微专题05 相似三角形与动态问题（专项训练）数学鲁教版五四制八年级下册

**基本信息** 聚焦相似三角形与动态问题，构建“题型-方法-模板”三维训练体系，通过直线运动、图形变换、函数关系三大模块实现知识迁移与逻辑递进，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |直线型运动中的相似存在性问题|6道|设t表线段→找不变量→分类列方程→求解检验|以动点运动为载体，通过代数化线段长度，结合相似三角形判定（夹等角两边成比例）实现几何问题代数化| |图形变换引发的相似探究问题|6道|抓变换性质→定特殊位置→构相似关系→列方程求解|依托折叠/旋转不变性，利用对应边角相等构建“A字型”“8字型”相似，深化空间观念与模型意识| |动态过程中的面积或线段函数关系|6道|定变量表线段→寻相似建比例→列函数定范围|通过相似比转化几何量，建立面积/线段与时间的函数关系，发展运算能力与应用意识|

微专题05 相似三角形与动态问题 题型01 直线型运动中的相似存在性问题（单动点/双动点模型） 考向分析：此类题型通常在三角形的边（或延长线）上有一个或多个动点，以固定的速度运动。探究在某一时刻，由动点与图中定点构成的三角形是否与另一已知三角形相似。核心得分点在于抓住“运动时间t”，用含t的代数式表示出相关线段长度，并对“对应顶点”进行严谨的分类讨论。 解题方法： 1. 表示线段：设运动时间为t，根据题目中“路程=速度×时间”，用含t的代数式表示出动点所在位置的相关线段长度（注意动点在线段上、射线上还是直线上，这决定了t的取值范围）。 2. 寻找不变量：找出运动过程中始终保持相等或不变的角（通常是直角、公共角或对顶角），作为相似三角形的“桥梁角”。 3. 分类讨论列方程：因为对应顶点不确定，通常分为两种情况进行讨论。利用“夹桥梁角的两组对应边成比例”列出关于t的一元一次方程。 4. 求解并检验：解方程求出t的值，必须代回原题检验是否满足构成有效三角形的条件（如边长为正、点不在线段端点重合等）。 答题模板： 1. 设：设运动时间为t秒，分别表示出动点的位置及相关线段的长度。 2. 定：确定不变量。 3. 分：根据题意分情况讨论。 4. 列：针对每种情况，列出对应成比例的方程。 5. 解：解方程求出t的值。 6. 验：检验所求t值是否使分母为0或线段长度为负，最后综述符合条件的t的个数或具体值。 1．（24-25九年级上·四川眉山·期中）如图，已知梯形中，，，P为一动点从点B出发，沿方向，以的速度由点B向点D运动；Q为另一动点，从C出发，沿方向，以的速度由点C向点D运动，当其中一动点到达目的地时整个运动随之结束，设运动时间为t秒． (1)如图1，当P运动t秒时，恰好有，求t的值； (2)如图2，过点Q作于点E． ①在运动过程中，是否存在t秒时，使得以P、A、D为顶点的三角形与相似？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由． ②在运动过程中，是否存在t秒时，使得以P、D、Q为顶点的三角形恰好是等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的t的值（直接写出答案）；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)2秒 (2)①存在，秒或秒；②存在，秒或4秒或秒 【分析】（1）根据题意，得，，根据相似三角形的性质得，即，求解即可； （2）①过点D作于点，证明四边形是矩形，得，，在中，，设，得，，证明得，得，，分两种情况求解：当时；当时； ②过点作于点，证明四边形是矩形，得，，，在中，，在中，，，分三种情况求解：当时；当时；当． 【详解】（1）解：点P沿方向以的速度向由点向点D运动；点沿方向以的速度向由点向点运动， 点P由点到点D的运动时间为：（秒）， 点由点C到点D的运动时间为：（秒）， 运动时间为t秒， ，， ， ，即， 解得：， 经检验：是原方程的解且符合题意， 的值为秒； （2）①过点D作于点， ， ，，，， ， ， 四边形是矩形， ，， ， 在中，， 运动时间为t秒， ∴， 设， ，， ， ， ， ，即， ，， 存在P、A、D为顶点的三角形与相似， 当时， ，即， 解得：， （秒）； 当时， ∴，即， 解得：， （秒）； 综上所述，t的值为秒或秒时，以P、A、D为顶点的三角形与相似； ②过点作于点， ， 四边形是矩形， ，， ∴， 在中，， 在中，，， 存在以P、D、Q为顶点的三角形恰好是等腰三角形； 当时，得， ， 解得：，， ， （不合题意，舍去），； 当时，得：， ， 解得：， ； 当时，得：， ， 解得：，， （不合题意舍去），； 综上所述，当t的值为秒或4秒或秒时，以P、D、Q为顶点的三角形恰好是等腰三角形． 【点睛】本题考查相似三角形的性质和判定，矩形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的定义等知识点．利用方程的思想和分类讨论的思想解决问题是解题的关键． 2．（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，已知矩形中，，．某一时刻，动点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动；同时，动点从点出发沿方向以的速度向点匀速运动． (1)经过多长时间，的面积等于矩形面积的？ (2)是否存在时刻，使以，，为顶点的三角形与相似？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)秒或秒 (2)存在，秒或秒 【分析】（1）设经过秒，的面积等于矩形面积的，由题意得，，，先求得矩形的面积，再根据的面积等于矩形面积的，得到关于的一元二次方程求解； （2）由题意得，，，再分、两种情况，分别得到关于的方程求解即可． 【详解】（1）解：设经过秒，的面积等于矩形面积的， 由题意得，，， ∵矩形中，， ∴，，， ∴矩形的面积为：， ∴的面积， ∴， 解得：，， 答：经过秒或秒，的面积等于矩形面积的； （2）由题意得，，， 若， 则有， ∴， 解得：， 若， 则有， ∴， 解得：， 答：当秒或秒时，以、、为顶点的三角形与相似． 【点睛】本题考查了相似三角形——动点问题，利用相似三角形的性质求解，动态几何问题(一元二次方程的应用)，根据矩形的性质求线段长等知识，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 3．（25-26九年级上·四川内江·月考）如图，在矩形中，，，动点P从点D出发沿向终点A运动，同时动点Q从点A出发沿对角线向终点C运动．过点P作，交于点E，动点P、Q的运动速度是每秒2个单位长度，当点P运动到点A时，P、Q两点同时停止运动．设运动时间为t秒． (1)当时，求的长； (2)当t为何值时，与相似？ (3)是否存在这样的点P和点Q，使P、Q、E为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出满足条件的t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)当时，与相似 (3)存在，t的值为或或 【分析】（1）由矩形的性质可得，，，，由勾股定理可得，由题意得，则有，t的取值范围为，当时，则有，证明，由相似三角形的性质即可得解； （2）由（1）可知，，，由相似三角形的性质得出，，证明出，再分两种情况：当时，则有；当时，则有；分别利用相似三角形的性质求解即可； （3）分三种情况：当时，作于点H，则；当时；当时；分别求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形，， ∴，，，， ∴， 由题意得：，则有，t的取值范围为， ∴当时，则有， ∵， ∴， ∴，即， ∴； （2）解：由（1）可知：，，， ∴，即， ∴，， ∵， ∴ ∴ 当时，则有 ∴，即， 解得：，（不符合题意，舍去）； 当时，则有，此时， ∵， ∴点C、Q重合，则， ∴，与相矛盾，故此种情况不成立； 综上所述：当时，与相似； （3）解：存在，当时，如图1，作于点H，则， ∵， ∴， ∴， 由得， 解得； 当时，如图2， 由（2）可知：， ∴， ∴， 解得； 当时，如图3，则， ， ∵， ∴， ∴， 由得， 解得， 综上所述，t的值为或或． 【点睛】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理，解直角三角形等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 4．（25-26九年级上·贵州六盘水·期末）在中，，，，动点P从点B开始沿边向点C运动，速度为，动点Q从点C开始沿边向点A运动，速度为．如果P，Q两点同时运动，一点运动到终点，另一点随之停止．设运动时间为． (1)用含t的代数式表示______，_______； (2)是否存在时间t，使得，若存在，请求出时间t；若不存在，请说明理由； (3)当t为何值时，与相似． 【答案】(1)， (2)不存在时间t，使得，理由见解析 (3)或 【分析】本题考查了列代数式，一元二次方程的应用，相似三角形的性质分类讨论是解（3）的关键． （1）根据可表示出的长，根据路程=速度×时间可表示出的长； （2）根据列出方程，结合根的判别式解答即可； （3）分和两种情况，利用形似三角形的性质列式求解即可． 【详解】（1）解：∵动点P的速度为，动点Q的速度为， ∴，． 故答案为：，； （2）解：∵， ∴， 整理得，， ∵， ∴方程无实数根， ∴不存在时间t，使得； （3）解：当时， 则， ∴， 解得； 当时， 则， ∴， 解得． 综上可知，当t的值为或时，与相似． 5．（25-26九年级上·福建三明·期中）如图，中，，是的中点，厘米，厘米，点从出发，以2厘米/秒的速度沿匀速向点运动，点同时以1厘米/秒的速度从出发，沿匀速向点运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设它们的运动时间为秒．    (1)_____厘米； (2)当为何值时，； (3)是否存在值，使以、、为顶点的三角形与相似？若存在，求出值，若不存在，说明理由． 【答案】(1)10 (2) (3)或时，与相似 【分析】本题考查等腰三角形性质，勾股定理，相似三角形的性质和判定； （1）由等腰三角形的性质可得，再由勾股定理可得的长度； （2）当时，，利用相似三角形的性质，建立方程求解即可； （3）根据题意，分类讨论，当时，利用建立方程求解；当时，利用建立方程求解. 【详解】（1）解：∵在中，是的中点，厘米， ∴，厘米， ∴在中，厘米 （2）解：由题意得：， ∵厘米，厘米 ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ 解得： （3）解：当时，， ∴ 解得： 当时，， ∴ 解得：. 综上所述：或时，与相似. 6．（24-25八年级下·山东青岛·期末）如图，已知四边形中，，，动点P从点A出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，动点Q从点C出发，沿方向匀速运动，速度为．于点E．设运动时间为，解答下列问题： (1)当时，求t的值； (2)当t为何值时，以A，D，P为顶点的三角形与相似？ (3)是否存在某一时刻t，使将四边形分成面积相等的两部分？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； (4)是否存在某一时刻t，使？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)不存在，见解析 (4)存在，， 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，矩形的性质与判定，平行线分线段成比例定理，解一元二次方程，熟知相似三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1），过D作于点E，则四边形是矩形，可得，由勾股定理可得；证明，由平行线分线段成比例定理得到，即，则．    （2）证明，由相似三角形的性质得到，．再分和两种情况，根据相似三角形的性质列出比例式求解即可； （3）．，则，据此利用判别式求解即可； （4）可证明，得到，即，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示，过D作于点E， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴ ∴； ∵， ∴， ∴ ∴当时，则， ∴，即， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴，．    当时， ∴，即， ∴（已检验，符合题意）．   当时， ∴，即 ∴（已检验，符合题意）．   ∴当或时，以A，D，P为顶点的三角形与相似． （3）解：不存在某一时刻t，使将四边形分成面积相等的两部分，理由如下： ． ， ∴． ∵， ∴方程无实根． ∴不存在某一时刻t，使将四边形分成面积相等的两部分． （4）解：∵， 当时，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即，     ∴， 解得，（已检验）． 题型02 图形变换（折叠/旋转）引发的相似探究问题（形变模型） 考向分析：此类题型通常给出一个初始三角形，将其沿某条直线翻折，或以某个顶点为中心进行旋转。探究在变换过程中，是否存在某个特殊位置（如落在坐标轴上、与某条边平行或垂直），使得变换后的三角形与原来的三角形（或其一部分）相似。核心得分点在于找出变换前后的“不变量”（如对应角相等、对应边相等），结合特殊位置的特殊角（如直角）构造相似。 解题方法： 1. 抓变换性质：明确是折叠（产生轴对称图形，对应线段相等、对应角相等）还是旋转（产生旋转角相等，对应边成比例）。在图上标出所有相等的线段和角。 2. 定特殊位置：分析题目要求的特殊位置。在这个特殊位置上，往往会产生新的直角或已知角度的角。 3. 构相似，找关系：结合产生的新角和原有的等角，寻找两组相等的角，证明三角形相似。通常会构造出“A字型”或“8字型”相似。 4. 列方程求解：根据相似三角形“对应边成比例”列出比例式，若涉及坐标，则需结合勾股定理或直线方程联立求解。 答题模板： 1. 标：根据折叠/旋转的性质，在图上标出相等的线段和相等的角。 2. 析：分析特殊位置的条件，推导出新产生的垂直关系或平行关系，从而得出新的等角。 3. 证：结合原有等角和新推等角，写出证明相似的过程。 4. 算：根据相似比列出比例式，结合其他已知条件建立方程。 5. 解：求解方程得出未知长度或坐标，注意对解进行实际意义的检验（如长度不能为负）。 1．（25-26九年级上·江苏泰州·期中）综合与实践： 背景 折纸是“从实用到艺术、从单一到多元”的演变——它源于古代文明的“功能需求”．折纸的核心魅力，在于它用最简单的材料（纸张），通过“折叠”这一基础动作，创造出无限的形态与可能，既是“手工艺术”，也是“思维工具”，更是“文化与科技的跨界载体”. 操作一 折叠一：如图1，正方形纸片，是边上一点，将纸片沿折叠，使点的对应点落在正方形内部，将纸片沿着折叠，点的对应点为点，折痕交于点. 操作二 折叠二：如图2，矩形纸片，是边上一点，将纸片沿折叠，使点的对应点落在矩形内部，继续折叠纸片，使与在同一条直线上，点的对应点为点，折痕交边于点. 问题解决 任务1 在操作一中，试判断与的大小关系______； 连接，研究小组通过改变点的位置发现的大小不变，其度数为_____°； 任务2 在操作一的条件下，如图1，若，，求正方形的边长； 任务3 在操作二中，若，，，求的长． 【答案】任务1：；； 任务2：正方形边长为； 任务3： 【分析】任务1：利用折叠性质得，，然后证明全等，推出所求角； 任务2：先由勾股定理求出的长，根据折叠性质表示出，再利用正方形的性质列方程求解边长； 任务3：先证是等腰直角三角形，再证得到相关线段长度，最后通过利用相似比列方程求解． 【详解】任务1：解：根据折叠性质，正方形沿折叠，点的对应点落在正方形内部，则，且， 沿着折叠，点的对应点为点，则，且， 在和中， （公共边） （）， ． 由折叠性质可知：， 因为，所以：， 即： 所以： 任务2： ∵在中，， ∴ 设，则，， ，， ∵ ∴ 解得 ∴ 所以正方形的边长为12； 任务3：过点作，交于， 过点作，交于，交于， ∵ ∴， ∵ ∴ 由折叠可知，， ∴ ∴为等腰直角三角形 ∴, ∵ ∴ ∴，， ∴，， ∵，， ∴ ∴即 ∴ 【点睛】本题考查折叠的性质、勾股定理、正方形与矩形的性质，解题思路是利用折叠性质转化线段和角度关系，结合勾股定理列方程求解；考查的知识点是折叠性质、勾股定理、正方形与矩形的性质，用到的思想是方程思想，方法是折叠转化与勾股定理结合法，技巧是通过折叠找相等线段和角，设未知数列方程，解题关键是利用折叠性质建立等量关系，易错点是折叠后线段和角度的对应关系混淆导致方程列错． 2．（25-26九年级上·广东深圳·月考）综合与实践 【发现问题】在进行综合与实践活动时，学习小组发现生活中常用的纸是一个长与宽的比为的矩形； 【定义】若一个四边形为矩形，且长与宽的比为，则这个四边形为类矩形． 【提出问题】如何用不同形状的纸折一个类矩形？ 【分析并解决问题】 （1）学习小组利用一张纸对折一次，使与重合，折叠过程如图所示，其中，． 求证：四边形是类矩形； （2）学习小组利用一张正方形纸片折叠次，展开后得折痕，，再将其沿折叠，使得点与点重合，折叠过程如图所示．求证：四边形是类矩形； 【拓展】（3）如图3，四边形纸片中，垂直平分，，，点，，，分别是边，，，上的点，将四边形纸片沿折叠，使得点的对应点落在上，再沿，折叠，使得点，的对应点分别落在，上，若四边形是类矩形： ①请画出满足条件的四边形．（作图工具不限，不用保留作图痕迹）； ②请直接写出的值． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）①见解析；②或 【分析】（1）先证明，再证明四边形是矩形，即可得结论； （2）如图2，由折叠得：，先证明四边形是矩形，如图3，设，，则，根据折叠的性质和等腰直角三角形的性质表示的长，即可解答； （3）①根据题意画出图形，第一种，找到四边形的中点，作四边形，找到靠近的三等分点，作四边形； ②设与交于点O，分两种情况：或，当时，，根据，，列比例式即可得结论；当时，，同理可得结论． 【详解】（1）证明：如图1，由折叠得：，， ∵，四边形是矩形，，， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴四边形是类矩形； （2）证明：如图2，由折叠得：， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴四边形是矩形， 如图，设，，则， 由折叠得：，， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是类矩形； （3）解：①设与交于点O， ∵垂直平分， ∴， ∵四边形纸片沿折叠，使得点B的对应点落在上， ∴， 同理得：，， ∵四边形是类矩形， ∴或， 如图所示，第一种，找到四边形的中点，作四边形 第二种，找到靠近的三等分点，作四边形 ②如图，当时，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图，当时，， 由①同理得：， ∴，即， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上，的长为或． 故答案为：或． 【点睛】本题是考查了矩形的性质和判定，新定义类矩形的理解和运用，相似三角形的性质和判定，勾股定理等知识，掌握折叠的性质和新定义的运用是解本题的关键． 3．（24-25九年级上·山西忻州·期末）综合与实践课上，伍老师带领学生们分小组进行折叠矩形纸片的探究活动． 【折叠实践】 第一步：如图（1），将矩形纸片对折，使边，重合，再展开，折痕与交于点. 第二步：如图（2），在上取一点，沿折叠矩形，点的对应点为.延长交于点，将纸片沿过点的直线折叠.使点的对应点落在上，折痕与交于点. 【初步发现】 （1）探究图（2）中和的位置关系 【深入探究】 （2）勤学小组的同学们选用了如图（3）所示的矩形纸片，选取的点与点D重合，按步骤折叠后发现，点，，共线.请你帮他们求出的值. 【拓展延伸】 （3）奋进小组的同学们选用了，的矩形纸片，按步骤进行多次折叠（选取不同位置的点），且第二步折叠中，折痕与交于点，把纸片展开后，连接（图（4）是奋进小组的一次折叠样例）.请你解决：当为直角三角形时，直接写出的长. 【答案】（1）；（2）；（3）的长为或 【分析】（1）根据矩形的性质和折叠的性质得出，再根据平行线的判定方法即可得到结论； （2）连接，设，，先证明，得到，再证明，得到，根据勾股定理得出，即可得到答案； （3）分两种情况：当时，得出四边形是正方形，得出；当时，过点作于点，则，再证明，得到，，证明，得到． 【详解】（1）解：，证明如下， 矩形， ， ， ，， ， ； （2）解：设，， 如图（3），连接， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 由（1）知， ， ， ， ， ， ，， ， ， ； （3）解：当时，如备用图（1）， ， ，， 四边形是正方形， 当时， 如图（4），过点作于点， ， ， ， ， ， ， ； ， ∴ ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，正方形的判定和性质，是一道综合题，熟练掌握全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质是解题的关键． 4．（25-26九年级上·四川达州·期末）（1）如图，正方形与等腰直角有公共顶点A，，连接，将绕点A旋转，在旋转过程中，直线相交所成的角为β，则；_________； （2）如图2，矩形与有公共顶点A，，且，连接，将绕点A旋转，在旋转过程中，直线相交所成的角为β，请求出的值及β的度数，并结合图2进行说明； （3）若平行四边形与有公共顶点A，且，将绕点A旋转，在旋转过程中，直线相交所成的锐角的度数为β，则： ①； ②请直接写出α和β之间的关系式：__________． 【答案】（1）1，；（2）； （3）①；②或 【分析】（1）延长分别交于点G，交于点M，先根据正方形和等腰直角三角形的性质证明，再根据全等三角形的性质得，即可得出，然后说明则此题可解； （2）延长交于点H，根据“两边成比例，且夹角相等的两个三角形相似”得，再根据相似三角形的性质得，然后根据四边形的内角和等于得出，则此题可解； （3）①延长交于点H，根据“两边成比例，且夹角相等的两个三角形相似”得，可得； ②先根据相似三角形的对应角相等得，再根据四边形的内角和定理得，然后分两种情况讨论得出答案即可． 【详解】解：（1）如图，延长分别交于点G，交于点M， 在正方形和等腰直角三角形中，， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴ ∴； （2）如图，延长交于点H， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． （3）①如图，延长交于点H， ∵ ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②或， 由得， ∵， ∴． ∵四边形的内角和为， ∴． 若为锐角，即为锐角，如图，则为钝角， ， ∴，即； 若为钝角，如图， 则． 故或． 【点睛】证明两个三角形全等或相似是解题的关键，也是难点所在． 5．（2026·广东深圳·二模）【综合探究】 数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片和中，，，，旋转角为． (1)【初步感知】如图1，连接，，将三角形纸片绕点旋转，求的值； (2)【深入探究】如图2，在三角形纸片绕点旋转过程中，当点恰好落在的中线的延长线上时，延长交于点，求的长； (3)【拓展延伸】在三角形纸片绕点旋转过程中，试探究A，D，E三点，能否构成以为直角边的直角三角形．若能，直接写出线段的长度；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)能，的长是或 【分析】（1）证明即可解答； （2）如图， 通过延长交于点，连接，得到四边形为矩形，设，先根据相似得，再证明三角形全等得，由勾股定理列方程即可解答； （3）分两种情况：如图和图，分别根据相似三角形和勾股定理即可解答． 【详解】（1）解： ∴， 由旋转得：， ， ， ∴； （2）如图2， 延长交于，连接交于， 由（1）知：， ∴， ∵是中线，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴是矩形， ∴，， ∵， ∴， 设， ∵， ， ∴， ， ， ，， ∴， ， 由勾股定理得：，即 解得， ； ∴ （3）分两种情况：①如图3，，过点作于，过点作于， ， ∴四边形是矩形， ， 设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ，即 ， ， 中，， ， 解得：(负值舍)， ∵， 即 ， ； ②如图，，过点作于， ， ∴四边形是矩形， ， ， ， 由勾股定理得：； 综上，的长是或． 6．（25-26九年级上·福建福州·期中）数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片和中，，，． (1)如图1，连接，，在纸片绕点旋转过程中，试探究的值． (2)如图2，在纸片绕点旋转过程中，当点恰好落在的中线的延长线上时，交于点，求的长． (3)在纸片绕点旋转过程中，当为直角时，求的面积． 【答案】(1) (2)12 (3) 【分析】（1）根据全等三角形的性质得到、，根据勾股定理得到，再证明，然后根据相似三角形的性质求解即可； （2）如图：连接，延长交于点Q，连接交于点P，延长交于点N，根据（1）得，由中线的性质可得，根据全等三角形的性质得到，根据矩形的性质得到，在中，由勾股定理得，设，则，根据全等三角形的性质得到，在中，利用勾股定理列方程求得，故，然后根据相似三角形的性质求解即可． （3）如图，过点A作于点Q，交于点N，根据等腰三角形的性质得到，易得，故，因此得到，由，得，即，设，则，由勾股定理，可得，解得，最后根据三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：在和中， ， ，， ，， 在中，， ， ， ， ． （2）解：如图：连接，延长交于点Q，连接交于点P，延长交于点N，根据（1）得， ， ∵是中线， ， ， ， ，即， ∴， ， 在和中， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， ∴四边形是矩形， ， ，， 在中，由勾股定理得， ， ， 设，则， 在和中， ∴， ， 在中，由勾股定理得， ，解得∶， ， ∵，， ∴， ， ，即，解得∶． （3）解：如图，过点A作于点Q，交于点N， 由旋转的性质可得：，， ， 又∵， ∴， ， ， ∵， ， ， ， 设，则， ， ，解得， ． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质、三角形相似的判定与性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握三角形相似的判定与性质、矩形的判定与性质是解题的关键． 题型03 动态过程中的面积或线段函数关系 考向分析：​此类题型通常给出一个几何图形（如三角形、矩形或梯形）和一个（或两个）动点，动点以恒定速度沿特定路径运动。要求探究在运动过程中，某个三角形的面积（或某条特定线段的长度）随时间 t变化的规律，并求出相应的函数解析式及自变量t的取值范围。核心得分点在于将几何量（面积、线段）通过相似比转化为代数表达式，并正确处理分段函数的衔接点。 解题方法： 1. 定变量，表线段：设运动时间为t。根据“路程=速度×时间”，用含t的代数式表示出动点所在的线段长度。若图形不规则，需通过作高、分割图形等方式，将目标量转化为规则图形的计算。 2. 寻相似，建比例：观察动点运动过程中是否产生了新的相似三角形（如A字型、8字型）。利用相似三角形的“对应边成比例”，将未知的线段（如高、底）用含t的代数式表示出来。 3. 列函数，求解析式： (1) 面积问题：利用面积公式。将第2步中求得的底和高代入，化简得到S关于t的函数解析式（通常为一次函数或二次函数，但在八下阶段多为一次函数或反比例函数形式）。 (2) 线段问题：直接利用线段和差关系或比例关系，写出目标线段关于t的表达式。 4. 定界点，明范围：这是最关键的一步。分析动点的整个运动过程，找出图形发生质变的时刻（如动点到达端点、图形由凸变凹、或由重叠变为不重叠），以此确定t的分段区间。最终写出分段函数的解析式。 答题模板： 1. 设：设运动时间为t秒（t≥0）。 2. 表：用t表示出相关线段的长度。 3. 证/算：证明某两个三角形相似，利用相似比求出目标线段或高的表达式。 4. 列：代入面积公式（或线段和差），列出函数解析式。 5. 定：根据动点运动的起止点和图形的临界状态，确定t的取值范围。 6. 答：规范写出最终的函数解析式及其定义域。 1．（24-25九年级上·湖北宜昌·期末）正三角形的边长为2，点D为边上的一点，，垂足为点F，若为x，则的面积y与x的关系式可表示为__________． 【答案】 【分析】本题主要考查等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，根据等边三角形的性质求出，，证明，求出，再由三角形面积公式求解即可． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴ 过点A作于点E， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴ ∴， ∴，即， ∴ ∴ 即：， 故答案为：． 2．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段检测）如图，在矩形中，，，连接，点分别在边，上，连接，，分别交于，∠ (1)若，求的长； (2)在点由点运动到点的过程中，设，． ①求与的关系式； ②连接，求面积的最大值． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）可通过证明三角形相似：，，，利用相似三角形的性质来求解的长 （2）①延长到，使，延长到，使，连接，延长交于点，连接，过点作交的延长线于，通过同样利用全等三角形（）及勾股定理（），建立与的关系式；②先表示出的面积表达式，再根据不等式的性质求最大值． 【详解】（1）解：在矩形中，， ， ，， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，即， ； （2）①延长到，使，延长到，使，连接，延长交于点，连接， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是正方形， 过点作交的延长线于， ，即， ， ， ，即， ， ， 又，， ， ， ， ，即是的中位线， ， ， 在中，，，， ， 整理，得，， ②如图，过点作于，则四边形为矩形， ，，， , , 由①，； ， ， ， ， ， 当时，面积的最大值为16． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质 ，相似三角形的判定与性质以及勾股定理，不等式的性质等知识，构造辅助线，证全等、相似及利用勾股定理构造方程是解题的关键． 3．（2023·浙江·模拟预测）已知中，，，．是上的动点，为上的点，点在运动的过程中保持．试写出面积与的长度之间的关系式． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，构造合适的相似三角形，用含的代数式表示出和是解本题的关键． 过点作，交延长线于点，先证 ，根据相似三角形的性质得到，，再证出，根据相似三角形的性质表示出的长，再根据三角形面积公式得到结果． 【详解】解：过点作，交延长线于点 ， ，， ， ， ． 4．（25-26九年级下·河南郑州·月考）如图1，在矩形中，，，长度为的线段在射线上，点P与点C重合，如图2，线段从图1所示起始位置出发，沿方向匀速运动，速度为；同时点M从点B出发，沿方向以速度运动，当M点到达D时运动结束，运动同时结束．连接，，相交于点E．设运动时间为t秒，解答下列问题： (1)当t为何值时四边形是平行四边形？ (2)当点M在上运动时，求t为何值时点M在的垂直平分线上？ (3)求的面积S与t的关系式； (4)运动过程中，将绕点D顺时针旋转得到，是否存在某一时刻t，使，，E三点在同一条直线上？若存在请求出t的值，若不存在请说明理由． 【答案】(1)当时，四边形是平行四边形 (2)当时，点M在的垂直平分线上 (3)当时，；当时， (4)不存在，理由见解析 【分析】（1）四边形是平行四边形的判定条件为一组对边平行且相等，矩形中，所以只需满足，从而列方程求解t； （2）点M在的垂直平分线上，根据垂直平分线的性质可得， 先确定t的取值范围（M在上的阶段），用t分别表示出、的长度，通过构造辅助线用t分别表示出的长度，最后通过勾股定理结合矩形边长表示，列方程求解t即可； （3）先分析t的不同取值阶段，分M在上和M在上两种情况 因为的面积可通过相关图形面积的和差，或利用相似三角形求出高再结合底计算，所以先证明与相似，用t表示出相关线段长度，进而得到的底和高，最后列出面积S与t的关系式； （4）利用相似三角形的判定与性质得出相关线段的长，当、、E三点在同一条直线上时，四边形为矩形，利用矩形的性质结合旋转表示出相关线段的长，由判断t的值是否符合要求即可． 【详解】（1）解：当四边形是平行四边形时，， 即， 解得， ∴当时，四边形是平行四边形． （2）解：如图，当点M在的垂直平分线上时，， 如图，过Q点作于H点， 则四边形为矩形， ∴，， ∴， 在中，由勾股定理得， 得（不合题意，舍去），， ∴当时，点M在的垂直平分线上． （3）解：①当时，点M在上，如图， ∵矩形， ∴， ∴，， ∴， ∴， 连接， ∴，， 又∵， ∴， ∴； ②当时，点M在上，如图， 由①得， 又∵AI， ∴， ∴， 综上，当时，；当时，； （4）解：不存在，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当、、E三点在同一条直线上时，四边形为矩形，如图， ∴， 由旋转得， ∴， ∴， ∵， ∴不合题意， ∴不存在某一时刻t，使、、E三点在同一条直线上． 5．（24-25九年级上·四川成都·月考）我们知道，三角形的三条中线一定会交于一点，这一点就叫做三角形的重心．重心有很多美妙的性质，如关于线段比、面积比就有一些“漂亮”结论，利用这些性质可以解决三角形中的若干问题．请你利用重心的概念完成如下问题： (1)若是的一条中线（如图1），是上一点，且满足，试判断______的重心（填“是”或者“不是”）； (2)若是的重心（如图2），连接并延长交于．证明：； (3)若是的重心，过的一条直线分别与、相交于、（均不与的顶点重合）（如图3）令，，设，请求出与的关系式． 【答案】(1)是 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，三角形中位线定理，添加恰当辅助线构造相似三角形是本题的关键． （1）如图2，作的中线，与交于点Q，则点Q为的重心．可证，而已知，故点O与点Q重合，即点O为的重心； （2）如图1，作出中位线，证明，可以证明结论； （3）过点O作交于点F，过点G作交于点E，则，由平行线分线段成比例可求；；可得，即可求解． 【详解】（1）解：点O是的重心， 理由如下：如图1，作的中线，与交于点Q，则点Q为的重心． ∵是中线，是中线， ∴点E是的中点．点D是的中点， ∴是中位线， ∴，且． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴点Q与点O重合（是同一个点）， ∴点O是的重心， 故答案为：是； （2）证明：如图2，连接并延长，交于点E． ∵点O是的重心， ∴是中线，点E是的中点． ∴是中位线， ∴，且． ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：如图3，过点O作交于点F，过点G作交于点E，则， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴y与x的关系式为：． 6．（2024·四川成都·一模）如图，在菱形ABCD中，，E为BC边上一动点（点E不与B，C重合），连接AE，将线段AE绕点E顺时针旋转得到线段FE，连接AC，AF，AF交CD边于点H，设，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接CF，当时，探究得出y的值为1，请写出证明过程； (3)结合（2）的探究经验，从特殊到一般，最后得出y与x之间满足的关系式为．请根据该关系式，解决下列问题：连接EH，若，当为等腰三角形时，求BE的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)或 【分析】（1）根据两边对应成比例，且夹角相等两三角形相似证明． （2）连接交于，过作的平行线交于．等腰三角形中，顶角，底角，得到，证明，得到，在中，，，得到，，，，可得，证明，可得，． （3）当为等腰三角形时有两种可能，①，②，可求x的两个值． 【详解】（1）证明：∵旋转， ∴，， 又， ∴， ∵， ∴． （2）证明：连接交于，过作的平行线交于． 在菱形中，，，，，互相垂直平分， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ， ， ， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴． ∵，， ∴． ∵， ∴，， ∴． ∴， ∴； （3）解：当为等腰三角形时有两种可能， ①中，， ∵， ∵， ∴． 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． ∴， ∵， ∴． ②，， ∴， ， 综上所述，为或． 【点睛】本题考查了三角形相似的判定和性质，三角形全等的判定和性质，直角三角形的性质，图形的旋转，菱形的性质，等腰三角形的性质数形结合，关键是添加辅助线构造直角三角形． / 学科网（北京）股份有限公司 $品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 微专题05相似三角形与动态问题 题型01直线型运动中的相似存在性问题（单动点双动点模型） 相似三角形与动态问题 题型02图形变换（折叠旋转）引发的相似探究问题（形变模型） 题型03动态过程中的面积或线段函数关系 100 微点量戒 题型01直线型运动中的相似存在性问题（单动点/双动点模型) 嫦方法 考向分析：此类题型通常在三角形的边（或延长线）上有一个或多个动点，以固定的速度运动。探究在某 一时刻，由动点与图中定点构成的三角形是否与另一已知三角形相似。核心得分点在于抓住“运动时间”， 用含t的代数式表示出相关线段长度，并对“对应顶点”进行严谨的分类讨论。 解题方法： 1.表示线段：设运动时间为t根据题目中“路程=速度×时间”，用含t的代数式表示出动点所在位置的 相关线段长度（注意动点在线段上、射线上还是直线上，这决定了t的取值范围）。 2. 寻找不变量：找出运动过程中始终保持相等或不变的角（通常是直角、公共角或对顶角），作为相似三 角形的“桥梁角”。 3. 分类讨论列方程：因为对应顶点不确定，通常分为两种情况进行讨论。利用“夹桥梁角的两组对应边 成比例”列出关于t的一元一次方程。 4. 求解并检验：解方程求出t的值，必须代回原题检验是否满足构成有效三角形的条件（如边长为正、点 不在线段端点重合等)。 答题模板： 1.设：设运动时间为t秒，分别表示出动点的位置及相关线段的长度。 2.定：确定不变量。 3.分：根据题意分情况讨论。 4. 列：针对每种情况，列出对应成比例的方程。 5. 解：解方程求出t的值。 6. 验：检验所求t值是否使分母为0或线段长度为负，最后综述符合条件的t的个数或具体值。 1.(24-25九年级上四川眉山期中)如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC, 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∠BAD=90,AD=1cm,AB=BC=4cm,P为一动点从点B出发，沿B→A→D方向，以1cm/s的速度 由点B向点D运动；Q为另一动点，从C出发，沿C→D方向，以1cm/s的速度由点C向点D运动， 当其中一动点到达目的地时整个运动随之结束，设运动时间为t秒， D B 图1 图2 (I)如图1，当P运动t秒时，恰好有aPAD∽aCBP,求t的值： (2)如图2，过点Q作QE⊥BC于点E. ①在运动过程中，是否存在t秒时，使得以P、A、D为顶点的三角形与△CQE相似？若存在，请求出 所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由。 ②在运动过程中，是否存在t秒时，使得以P、D、Q为顶点的三角形恰好是等腰三角形？若存在，请求 出所有符合条件的t的值（直接写出答案)；若不存在，请说明理由. 2.(25-26九年级上·陕西西安期中)如图，己知矩形ABCD中，AB=3cm,BC=6cm,某一时刻，动点 M从点B出发沿BA方向以lcm/s的速度向点A匀速运动：同时，动点N从点C出发沿CB方向以2cm/s的 速度向点B匀速运动. D M B (1)经过多长时间，△BMN的面积等于矩形ABCD面积的二？ 9 (2)是否存在时刻t,使以B,M,N为顶点的三角形与△ACD相似？若存在，求t的值；若不存在，请 说明理由， 3.(25-26九年级上四川内江月考)如图，在矩形ABCD中，AB=6,BC=8,动点P从点D出发沿DA向 终点A运动，同时动点Q从点A出发沿对角线AC向终点C运动.过点P作PE∥DC,交AC于点E, 动点P、Q的运动速度是每秒2个单位长度，当点P运动到点A时，P、Q两点同时停止运动.设运动 时间为t秒. / 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D (1)当t=2时，求PE的长； (2)当t为何值时，△ABQ与△AEP相似？ (3)是否存在这样的点P和点Q,使P、Q、E为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出满足 条件的t的值；若不存在，请说明理由， 4.(25-26九年级上·贵州六盘水期末)在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm,BC=8cm,动点P从点B 开始沿BC边向点C运动，速度为2cms,动点Q从点C开始沿CA边向点A运动，速度为lcm/s.如果 P,Q两点同时运动，一点运动到终点，另一点随之停止.设运动时间为$， (1)用含t的代数式表示CP= CO= (2)是否存在时间t,使得S△pce=5cm2,若存在，请求出时间t;若不存在，请说明理由； (3)当t为何值时，△PCQ与ABC相似. 5.(25-26九年级上福建三明期中)如图，ABC中，AB=AC,D是BC的中点，AD=8厘米， BC=12厘米，点P从B出发，以2厘米/秒的速度沿BA匀速向点A运动，点Q同时以1厘米/秒的速度 从D出发，沿DB匀速向点B运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设它们的 运动时间为t秒， (I)AB=厘米： (2)当t为何值时，PQ∥AC; (3)是否存在t值，使以B、P、Q为顶点的三角形与△ABD相似？若存在，求出t值，若不存在，说明 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 理由， 6.(24-25八年级下山东青岛期末)如图，己知四边形ABCD中，∠BAD=∠ABC=90°， AD=1cm,AB=BC=4cm,动点P从点A出发，沿AB方向匀速运动，速度为4cm/s;同时，动点Q 从点C出发，沿CD方向匀速运动，速度为5cms,QE⊥BC于点E.设运动时间为ts(0<t<1),解答 下列问题： (1)当PQ∥BC时，求t的值： (2)当t为何值时，以A,D,P为顶点的三角形与△CQE相似？ (3)是否存在某一时刻t,使PQ将四边形ABCD分成面积相等的两部分？若存在，求出t的值；若不存在， 请说明理由； (4)是否存在某一时刻t,使DP⊥PE？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由. 题型02图形变换（折叠/旋转)引发的相似探究问题（形变模型) 啸方法 考向分析：此类题型通常给出一个初始三角形，将其沿某条直线翻折，或以某个顶点为中心进行旋转。探 究在变换过程中，是否存在某个特殊位置（如落在坐标轴上、与某条边平行或垂直），使得变换后的三角形 与原来的三角形（或其一部分）相似。核心得分点在于找出变换前后的“不变量”（如对应角相等、对应边 相等)，结合特殊位置的特殊角（如直角）构造相似。 解题方法： 1.抓变换性质：明确是折叠（产生轴对称图形，对应线段相等、对应角相等）还是旋转（产生旋转角相等， 对应边成比例)。在图上标出所有相等的线段和角。 2. 定特殊位置：分析题目要求的特殊位置。在这个特殊位置上，往往会产生新的直角或已知角度的角。 3. 构相似，找关系：结合产生的新角和原有的等角，寻找两组相等的角，证明三角形相似。通常会构造 出“A字型”或“8字型”相似。 4. 列方程求解：根据相似三角形“对应边成比例”列出比例式，若涉及坐标，则需结合勾股定理或直线 方程联立求解。 答题模板： 1.标：根据折叠/旋转的性质，在图上标出相等的线段和相等的角。 2.析：分析特殊位置的条件，推导出新产生的垂直关系或平行关系，从而得出新的等角。 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 3.证：结合原有等角和新推等角，写出证明相似的过程。 4. 算：根据相似比列出比例式，结合其他已知条件建立方程。 5. 解：求解方程得出未知长度或坐标，注意对解进行实际意义的检验（如长度不能为负）。 1.(25-26九年级上江苏泰州期中)综合与实践： 折纸是“从实用到艺术、从单一到多元”的演变一它源于古代文明的“功能需求”.折纸的核心魅力，在于它用最简 背景 单的材料（纸张），通过“折叠”这一基础动作，创造出无限的形态与可能，既是“手工艺术”，也是“思维工具”，更 是“文化与科技的跨界载体” 折叠一：如图1，正方形纸片ABCD,M是AD边上一点，将纸片沿BM折叠，使点A的对应点E落在正方形内部， 操作一 将纸片沿着ME折叠，点D的对应点为点F,折痕交CD于点N 折叠二：如图2，矩形纸片ABCD,M是AD边上一点，将纸片沿BM折叠，使点A的对应点E落在矩形内部，继 操作二 续折叠纸片，使BE与BF在同一条直线上，点C的对应点为点F,折痕交CD边于点P A M M B 图1 图2 问题解决 在操作一中，试判断EN与CN的大小关系 任务1 连接BN,研究小组通过改变点M的位置发现∠MBN的大小不变，其度数为°； 任务2 在操作一的条件下，如图1，若DM=6,DN=8,求正方形ABCD的边长： 任务3 在操作二中，若AB=4,AM=3,AD=8,求CP的长. 2.(25-26九年级上·广东深圳月考)综合与实践 【发现问题】在进行综合与实践活动时，学习小组发现生活中常用的A4纸是一个长与宽的比为√2的矩 形 【定义】若一个四边形为矩形，且长与宽的比为√2，则这个四边形为类A4矩形. 【提出问题】如何用不同形状的纸折一个类A4矩形？ 【分析并解决问题】 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (1)学习小组利用一张A4纸ABCD对折一次，使AB与DC重合，折叠过程如图1所示，其中AB=a, AD=√2a 求证：四边形CDMN是类A4矩形； D M 折叠 B 图1 (2)学习小组利用一张正方形纸片ABCD折叠2次，展开后得折痕BD,DE,再将其沿FG折叠，使 得点B与点E重合，折叠过程如图2所示.求证：四边形CDFG是类A4矩形： D 折叠 折叠 展开 折叠 G E 图2 【拓展】(3)如图3，四边形ABCD纸片中，AC垂直平分BD,AC=10√2，BD=10,点E,F,G, H分别是边AB,BC,CD,DA上的点，将四边形ABCD纸片沿EF折叠，使得点B的对应点落在BD 上，再沿FG,GH折叠，使得点C,D的对应点分别落在AC,BD上，若四边形EFGH是类A4矩形： ①请画出满足条件的四边形EFGH,(作图工具不限，不用保留作图痕迹)： ②请直接写出EF的值 B (备用图) 图3 3.(24-25九年级上·山西忻州期末)综合与实践课上，伍老师带领学生们分小组进行折叠矩形纸片的探究 活动. 1海疹口口 图(1) 图(3 图(4) 备用图1 备用图2 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【折叠实践】 第一步：如图(I),将矩形纸片ABCD对折，使边AD,BC重合，再展开，折痕与AB交于点F 第二步：如图(2)，在AD上取一点E,沿EF折叠矩形ABCD,点A的对应点为G.延长EG交BC于点 H,将纸片沿过点H的直线折叠.使点C的对应点落在EH上，折痕与DC交于点M 【初步发现】 (1)探究图(2)中EF和MH的位置关系 【深入探究】 (2)勤学小组的同学们选用了如图(3)所示的矩形纸片，选取的点E与点D重合，按步骤折叠后发现， 点F，G,M共线请你帮他们求出4 的值 【拓展延伸】 (3)奋进小组的同学们选用了AB=4dm,BC=8dm的矩形纸片，按步骤进行多次折叠（选取不同位置 的点E),且第二步折叠中，折痕与AD交于点M,把纸片展开后，连接GM(图(4)是奋进小组的一 次折叠样例).请你解决：当△EGM为直角三角形时，直接写出AE的长 4.(25-26九年级上·四川达州期末)(1)如图，正方形ABCD与等腰直角△AEF有公共顶点A, ∠EAF=90°，连接BE,DF,将△AEF绕点A旋转，在旋转过程中，直线BE,DF相交所成的角为B,则 BE DF ;B= 图1 图2 图3 (2)如图2，矩形ABCD与RtaAEF有公共顶点A,∠EAF=90°，且AD=2AB,AF=2AE,连接 BE,DF,将RtEF绕点A旋转，在旋转过程中，直线BE,DF相交所成的角为B,请求出BE的值及B DE 的度数，并结合图2进行说明； (3)若平行四边形ABCD与△AEF有公共顶点A,且 ∠BAD=∠EAF=a(O°<a<180),AD=kAB,AF=kAE(k≠O),将△AEF绕点A旋转，在旋转过程中， 直线BE,DF相交所成的锐角的度数为B,则： ①BE DE 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ②请直接写出a和B之间的关系式： 5.(2026广东深圳二模)【综合探究】 数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕 这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质.己知三角形纸片ABC和BDE中，LACB=∠BDE=90°， BC=BD=6,AC=DE=8,旋转角为a0°<a<360°). D B B B 图1 图2 备用图 备用图 ①【初步感知】如图1，连接AB,CD,将三角形纸片BDE绕点B旋转，求的 (2)【深入探究】如图2，在三角形纸片BDE绕点B旋转过程中，当点D恰好落在ABC的中线CF的延 长线上时，延长ED交AC于点G,求CG的长； (3)【拓展延伸】在三角形纸片BDE绕点B旋转过程中，试探究A,D,E三点，能否构成以AE为直角 边的直角三角形.若能，直接写出线段AD的长度；若不能，请说明理由. 6.(25-26九年级上·福建福州期中)数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定 一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质.已知三角形纸片ABC和 ADE中，AB=AD=6,BC=DE=12√2，∠ABC=∠ADE=90°. M B 图1 图2 备用图 BD,CE,在纸片ADE绕点A旋转过程中， (2)如图2，在纸片ADE绕点A旋转过程中，当点D恰好落在ABC的中线BM的延长线上时，DE交 AC于点F,求CF的长. (3)在纸片ADE绕点A旋转过程中，当∠DCE为直角时，求Rt△CDE的面积. 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 题型03动态过程中的面积或线段函数关系 啸方法 考向分析： 此类题型通常给出一个几何图形（如三角形、矩形或梯形)和一个（或两个）动点，动点以 恒定速度沿特定路径运动。要求探究在运动过程中，某个三角形的面积（或某条特定线段的长度）随时间t 变化的规律，并求出相应的函数解析式及自变量t的取值范围。核心得分点在于将几何量（面积、线段）通 过相似比转化为代数表达式，并正确处理分段函数的衔接点。 解题方法： 1.定变量，表线段：设运动时间为。根据“路程=速度×时间”，用含t的代数式表示出动点所在的线段 长度。若图形不规则，需通过作高、分割图形等方式，将目标量转化为规则图形的计算。 2.寻相似，建比例：观察动点运动过程中是否产生了新的相似三角形（如A字型、8字型）。利用相似三 角形的“对应边成比例”，将未知的线段（如高、底）用含t的代数式表示出来。 3. 列函数，求解析式： (1)面积问题：利用面积公式。将第2步中求得的底和高代入，化简得到S关于t的函数解析式（通常 为一次函数或二次函数，但在八下阶段多为一次函数或反比例函数形式)。 (2)线段问题：直接利用线段和差关系或比例关系，写出目标线段关于t的表达式。 4.定界点，明范围：这是最关键的一步。分析动点的整个运动过程，找出图形发生质变的时刻（如动点 到达端点、图形由凸变凹、或由重叠变为不重叠)，以此确定t的分段区间。最终写出分段函数的解析 式。 答题模板： 1.设：设运动时间为t秒(t≥0)。 2. 表：用t表示出相关线段的长度。 3.证/算：证明某两个三角形相似，利用相似比求出目标线段或高的表达式。 4.列：代入面积公式（或线段和差），列出函数解析式。 5. 定：根据动点运动的起止点和图形的临界状态，确定1的取值范围。 6.答：规范写出最终的函数解析式及其定义域。 1.(24-25九年级上湖北宜昌期末)正三角形ABC的边长为2，点D为边AC上的一点，DF⊥BC,垂 足为点F,若BF为x,则△DFC的面积y与x的关系式可表示为 2.(24-25九年级上·安徽合肥阶段检测)如图，在矩形ABCD中，AB=8,AD=4,连接AC，点E,F分 别在边AD,CD上，连接BE,BF,分别交AC于M,N,∠EBF=45 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D M (I)若CF=2,求AE的长； (2)在点E由点A运动到点D的过程中，设CF=x,AE=y. ①求y与x的关系式： ②连接EF,求△BEF面积的最大值. 3.(2023浙江模拟预测)己知Rt△ABC中，∠A=90°，AB=a,AC=b.E是AC上的动点，F为BC上 的点，点E在运动的过程中保持BE⊥EF,试写出△EFC面积S与AE的长度x之间的关系式. B 4.(25-26九年级下.河南郑州月考)如图1，在矩形ABCD中，AB=4cm,BC=6cm,长度为2cm的线段 PQ在射线BC上，点P与点C重合，如图2，线段P9从图1所示起始位置出发，沿CB方向匀速运动， 速度为lcm/s;同时点M从点B出发，沿B→A→D方向以2cm/s速度运动，当M点到达D时运动结 束，PQ运动同时结束.连接AQ,DP,相交于点E.设运动时间为t秒，解答下列问题： D A M B(M) C(P)O P 图1 图2 A D A M B(M) C(P)O B P OC (备用图1) (备用图2) (I)当t为何值时四边形APQM是平行四边形？ (2)当点M在AD上运动时，求t为何值时点M在AQ的垂直平分线上？ 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (3)求△EPM的面积S与t的关系式： (4)运动过程中，将△DCP绕点D顺时针旋转90°得到△DC'P',是否存在某一时刻，使C,P,E三 点在同一条直线上？若存在请求出t的值，若不存在请说明理由 5.(24-25九年级上·四川成都月考)我们知道，三角形的三条中线一定会交于一点，这一点就叫做三角形 的重心.重心有很多美妙的性质，如关于线段比、面积比就有一些“漂亮”结论，利用这些性质可以解决 三角形中的若干问题.请你利用重心的概念完成如下问题： G D B D (图1) (图2) (图3) (1)若AD是4BC的一条中线（如图1），0是AD上一点，且满足40=， 4D-3, 试判断0 ABC的 重心（填“是”或者“不是”)； (2)若0是4BC的重心（如图2），连接A0并延长交于D.证明：40= AD3 (3)若O是ABC的重心，过O的一条直线分别与AB、AC相交于G、H(均不与ABC的顶点重合) 《如图3)令4G1,BG=x,设y=岁 请求出y与x的关系式. 6.(2024四川成都一模)如图，在菱形ABCD中，∠B=120°，E为BC边上一动点（点E不与B,C重合）， 连接AE,将线段AE绕点E顺时针旋转120°得到线段FE,连接AC,AF,AF交CD边于点H,设 BE FH =X, CE AH =y 图1 图2 备用图 (1)如图1，求证：△ABC∽△AEF; (2)如图2，连接CF,当x=1时，探究得出y的值为1，请写出证明过程； (3)结合(2)的探究经验，从特殊到一般，最后得出y与x之间满足的关系式为y= 2x. 请根据该关系 1+x 式，解决下列问题：连接EH,若AB=12,当△EHF为等腰三角形时，求BE的长.