微专题02 相似三角形与实际问题（专项训练）数学鲁教版五四制八年级下册

**基本信息** 以相似三角形性质为核心，通过四大模型（影子反射、视线遮挡、光传播、投影取景）构建“情境-模型-比例”三阶解题体系，突出几何直观与模型观念。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |物体高度测量|6题|影子问题构A字型、反射问题构K字型，“审建列算答”五步法|从平行光线/反射定律抽象相似模型，用比例转化实际长度| |不可达距离测量|6题|视线交叉构X/A字型，“设证列解验”流程|利用平行线分线段成比例，将未知距离纳入相似比| |视野盲区问题|6题|光沿直线传播构直角相似，“画证列解答”步骤|结合垂直条件与公共角，通过相似求盲区范围| |方案设计优化|6题|辨平行/中心投影，动态列比例方程|区分光源类型，用代数式表征变量，联立相似关系求解|

微专题02 相似三角形与实际问题 题型01 物体高度的测量（影子与反射模型） 考向分析：此类题型通常要求测量旗杆、大树或建筑物的高度。题目会给出参照物（如竹竿、人）的实际高度及其影长，或者给出平面镜反射的观测数据。核心得分点在于利用“平行光线”或“反射定律”构造相似三角形，将垂直地面的物高与水平地面的影长建立比例关系。 解题方法： 1. 析情境，定原理： (1) 影子问题：同一时刻太阳光线平行，物体垂直于地面，故形成A字型相似。​。 (2) 反射问题：利用“入射角=反射角”，结合入射光线与反射光线分居法线两侧，构造双垂直型（K字型）相似。核心公式：法线垂直镜面，物高与像高成比例。 2. 画草图，标已知：将实际场景抽象为几何图形，标出已知的实际长度和测量的线段长度。 3. 列比例，求未知：根据相似三角形“对应边成比例”列出一元一次方程或比例式，求解目标高度。 答题模板： 1. 审：阅读题目，确定是“影子测量”还是“平面镜反射测量”。 2. 建：建立相似三角形模型，写出证明相似的依据。 3. 列：根据相似性质列出比例式。 4. 算：代入已知数值，计算出目标物体的高度。 5. 答：补全答语，注明单位。 1．（25-26九年级上·辽宁沈阳·期末）周末，数学兴趣小组的同学们去某湿地公园研学，他们想为一棵大树测量树高．他们在阳光下测得一根长为2米的竹竿的影子是1．8米，同一时刻测量树高时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在台阶上，且影子的末端刚好落在最后一级台阶的上端处，竹竿及影子、大树及影子、点都在同一平面内，他们测得大树落在地面上的影长为4.5米，台阶总的高度为2米，则树高为___________米． 2．（24-25九年级下·湖南岳阳·开学考试）电筒的灯泡位于点G处，手电筒的光从平面镜上点 B处反射后，恰好经过木板的边缘点 F，落在墙上的点E处．点E到地面的高度，点F到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，墙到木板的水平距离为 ．已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点 A、B、C、D在同一水平面上，则灯泡到地面的高度为__________ ． 如图，嘉嘉同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的灯泡在点处，手电筒的光从平面镜上点处反射后，恰好经过木板的边缘点，落在墙上的点处，点到地面的高度，点到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，墙到木板的水平距离为．已知光在镜面反射中的入射角等于反 电筒的灯泡位于点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边 3．（2024九年级上·全国·专题练习）如图1，路灯与路灯都与地面垂直，且相距18米，路灯的高度比路灯的高度低1米．夜晚，身高为1.6米的小明以1米/秒的速度从路灯走向路灯，行走时间为t秒．当行走3秒时，他走到了P处，此时发现身后影子顶部正好触到路灯的底部（点B）．如图2，在行走过程中，小明在路灯下的影子为，在路灯下的影子为． (1)求路灯的高度． (2)若小明身高是影子与的比例中项，求此时t的值． (3)有言道：形影不离．其原意为：人的影子与自己紧密相伴，无法分离． ①从路灯走向路灯的过程中，两路灯下的影子总长_（用含t的代数式表示）； ②小明发现：在灯光下人的速度与影子的速度是不一样的！请直接写出小明在路灯下的影子的顶端N在地面上移动的速度为  _米/秒． 4．（25-26九年级下·广东云浮·月考）综合与实践： 背景 晚上小明在广场上散步，如图①，，是广场上的两根电线杆，小明站在点处，在两盏路灯，的照射下，地面上形成了他的两个影子，． 素材1 两盏路灯，的高均为，两盏路灯相距，小明的身高为． 素材2 ，，，，在同一平面内，电线杆和人均垂直于地面． 问题 提出 小明在广场中走动时（始终保证影子，不为），两个影子端点间的距离是否会发生改变？ 问题解决 (1)如图②，当小明影子长为时，小明到电线杆的距离为多少？ (2)小明在广场上走动的过程中两个影子端点间的距离是否会改变？若的长不变，请求出的长；若的长发生变化，请说明理由． (3)小明在广场的某个位置向上跳起再落下，在该过程中最长达到，请直接写出小明从起跳到落下的过程中，头顶距离地面的最大高度． 5．（25-26九年级上·上海浦东新·期中）在公园有两座垂直于水平地面且高度不一的圆柱，两座圆柱后面有一堵与地面互相垂直的墙，且圆柱与墙的距离皆为厘米．贾明同学观察到高度厘米的矮圆柱的影子落在地面上，其影长为厘米；而高圆柱的部分影子落在墙上（如图所示）． 已知落在地面上的影子皆与墙面互相垂直（将太阳光线视为平行光线），在不计圆柱厚度与影子宽度的情况下，请回答下列问题： (1)如果贾明的身高为厘米，且此刻他的影子完全落在地面上，那么影长为多少厘米？ (2)如果同一时间量得高圆柱落在墙上的影长为厘米，那么高圆柱的高度为多少厘米？ (3)如果身高为厘米的贾明同学从与两根圆柱成同一直线上的某个点出发，沿着与圆柱的影子平行的方向，面向墙壁的方向行走．设贾明同学行走的长度为厘米，他落在墙上的影长为厘米，求关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围． 6．（25-26九年级上·广西贵港·期中）学习了物理中光的反射定律知道，反射光线和入射光线分别位于法线的两侧，反射角等于入射角．如图1，平面镜水平放置，小明用激光笔从左边点处发出光线，经平面镜点处反射后，落在右边光屏上的点处（，两点均在量角器的边缘上，为量角器的中心，，，三点共线，，）．他在实验中记录了以下数据：①水平距离的长为；②量角器半径的长； (1)求铅垂高度的长； (2)求光屏上的反射点与量角器右端点的距离的长； (3)如图2．若将入射角变大，使得铅垂高度的长缩短为，请直接写出此时光屏上的反射点与量角器右端点的距离的长． 题型02 不可达两点间距离的测量（视线遮挡模型） 考向分析：此类题型通常要求测量河宽、池塘宽度等无法直接跨越的距离。题目中常给出标杆位置、观测点视线等条件。核心得分点在于通过作平行线或利用交叉视线，构造X字型（8字型）或A字型相似三角形，将已知线段与未知距离纳入比例关系中。 解题方法： 1. 找基点，定交叉：识别观测点（如人站立点、标杆顶点）与目标点（如对岸树），确定视线的交叉点。 2. 构模型，证相似： (1) 若视线交叉且有一组对边平行（如站在岸边看对岸），构造A字型相似。 (2) 若两条视线直接交叉（如两岸各有一点，视线相交于水面），构造X字型相似。 3. 设未知，列比例：设河宽为x，根据“平行线分线段成比例”或相似三角形对应边成比例列出含有x的方程。 答题模板： 1. 设：设待测距离为x米。 2. 证：找出图中的平行关系或相等角，证明相似。 3. 列：根据相似性质写出比例式，注意将含x的代数式代入相应位置。 4. 解：求解方程得出x的值。 5. 验：检验解是否符合实际情境（长度为正）。 1．（2022·甘肃陇南·模拟预测）周末，小凯和同学带着皮尺，去测量杨大爷家露台遮阳篷的宽度．如图，由于无法直接测量，小凯便在楼前地面上选了一条直线，通过在直线上选点观测，发现当他位于N点时，他的视线从M点恰观测到露台A点；当他位于点时，视线从点通过D点正好落在遮阳篷B点处．这样观测到的两个点A，B间遮阳篷的宽点C在上，，均垂直于，，露台的宽，测得米，米，米，请你根据以上信息，求出遮阳篷的宽约为多少米？（结果精确到米） 2．（25-26九年级下·黑龙江大庆·月考）周末，小凯和同学带着皮尺，去测量杨大爷家露台遮阳篷的宽度．如图，由于无法直接测量，小凯便在楼前地面上选择了一条直线，通过在直线上选点观测，发现当他位于点时，他的视线从点通过露台点正好落在遮阳篷点处；当他位于点时，视线从点通过点正好落在遮阳篷点处，这样观测到的两个点、间的距离即为遮阳篷的宽．已知，点在上，、、、均垂直于，，露台的宽，测得米，米，米．请你根据以上信息，求出遮阳篷的宽是多少米？（结果精确到米） 3．（25-26九年级上·山东日照·月考）汽车盲区是指司机正常驾驶时，其视线被车体遮挡而不能直接观察到的区域．某型号小汽车的车头盲区（见图1）可以近似看作矩形．如图2，驾驶该型号汽车时司机视线高度米，车前盖最高处与地面距离米，驾驶员与车头水平距离米，车前盖最高处与车头水平距离米． (1)求车头盲区的长度； (2)点在上，米，若在处有一个高度为0.4米的物体，驾驶员能观察到物体吗？请作出判断，并说明理由． 4．（2025·河南郑州·二模）我们知道当人的视线与物体表面互相垂直时的视觉效果较好．如图，一副展览画悬挂 在墙上，展览画的宽，画框的下边缘紧贴在墙上，上边缘与墙壁的距离，为了使观赏者欣赏画作时的视觉效果最佳，视线需落在展览画中心位置E处，且与垂直，已知观赏者眼睛D 与展览画底端A在同一水平线上（即）， 求达到最佳 视觉效果时，观赏者与墙壁的距离的长 ． 5．（2025·广东佛山·二模）【项目主题】测量距离 【项目背景】在一次数学项目式学习活动中，老师带领同学们测量池塘两点间的距离（A、B两点距离不可直接测得）． 【实践工具】皮尺，测角仪等工具． 【实践操作】 方案一：如图1，一位同学在离池塘边B点不远处的C点站立，A、B、C三点在同一条直线上．调整帽子，使得视线通过帽檐正好观测到池塘对面的A点．该同学保持刚才的姿势，转过，这时视线刚好落在点E处．利用皮尺测得，． 同学们还设计了方案二、方案三…… 【问题解决】 (1)根据方案一，求、两点间的距离； (2)尝试设计与方案一不同的方案，在图2中画出几何图形，并求、两点间的距离（为使表达简洁，需要测量的角建议用、、等表示）． 6．（24-25九年级上·河北保定·期中）小明为了测量出一矩形深坑的深度，采取如下方案；如图，在深坑左侧用观测仪AB从观测出发点A观测深坑底部一点P，且观测视线刚好经过深坑边缘点E；在深坑右侧用观测仪CD从观测出发点C观测深坑底部同一点P，且观测视线恰好经过深坑边缘点F（点B，E，F，D在同一水平线上）．已知，，观测仪高，观测仪高，，，深坑的宽度． (1)求证：． (2)请根据以上数据，计算矩形深坑的深度． 题型03 视野盲区与视角问题（光沿直线传播模型） 考向分析：此类题型多以“行人过马路观察车辆”、“墙后藏人或物”、“窗口观察室外范围”为背景。核心得分点在于利用“光沿直线传播”原理，将人的视线抽象为直线，结合“三角板刻度”、“标杆高度”等已知垂直条件，构造直角三角形相似。 解题方法： 1. 定视线，找盲段：明确观察者的眼睛位置、障碍物的顶端（或边缘）以及视线所能到达的最远点，确定视线被遮挡形成的盲区边界。 2. 找垂直，探等角：通常地面与人身高、标杆、建筑物等垂直，结合公共角或对顶角，利用“AA”判定相似。 3. 用比例，求范围：根据相似三角形对应边成比例，求解盲区的最小安全距离或观察范围的最大宽度。 答题模板： 1. 画：画出人的眼睛、障碍物顶点、目标点的连线，标出所有的垂直符号。 2. 证：证明两个直角三角形相似。 3. 列：列出直角边与斜边的比例关系式。 4. 解：代入数据求出盲区距离或视角覆盖范围。 5. 答：根据实际要求写出安全提示或范围结论。 1．（25-26九年级上·福建泉州·期末）小孔成像的原理是基于光在同种均匀介质中沿直线传播的特性．当光线通过一个小孔时，物体上部的光线会穿过小孔投射到屏幕下部，而下部的光线则投射到屏幕上部，同时左侧光线投向右侧，右侧光线投向左侧，导致像的上下和左右颠倒，形成一个倒立的实像．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔在屏幕（竖直放置）上成像．设，，小孔到的距离为，则小孔到的距离是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·江苏扬州·二模）如图是凸透镜成像的光路示意图，线段 分别表示蜡烛、蜡烛的像、凸透镜，它们均与主光轴垂直．一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线经过焦点F，一束经过光心的光线与折射光线相交于点C．已知，则的值为_________． 3．（25-26九年级上·广东深圳·阶段检测）在初中物理中我们学过凸透镜的成像规律．如图为一凸透镜，F是凸透镜的焦点．在焦点以外的主光轴上垂直放置一小蜡烛，透过透镜后成的像为．光路图如图所示：经过焦点的光线，通过透镜折射后平行于主光轴，并与经过凸透镜光心的光线汇聚于C点．若焦距，物距，小蜡烛的高度，则小蜡烛的像的长是______． 4．（2025九年级·全国·专题练习）如图所示的是利用凹透镜做实验时的光路示意图，已知平行于主光轴l的光线AM经凹透镜折射后，其折射光线的反向延长线过焦点，经过凹透镜光心O的光线传播方向不改变，与AO的交点C即为点A的像点．若，点A到主光轴l的距离，则点C到主光轴l的距离CD为_________．    5．（24-25九年级上·四川达州·期末）如图1是某兴趣小组通过蜡烛成像实验探究凸透镜成像规律的光路图，现将图1的光路图抽象为图2所示的数学几何图形，实物蜡烛发出的光线平行于直线，光线经过凸透镜后，经过焦点F与经过凸透镜中心O的光线交于点D，其中四边形是矩形，，． (1)将长为8厘米的蜡烛进行移动，使物距为30厘米，光线传播方向不变，移动光屏，直到光屏上呈现一个清晰的像，测得此时的像距为12厘米，求像的长度． (2)在（1）的条件下，已知光线平行于主光轴，经过凸透镜折射后通过焦点F，求凸透镜焦距的长 6．（24-25九年级上·辽宁阜新·期末）如图，某厂房外有一盏路灯，点A发出的灯光能通过窗户照射到厂房内的地面上，经过窗户最高点C的光线落在地面F处，经过窗户最低点D的光线落在地面E处，其中点B，O，E，F在同一直线上．经测量得知：窗户距离地面的高度米，米，米，米． (1)求路灯的高； (2)求窗户的高． 题型04 生活情境中的方案设计与优化（投影与取景模型） 考向分析：此类题型通常结合摄影取景、放映机投影、路灯下的影子变化等生活情境，要求计算最佳拍摄距离、幕布尺寸或影子长度的变化量。核心得分点在于识别中心投影（点光源发出的光线，如路灯、台灯、放映机）与平行投影（太阳光线）的区别，并建立动态的相似三角形模型。 解题方法： 1. 辨光源，明类型： (1) 太阳光下：光线平行，物高与影长比值恒定。 (2) 点光源下（如路灯）：光线交于一点，构成共点型（旋转型）相似，需注意相似比随物体与光源距离的变化而变化。 2. 抓不变量，列表征：确定光源高度、物体高度等不变量，用代数式表示变化的影长或投影长度。 3. 列动态方程：根据不同阶段的相似关系列出比例式，若涉及两个状态，通常两式联立求解。 答题模板： 1. 辨：判断题目属于平行投影（太阳）还是中心投影（点光源）。 2. 表：用含未知数的代数式表示各相关线段的长度。 3. 列：根据不同时刻或不同位置的相似关系列出比例方程（组）。 4. 解：消元或求解一元二次方程（极少数为一元一次），得出目标量。 5. 验：结合实际意义（如距离不能为负，高度为正）对解进行取舍。 1．（23-24九年级上·辽宁葫芦岛·期末）如图，是位于校园内的旗杆，在学习了27章“相似”之后，学生们积极进行实践活动，小丽和小颖所在的数学兴趣小组测量旗杆的高度，有以下两种方案： 方案一：如图1，在距离旗杆底点远的处竖立一根高的标杆，小丽在处站立，她的眼睛所在位置、标杆的顶端和塔顶点三点在一条直线上．已知小丽的眼睛到地面的距离，，，，，点、、在同一直线上． 方案二：如图2，小颖拿着一根长为的木棒站在离旗杆的地方（即点到的距离为）．他把手臂向前伸，木棒竖直，，当木棒两端恰好遮住旗杆（即、、在一条直线上，、、在一条直线上），已知点到木棒的距离为． 请你结合上述两个方案，选择其中的一个方案求旗杆的高度． 2．（24-25九年级上·贵州·期末）综合与实践：某数学兴趣小组测量一座塔的高度，有以下两种方案： 方案一：如图1，在距离塔底B点远的D处竖立一根高的标杆，小明在F处蹲下，他的眼睛所在位置E、标杆的顶端C和塔顶点A三点在一条直线上．已知小明的眼睛到地面的距离，，，，，点B，D，F，M在同一直线上． 方案二：如图2，小华拿着一把长为的直尺站在离塔距离的地方（即点E到的距离为）．他把手臂向前伸，尺子竖直，，尺子两端恰好遮住塔（即A，C，E在一条直线上，B，D，E在一条直线上），已知点E到直尺的距离为． 请你结合上述两个方案，选择其中的一个方案求塔的高度． 3．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）某校初三学生开展关于“测量路灯高度”的综合实践活动，对校园门口的不同路灯进行测量． 方案一：小树投影法 如图1，同学们在路灯旁竖立小树，小树在路灯的照射下形成投影，测得树高为3米，树影为4米，树与路灯的水平距离为5米． 方案二：标杆共线法 如图2，为路灯主杆，为路灯的悬臂，是长为米的标杆，路灯悬臂与地面平行．同学们发现当标杆竖立于地面时，主杆顶端、标杆顶端和地面上一点共线，此时路灯、标杆顶端和地面上另一点也共线（路灯主杆底端、标杆底端和地面上点、点在同一水平线上）．这时同学们测得点距离点的距离为1.5米，路灯的正下方点距离路灯主杆底端的距离为3米． 请根据以上数据，完成下列计算： (1)利用方案一求路灯的高度； (2)利用方案二求路灯主杆的高度． 4．（25-26九年级上·陕西咸阳·期中）某班进行了一次数学实践活动，设计了以下两种方案测量校园围墙的高度． 方案一：如图1，小慧组把一根长为3米的竹竿斜靠在墙上，量出距竹竿C点1米的D点（米）离地面的高度为米，已知点C、D、A在同一条直线上，； 方案二：如图2，小聪组用平面镜来测量围墙的高度．在点D处放一水平的平面镜（大小忽略不计），小聪沿方向移动，当移动到点C时，他蹲下时刚好在平面镜内看到围墙顶端A的像，已知点C、D、B在同一条直线上，，测得米，米，米，请你选择上述两种方案中的一种，计算围墙的高度． 你选择的是方案_________． 5．（24-25九年级上·河南郑州·期中）一数学兴趣小组为了测量校园内灯柱的高度，设计了以下三个方案：方案一：在操场上点C处放一面平面镜，从点C处后退到点D处，恰好在平面镜中看到灯柱的顶部A点的像；再将平面镜向后移动（即）放在F处．从点F处向后退到点H处，恰好再次在平面镜中看到灯柱的顶部A点的像，测得的眼睛距地面的高度为，已知点在同一水平线上，且．（平面镜的大小忽略不计）方案二：利用标杆测量灯柱的高度．已知标杆高，测得．方案三：利用自制三角板的边保持水平，并且边与点M在同一直线上．已知两条边，测得边离地面距离．三种方案中，方案_______不可行，请根据可行的方案求出灯柱的高度． 6．（25-26九年级上·广东清远·期末）综合与实践 为了加强视力保护意识，小北想在书房里挂一张测试距离为5m的视力表，但两面墙的距离只有3m．在一次综合实践课上，小北向全班同学征集“解决空间过小，如何放置视力表问题”的方案，其中甲、乙两位同学设计方案新颖，构思巧妙． 甲 乙 图例 方案 如图①是测试距离为的大视力表，可以用硬纸板制作一个测试距离为的小视力表②．通过测量大视力表中“”的高度（的长），即可求出小视力表中相应的“”的高度（的长）． 使用平面镜成像的原理来解决房间小的问题．如图，在相距的两面墙上分别悬挂视力表（）与平面镜，由平面镜成像原理，作出了光路图，通过调整人的位置，使得视力表的上、下边沿，发出的光线经平面镜的上下边沿反射后射入人眼处，通过测量视力表的全长（）就可以计算出镜长（光路图做法：作于点，延长线交于点，使得线段和关于对称）． (1)甲生的方案中如果大视力表中“”的高是，那么小视力表中相应“”的高是多少？ (2)乙生的方案中，当视力表的全长为时，求平面镜的长． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 微专题02 相似三角形与实际问题 题型01 物体高度的测量（影子与反射模型） 考向分析：此类题型通常要求测量旗杆、大树或建筑物的高度。题目会给出参照物（如竹竿、人）的实际高度及其影长，或者给出平面镜反射的观测数据。核心得分点在于利用“平行光线”或“反射定律”构造相似三角形，将垂直地面的物高与水平地面的影长建立比例关系。 解题方法： 1. 析情境，定原理： (1) 影子问题：同一时刻太阳光线平行，物体垂直于地面，故形成A字型相似。​。 (2) 反射问题：利用“入射角=反射角”，结合入射光线与反射光线分居法线两侧，构造双垂直型（K字型）相似。核心公式：法线垂直镜面，物高与像高成比例。 2. 画草图，标已知：将实际场景抽象为几何图形，标出已知的实际长度和测量的线段长度。 3. 列比例，求未知：根据相似三角形“对应边成比例”列出一元一次方程或比例式，求解目标高度。 答题模板： 1. 审：阅读题目，确定是“影子测量”还是“平面镜反射测量”。 2. 建：建立相似三角形模型，写出证明相似的依据。 3. 列：根据相似性质列出比例式。 4. 算：代入已知数值，计算出目标物体的高度。 5. 答：补全答语，注明单位。 1．（25-26九年级上·辽宁沈阳·期末）周末，数学兴趣小组的同学们去某湿地公园研学，他们想为一棵大树测量树高．他们在阳光下测得一根长为2米的竹竿的影子是1．8米，同一时刻测量树高时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在台阶上，且影子的末端刚好落在最后一级台阶的上端处，竹竿及影子、大树及影子、点都在同一平面内，他们测得大树落在地面上的影长为4.5米，台阶总的高度为2米，则树高为___________米． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的实际应用，，熟记“同一时刻物高与影长成正比例”是解题的关键设树所在线段为，过点作于点，根据同一时刻物高与影长成正比例可得，求出，再根据即可求解． 【详解】解：设树所在线段为，过点作于点，如图： 根据同一时刻物高与影长成正比例可得： ， 解得：， ∴， 故答案为：． 2．（24-25九年级下·湖南岳阳·开学考试）电筒的灯泡位于点G处，手电筒的光从平面镜上点 B处反射后，恰好经过木板的边缘点 F，落在墙上的点E处．点E到地面的高度，点F到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，墙到木板的水平距离为 ．已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点 A、B、C、D在同一水平面上，则灯泡到地面的高度为__________ ． 如图，嘉嘉同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的灯泡在点处，手电筒的光从平面镜上点处反射后，恰好经过木板的边缘点，落在墙上的点处，点到地面的高度，点到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，墙到木板的水平距离为．已知光在镜面反射中的入射角等于反 电筒的灯泡位于点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，熟知相似三角形对应边成比例是解题的关键．先证明得到，然后代值可得，则，再证明得到，代值计算出即可． 【详解】解：由题意可得：， ∴， ∴， ∴，即， 解得：， ∴， ∵光在镜面反射中的入射角等于反射角， ∴， 又∵， ∴， ∴，， 解得：， 故答案为：． 3．（2024九年级上·全国·专题练习）如图1，路灯与路灯都与地面垂直，且相距18米，路灯的高度比路灯的高度低1米．夜晚，身高为1.6米的小明以1米/秒的速度从路灯走向路灯，行走时间为t秒．当行走3秒时，他走到了P处，此时发现身后影子顶部正好触到路灯的底部（点B）．如图2，在行走过程中，小明在路灯下的影子为，在路灯下的影子为． (1)求路灯的高度． (2)若小明身高是影子与的比例中项，求此时t的值． (3)有言道：形影不离．其原意为：人的影子与自己紧密相伴，无法分离． ①从路灯走向路灯的过程中，两路灯下的影子总长_（用含t的代数式表示）； ②小明发现：在灯光下人的速度与影子的速度是不一样的！请直接写出小明在路灯下的影子的顶端N在地面上移动的速度为  _米/秒． 【答案】(1)米 (2)4或14 (3)①；② 【分析】本题考查了相似三角形的应用，能根据题意列出比例式是解题的关键； （1）根据题意表示出，，长度，设米，则米，由可得，代入计算即可； （2）设，由可得，，由可得，再由是影子与的比例中项，可求t； （3）设O是小明在路灯下影子的起止位置，根据求出即可得出影子的速度． 【详解】（1）解：由题意得米，米，米， ∵， ∴， ∴， ∴， 答：路灯的高度为米； （2）由题意可知：， ∵， ∴， 设，则有， 解得： ， ∵， ∴， 设，则有， 解得， ∵是影子与的比例中项， ∴，即， 化简得：， 解得：，， ∴t的值为：4或14； （3）①∵， ， ∴， ②如图设O是小明在路灯下影子的起止位置，小明由B到P则影子有O到B，影子交于点G， 有（1）得， ， ， ， ， ， 移动的速度为（米/秒） 故答案为：①；②． 4．（25-26九年级下·广东云浮·月考）综合与实践： 背景 晚上小明在广场上散步，如图①，，是广场上的两根电线杆，小明站在点处，在两盏路灯，的照射下，地面上形成了他的两个影子，． 素材1 两盏路灯，的高均为，两盏路灯相距，小明的身高为． 素材2 ，，，，在同一平面内，电线杆和人均垂直于地面． 问题 提出 小明在广场中走动时（始终保证影子，不为），两个影子端点间的距离是否会发生改变？ 问题解决 (1)如图②，当小明影子长为时，小明到电线杆的距离为多少？ (2)小明在广场上走动的过程中两个影子端点间的距离是否会改变？若的长不变，请求出的长；若的长发生变化，请说明理由． (3)小明在广场的某个位置向上跳起再落下，在该过程中最长达到，请直接写出小明从起跳到落下的过程中，头顶距离地面的最大高度． 【答案】(1) (2)的长不变， (3)此时小明头顶离地面的最大高度 【分析】（1）证明，运用相似三角形的性质即可得出结论； （2）连接，证明，得出，根据，证明，得出，求出，即可求出结果； （3）由，得出，得出，即，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得，， ， ， ，，， ， 解得， ，； （2）解：的长不变， 连接，如图所示： 根据题意得，，， ， ， 根据（1）可知， ， ，即， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：同（2）可得， ， ，即， ，，， ， 解得， 此时小明头顶离地面的最大高度． 5．（25-26九年级上·上海浦东新·期中）在公园有两座垂直于水平地面且高度不一的圆柱，两座圆柱后面有一堵与地面互相垂直的墙，且圆柱与墙的距离皆为厘米．贾明同学观察到高度厘米的矮圆柱的影子落在地面上，其影长为厘米；而高圆柱的部分影子落在墙上（如图所示）． 已知落在地面上的影子皆与墙面互相垂直（将太阳光线视为平行光线），在不计圆柱厚度与影子宽度的情况下，请回答下列问题： (1)如果贾明的身高为厘米，且此刻他的影子完全落在地面上，那么影长为多少厘米？ (2)如果同一时间量得高圆柱落在墙上的影长为厘米，那么高圆柱的高度为多少厘米？ (3)如果身高为厘米的贾明同学从与两根圆柱成同一直线上的某个点出发，沿着与圆柱的影子平行的方向，面向墙壁的方向行走．设贾明同学行走的长度为厘米，他落在墙上的影长为厘米，求关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围． 【答案】(1)贾明的影长为厘米 (2)高圆柱高度为厘米 (3) 【分析】本题主要考查相似三角形的实际应用，掌握相似三角形对应边成比例是解题的关键． （1）设贾明的影长为厘米，由，即可求解； （2）根据题意画出平面图形，为高圆柱，为高圆柱落在墙上的影子，延长交延长线于点，由，得的长，从而得的长，由，即可求解； （3）分两种情况：当 时（即人离墙距离大于厘米），影子未到达墙面，墙上影长 ，当时，由题意得，即可求解． 【详解】（1）解：设贾明的影长为厘米， 由题意得， 解得， 答：贾明的影长为厘米； （2）解：如图所示，为高圆柱，为高圆柱落在墙上的影子， 由题可知，， 延长交延长线于点， 则，即， ， 的影长为， ， ， ， 即高圆柱高度为厘米； （3）解：当 时（即人离墙距离大于厘米），影子未到达墙面，墙上影长 ； 当时，由题意得， 整理得； ． 6．（25-26九年级上·广西贵港·期中）学习了物理中光的反射定律知道，反射光线和入射光线分别位于法线的两侧，反射角等于入射角．如图1，平面镜水平放置，小明用激光笔从左边点处发出光线，经平面镜点处反射后，落在右边光屏上的点处（，两点均在量角器的边缘上，为量角器的中心，，，三点共线，，）．他在实验中记录了以下数据：①水平距离的长为；②量角器半径的长； (1)求铅垂高度的长； (2)求光屏上的反射点与量角器右端点的距离的长； (3)如图2．若将入射角变大，使得铅垂高度的长缩短为，请直接写出此时光屏上的反射点与量角器右端点的距离的长． 【答案】(1)铅垂高度的长为； (2)的长； (3)此时的长． 【分析】此题考查了相似三角形的性质与判定及勾股定理，解题的关键是熟练掌握以上知识的应用． （1）根据勾股定理即可求解； （2）利用相似三角形的判定与性质即可求解； （3）先根据勾股定理求得的长，再利用相似三角形的判定与性质即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，， ∵， ∴， 答：铅垂高度的长为； （2）解：由题意得，， ∴， ∴， ∴， 答：的长； （3）解：∵铅垂高度的长缩短为， ∴， 同理， ∴， ∴， 答：的长． 题型02 不可达两点间距离的测量（视线遮挡模型） 考向分析：此类题型通常要求测量河宽、池塘宽度等无法直接跨越的距离。题目中常给出标杆位置、观测点视线等条件。核心得分点在于通过作平行线或利用交叉视线，构造X字型（8字型）或A字型相似三角形，将已知线段与未知距离纳入比例关系中。 解题方法： 1. 找基点，定交叉：识别观测点（如人站立点、标杆顶点）与目标点（如对岸树），确定视线的交叉点。 2. 构模型，证相似： (1) 若视线交叉且有一组对边平行（如站在岸边看对岸），构造A字型相似。 (2) 若两条视线直接交叉（如两岸各有一点，视线相交于水面），构造X字型相似。 3. 设未知，列比例：设河宽为x，根据“平行线分线段成比例”或相似三角形对应边成比例列出含有x的方程。 答题模板： 1. 设：设待测距离为x米。 2. 证：找出图中的平行关系或相等角，证明相似。 3. 列：根据相似性质写出比例式，注意将含x的代数式代入相应位置。 4. 解：求解方程得出x的值。 5. 验：检验解是否符合实际情境（长度为正）。 1．（2022·甘肃陇南·模拟预测）周末，小凯和同学带着皮尺，去测量杨大爷家露台遮阳篷的宽度．如图，由于无法直接测量，小凯便在楼前地面上选了一条直线，通过在直线上选点观测，发现当他位于N点时，他的视线从M点恰观测到露台A点；当他位于点时，视线从点通过D点正好落在遮阳篷B点处．这样观测到的两个点A，B间遮阳篷的宽点C在上，，均垂直于，，露台的宽，测得米，米，米，请你根据以上信息，求出遮阳篷的宽约为多少米？（结果精确到米） 【答案】米 【分析】延长交于点，延长交于点，求出相关线段的长度，证明，，得出对应边成比例，即可求解． 【详解】解：如图所示，延长交于点，延长交于点， ∴， ∵，，均垂直于， ∴，，， 根据题意得，， ∴，， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴遮阳篷的宽约为米． 2．（25-26九年级下·黑龙江大庆·月考）周末，小凯和同学带着皮尺，去测量杨大爷家露台遮阳篷的宽度．如图，由于无法直接测量，小凯便在楼前地面上选择了一条直线，通过在直线上选点观测，发现当他位于点时，他的视线从点通过露台点正好落在遮阳篷点处；当他位于点时，视线从点通过点正好落在遮阳篷点处，这样观测到的两个点、间的距离即为遮阳篷的宽．已知，点在上，、、、均垂直于，，露台的宽，测得米，米，米．请你根据以上信息，求出遮阳篷的宽是多少米？（结果精确到米） 【答案】遮阳篷的宽是米 【分析】延长交于，则米，米，米，先证明，则根据相似三角形的性质得，再证明，则利用相似比得到，然后利用比例性质求即可． 【详解】解：延长交于，如图， 则米，米，米， ∵， ， ， ， ∵， ， ，即， 解得（米）． ∴遮阳篷的宽是米． 3．（25-26九年级上·山东日照·月考）汽车盲区是指司机正常驾驶时，其视线被车体遮挡而不能直接观察到的区域．某型号小汽车的车头盲区（见图1）可以近似看作矩形．如图2，驾驶该型号汽车时司机视线高度米，车前盖最高处与地面距离米，驾驶员与车头水平距离米，车前盖最高处与车头水平距离米． (1)求车头盲区的长度； (2)点在上，米，若在处有一个高度为0.4米的物体，驾驶员能观察到物体吗？请作出判断，并说明理由． 【答案】(1)米． (2)驾驶员能观察到该物体，理由见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定（两角分别相等的两个三角形相似）与性质（相似三角形对应边成比例），熟练掌握相似三角形的判定与性质、准确分析线段间的数量关系是解题的关键． （1）明确线段关系（），证明，利用相似三角形对应边成比例列方程求解的长度． （2）过作交于，证明，求出的长度后与物体高度比较，判断能否观察到． 【详解】（1）解：设米， ∵米，， ∴米， 又∵米，， ∴米． ∵，， ∴， 又∵， ∴． ∴， ∵米，米， ∴， 解得，即米． （2）解：驾驶员能观察到该物体，理由如下： 过作交于． ∵米，米，米， ∴米，米． ∵， ∴， ∴． ∴，即， ， ∵， ∴驾驶员能观察到该物体． 4．（2025·河南郑州·二模）我们知道当人的视线与物体表面互相垂直时的视觉效果较好．如图，一副展览画悬挂 在墙上，展览画的宽，画框的下边缘紧贴在墙上，上边缘与墙壁的距离，为了使观赏者欣赏画作时的视觉效果最佳，视线需落在展览画中心位置E处，且与垂直，已知观赏者眼睛D 与展览画底端A在同一水平线上（即）， 求达到最佳 视觉效果时，观赏者与墙壁的距离的长 ． 【答案】观赏者与墙壁的距离的长为 【分析】本题考查了相似三角形的实际应用，证明，推出，即可解答． 【详解】解：根据题意得：，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 答：观赏者与墙壁的距离的长为 ． 5．（2025·广东佛山·二模）【项目主题】测量距离 【项目背景】在一次数学项目式学习活动中，老师带领同学们测量池塘两点间的距离（A、B两点距离不可直接测得）． 【实践工具】皮尺，测角仪等工具． 【实践操作】 方案一：如图1，一位同学在离池塘边B点不远处的C点站立，A、B、C三点在同一条直线上．调整帽子，使得视线通过帽檐正好观测到池塘对面的A点．该同学保持刚才的姿势，转过，这时视线刚好落在点E处．利用皮尺测得，． 同学们还设计了方案二、方案三…… 【问题解决】 (1)根据方案一，求、两点间的距离； (2)尝试设计与方案一不同的方案，在图2中画出几何图形，并求、两点间的距离（为使表达简洁，需要测量的角建议用、、等表示）． 【答案】(1) (2)详见解析 【分析】本题考查的是全等三角形的应用，相似三角形的应用； （1）由，，，可得，从而可得结论． （2）利用相似三角形的性质涉及含的两个相似三角形即可. 【详解】（1）解：在和中， ∵，，， ∴． ∴． ∴． （2）解：方案如下：如图， ①在池塘边上确定点C； ②测量与的长度，取两边点D、E，使得，且的长度皮尺可测量； ③测量的长度； ④由，，可得， ∴， ∴． 6．（24-25九年级上·河北保定·期中）小明为了测量出一矩形深坑的深度，采取如下方案；如图，在深坑左侧用观测仪AB从观测出发点A观测深坑底部一点P，且观测视线刚好经过深坑边缘点E；在深坑右侧用观测仪CD从观测出发点C观测深坑底部同一点P，且观测视线恰好经过深坑边缘点F（点B，E，F，D在同一水平线上）．已知，，观测仪高，观测仪高，，，深坑的宽度． (1)求证：． (2)请根据以上数据，计算矩形深坑的深度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的应用： （1）由矩形的性质得到先证明，再证明，据此可证明； （2）根据相似三角形的性质得到，再证明得到，进而根据矩形的性质得到，据此可得答案． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， （2）解：∵， ∴，即， ∴， 同理可证明， ∴ ，即， ∴； ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴矩形深坑的深度为． 题型03 视野盲区与视角问题（光沿直线传播模型） 考向分析：此类题型多以“行人过马路观察车辆”、“墙后藏人或物”、“窗口观察室外范围”为背景。核心得分点在于利用“光沿直线传播”原理，将人的视线抽象为直线，结合“三角板刻度”、“标杆高度”等已知垂直条件，构造直角三角形相似。 解题方法： 1. 定视线，找盲段：明确观察者的眼睛位置、障碍物的顶端（或边缘）以及视线所能到达的最远点，确定视线被遮挡形成的盲区边界。 2. 找垂直，探等角：通常地面与人身高、标杆、建筑物等垂直，结合公共角或对顶角，利用“AA”判定相似。 3. 用比例，求范围：根据相似三角形对应边成比例，求解盲区的最小安全距离或观察范围的最大宽度。 答题模板： 1. 画：画出人的眼睛、障碍物顶点、目标点的连线，标出所有的垂直符号。 2. 证：证明两个直角三角形相似。 3. 列：列出直角边与斜边的比例关系式。 4. 解：代入数据求出盲区距离或视角覆盖范围。 5. 答：根据实际要求写出安全提示或范围结论。 1．（25-26九年级上·福建泉州·期末）小孔成像的原理是基于光在同种均匀介质中沿直线传播的特性．当光线通过一个小孔时，物体上部的光线会穿过小孔投射到屏幕下部，而下部的光线则投射到屏幕上部，同时左侧光线投向右侧，右侧光线投向左侧，导致像的上下和左右颠倒，形成一个倒立的实像．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔在屏幕（竖直放置）上成像．设，，小孔到的距离为，则小孔到的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似三角形性质的应用，过作于点，延长交于点，由题意得，，，证明，则，然后代入即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，过作于点，延长交于点， 由题意得，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 2．（2025·江苏扬州·二模）如图是凸透镜成像的光路示意图，线段 分别表示蜡烛、蜡烛的像、凸透镜，它们均与主光轴垂直．一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线经过焦点F，一束经过光心的光线与折射光线相交于点C．已知，则的值为_________． 【答案】3 【分析】本题考查了相似三角形的实际应用，矩形的性质，根据题意可得，四边形是矩形，得出，，求出，即可求解． 【详解】解：根据题意可得，四边形是矩形， ∴，， 即， 解得：， ∴， 故答案为：． 3．（25-26九年级上·广东深圳·阶段检测）在初中物理中我们学过凸透镜的成像规律．如图为一凸透镜，F是凸透镜的焦点．在焦点以外的主光轴上垂直放置一小蜡烛，透过透镜后成的像为．光路图如图所示：经过焦点的光线，通过透镜折射后平行于主光轴，并与经过凸透镜光心的光线汇聚于C点．若焦距，物距，小蜡烛的高度，则小蜡烛的像的长是______． 【答案】2 【分析】本题考查了相似三角形判定与性质，利用相似三角形的性质，将物理中的成像规律转化为数学中的几何比例关系解答即可． 【详解】解：由题意得，，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， 故答案为：2． 4．（2025九年级·全国·专题练习）如图所示的是利用凹透镜做实验时的光路示意图，已知平行于主光轴l的光线AM经凹透镜折射后，其折射光线的反向延长线过焦点，经过凹透镜光心O的光线传播方向不改变，与AO的交点C即为点A的像点．若，点A到主光轴l的距离，则点C到主光轴l的距离CD为_________．    【答案】 【分析】本题考查了相似形综合应用，分别证明和，运用相似三角形的性质可求解． 【详解】解：由题意可知， ， ，即． 易知 ， ，即， ． 故答案为： ． 5．（24-25九年级上·四川达州·期末）如图1是某兴趣小组通过蜡烛成像实验探究凸透镜成像规律的光路图，现将图1的光路图抽象为图2所示的数学几何图形，实物蜡烛发出的光线平行于直线，光线经过凸透镜后，经过焦点F与经过凸透镜中心O的光线交于点D，其中四边形是矩形，，． (1)将长为8厘米的蜡烛进行移动，使物距为30厘米，光线传播方向不变，移动光屏，直到光屏上呈现一个清晰的像，测得此时的像距为12厘米，求像的长度． (2)在（1）的条件下，已知光线平行于主光轴，经过凸透镜折射后通过焦点F，求凸透镜焦距的长 【答案】(1)cm (2)cm 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，掌握相似三角形的判定与性质成为解题的关键． （1）由题意可得：，再证明，然后运用相似三角形的性质即可解答； （2）通过证明，然后运用相似三角形的性质即可解答． 【详解】（1）解：由题意可得：， ∵ ，， ∴， ∴， ∴，即，解得：（cm）． （2）解：∵ ，， ∴， ∴， ∴，即， ∴，解得：（cm）． 6．（24-25九年级上·辽宁阜新·期末）如图，某厂房外有一盏路灯，点A发出的灯光能通过窗户照射到厂房内的地面上，经过窗户最高点C的光线落在地面F处，经过窗户最低点D的光线落在地面E处，其中点B，O，E，F在同一直线上．经测量得知：窗户距离地面的高度米，米，米，米． (1)求路灯的高； (2)求窗户的高． 【答案】(1)8米 (2)米 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质的运用，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）由图可知，得到，从而得到，米，米，米，米，即可得解； （2）由图可知，得到，从而得到，米，米，米，米，得到，再由即可得解； 【详解】（1）解： 又由图可知： 解得： 故路灯的高为8米； （2） 又 解得： ， 故窗户的高为米 题型04 生活情境中的方案设计与优化（投影与取景模型） 考向分析：此类题型通常结合摄影取景、放映机投影、路灯下的影子变化等生活情境，要求计算最佳拍摄距离、幕布尺寸或影子长度的变化量。核心得分点在于识别中心投影（点光源发出的光线，如路灯、台灯、放映机）与平行投影（太阳光线）的区别，并建立动态的相似三角形模型。 解题方法： 1. 辨光源，明类型： (1) 太阳光下：光线平行，物高与影长比值恒定。 (2) 点光源下（如路灯）：光线交于一点，构成共点型（旋转型）相似，需注意相似比随物体与光源距离的变化而变化。 2. 抓不变量，列表征：确定光源高度、物体高度等不变量，用代数式表示变化的影长或投影长度。 3. 列动态方程：根据不同阶段的相似关系列出比例式，若涉及两个状态，通常两式联立求解。 答题模板： 1. 辨：判断题目属于平行投影（太阳）还是中心投影（点光源）。 2. 表：用含未知数的代数式表示各相关线段的长度。 3. 列：根据不同时刻或不同位置的相似关系列出比例方程（组）。 4. 解：消元或求解一元二次方程（极少数为一元一次），得出目标量。 5. 验：结合实际意义（如距离不能为负，高度为正）对解进行取舍。 1．（23-24九年级上·辽宁葫芦岛·期末）如图，是位于校园内的旗杆，在学习了27章“相似”之后，学生们积极进行实践活动，小丽和小颖所在的数学兴趣小组测量旗杆的高度，有以下两种方案： 方案一：如图1，在距离旗杆底点远的处竖立一根高的标杆，小丽在处站立，她的眼睛所在位置、标杆的顶端和塔顶点三点在一条直线上．已知小丽的眼睛到地面的距离，，，，，点、、在同一直线上． 方案二：如图2，小颖拿着一根长为的木棒站在离旗杆的地方（即点到的距离为）．他把手臂向前伸，木棒竖直，，当木棒两端恰好遮住旗杆（即、、在一条直线上，、、在一条直线上），已知点到木棒的距离为． 请你结合上述两个方案，选择其中的一个方案求旗杆的高度． 【答案】12米 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用．若选择方案一：如图，过点E作，垂足为，交于点，求出（米），（米）， （米），进而求出（米），再证明得到，据此求出（米），进而可得到（米）；若选择方案二：如图，过点作，垂足为，交于点，则，证明，得到，即，可得（米）． 【详解】解：若选择方案一：如图，过点E作，垂足为，交于点， 由题意得：，（米），（米）， （米）， （米），， 又， ， ，即， （米）， （米） 答：旗杆的高度为12米； 若选择方案二： 如图，过点作，垂足为，交于点，则 ， ， ， 由题意得：（厘米）（米），（厘米）（米），（米）， ， ， ，即， （米） 答：旗杆的高度为12米． 2．（24-25九年级上·贵州·期末）综合与实践：某数学兴趣小组测量一座塔的高度，有以下两种方案： 方案一：如图1，在距离塔底B点远的D处竖立一根高的标杆，小明在F处蹲下，他的眼睛所在位置E、标杆的顶端C和塔顶点A三点在一条直线上．已知小明的眼睛到地面的距离，，，，，点B，D，F，M在同一直线上． 方案二：如图2，小华拿着一把长为的直尺站在离塔距离的地方（即点E到的距离为）．他把手臂向前伸，尺子竖直，，尺子两端恰好遮住塔（即A，C，E在一条直线上，B，D，E在一条直线上），已知点E到直尺的距离为． 请你结合上述两个方案，选择其中的一个方案求塔的高度． 【答案】塔的高度AB为33m 【分析】考查了相似三角形的应用，解题关键是根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线构造相似三角形． 若选择方案一：过点E作，垂足为H，延长交于点G，根据题意可得：，从而可得，，然后证明A字模型相似三角形，从而利用相似三角形的性质进行计算，即可解答； 若选择方案二：过点E作，垂足为M，延长交于点N，根据题意可得：，然后利用平行线的性质可得，从而可得，最后利用相似三角形的性质进行计算，即可解答． 【详解】解：选择方案一： 如图：过点E作，垂足为H，延长交于点G，    由题意得：，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴塔的高度为． 选择方案二： 如图：过点E作，垂足为M，延长交于点N，    ∵， ∴， 由题意得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴塔的高度为． 3．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）某校初三学生开展关于“测量路灯高度”的综合实践活动，对校园门口的不同路灯进行测量． 方案一：小树投影法 如图1，同学们在路灯旁竖立小树，小树在路灯的照射下形成投影，测得树高为3米，树影为4米，树与路灯的水平距离为5米． 方案二：标杆共线法 如图2，为路灯主杆，为路灯的悬臂，是长为米的标杆，路灯悬臂与地面平行．同学们发现当标杆竖立于地面时，主杆顶端、标杆顶端和地面上一点共线，此时路灯、标杆顶端和地面上另一点也共线（路灯主杆底端、标杆底端和地面上点、点在同一水平线上）．这时同学们测得点距离点的距离为1.5米，路灯的正下方点距离路灯主杆底端的距离为3米． 请根据以上数据，完成下列计算： (1)利用方案一求路灯的高度； (2)利用方案二求路灯主杆的高度． 【答案】(1)（米） (2)（米） 【分析】本题考查了“相似三角形的判定与性质”​ 在实际问题中的应用，相似三角形对应边成比例，平行线的性质，解题的关键在于利用相似三角形，相似三角形对应边成比例，列出比例式，求对应边； （1）识别出相似三角形，对应边成比例，列出比例式，计算求得即可； （2）识别出相似三角形，利用高也对应成比例，再根据几组平行，得到等于的边上的高，从而得到，求出，再加上，即可得． 【详解】（1）∵，，， ∴， ，即 ． 答：路灯的高度为米． （2）过点作于． ∵由题意得，， ∴（米），（米）， ∴等于的边上的高， ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴，即， ∴（米）， ∴（米）． 答：路灯主杆的高度为米． 4．（25-26九年级上·陕西咸阳·期中）某班进行了一次数学实践活动，设计了以下两种方案测量校园围墙的高度． 方案一：如图1，小慧组把一根长为3米的竹竿斜靠在墙上，量出距竹竿C点1米的D点（米）离地面的高度为米，已知点C、D、A在同一条直线上，； 方案二：如图2，小聪组用平面镜来测量围墙的高度．在点D处放一水平的平面镜（大小忽略不计），小聪沿方向移动，当移动到点C时，他蹲下时刚好在平面镜内看到围墙顶端A的像，已知点C、D、B在同一条直线上，，测得米，米，米，请你选择上述两种方案中的一种，计算围墙的高度． 你选择的是方案_________． 【答案】一（答案不唯一） 【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键． 根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论； 【详解】解：当选择方案一时： ， ， ， ， ， ， ∴墙的垂直高度为米； 故答案为：一； 或当选择方案二时： ，， ， ， ， ， ， ， ∴墙的垂直高度为米． 故答案为：二． 5．（24-25九年级上·河南郑州·期中）一数学兴趣小组为了测量校园内灯柱的高度，设计了以下三个方案：方案一：在操场上点C处放一面平面镜，从点C处后退到点D处，恰好在平面镜中看到灯柱的顶部A点的像；再将平面镜向后移动（即）放在F处．从点F处向后退到点H处，恰好再次在平面镜中看到灯柱的顶部A点的像，测得的眼睛距地面的高度为，已知点在同一水平线上，且．（平面镜的大小忽略不计）方案二：利用标杆测量灯柱的高度．已知标杆高，测得．方案三：利用自制三角板的边保持水平，并且边与点M在同一直线上．已知两条边，测得边离地面距离．三种方案中，方案_______不可行，请根据可行的方案求出灯柱的高度． 【答案】二，三；灯柱的高度为 【分析】本题考查了相似三角形的应用，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．根据相似三角形的知识可知方案二中缺少边长的条件，故方案二不可行，根据光的反射角相等，以及，进而证明，同理可得，根据方案一的数据计算即可． 【详解】解：相似三角形的知识可知方案二中缺少边长的条件，故方案二不可行，方案三中缺少边长的条件，故方案三不可行， 选方案一， ， ， ， ， 设， 则， 同理可得， ， ， 解得：， ， 答：灯柱的高度为． 6．（25-26九年级上·广东清远·期末）综合与实践 为了加强视力保护意识，小北想在书房里挂一张测试距离为5m的视力表，但两面墙的距离只有3m．在一次综合实践课上，小北向全班同学征集“解决空间过小，如何放置视力表问题”的方案，其中甲、乙两位同学设计方案新颖，构思巧妙． 甲 乙 图例 方案 如图①是测试距离为的大视力表，可以用硬纸板制作一个测试距离为的小视力表②．通过测量大视力表中“”的高度（的长），即可求出小视力表中相应的“”的高度（的长）． 使用平面镜成像的原理来解决房间小的问题．如图，在相距的两面墙上分别悬挂视力表（）与平面镜，由平面镜成像原理，作出了光路图，通过调整人的位置，使得视力表的上、下边沿，发出的光线经平面镜的上下边沿反射后射入人眼处，通过测量视力表的全长（）就可以计算出镜长（光路图做法：作于点，延长线交于点，使得线段和关于对称）． (1)甲生的方案中如果大视力表中“”的高是，那么小视力表中相应“”的高是多少？ (2)乙生的方案中，当视力表的全长为时，求平面镜的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟知相似三角形的判定与性质是解题关键． （1）证明，得到，代入相关数值即可求解； （2）证明，得到，求出，代入相关数值即可求解． 【详解】（1）解：由题意知，， ， 又∵， ， ， 由题意知，，，， ， 解得， 即小视力表中相应“”的高是； （2）解：由题意知，， ∵，， ， ∵， ， ， 由题意知，，， ， ， ． / 学科网（北京）股份有限公司 $