定、矩形的性质、勾股定理，关键是相似三角形的判定的应用． 5．（2026·黑龙江牡丹江·一模）如图，在平面直角坐标系中，为原点，的顶点，在轴上，点在轴上，，且的长是关于方程的两根，直线分别与轴，轴，线段，射线交于点． (1)请直接写出点的坐标以及点为中点时的值； (2)猜想线段与线段的数量关系，并证明； (3)在轴上是否存在点，使，且与相似？若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)，见解析 (3)存在，或或-1 【分析】（）根据根与系数的关系可得，可以得到，从而可以计算平行四边形各个顶点的坐标，再利用中点公式，可以计算的坐标，代入直线方程即可求出的值； （）先计算，的坐标，再根据两点间距离公式得出线段长度即可； （）与相似讨论对应边成比例，没有说明对应边要分情况讨论；   当和 ，从而根据线段长度计算即可． 【详解】（1）解：∵的长是关于方程的两根， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴的坐标为 ∵为中点， ∴， ∵在直线上， ∴ ∴ （2）解：∵在上 ∴的纵坐标为， 把的纵坐标为代入直线得， ∴，， ∴， 设直线的解析式为（） 把，的坐标代入得解得 ∴设直线的解析式为， 联立方程组得 ∴ ∴ ∵ ∴； （3）解：存在； 由题设， 由（）可知， ∴，， ∵为直角三角形，且 ∴当与时，为直角三角形， ∵， ∴两条直角边为和, ∴ ∴ 整理的： ①    当时， ∴， ∴， ∴ ∴ 设，则，， ∴ 整理得： ， 把代入整理得， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 整理得： 解得 当时， 当时，； ②    当时 ∴ ∴, ∴ ∴ 同理①可得 解得：， 当时，（舍去）， 当时， 综上所述，或或-1． 【点睛】本题考查了平面直角坐标系中点坐标的表示，两点间距离公式，待定系数法求函数解析式，求交点坐标，相似三角形的动点问题，熟练掌握相关知识点是解决问题的关键． 6．（24-25九年级上·山西长治·期末）已知：如图，在中，，，，点P从点A出发，沿方向匀速运动，速度为；同时点Q从点C出发，沿方向匀速运动，速度为，设运动时间为t秒，解答下列问题： (1)当t为何值时，与相似？ (2)是否存在某一时刻t，使，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． (3)是否存在某一时刻，使为等腰三角形？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)当t为或时，与相似 (2)当时， (3)当或或时，为等腰三角形． 【分析】（1）由勾股定理求出，再分为当时及当时，两种情况求解即可； （2）作于点，首先证明，可表示出，由，可得，代入面积公式即可列出方程，从而得出答案； （3）分，，三种情形，分别画出图形，进行计算即可解决问题． 【详解】（1）解：在中，由勾股定理得： ， 由题意得，， 当时， 有， 即， 解得：， 当时， 有， 即， 解得：， 当t为或时，与相似； （2）解：存在， 如图，作于点， ，， ， ， 即， 解得：， ， ， ， ∵ ， 解得：， 当时，； （3）解：存在，当时， ， ， 当时，作于点， ，， ， ， 即， ， ∵， ， ， 解得：； 当时， 作于点， ， ， ， 即， ， ∵，， ， ， 解得：， 当或或时，为等腰三角形． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，图形的面积，解一元二次方程等知识，运用分类讨论思想分别画出图形是解题的关键． 题型03 利用相似三角形求解函数解析式中的待定系数 考向分析：此类题型通常给出两个函数的图像交点，或者给出一个几何图形（如直角三角形）的顶点在某个函数图像上，并且已知这几个顶点构成的三角形相似。要求求出函数解析式中的未知系数。核心得分点在于利用相似得比例，代入坐标建立关于系数的方程。 解题方法： 1. 描点定形：在草稿纸上画出大致图像，标出已知点和未知点的大致位置，确定三角形的形状。 2. 用系数表示距离：将图像上的关键点坐标用含有待定系数的代数式表示出来。 3. 找比例列方程：根据两个三角形相似，提取出一组简单的对应边比例关系（优先选直角边或水平/竖直线段），列出等式。 4. 求解系数：解关于函数系数的方程，求出未知数。若是反比例函数，注意利用“横纵坐标乘积相等”简化计算。 答题模板： 1. 设：设所求的函数解析式。 2. 代：将已知点坐标代入，得到一个含参数的等式。 3. 联：结合相似三角形的性质或其他对应边比例），建立方程。 4. 解：解一元一次方程或二元一次方程组，求出待定系数。 5. 答：写出完整的函数解析式。 1．（25-26九年级下·山东东营·开学考试）如图一束光线从点出发，经过y轴上的点B反射后经过点，则BC所在直线的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作轴，垂足为D，证明，求出，利用待定系数法即可求解﹒ 【详解】解：如图，作轴，垂足为D﹒ ∵，， ∴﹒ 由题意得， ∵轴，， ∴﹒ ∴， ∴， 即， ∴， ∴﹒ 设BC所在直线的解析式为， ∴， ∴， ∴BC所在直线的解析式为﹒ 2．（25-26九年级上·上海·期中）如图，中，，，点D、E分别在边、上，，如果，，那么y关于x的函数解析式及定义域为______ 【答案】 【分析】本题考查了求一次函数解析式，相似三角形的判定和性质． 先证明，得到，进而可知，根据可知． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵，，，， ∴， ∴， ∵点D、E分别在边、上， ∴， 当时，达到最大值， ∴． 故答案为：． 3．（23-24八年级下·四川绵阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴交于两点，已知，连接，分别为线段上动点（不含端点），连接． (1)求直线所对应的函数解析式； (2)如图1，作轴于点，作轴于点，当四边形是正方形时，求长度； (3)如图2，为轴上动点，连接，当四边形是平行四边形时，若设点的横坐标为，点的纵坐标为，请求关于的函数解析式及相应的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（1）先求得，，设直线所对应的函数解析式为，利用待定系数法求解即可； （2）设正方形的边长为，证明，利用相似三角形的性质求得，再证明，据此求解即可； （3）求得，，同理证明，利用相似三角形的性质求得，整理后即可求解． 【详解】（1）解：当时，，当时，， ∴，， 设直线所对应的函数解析式为， 把代入得， 解得， ∴直线所对应的函数解析式为； （2）解：∵，，， ∴，，， ∴， 设正方形的边长为，则，， ∵四边形是正方形， ∴， ∴，则， 即， 解得，则， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴，即， ∴； （3）解：∵点的横坐标为，点的纵坐标为， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，则， 即， 整理得． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，正方形的性质，平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质．证明是解题的关键． 4．（2024·江苏苏州·二模）已知一个直角三角形纸片，其中，，．如图1，将该纸片放置在平面直角坐标系中，折叠该纸片，折痕与边交于点C，与边交于点D． (1)若折叠后点B与点A重合，求直线的解析式； (2)若折叠后点B落在边上的点为，设，，试求出y关于x的函数解析式，并直接写出y的取值范围； (3)若折叠后点B落在边上的点为，且使，则的周长为_____．（请直接在答题卷相应位置上写出答案） 【答案】(1) (2)，y的取值范围为 (3) 【分析】（1）因为折叠后点B与点A重合，那么，可先设出C点的坐标，然后表示出，在中，根据勾股定理即可求出C点的纵坐标，也就求出了C点的坐标，然后根据待定系数法即可得到结论； （2）方法同（1）用表示出然后在中根据勾股定理得出x，y的关系式．由于在上，因此有，由此可求出y的取值范围； （3）根据（1）（2）的思路，应该先得出的关系，知道的值，那么可以通过证来实现．和是平行线的内错角，又因为，因此，即，由此可得出两三角形相似，得出的比例关系，然后根据（1）（2）的思路，在中求出的值，根据勾股定理和三角形的周长公式即可得到结论． 【详解】（1）解：如图1，折叠后点B与点A重合，则． 设点C的坐标为，则， ∴， 在中，由勾股定理，， 即，解得． ∴点C的坐标为， ∵， ∴， 设直线的解析式为 ∴， 解得， ∴直线的解析式为； （2）解：如图2，折叠后点B落在边上的点为， ∴． ∵ ∴ 在中，由勾股定理，得． ∴， 即． 由点在边上，有， ∴解析式为所求． ∵当时，y随x的增大而减小， ∴y的取值范围为； （3）解：如图3，折叠后点B落在边上的点为，且． ∴． 又∵， ∴， ∵． ∴． ∴， ∴， 在Rt△B″OC中， 设，则． 由（2）的结论，得， 解得． ∵， ∴． ∴， ∴， ∴， ∴的周长 故答案为：． 【点睛】本题是一次函数综合题，考查了相似三角形的判定和性质，待定系数法求函数的解析式，勾股定理，折叠的性质，正确地作出图形是解题的关键． 5．（2024·河北沧州·一模）如图，直线经过点，，动点，，的轨迹为直线，直线与轴交于点，与轴交于点，与直线交于点． (1)求直线的解析式． (2)直接写出直线的解析式：_______，并求出点的坐标． (3)如图，将直线向下平移得到直线，直线与直线的交点为，与轴交于点，与轴交于点，当为的中点时，从点发出射线，交直线于点，若与相似，求此时的长． 【答案】(1)直线的解析式； (2)，点的坐标； (3)或． 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）先求得直线的解析式，进而联立线和直线即可求得点的坐标； （3）先利用待定系数法求得直线的解析式，然后和两种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵直线经过点，， ∴， 解得， ∴直线的解析式； （2）解：∵， ∴， ∴直线的解析式：， 联立，得， ， 解得， ∴点的坐标； （3）解：直线的解析式：中，令得，，解得， ∴， 当时，， ∴， ∵为的中点， ∴， ∵直线的解析式，直线平移后得直线， ∴设直线：， 把代入得， 解得， ∴直线：， 令，则，解得， ∴， 当时，， ∴， ∴ ∵， ∴， 当时，由，得， ∴， 解得， 过点作轴于，则， ∵， ∴， ∴即， ∴， ∴， 当时，， ∴， 当时，如下图， 由，得， ∴， ∴轴， ∴点的横坐标为， 当时，， ∴， 综上可得或． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求解一次函数的解析式，坐标与图形，勾股定理以及相似三角形的判定及性质，熟练掌握相似三角形的判定及性质及待定系数法求一次函数的解析式是解题的关键． 6．（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知，平面直角坐标系中，直线经过点；      (1)如图，求直线的解析式； (2)如图，点为直线上方一点，连接，过作的垂线交轴于点，连接，设的面积为，点的纵坐标为，当时，求与的函数解析式； (3)如图，在（）的条件下，当点在第一象限，过点作的垂线交的延长线于点，若，求的值． 【答案】(1) (2)或 (3)4 【分析】（1）利用待定系数法解答，即可求解； （2）分四种情况讨论：当点B在第四象限，且位于点A的上方时，当点B在第四象限，且位于点A的下方时，当点B在x轴的上方，且位于点A的右侧时，当点B在x轴的上方，位于点A的左侧时，结合全等三角形的判定和性质，即可求解； （3）设直线的解析式为，点B的坐标为，则，如图，过点D作轴于点P，则，由（2）得：，证明，可得点D的坐标为，从而得到点B的坐标为，即可求解． 【详解】（1）解：设直线的解析式为， 把点代入得：， 解答：， ∴直线的解析式为； （2）解：如图，当点B在第四象限，且位于点A的上方时，过点B作轴于点M，过点A作于点N，则，，，，    ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴； 如图，当点B在第四象限，且位于点A的下方时，过点B作轴于点M，过点A作于点N，则，，，，    ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴； 如图，当点B在x轴的上方，且位于点A的右侧时，过点B作轴于点M，过点A作于点N，则，，，，    ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴； 如图，当点B在x轴的上方，位于点A的左侧时，过点B作轴于点M，过点A作于点N，则，，，，    ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴； 综上所述，与的函数解析式为或； （3）解：设直线的解析式为，点B的坐标为，则， 如图，过点D作轴于点P，则， 由（2）得：，    ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点D的坐标为， ∴，解得：，（舍去）， ∴点B的坐标为， ∴， ∵， ∴，解得：， 此时． 【点睛】本题主要考查了一次函数的几何应用，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，利用分类讨论和数形结合思想解答是解题的关键． / 学科网（北京）股份有限公司 $