微专题02 构造等腰三角形的方法（专项训练）数学新教材鲁教版五四制七年级下册

**基本信息** 以“作平行线、作垂直、补全图形、倍长中线、截长补短”五维辅助线方法为核心，构建等腰三角形构造的系统性训练体系，强化几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |作平行线|1模型+6题|利用平行线转移角/边，构造全等|从平行线性质到等腰三角形判定，培养转化思想| |作垂直|1模型+6题|角平分线性质作垂线，证直角三角形全等|结合垂直与角平分线，强化空间观念| |补全图形|1模型+6题|连接对称点/公共边，利用SSS/SAS证全等|通过图形补全，提升几何直观能力| |倍长中线|1模型+6题|延长中线构造SAS全等，转化线段关系|从中线性质到三角形三边关系，培养逻辑推理| |截长补短|2子变式+6题|截长截取或补短延长，构造全等转化线段|从线段和差到复杂图形证明，提升综合应用能力|

微专题02 构造等腰三角形的方法 题型1 作平行线 作平行线：通过构造平行线转移角度或长度，形成全等三角形，适用于等腰三角形或线段和差问题。 1. 原理：平行线导致同位角、内错角相等，结合已知边角条件构造全等。 2. 步骤： （1）过某点作已知边的平行线，交另一条边于新点。 （2）利用平行线性质转移角或边的关系。 （3）结合截长补短或等量代换证明全等。 3. 基本模型 如图，已知在中，，D为线段上一点，延长，在延长线上取一点F，使得，连接，交于点E，求证. 过点D作，交于点G，则 ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ 在和中， ∴（AAS） ∴ 1．（24-25八年级上·福建龙岩·期中）已知，如图在等边中，点为边上一点，点为边上一点，连接并延长交延长线于点，，过点作交于点． (1)求证：； (2)当时，试判断以、、为顶点的三角形的形状，并说明理由； 【答案】(1)见解析 (2)以、、为顶点的三角形的形状是等边三角形，理由见解析 【分析】（1）过点作交于，证明,根据全等三角形的性质得出结论； （2）连结，根据补角的概念得到，根据等腰三角形的判定定理得到，进而得到，根据等边三角形的判定定理证明即可； 本题考查的是全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、直角三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键. 【详解】（1）证明：过点作交于， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ； （2）以、、为顶点的三角形的形状是等边三角形， 连结， 于， ，， ， 又，， ，， ，， 由（1）知，， 为等边三角形， ， ， ， ， ， 为等边三角形； 2．（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）在中，，点在上，点在上，连接和交于点，．    (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接，若平分，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，点在的延长线上，连接，时，若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3)． 【分析】本题主要考查了等腰三角形、全等三角形的判定和性质， （1）利用三角形外角的性质可得，再结合已知可得，根据等边对等角可得，即可得出结论； （2）过点C作、垂足分别为M、N，过点A作垂足为Q，构造，得，由角平分线性质可得，进而证明，即可得出结论； （3）过点C作交于P，作交延长线于G，由角平分线+平行线可得：，利用中点加平行模型可得，，进而可得，，结合已知可得，，由此即可得出． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）过点C作、垂足分别为M、N，过点A作垂足为Q，    在和中， ∴， ∴， 又∵，，平分， ∴， 在和中， ， ∴ ∴． （3）过点C作交于P，作交延长线于G，    ∴，， 又∵， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴，， 同理可得：，，， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵，， ∴， ， ∴ 【点睛】本题涉及了等腰三角形的性质和判定、全等三角形的判定和性质、三角形外角的性质、角平分线的定义和性质、平行线的性质等知识；解题关键是作辅助线构造三角形全等转化线段关系，（2）利用了垂直全等模型和角平分线性质，（3）利用中点+平行线构造三角形全等． 3．（23-24八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，在等边中，点为边上任意一点，点在边的延长线上，且．    (1)当点为的中点时（如图1），则有______（填“”“”或“”）； (2)猜想如图2，与的数量关系，并证明你的猜想． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】（1）由是等边三角形，得到，，由三线合一得到，，由，得，由外角的性质得到，得到，则，证得； （2）过作交于，先证明是等边三角形，得到，再用证明，得到，进而证得猜想 【详解】（1）∵是等边三角形， ∴，． ∵E为的中点， ∴，， ∵， ∴是等腰三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为： （2）解：．理由如下： 过E作交于F，    ∵是等边三角形， ∴，． ∴，，即． ∴是等边三角形． ∴． ∵， ∴，． ∵， ∴． ∴． 在和中， ∴． ∴，即． 【点睛】此题主要考查了等边三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、全等三角形的判定与性质等知识，在等边三角形中通过作平行线构造全等三角形是解题的关键． 4．（2022·山东济南·二模）如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D在边AC上，CD⊥DE，且CD＝DE，连接BE，取BE的中点F，连接DF． (1)请直接写出∠ADF的度数及线段AD与DF的数量关系； (2)将图1中的△CDE绕点C按逆时针旋转， ①如图2，（1）中∠ADF的度数及线段AD与DF的数量关系是否仍然成立？请说明理由； ②如图3，连接AF，若AC＝3，CD＝1，求S△ADF的取值范围． 【答案】(1)∠ADF=45°，AD=DF； (2)①成立，理由见解析；②1≤S△ADF≤4. 【分析】（1）延长DF交AB于H，连接AF，先证明△DEF≌△HBF，得BH=CD，再证明△ADH为等腰直角三角形，利用三线合一及等腰直角三角形边的关系即可得到结论； （2）①过B作DE的平行线交DF延长线于H，连接AH、AF，先证明△DEF≌△HBF，延长ED交BC于M，再证明∠ACD=∠ABH，得△ACD≌△ABH，得AD=AH，等量代换可得∠DAH=90°，即△ADH为等腰直角三角形，利用三线合一及等腰直角三角形边的关系即可得到结论； ②先确定D点的轨迹，求出AD的最大值和最小值，代入S△ADF=求解即可． 【详解】（1）解：∠ADF=45°，AD=DF，理由如下： 延长DF交AB于H，连接AF， ∵∠EDC=∠BAC=90°， ∴DE∥AB， ∴∠ABF=∠FED， ∵F是BE中点， ∴BF=EF， 又∠BFH=∠DFE， ∴△DEF≌△HBF， ∴BH=DE，HF=FD， ∵DE=CD，AB=AC， ∴BH=CD，AH=AD， ∴△ADH为等腰直角三角形， ∴∠ADF=45°， 又HF=FD， ∴AF⊥DH， ∴∠FAD=∠ADF=45°， 即△ADF为等腰直角三角形， ∴AD=DF; （2）解：①结论仍然成立，∠ADF=45°，AD=DF，理由如下： 过B作DE的平行线交DF延长线于H，连接AH、AF，如图所示， 则∠FED=∠FBH，∠FHB=∠EFD， ∵F是BE中点， ∴BF=EF， ∴△DEF≌△HBF， ∴BH=DE，HF=FD， ∵DE=CD， ∴BH=CD， 延长ED交BC于M， ∵BH∥EM，∠EDC=90°， ∴∠HBC+∠DCB=∠DMC+∠DCB=90°， 又∵AB=AC，∠BAC=90°， ∴∠ABC=45°， ∴∠HBA+∠DCB=45°， ∵∠ACD+∠DCB=45°， ∴∠HBA=∠ACD， ∴△ACD≌△ABH， ∴AD=AH，∠BAH=∠CAD， ∴∠CAD+∠DAB=∠BAH+∠DAB=90°， 即∠HAD=90°， ∴∠ADH=45°， ∵HF=DF， ∴AF⊥DF，即△ADF为等腰直角三角形， ∴AD=DF． ②由①知，S△ADF=DF2=AD2， 由旋转知，当A、C、D共线时，且D在A、C之间时，AD取最小值为3－1=2， 当A、C、D共线时，且C在A、D之间时，AD取最大值为3+1=4， ∴1≤S△ADF≤4． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形性质及判定、全等三角形判定及性质、勾股定理等知识点．构造全等三角形及将面积的最值转化为线段的最值是解题关键．遇到题干中有“中点”时，采用平行线构造出对顶三角形全等是常用辅助线． 5．（21-22九年级上·辽宁大连·期中）如图，△ABC中，点D，E在边AB上，点F在边BC上，且AD＝AC，EF＝EC，∠CEF＝∠A，连接DF． （1）在图1中找出与∠ACE相等的角，并证明； （2）求证：∠BDF＝∠EFC； （3）如图2，延长FD，CA交于点G，连接EG，若EG＝AG，DE＝kAE，求的值（用含k的代数式表示）． 【答案】（1）∠DEF＝∠ACE，证明见解析；（2）见解析；（3）k 【分析】（1）由三角形外角的性质可得出答案； （2）连接CD，过点E作AC的平行线与CD交于点M，证明△DEF≌△MEC（SAS），由全等三角形的性质可得出∠EDF＝∠EMC，证出∠EMD＝∠EFC，则可得出结论； （3）连接CD，过点E作AC的平行线与CD交于点M，证明△EFG≌△ECD（ASA），由全等三角形的性质可得出GF＝DC，证出GD＝DM，则根据平行线分线段成比例即可得出答案． 【详解】解：（1）∠DEF＝∠ACE． 证明：∵∠DEC是△ACE的外角， ∴∠DEC＝∠A+∠ACE， ∵∠DEC＝∠DEF+∠CEF， ∴∠DEC+∠CEF＝∠A+∠ACE， ∵∠CEF＝∠A， ∴∠DEF＝∠ACE； （2）证明：连接CD，过点E作AC的平行线与CD交于点M， ∵AD＝AC， ∴∠ADC＝∠ACD， ∵EM∥AC， ∴∠EMD＝∠ACD，∠CEM＝∠ACE， ∴∠EDM＝∠EMD，∠DEF＝∠CEM， ∴ED＝EM， 又∵EF＝EC， ∴△DEF≌△MEC（SAS）， ∴∠EDF＝∠EMC， ∵∠BDF+∠EDF＝∠EMD+∠EMC＝180°， ∴∠BDF＝∠EMC， ∵EM∥AC， ∴∠DEM＝∠A， ∵∠A＝∠CEF， ∴∠DEM＝∠CEF， ∵△DEM中，∠EMD＝，△FEC中，∠EFC＝， ∴∠EMD＝∠EFC， ∴∠BDF＝∠EFC； （3）连接CD，过点E作AC的平行线与CD交于点M， ∵EG＝AG， ∴∠GAE＝∠GEA， ∵∠DAC+∠GAE＝∠GEA+∠GED＝180°， ∴∠DAC＝∠GED， ∵∠CEF＝∠DAC， ∴∠DEG＝∠CEF， ∴∠DEG+∠DEF＝∠CEF+∠DEF， 即∠GEF＝∠DEC， ∵△DEF≌△MEC， ∴∠EFG＝∠ECD，DF＝MC， 又∵EF＝EC， ∴△EFG≌△ECD（ASA）， ∴GF＝DC， ∴DC﹣MC＝GF﹣DF， 即GD＝DM， ∵EM∥AC， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，平行线分线段成比例，三角形的内角和定理，三角形的外角性质，添加辅助线证明三角形全等是解题的关键． 6．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）定义：两个三角形有一组公共边，并且面积相等，这两个三角形称为共底等积三角形． (1)如图1，是和的公共边，连接交于点，．求证：与是共底等积三角形； (2)如图2，方格纸中每个小正方形的边长为1个单位长度，每个小正方形的顶点叫格点，点、、在格点上，点为的共底等积三角形的顶点，若点在格点上，且点不与点、、重合，请直接写出所有满足要求的线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)所有满足要求的线段的长为，，，7 【分析】（1）作两个三角形的公共边的高，证明高相等即可； （2）根据格点的特点作平行线，构造等高三角形即可，再利用勾股定理求出线段长． 【详解】（1）解：过点作，过点作， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴ ∴与是共底等积三角形． （2）解：如图： ，， ，， ． 综上所述所有满足要求的线段的长为，，，7 题型2 作垂直 作垂线：利用垂直关系构造直角三角形，通过角平分线性质证明全等 1. 原理：角平分线上的点到两边距离相等；垂直线段可形成全等的直角三角形。 2. 步骤： （1）从角平分线上的点向两边作垂线，形成相等距离。 （2）结合已知边角条件，利用SAS证明两个直角三角形全等。 3. 基本模型 如图，已知平分，为点D射线上一点，过点D作，垂足为E，，求. 过点D分别作，垂足为G ∵平分，， ∴ ∴. 1．（24-25八年级下·辽宁铁岭·月考）如图，在中，，，以为边，在外作等边，作，交的延长线于点，连接，若，则的长为______． 【答案】 【分析】本题考查的是等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，含30°的直角三角形的性质，利用已知条件构造全等三角形，灵活运用含有30°的直角三角形的性质求解，是解决本题的关键． 根据等边可得，再根据可以得出，过点作于点，进而证明，得，．设，可得，，由可得．从而求出，进而可得，．，，在中，由，即可求解． 【详解】解：等边， ，． ． ， ． ． 过点作于点， ． ， ． 在和中， ． ，． 设， ， ，． 在中，， ∴， ，即． 解得：， ∴，． ∴， ∴， 在中，， 故答案为：． 2．（23-24八年级上·陕西西安·月考）如图，在中，，，，点为中点，点为上的动点，将点绕点逆时针旋转得到点，连接，当线段的最小时，则________． 【答案】 【分析】本题主要考查了旋转的性质以及全等三角形判定与性质的综合应用， 过作于，易证，可得，再根据当时，，即点与点重合，即可得出线段的最小值为3，求出此时，又勾股定理即可求出此时． 【详解】解：如图所示，过作于，则， 由旋转可得，，， ， 在和中， ， ， ， 点的运动轨迹是平行的直线， 当点与点重合，的值最小，的最小值为3， 此时，∴， 故答案为：． 【点睛】本题涉及了旋转的性质、三角形全等的性质和判定、点的运动轨迹、依据垂线段最短、勾股定理解三角形，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，依据垂线段最短进行求解． 3．（22-23八年级上·湖北武汉·期中）定义：三角形一个内角的平分线所在的直线与另一个内角相邻的外角的平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角．    (1)如图1所示，是中的遥望角，直接写出与的数量关系__________； (2)如图1所示，连接，猜想与的数量关系，并说明理由； (3)如图2，四边形中，，点E在的延长线上，连，若已知，求证：是中的遥望角． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)见解析 【分析】（1）运用角平分线的定义，以及三角形外角的性质，推导得到，，进而可得； （2）过点E作交的延长线于点M，作交于点N，作交的延长线于点H，由角平分线的性质定理和判定定理可得，根据可得； （3）过D作交于点M，过D作交的延长线于点N，先证四边形是矩形，再证，最后证得平分，平分即可． 【详解】（1）解：是中的遥望角， 平分，平分， ，， ， ， 又， ， 故答案为：； （2）解：，理由如下： 如图，过点E作交的延长线于点M，作交于点N，作交的延长线于点H，   平分，，， ， 同理， ， ，， 平分，即， ， ； （3）证明：如图，过D作交于点M，过D作交的延长线于点N，   ，，， ， 四边形是矩形， ，即， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， 平分， ， ，， ， ， ， ， ， 平分， 平分， 是中的遥望角． 【点睛】本题考查角平分线的性质及判定，全等三角形的性质及判定，三角形外角的定义和性质，等腰三角形的性质等，熟练掌握角平分线的性质定理及判定定理是解题的关键． 4．（25-26七年级上·山东泰安·期末）如图，在平面直角坐标系中，，为轴正半轴上一点，连接，作交轴正半轴于点，求． 【答案】 【分析】本题主要考查图形与坐标、四边形的内角和等于、全等三角形的判定与性质等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 先过点作轴交于点，轴交于点，求出、，再通过，求出、、、的值，然后通过，推出，最后证明，通过等量代换求解即可． 【详解】解：过点作轴交于点，轴交于点， ∵轴，轴， ∴， ∵四边形的内角和为， ∴， ∴ ∵， ∴，， ∴，，，． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵在和中， ， ∴， ∴， ∴， ， ， ， ， ． 5．（24-25八年级下·上海黄浦·期末）如图，已知梯形，，，点、分别是边和上的动点（点不与点重合，点不与点重合），且，，联结． (1)若，则点到的距离是_______； (2)判断的形状并加以证明； (3)若，设，，求y关于x的函数解析式，并写出定义域． 【答案】(1) (2)为等腰直角三角形，证明见解析 (3)（） 【分析】本题考查了四边形与三角形综合，主要涉及了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质、勾股定理等知识点， （1）过点做，垂足为，由，，可得，从而证明是等腰直角三角形，利用勾股定理即可求出； （2）根据等边对等角可得，，结合四边形内角和等于，可得， 由此求出，进而即可判定是等腰直角三角形， （3）过点做，垂足为，交于，过点作，垂足为，容易证明平行四边形是矩形，，结合由（1）得，再由（2）得是等腰直角三角形，求出，，在中，根据，求出y关于x的函数解析式． ∴． 【详解】（1）解：过点做，垂足为， ∵，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∴点到的距离是， （2）解：结论：是等腰直角三角形， 证明：∵， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴，， 即是等腰直角三角形， （3）解：过点做，垂足为，交于，过点作，垂足为， 又∵， ∴，即， ∴四边形是矩形， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， 由（1）得， ∴， 由（2）得是等腰直角三角形， ∴， ∵在矩形中，，， ∴， ∴， ∵在中，， ∴，函数定义域为． 6．（22-23八年级上·山西晋中·期末）如图，直线和直线与x轴分别相交于A，B两点，且两直线相交于点C，直线与y轴相交于点． (1)求点A的坐标及直线的函数表达式； (2)求的面积； (3)试探究在x轴上是否存在点P，使得，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，直线的函数表达式为： (2)12 (3)， 【分析】（1）对于，令可求出，得到点A的坐标，结合可求出，得到点B的坐标，再根据待定系数法可求出直线的函数表达式； （2）求出直线和的交点，再根据三角形面积公式求解即可； （3）分点P在点B右侧的x轴上和在点B左侧的x轴上两种情况，结合勾股定理列出方程求解即可 【详解】（1）将代入得，， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． 设直线的函数表达式为： 将、分别代入得： ， 解得 ∴直线的函数表达式为：． （2）∵点C是直线和的交点， ∴，解得 ∴ ∵， ∴． ∴的面积为：． （3）①点P在点B右侧的x轴上时，过点作于点，过点作轴，垂足为，如图3-1， ∴ ∴ 易证： ∴ ∴点坐标为， ∴直线解析式为：， ∴直线与轴交点的坐标为； ②点P在点B左侧的x轴上时，过点作于点，过点作轴，垂足为，过作轴，如图3-2， 同理易证：, ∴，， 设，则， 解得：， ∴， ∴点坐标为， ∴直线解析式为：， ∴直线与轴交点的坐标为； 综上，在x轴上存在点P，使得，点P的坐标为或 【点睛】本题考查了一次函数综合题，难度一般，关键是一次函数点的坐标的求法和三角形面积的求法． 题型3 利用模型补全图形 补全图形法：当题目中存在公共边或对称点时，通过连接已知点构造公共边或对称轴，形成全等三角形。或者利用几何模型通过添加辅助线帮助证明。 1. 原理：利用公共边或对称性，通过SSS、SAS等判定条件证明全等。 2. 步骤： （1）观察图形中是否存在未连接的已知点（如对称点或线段端点）； （2）连接这些点形成公共边或对称线段； （3）利用已知条件（如边相等、角相等）证明全等。 3. 基本模型 如图，已知在四边形中，，求证：. 如图，连接，则 在与中， ∴（SSS） ∴ 1．（24-25八年级上·湖北黄石·期末）如图，在中，，以为边，作，满足，E为上一点，连接，，连接，下列结论中：①；②；③；④．其中正确的有（    ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质定理，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．如图所示，延长到点，使得，连接，设交于点，可证，根据全等三角形的性质可判定①②④，根据角平分线的性质定理可判定③；由此即可求解． 【详解】解：如图所示，延长到点，使得，连接，设交于点， ∵， ∴垂直平分， ∴，， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，故①正确； ∴，故②正确； ∴，即，故④正确； ∵， ∴平分， 当时，，即， ∵无法确定与的数量关系， ∴无法确定，故③错误； 综上所述，正确的有①②④， 故选：C ． 2．（25-26九年级上·四川广元·期末）【初步感知】 （1）如图1，和均为等边三角形，绕点C逆时针旋转，连接、相交于点F．求证： 【深入探究】 （2）如图2，连接，试探究、、三条线段之间的数量关系，并说明理由； 【拓展应用】 （3）如图3，在中，以为边在外部作，且，，连接，过点A作于H，若，，求． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）5． 【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，根据半角关系利用对称作辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）根据等边三角形的性质利用证明即可解题； （2）证明，得到，然后利用角的和差和三角形的内角和定理解题求出；过点C作，于点M，N，根据角平分线的判定定理得到，然后在上截取，连接，则有，即可得到结论； （3）作点关于的对称点，连接、、，设，则，利用三角形内角和和角的和差计算得出，结合等腰三角形三线合一证明，进而可得，由此得出是直角三角形，再证明，由此求出，再根据勾股定理即可求出长． 【详解】（1）证明：∵和是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴ ∴； （2）解：，理由为： 过点C作，于点M，N， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴； ∴， ∴， 在上截取，连接，则是等边三角形， ∴，， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， ∵ ∴； （3）解：如图，作点关于的对称点，连接、、， 设，则， 由对称可知：，，，，， ∵， ∴， ∵， ∴， 过点作，垂足为， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 3．（21-22八年级上·四川南充·期末）（1）阅读理解：问题：如图1，在四边形中，对角线平分，．求证：． 思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题． 方法1：在上截取，连接，得到全等三角形，进而解决问题； 方法2：延长到点，使得，连接，得到全等三角形，进而解决问题． 结合图1，在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明． （2）问题解决：如图2，在（1）的条件下，连接，当时，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由； （3）问题拓展：如图3，在四边形中，，，过点作，垂足为点，请写出线段、、之间的数量关系． 【答案】（1）见解析；（2），见解析；（3），见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定； （1）方法1：在上截取，连接，证明，得出，，进而得出，则，等量代换即可得证；方法：延长到，使，连接，证明，得出，，进而得出，则，等量代换即可得证 （2），，之间的数量关系为．方法1：在上截取，连接，由知，得出，为等边三角形，证明，得出，进而即可得证；方法：延长到，使，连接，由知，则，是等边三角形，证明，得出，进而即可得证； （3）线段、、之间的数量关系为，连接，过点作于点，证明，和，得出，进而即可得证． 【详解】解：（1）方法1：在上截取，连接， 平分， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ； 方法2：延长到，使，连接， 平分， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ； （2），，之间的数量关系为． 方法1：理由如下： 如图，在上截取，连接， 由（1）知， ， ， ， ， 为等边三角形， ，， ， 为等边三角形， ，， ， ， ， ． 方法：理由：延长到，使，连接， 由（1）知， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， 为等边三角形， ，， ， ， 即， 在和中， ， ， ， ， ； （3）线段、、之间的数量关系为． 连接，过点作于点， ，， ， 在和中， ， ， ，， 在和中， ， ， ， ， ． 4．（21-22八年级上·江苏苏州·期中）如图，ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，过点B作BE⊥AD，交AD延长线于点E，F为AB的中点，连接CF，交AD于点G，连接BG． （1）线段BE与线段AD有何数量关系？并说明理由； （2）判断BEG的形状，并说明理由． 【答案】（1）BE＝AD，见解析；（2）BEG是等腰直角三角形，见解析 【分析】（1）延长BE、AC交于点H，先证明△BAE≌△HAE，得BE＝HE＝BH，再证明△BCH≌△ACD，得BH＝AD，则BE＝AD； （2）先证明CF垂直平分AB，则AG＝BG，再证明∠CAB＝∠CBA＝45°，则∠GAB＝∠GBA＝22.5°，于是∠EGB＝∠GAB+∠GBA＝45°，可证明△BEG是等腰直角三角形． 【详解】证：（1）BE＝AD，理由如下： 如图，延长BE、AC交于点H， ∵BE⊥AD， ∴∠AEB＝∠AEH＝90°， ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAE＝∠HAE， 在△BAE和△HAE中， ， ∴△BAE≌△HAE（ASA）， ∴BE＝HE＝BH， ∵∠ACB＝90°， ∴∠BCH＝180°﹣∠ACB＝90°＝∠ACD， ∴∠CBH＝90°﹣∠H＝∠CAD， 在△BCH和△ACD中， ， ∴△BCH≌△ACD（ASA）， ∴BH＝AD， ∴BE＝AD． （2）△BEG是等腰直角三角形，理由如下： ∵AC＝BC，AF＝BF， ∴CF⊥AB， ∴AG＝BG， ∴∠GAB＝∠GBA， ∵AC＝BC，∠ACB＝90°， ∴∠CAB＝∠CBA＝45°， ∴∠GAB＝∠CAB＝22.5°， ∴∠GAB＝∠GBA＝22.5°， ∴∠EGB＝∠GAB+∠GBA＝45°， ∵∠BEG＝90°， ∴∠EBG＝∠EGB＝45°， ∴EG＝EB， ∴△BEG是等腰直角三角形． 【点睛】本题考查等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等，理解等腰直角三角形的基本性质，并且掌握全等三角形中常见辅助线的作法是解题关键． 5．（25-26八年级上·河南洛阳·期末）（1）问题发现：如图①，点为等边边上一动点，以为边作等边，连接．猜想与的数量关系为_，_． （2）类比探究：与均为等腰直角三角形，．如图②，若点为线段上一动点，试判断、、存在什么数量关系，并说明理由． （3）拓展延伸：在（2）的基础上，若点为线段延长线上一动点，如图③，当，，请你直接写出四边形的面积． 【答案】（1），；（2）；理由见解析；（3）60 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质． （1）通过证明，即可得出结论； （2）通过证明，推出，，利用勾股定理即可得出结论； （3）连接，过点A作于点H，先求出，，则，再通过证明，得出，，，进而得出，最后根据，即可解得． 【详解】解：（1）∵，均为等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， 故答案为：，60； （2），理由如下 ∵与均为等腰直角三角形， ∴，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴，即； （3）连接，过点A作于点H， ∵为等腰直角三角形，， ∴点H为中点， ∵，， ∴，， ∴， ∵与均为等腰直角三角形， ∴，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，，， ∴，则， ∴， ∴． 6．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）综合与实践 【问题背景】 （1）如图1，在和中，，点为边的中点，连结，，．求证：为等腰三角形． 【特例研究】 （2）在（1）的条件下，若，求证：平分． 【拓展延伸】 （3）如图2，在中，，点在边上，，，，点，分别为线段，的中点，连结，．若，，求线段的长． 【答案】【问题背景】证明见解析；【特例研究】证明见解析；【拓展延伸】线段的长为 【分析】本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线定理等知识点，综合性较强，熟练掌握相关知识点以及准确添加辅助线是解题的关键． 【问题背景】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可证出，即可证出结果；【特例研究】根据线段的等量关系，得出，，由等腰直角三角形，易证出，结合三角形内角和，可得出，即可证明出平分；【拓展延伸】连接，，过点作交于点，过点作交于点，先证明，根据角度关系，证明为直角三角形，并结合勾股定理，求出，的长度，即可得出的长度，再证明，根据勾股定理依次求出、、的长度，证明为直角三角形，即可根据勾股定理求出的长度． 【详解】解：【问题背景】在中，，点为边的中点， ∴， 同理，可证， ∴， ∴为等腰三角形． 解：【特例研究】∵，， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴平分． 解：【拓展延伸】连接，，过点作交于点，过点作交于点，如下图所示： ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴，，， 令，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴为直角三角形， 令，则， 在中，， 即， 解得， 即，， ∵点为中点， ∴， 同理，可得， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴, ∴， ∴， ∵，点为中点， ∴， 故为直角三角形， ∴， 故线段的长为． 题型4 倍长中线法 倍长中线法：“倍长中线”是指加倍延长中线，使所延长部分与中线相等，然后连接相应的顶点，则对应角对应边都对应相等。这一方法常用于构造全等三角形。倍长中线法多用于构造全等三角形，从而证明边与边之间的关系（通常用“SAS”证明） 【基本模型】如图，在中，，求中线的取值范围。 延长至点，使得，连接 ∵为中线 ∴ 在和中 ∴（SAS） ∴ ∵ ∴ ∴ 即 故中线的取值范围为 1．（25-26八年级上·四川内江·期末）【阅读材料】中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法． 【初步探索】 （1）小明遇到这样一个问题：如图1，中，，，点D为的中点，求的取值范围．小明发现“倍长中线法”可以解决这个问题，他的做法是：延长到E，使，连接，则得到，用到的判定定理是：_（用字母表示）；边上的中线的取值范围是_． 【灵活运用】 （2）如图2，以的边为边向外作和，使，，，M是的中点，连接．求证：； 【拓展应用】 （3）如图3，在和，使，，，连接，若M是的中点，连接．试探究线段与的关系，并说明理由． 【答案】（1），；（2）见解析；（3），理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形三边的关系，三角形内角和定理，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）由三角形中线的性质可得，再利用即可证明，从而得解； （2）延长，使得，连接，延长交于，由（1）可得：，得出，，证明，得出，再求出，即可得证； （3）延长至F，使得，连接，延长交于点N ，由（1）可得，得出，再证明，据此求解即可． 【详解】（1）解：延长到点E，使，连接， ∵为边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：，； （2）证明：如图：延长，使得，连接， 由（1）可得：， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （3）解：线段与的关系是：， ， 延长至F，使得，连接， 由（1）可得：， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 延长交于点N， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 即． 2．（23-24八年级下·山西晋中·期中）请阅读下列材料，完成相应的任务． 认识“倍长中线法” 中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常采用倍长中线法添加辅助线．所谓倍长中线法，即延长边上（不一定是底边）的中线，使所延长部分与中线相等，以便构造全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的一种方法． 如图1，在中，是边上的中线，延长到点H．使．连接．在和中，，，，所以，（依据），进一步可得到，等结论． 任务： (1)上述材料中的依据是______； (2)如图2，在中，是边上的中线，E是上一点，延长交于点F，，求证：； (3)如图3，在中，D为边的中点，已知，，，请你直接写出的长． 【答案】(1)或两边及其夹角对应相等的两个三角形全等 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了全等三角形的判定，勾股定理及其逆定理，等腰三角形的性质和判定，掌握倍长中线法构造全等三角形是解题的关键； （1）根据全等三角形的判定方法判断即可； （2）延长到点H，使，连接，根据证明，再根据等腰三角形的性质和判定证明即可； （3）延长至E，使得，连接，根据证明，得，根据勾股定理的逆定理，证明是直角三角形，且，再由勾股定理求解即可； 【详解】（1）上述材料中的依据是：或两边及其夹角对应相等的两个三角形全等， 故答案为：或两边及其夹角对应相等的两个三角形全等； （2）证明：延长到点H，使，连接， ∵是边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）延长至E，使得，连接， 在和中， ， ， ， 是直角三角形，且， ， ； 3．（22-23八年级上·甘肃庆阳·期末）小明遇到这样一个问题，如图1，中，，，点D为的中点，求的取值范围．小明发现老师教过的“倍长中线法”可以解决这个问题，所谓倍长中线法就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法，他的做法是：如图2，延长到点E，使，连接，构造，经过推理和计算使问题得到解决请回答： (1)小明证明用到的判定定理是：________；（用字母表示） (2)请你帮助小明完成取值范围的计算；小明还发现：倍长中线法最重要的一点就是延长中线一倍，完成全等三角形模型的构造．参考小明思考问题的方法，解决问题； (3)如图3，在中，为边上的中线，且平分，求证：． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、三角形三边关系，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据定理解答即可； （2）根据全等三角形的性质得出，再由三角形的三边关系计算即可得出答案； （3）仿照（1）的作法，根据等腰三角形的判定定理证明结论． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴小明证明用到的判定定理是； （2）解：∵， ∴， 在中，， ∴， ∴； （3）证明：如图，延长到点，使，连接， ， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴． 4．（23-24七年级下·辽宁沈阳·阶段检测）请阅读下列材料，完成相应的任务． 【认识“倍长”】中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常采用倍长中线法添加辅助线．所谓倍长中线法，即延长边上（不一定是底边）的中线，使所延长部分与中线相等，以便构造全等三角形、从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的一种方法．如图1，在中，是边上的中线，延长到点．使．连接，易证（依据），进一步可得到等结论． 任务： （1）上述材料中的依据是_____________； （2）如图2，在中，是边上的中线，是上一点，延长交于点，求证：． 【启发拓展】如图3，爱思考的小轩受到启发，把和边的中点和连接起来，得到线段，线段叫做三角形的中位线．下面是小轩的证明方法：延长到点，使，连接易证，得到，即，进而得到，因此可知，最终得到．通过推理，小轩总结得到这样的结论：如果点和点分别为和边中点，那么是的中位线，且．“几何语言”：和分别为和的中点是的中位线． 【旧知新论】 （3）已知和，，，，连接和，点是线段的中点，连接交于点．请直接应用【启发拓展】中的结论，合理猜想与的数量关系？并证明你的结论． 【答案】（1）（2）见解析（3），证明见解析 【分析】（1）根据题意，证明即可得解； （2）延长到点．使．连接，证明．利用等腰三角形的判定和性质证明即可． （3）延长到点．使．连接，构造运用三角形中位线定理，证明 即可． 【详解】（1）∵是边上的中线， ∴． ∵． ∵， ∴， ∴，， ∴． 故答案为：． （2）延长到点．使．连接， ∵是边上的中线， ∴． ∵． ∵， ∴， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （3）．理由如下： 延长到点．使．连接， ∵是的中点， ∴， ∵，， ∴直线是线段的垂直平分线，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形中位线定理的应用，平行线的判定和应用，熟练掌握三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形中位线定理的应用是解题的关键． 5．（24-25七年级下·广东深圳·期末）【阅读理解】中线是三角形中的重要线段之一．在利用中线解决几何问题时，当条件中出现“中点”、“中线”等条件时，可以考虑作辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所要求的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”．如图1，在中，CM为的中线，若，求的取值范围． 倍长中线法：如图2，延长至点D，使得，连结，可证明，由全等得到 ，从而在中，根据三角形三边关系可以确定的范围，进一步即可求得的范围为_； 【实践应用】为了测量学校旗杆和教学楼顶端之间的距离，学习小组设计了如图3所示的测量方案，他们首先取地面的中点D，用测角仪测得此时测得旗杆高度，教学楼高度， 则的长为_m； 【拓展探究】如图4，C为线段上一点，，分别以为斜边向上作等腰和等腰，M为中点， 连结． ① 判断的形状，并证明； ② 若将图4中的等腰绕点C转至图5的位置(A，C，B不在同一条直线上)，连结，M为中点，且D，E在同侧，连结．若 ，，则与的面积之差为_． 【答案】阅读理解：；实践应用：；拓展探究：①为等腰直角三角形，见解析；② 【分析】本题考查三角形中线的性质，三角形的三边关系，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三线合一，垂直平分的判定与性质，平方差公式，正确作出辅助线是解题的关键． 阅读理解：先证明，可得，，代入即可解答； 实践应用：延长交于点F．证明，得出，，再进一步结合三线合一的性质，即可证明结论． 拓展探究：①延长，使得，连接，先证明，继而证明出则可推导出，即可解答； ②延长，使得，连接，先证明，可推导出，过点F作于点N，过点E作于点H，证明，得到， 设，有，， 即， 则，即可解答． 【详解】解：阅读理解： ∵CM为的中线，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， ∴． 故答案为：． 实践应用：如图，延长交于点F， ∵的中点为D， ∴， ∵由题意可得：， 而， ∴， ∴，， ∵，， ∴，是的垂直平分线， ∴． 拓展探究：①延长，使得，连接，如图 ∵等腰和等腰 ∴ ， ∴， ∵点是中点，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴ ∴为等腰直角三角形． ②延长，使得，连接，如图 ∵等腰和等腰， ∴ ， ∴ ， ∵点是中点，， ∴， ∴， ∴， ∴， ． ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 过点F作于点N，过点E作于点H，有 ， ∴， ∴， ∴， ∴， 设， ∵，， ∴，， ∴， 即， ， ， ， ∴， 即． ∴ ． 6．（2024·山西吕梁·一模）阅读与思考 下面是小宇同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务． “倍长中线法”中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”加辅助线． 如图1．在中，平分，且恰好是边的中点．求证：．     证明：如图2，延长至点，使． ∵是边的中点 ∴． ∵，， ∴（依据）． ∴，． ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴． 任务： (1)材料中的“依据”是________．（填选项） A．    B．   C．   D． (2)在中，，，则边上的中线长度的取值范围是________． (3)如图3，在四边形中，，平分，且是的中点，，，求的长． 【答案】(1)A (2) (3)1 【分析】本题主要考查运用“倍长中线法”证明三角形全等，三角形三边关系以及等腰三角形的判定与性质等知识： （1）根据证明过程可得出的依据； （2）运用倍长中线法求出，再根据三角形三边关系求出的取值范围，从而可得结论； （3）延长，交于点N，证明，得，结合角平分线定义得，得出，可求出 【详解】（1）解：根据证明过程可得的依据是， 故选：A； （2）解：如图，延长至点，使．连接, ∵是边的中点 ∴． ∵，， ∴． ∴． 又， ∴即 ∴． （3）解：如图，延长，交于点， ∵，即， ∴ ∵点是的中点， ∴ 又 ∴ ∴ ∵平分 ∴ ∴， ∴ ∴ 题型5 截长补短法 【子变式1】截长法：在较长的线段上截取一段，使其等于已知的较短线段，再证明剩余部分等于另一条线段。 【基本模型】如图，在中，平分。求证：. 在线段上截取，连接. ∵平分 ∴ 在和中， ∴（SAS） ∴ ∵ ∴（等量代换） ∴（等腰三角形的性质：等角对等腰） ∴ ∵ ∴ 【子变式2】补短法：延长较短线段，使其长度等于另一条线段，或将两条短线段拼接为一条长线段。 【基本模型】如图，在正方形中，，求证：. 反向延长线段，在其延长线上截取，连接。 ∵四边形为正方形 ∴ 在和中， ∴（SAS） ∴ ∵ ∴ ∴（等量代换） ∴ 在和中， ∴（SAS） ∴ ∵ ∴. 1．（24-25八年级上·山西阳泉·期末）综合与实践 【方法学习】“截长补短法”是初中数学几何题中常用的辅助线添加方法，也是将复杂几何题化难为易的一种解题思路．“截长补短法”主要通过截取长线段的一部分或延长短线段，以构造出有助于解题的全等三角形或其他几何图形．具体来说，截长是指在一条较长的线段上截取一段，使其长度等于某一条较短的线段；补短则是将一条较短的线段延长，使其长度等于某一条较长的线段，从而解决问题． 【解决问题】 如图①，在中，平分，交于点，且．求证：． 【方法应用】 (1)为了证明结论“”，小亮采用了“截长”的方法，如图②，在上截取，使得，连接，解答了这个问题．请按照小亮的思路将证明过程补充完整． 平分， ， 在和中， ， （_①_）， ，． ， ． 是的一个外角， ， ， _②_，（_③_） ， ． (2)请利用“截长补短”法，解决如下问题：如图③，在四边形中，已知，，，是的高，，．求的长． 【答案】(1)；；等角对等边 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形外角的定义和性质、三角形内角和定理等知识，理解题意，熟练掌握“截长补短法”是解题关键． （1）首先根据角平分线的定义可得，利用“”证明，由全等三角形的性质可得，，结合易得，结合三角形外角的性质即可证明为等腰三角形，然后证明结论； （2）在上截取，连接，利用“”，由全等三角形的性质可得，进而可得，易得，再利用“”证明，易得，即有，然后结合题意求解即可． 【详解】（1）为了证明结论“”，小亮采用了“截长”的方法，如图②，在上截取，使得，连接，解答了这个问题．请按照小亮的思路将证明过程补充完整． 平分， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 是的一个外角， ， ， （等角对等边）， ， ． 故答案为：；；等角对等边； （2）在上截取，连接， 由题意可得，， ， 在和中， ， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ． 2．（25-26八年级上·河北秦皇岛·期末）【方法初探】截长补短法是初中几何题中一种添加辅助线的方法，也是把几何题化难为易的一种策略． 问题：如图1，在中，于点D，若，求证：． 解题思路：我们可以采用“截长补短法”解决该问题，如图2，辅助线做法在上截取，从而证明出结论． （1）请你根据上述解题思路，写出证明过程． 【方法应用】 （2）如图3，已知：等腰直角三角形中，，是的角平分线，交边于点D．求证：． 【实际应用】 （3）如图4，在四边形中，已知，，，，是的高，，，则的长为_____． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）18 【分析】本题考查三角形全等的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握三角形全等的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理是解题的关键， （1）在上截取，连接，利用证得，从而得到，，再由角度之间转换可得，根据等腰三角形的性质可得，即可推出； （2）在上截取，使得，连接，由角平分线的定义可得，易利用证得，从而得到，，再由角度之间转换可得，根据等腰三角形的性质可得，即可推出； （3）在上截取，连接，在中，由三角形内角和可求得，从而易证得，得到，从而可推出，易证，得到，从而可推出的长． 【详解】（1）证明：在上截取，连接， ， ． 在和中， ， ， ，． ， ， ， ． ， ， 即； （2）证明：在上截取，使得，连接，如图所示： 平分， ， 在和中， ， ， ，， ∵等腰直角三角形中，， ， ∴是等腰直角三角形， ， ， ， ； （3）解：在上截取，连接，如图所示： 在中，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 故答案为：． 3．（25-26八年级下·广东梅州·期中）阅读材料 “截长补短法”是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一短边相等，从而解决问题．当题目中有等腰三角形、角平分线等条件，可用“截长补短法”构造全等三角形来进行解题． 【问题解决】 (1)如图①，在中，，，为的角平分线，在上截取，连接．请写出线段，，之间的数量关系并说明理由； 【拓展延伸】 (2)如图②，在中，，，为的角平分线．请判断线段，，之间的数量关系并说明理由； (3)如图③，在中，，，当为的补角的角平分线时，（2）中，，之间存在的数量关系是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出线段，，之间的新数量关系，不必说明理由． 【答案】(1)，理由见详解 (2)，理由见详解 (3)不成立， 【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，三角形的外角公式，“等角对等边”等知识，能够根据题目掌握“截长补短”是解题的关键． （1）根据题意可推出，根据，推得，即可求解； （2）在上截取，连接，证明，同（1）即可求解； （3）在上截取，连接，证明，同理可证明． 【详解】（1）解：，理由如下， ∵为的角平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴，,, ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 故； （2）解：，理由如下， 如图，在上截取，连接， ∵为的角平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴，,， ∵， ∴， ， 则， 故； （3）解：不成立，，理由如下， 如图，在上截取，连接， ∵为的角平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴，,， ∵， ∴， ∴， 则， 故． 4．（25-26八年级上·云南昆明·期末）截长补短源于《九章算术》“以盈补虚”思想，古匠造殿梁长不足，截他木续之，发现截补后两梁端点重合、角线相符，遂悟可证全等．明代木工将此经验总结为“截长补短法”，后经徐光启引入《几何原本》体系，成为证明三角形全等的重要辅助手段，体现了中国传统技艺与西方逻辑推理的融合． 在四边形中，是边的中点． (1)如图①，若平分，，，则的度数是______°； (2)如图②，若平分，，则线段、、的长度满足怎样的数量关系？写出结论并证明； (3)如图③，若，，，求线段长度的最大值． 【答案】(1) (2)，证明见详解 (3) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、等边三角形的判定与性质，以及线段最值问题，熟练运用截长补短法构造全等三角形是解答本题的关键． （1）利用角平分线的定义求出的度数，再结合直角三角形两锐角互余的性质，即可求出的度数； （2）采用截长补短法，在上截取，先通过证明，得到；再结合是中点的条件，通过证明，得到，从而推导出； （3）通过作角构造全等三角形，分别证明和，得到；结合，推出为等边三角形；最后根据两点之间线段最短，当、、、四点共线时，取得最大值，进而求出该最大值． 【详解】（1）解：平分，， ， 又， ； （2）解：，证明如下： 如图，在上取， 平分， ， 在和中， ，， ， ， ， ， 是边的中点， ， 在和中， ， ， ； （3）解：如图，过点作且，过点作且， 则在和中， ， 在和中， ， ，，， 又， ， 是等边三角形， ， ， 的最大值为． 5．（24-25九年级上·湖南邵阳·期末）【问题呈现】小刚在数学兴趣小组活动中遇到一个几何问题：如图1，，均为等边三角形，与交于点M，与交于点N，与交于点P，连接．探究、、之间的数量关系． 【问题分析】小刚通过截长补短法先构造等边三角形，再利用三角形全等，将线段进行转换，进而解决上述问题（注：截长补短法是把几何题化难为易的一种思路，这种方法常用于证明两条短线段之和等于第三条长线段） 【问题解决】如图2，在上取点F，使得，连接，在【问题呈现】的条件下，完成下列问题： (1)求证：； (2)求证：； (3)试探究之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)．理由见解析 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，正确引出辅助线解决问题是解题的关键． （1）利用证明即可； （2）由全等三角形的性质求得，再利用三角形内角和定理即可得到； （3）在上取点F．使得，连接，证明是等边三角形，再推出，得到，据此求解即可． 【详解】（1）证明：∵，均为等边三角形， ∴， ∴，即． 在和中， ∴； （2）证明：由（1）可知， ∴， 又∵， ∴； （3）解：．理由如下： 在上取点F．使得，连接． 由（2）可知， ∴是等边三角形， ∴，， 又∵是等边三角形， ∴，， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 6．（25-26八年级上·江苏苏州·月考）小刚在数学兴趣小组活动中，通过小组合作解决了一个几何问题：如图①，等腰中，．点D是上一动点，点E、P分别在延长线上，且，． (1)问题思考在图①中，求证：； (2)问题再探若，如图②，探究线段、、之间的数量关系，并证明． 小刚发现：用截长补短法先构造等边三角形，再利用三角形全等，将线段进行转换，进而可以解决上述问题 （注：截长补短法是把几何题化难为易的一种思路，这种方法常用于证明两条短线段之和等于第三条长线段．） (3)问题拓展，若，且平分，如图③，请直接写出的值为______． 【答案】(1)证明见解析； (2)，证明见解析； (3)． 【分析】(1) 先证明，再利用全等三角形的性质即可解决问题； (2) 在线段上取点F，使得，再证明，推出，，可得结论； (3) 在线段上取点H，使得，先求出，再证明可得，再求出可得答案． 【详解】（1）解：，证明如下： ，, ， 在与中， ， ， ，, ，， ， ，， ； （2）如图所示，在线段上取点F，使得， ， ， ， ， ， ， ， 在与中， ， ， ，，， ； （3）如图所示：在线段上取点H，使得，即， ，且平分， ，， 又，， ， 在与中， ， ， ， ， ， ，， ，即：， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． / 学科网（北京）股份有限公司 $学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 微专题02构造等腰三角形的方法 作平行线 作垂直 构造等腰三角形的方法 利用模型补全图形 倍长中线法 截长补短法 流点量戒 题型1作平行线 啸方法 作平行线：通过构造平行线转移角度或长度，形成全等三角形，适用于等腰三角形或线段和差问题。 1.原理：平行线导致同位角、内错角相等，结合已知边角条件构造全等。 2.步骤： (1)过某点作已知边的平行线，交另一条边于新点。 (2)利用平行线性质转移角或边的关系。 (3)结合截长补短或等量代换证明全等。 3.基本模型 如图，已知在△ABC中，AB=AC,D为线段AB上一点，延长AC,在延长线上取一点F,使得 CF=BD,连接D,F,交BC于点E,求证DE=FE. 1125 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D B E 过点D作DG川AF,交BC于点G,则 C B G DGII AF :∠DGB=∠ACB,∠CFE=∠GDE AB=AC .∠ABC=∠ACB ·.∠DGB=∠DBG .DB=DG ·CF=BD .DG=FC ∠FEC=∠DEG ∠CFE=∠GDE 在△CFE和△GDE中， CF=GD .△CFE≌△GDE(AAS) 2/25 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴FE=DE 1.(24-25八年级上·福建龙岩期中)已知，如图在等边△ABC中，点D为AB边上一点，点E为BC边上 一点，连接DE并延长DE交AC延长线于点F,DE=FE,过点E作EG⊥BC交AC于点G. D (I)求证：BD=CF: (2)当DF⊥AB时，试判断以D、E、G为顶点的三角形的形状，并说明理由； 2.(23-24八年级上·黑龙江哈尔滨期中)在△ABC中，AB=AC,点E在BC上，点H在AC上，连接 AE和BH交于点F,∠ABH=∠CAE R E 图1 图2 图3 (I)如图1，求证：∠AFB=2∠ACB: (2)如图2，连接FC,若FC平分∠EFH,求证：AH=CH: (3)如图3，在(2)的条件下，点D在BH的延长线上，连接CD,∠ACD+3∠EFC=180°时，若 AE+DF=14,BH+AF=16,求HF的长. 3.(23-24八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中)如图，在等边△ABC中，点E为边AB上任意一点，点D在 边CB的延长线上，且ED=EC. D B 图1 B 图2 (I)当点E为AB的中点时（如图1），则有AEDB(填“>”“<”或“=”)； 3/25 而学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)猜想如图2，AE与DB的数量关系，并证明你的猜想， 4.(2022山东济南二模)如图1，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,点D在边AC上，CD⊥DE,且 CD=DE,连接BE,取BE的中点F,连接DF. B 图1 图2 图3 (I)请直接写出∠ADF的度数及线段AD与DF的数量关系： (2)将图1中的△CDE绕点C按逆时针旋转， ①如图2，(1)中∠ADF的度数及线段AD与DF的数量关系是否仍然成立？请说明理由： ②如图3，连接AF,若AC=3,CD=1,求S△ADF的取值范围 5.(21-22九年级上辽宁大连期中)如图，△ABC中，点D,E在边AB上，点F在边BC上，且AD= AC,EF=EC,∠CEF=∠A,连接DF. (1)在图1中找出与∠ACE相等的角，并证明： (2)求证：∠BDF=∠EFC; DG (3)如图2，延长FD,CA交于点G,连接EG,若EG=AG,DE=kME,求DF的值（用含k的代数 式表示). G E D C B (图1) (图2) 6.(2026黑龙江哈尔滨·一模)定义：两个三角形有一组公共边，并且面积相等，这两个三角形称为共底 等积三角形. 4/25 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 M ·P。 ● ● D 图1 图2 (I)如图1，BC是△ABC和△BCD的公共边，连接AD交BC于点E,AE=DE.求证：△ABC与 △BCD是共底等积三角形： (②)如图2，方格纸中每个小正方形的边长为1个单位长度，每个小正方形的顶点叫格点，点M、N、 P在格点上，点P为△MNP的共底等积三角形的顶点，若点在格点上，且点O不与点M、N、P重 合，请直接写出所有满足要求的线段N№的长. 题型2作垂直 城方法 作垂线：利用垂直关系构造直角三角形，通过角平分线性质证明全等 1.原理：角平分线上的点到两边距离相等；垂直线段可形成全等的直角三角形。 2.步骤： (1)从角平分线上的点向两边作垂线，形成相等距离。 (2)结合己知边角条件，利用SAS证明两个直角三角形全等。 3.基本模型 如图，已知OC平分∠AOB，,为点D射线OC上一点，过点D作DE1OA,垂足为E, DE=3,OF=3,求SaoF 5/25 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E D B 过点D分别作DG⊥OB,垂足为G A E D G B .OC平分∠AOB,DE⊥OA,DG⊥OB ·.DE=DG=3 w-OFDGOFDE33 2 L.(24-25八年级下辽宁铁岭月考)如图，在△ABC中，AB=4,∠ABC=60°，以AC为边，在△ABC 外作等边△ACD,作DE⊥BC,交BC的延长线于点E,连接BD,若BE=7,则BD的长为一 D A B 2.(23-24八年级上陕西西安月考)如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=4,AC=6,点D为AC中 6/25 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 点，点P为AB上的动点，将点P绕点D逆时针旋转90°得到点，连接C,当线段CQ的最小时，则 DP= P D 3.(22-23八年级上湖北武汉期中)定义：三角形一个内角的平分线所在的直线与另一个内角相邻的外 角的平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角. B 图1 图2 (I)如图1所示，∠E是△ABC中∠A的遥望角，直接写出∠E与∠A的数量关系」 (2)如图1所示，连接AE,猜想∠BAE与∠CAE的数量关系，并说明理由： (3)如图2，四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，点E在BD的延长线上，连CE,若已知 DE=DC=AD,求证：∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角. 4.(2526七年级上山东泰安期末)如图，在平面直角坐标系中，M(B3),4为'轴正半箱上一点，连 接MA,作MB⊥MA交x轴正半轴于点B,求OA+OB M(3,3) A 0 B末 5.(24-25八年级下·上海黄浦期末)如图，已知梯形ABCD,AD∥BC,∠C=45°，点E、F分别是边 BC和CD上的动点（点E不与点B重合，点F不与点D重合），且∠BAF=90°，AE=AF=AB,联 7/25 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 结EF. (I)若DF=2,则点F到AD的距离是 (2)判断△CEF的形状并加以证明； (3)若EF=4,设DF=x,AB=y,求y关于x的函数解析式，并写出定义域， 6.(22-23八年级上山西晋中期末)如图，直线：y=2+2和直线，与x轴分别相交于A,B两点，且两 D(0,-4),OA=2OB 直线相交于点C,直线与y轴相交于点 B D 备用图 (1)求点A的坐标及直线的函数表达式： (2)求△ABC的面积： (3)试探究在x轴上是否存在点P,使得∠BDP=45°，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请 说明理由. 题型3利用模型补全图形 8/25 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 煤方法 补全图形法：当题目中存在公共边或对称点时，通过连接已知点构造公共边或对称轴，形成全等三角 形。或者利用几何模型通过添加辅助线帮助证明。 1.原理：利用公共边或对称性，通过SSS、SAS等判定条件证明全等。 2.步骤： (1)观察图形中是否存在未连接的已知点（如对称点或线段端点）； (2)连接这些点形成公共边或对称线段： (3)利用已知条件（如边相等、角相等）证明全等。 3.基本模型 如图，己知在四边形ABCD中，AB=AD,BC=DC,求证：∠B=∠D 如图，连接AC,则 B AB=AD BC=DC 在△ABC与△ADC中， AC=AC △ABC≌△ADC(SSS) ∠B=∠D 9/25 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 L.(24-25八年级上·湖北黄石期未)如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AC为边，作△ACD,满足 AD=AC,E为BC上一点，连接AE,∠CAD=2∠BAE,连接DE,下列结论中：①∠ADE=∠ACB: ②∠AEB=∠AED;③AC⊥DE:④DE=CE+2BE.其中正确的有() D E A.①②③ B.②③④ C.①②④ D.①③④ 2.(25-26九年级上四川广元期末) 【初步感知】 (I)如图I,△ABC和aCDE均为等边三角形，△CDE绕点C逆时针旋转，连接AD、BE相交于点 F.求证：AD=BE 【深入探究】 (2)如图2，连接CF,试探究AF、BF、CF三条线段之间的数量关系，并说明理由： 【拓展应用】 (3)如图3，在△ABC中，以AC为边在△ABC外部作△ACD,且AD=AC,∠DAC=2∠ABC,连接 BD,过点A作AH LBC于H,若=，BC=4,求D 图1 图2 图3 3.(21-22八年级上·四川南充期末)(1)阅读理解：问题：如图1，在四边形ABCD中，对角线BD平 分∠ABC,∠A+∠C=180°.求证：DA=DC 思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题 方法1：在BC上截取BM=BA,连接DM,得到全等三角形，进而解决问题： 方法2：延长BA到点N,使得BN=BC,连接DN,得到全等三角形，进而解决问题. 结合图1，在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明. 10/25 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)问题解决：如图2，在(1)的条件下，连接AC,当∠DAC=60°时，探究线段AB,BC,BD 之间的数量关系，并说明理由： (3)问题拓展：如图3，在四边形ABCD中，∠A+∠C=180°，DA=DC,过点D作DE⊥BC,垂足 为点E,请写出线段AB、CE、BC之间的数量关系. B D D E 图1 图2 图3 4.(21-22八年级上江苏苏州期中)如图，△ABC中，AC=BC,∠ACB=90°，AD平分∠BAC交BC于 点D,过点B作BE⊥AD,交AD延长线于点E,F为AB的中点，连接CF,交AD于点G,连接BG. (I)线段BE与线段AD有何数量关系？并说明理由： (2)判断△BEG的形状，并说明理由. E D G F 5.(25-26八年级上河南洛阳期末)(1)问题发现：如图①，点D为等边△ABC边BC上一动点，以 AD为边作等边△ADE,连接CE.猜想BD与CE的数量关系为，∠ACE=_ (2)类比探究：△ABC与△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°.如图②，若点D为线段 BC上一动点，试判断BD、DC、DE存在什么数量关系，并说明理由. (3)拓展延伸：在(2)的基础上，若点D为线段BC延长线上一动点，如图③，当BC=4,DC=8, 请你直接写出四边形ACDE的面积. B D B ③ 11/25 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 6.(25-26八年级上·浙江杭州期末)综合与实践 【问题背景】 (1)如图1，在△ABC和△DBC中，∠BAC=∠BDC=90°，点O为BC边的中点，连结A0,D0, AD.求证：△AOD为等腰三角形. 【特例研究】 (2)在(1)的条件下，若DB=DC,求证：AD平分∠BAC. 【拓展延伸】 (3)如图2，在△ABC中，∠ABC=90°，点D在AC边上，BC=BD,EB⊥BD,EB=AB,点M, N分别为线段ED,AB的中点，连结AE,MN.若CD=6,AE=8,求线段MN的长. B 图1 图2 题型4倍长中线法 啸方法 倍长中线法：“倍长中线”是指加倍延长中线，使所延长部分与中线相等，然后连接相应的顶点，则对 应角对应边都对应相等。这一方法常用于构造全等三角形。倍长中线法多用于构造全等三角形，从而证 明边与边之间的关系（通常用“SAS”证明） 【基本模型】如图，在△ABC中，AC=5,BC=3,求中线CD的取值范围。 延长CD至点E,使得DE=CD,连接BC 12/25 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AD为中线 .AD=BD 在△ADC和△BDE中 DC=DE ∠ADC=∠BDE AD=BD .△ADC≌△BDE(SAS) .AC=BE .BE-BC<CE<BE+BC AC-BC<2CD<AC+BC .5-3<2CD<5+3 即1<CD<4 故中线CD的取值范围为l<CD<4 1.(25-26八年级上·四川内江·期末)【阅读材料】中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几 何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线.所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍， 以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法. 【初步探索】 (I)小明遇到这样一个问题：如图1，△ABC中，AB=6,AC=4,点D为BC的中点，求AD的取 值范围.小明发现“倍长中线法”可以解决这个问题，他的做法是：延长AD到E,使DE=AD,连接 BE,则得到△ADC≌△EDB,用到的判定定理是：一（用字母表示）；BC边上的中线AD的取值范围 是 【灵活运用】 (2)如图2，以△ABC的边AB、AC为边向外作△ABE和△ACD,使AB=AE,AC=AD, 13/25 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠BAE=∠CAD=90°，M是BC的中点，连接AM、DE.求证：DE=2AM: 【拓展应用】 (3)如图3，在△ABE和△ADC,使AB=AE,AC=AD,∠BAE=∠DAC=90°，连接BC,DE,若 M是DE的中点，连接AM.试探究线段BC与AM的关系，并说明理由. B M D 图1 图2 图3 2.(23-24八年级下山西晋中期中)请阅读下列材料，完成相应的任务 认识“倍长中线法” 中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常采用倍长中线法添加 辅助线，所谓倍长中线法，即延长边上（不一定是底边）的中线，使所延长部分与中线 相等，以便构造全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的一种方法. 如图1，在△ABC中，AD是BC边上的中线，延长AD到点H.使DH=AD.连接BH .在△ADC和△HDB中，AD=HD,∠ADC=∠HDB,CD=BD,所以， △ADC≌aHDB(依据)，进一步可得到AC=BH,AC∥BH等结论. 图 图2 图3 任务： (I)上述材料中△ADC≌aHDB的依据是 (2)如图2，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，延长BE交AC于点F,AF=EF, 求证：AC=BE: (3)如图3，在△ABC中，D为边BC的中点，己知AB=5,AC=3,AD=2，,请你直接写出BC的长. 3.(22-23八年级上甘肃庆阳期末)小明遇到这样一个问题，如图1，△ABC中，AB=7,AC=5,点 D为BC的中点，求AD的取值范围.小明发现老师教过的“倍长中线法”可以解决这个问题，所谓倍 长中线法就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来 14/25 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解决问题的方法，他的做法是：如图2，延长AD到点E,使DE=AD,连接BE,构造 △BED≌△CAD,经过推理和计算使问题得到解决请回答： B H 图1 图2 图3 (I)小明证明△BED≌△CAD用到的判定定理是： ；(用字母表示) (2)请你帮助小明完成AD取值范围的计算；小明还发现：倍长中线法最重要的一点就是延长中线一倍， 完成全等三角形模型的构造.参考小明思考问题的方法，解决问题： (3)如图3，在△ABC中，AD为BC边上的中线，且AD平分∠BAC,求证：AB=AC. 4.(23-24七年级下辽宁沈阳·阶段检测)请阅读下列材料，完成相应的任务 【认识“倍长”】中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常采用倍长中线法 添加辅助线.所谓倍长中线法，即延长边上（不一定是底边）的中线，使所延长部分与中线相等，以 便构造全等三角形、从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的一种方法.如图1，在△ABC中， AD是BC边上的中线，延长AD到点H,使DH=AD.连接BH,易证△ADC≌HDB(依据)，进 一步可得到AC=BHAC∥BH等结论， H 图1 图2 图3 图4 任务： (1)上述材料中△ADC≌△HDB的依据是 (2)如图2，在△ABC中，AD是BC边上的中线，O是AD上一点，延长BO交AC于点E,AE=OE」 求证：AC=BO 【启发拓展】如图3，爱思考的小轩受到启发，把BC和AC边的中点D和E连接起来，得到线段DE, 线段DE叫做三角形的中位线.下面是小轩的证明方法：延长ED到点F，使DF=ED,连接 BF,CF,BE,易证△EDC≌△FDB,得到BF‖EC,BF=EC,即BFI‖AE,BF=AE,进而得到 15/25 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AMBE≌AFEB,因此可知EF三4B,EFAB,最终得到ED=2AB,ED‖AB.通过推理，小轩总结得到 这样的结论：如果点D和点E分别为BC和AC边中点，那么DE是△ABC的中位线，且 ED=号4，EDI4B,“几何语言”：D和E分别为BC和AC的巾点：DE是AABC的中位线 D-号4级ED1B 【旧知新论】 (3)已知△ABC和△DCE,∠BAC=∠DCE=90°，AB=AC,DC=DE,连接BD和BE,点P是线 段BE的中点，连接AP交BD于点Q.请直接应用【启发拓展】中的结论，合理猜想AP与BD的数量关 系？并证明你的结论 5.(2425七年级下广东深圳期末)【阅读理解】中线是三角形中的重要线段之一.在利用中线解决几 何问题时，当条件中出现“中点”、“中线”等条件时，可以考虑作辅助线，即把中线延长一倍，通 过构造全等三角形，把分散的己知条件和所要求的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形 的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法称为“倍长中线法”.如图1，在△ABC中，CM为 △ABC的中线，若AC=3,BC=5,求CM的取值范围. 倍长中线法：如图2，延长CM至点D,使得MD=CM,连结BD,可证明△ACM≌△BDM,由全等 得到BD=AC=3，,从而在△BCD中，根据三角形三边关系可以确定CD的范围，进一步即可求得 CM的范围为-； 【实践应用】为了测量学校旗杆AB和教学楼CE顶端之间的距离，学习小组设计了如图3所示的测量 方案，他们首先取地面BC的中点D,用测角仪测得此时∠ADE=90°，AB⊥BC,CE⊥BC,测得旗杆高 度AB=10m,教学楼高度CE=20m,则AE的长为_m: 【拓展探究】如图4，C为线段AB上一点，AC>BC,分别以AC、BC为斜边向上作等腰Rt△ACD和 等腰RiACBE,M为AB中点，连结DM,EM,DE. ①判断△DME的形状，并证明： ②若将图4中的等腰RiACBE绕点C转至图5的位置(A,C,B不在同一条直线上)，连结AB,M为 MB中点，且D,E在AB同侧，连结DM,EM·若AD- 3,EB=1,则△DAM与△EBM的面积之 差为 16/25 丽学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 E 教 B 旗杆 楼 B D 图1 图2 图3 D D M 图4 图5 6.(2024山西吕梁一模)阅读与思考 下面是小宇同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务. “倍长中线法”中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采 用“倍长中线法”加辅助线. 如图1.在△ABC中，AD平分∠BAC,且D恰好是边BC的中点.求证：AB=AC. B C D B M D 图1 图2 图3 证明：如图2，延长AD至点E,使DE=AD ,D是边BC的中点 .BD=CD ∠ADB=∠EDC,DE=AD, .△ABD≌△ECD(依据). , ∠BAD=∠E. 17/25 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :AD平分∠BAC, ∴.∠BAD=∠CAD, .∠CAD=∠E, .AC=CE, .AB=AC. 任务： (1)材料中的“依据”是 (填选项) A.SAS B.ASA C.AAS D.SSS (2)在△ABC中，AB=6cm,AC=4cm,则BC边上的中线AD长度的取值范围是 (3)如图3，在四边形ABCD中，AB∥CD,AM平分∠BAD,且M是BC的中点，AB=2,AD=3, 求DC的长. 题型5截长补短法 城方法 【子变式1】截长法：在较长的线段上截取一段，使其等于已知的较短线段，再证明剩余部分等于另一 条线段。 【基本模型】如图，在△ABC中，∠C=2∠B,AD平分∠BAC。求证：AC+CD=AB B D 在线段AB上截取AE=AC,连接DE, 18/25 丽学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A :AD平分∠BAC ∠EAD=∠CAD 在△AED和△ACD中， AD=AD ∠EAD=∠CAD AE=AC △AED≌△ACD(SAS) :.∠AED=∠ACD,ED=CD ∠AED=∠B+∠EDB,∠ACD=2∠B ∴∠EBD=∠EDB(等量代换) “.BE=DE(等腰三角形的性质：等角对等腰) ,BE CD AB=AE+BE :AB=AC+CD 【子变式2】补短法：延长较短线段，使其长度等于另一条线段，或将两条短线段拼接为一条长线段。 【基本模型】如图，在正方形ABCD中，∠EAF=45°，求证：EF=DF+BE 19/25 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D B E 反向延长线段BC,在其延长线上截取BG=DF,连接AG。 :四边形ABCD为正方形ABCD :AD=AB,∠ABG=∠ADF=∠BAD=90 在△ABG和△ADF中， AB=AD ∠ABG=∠ADF BG=DF .△ABG≌△ADF(SAS) :∠GAB=∠FAD,AG=AF ∠EAF=45° .∠BAE+∠FAD=450 ∠GAB+∠BAE=∠GAE=45°（等量代换） .∠GAE=∠FAE=45° 在△AEG和△AEF中， 20/25 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AE=AE ∠EAG=∠AEAF AG=AF .△AEG≌△AEF(SAS) .GE=EF ..GE =GB+BE=DF+BE .EF=DF+BE 1.(24-25八年级上山西阳泉期末)综合与实践 【方法学习】“截长补短法”是初中数学几何题中常用的辅助线添加方法，也是将复杂几何题化难为 易的一种解题思路.“截长补短法”主要通过截取长线段的一部分或延长短线段，以构造出有助于解 题的全等三角形或其他几何图形.具体来说，截长是指在一条较长的线段上截取一段，使其长度等于 某一条较短的线段：补短则是将一条较短的线段延长，使其长度等于某一条较长的线段，从而解决问 题. 【解决问题】 如图①，在△ABC中，AD平分∠BAC,交BC于点D,且∠B=2∠C.求证：AB+BD=AC D B D 图① 图② 图③ 【方法应用】 (I)为了证明结论“AB+BD=AC”,小亮采用了“截长”的方法，如图②，在AC上截取AE,使得 AE=AB,连接DE,解答了这个问题.请按照小亮的思路将证明过程补充完整. :AD平分∠BAC, ∠BAD=∠DAC, 在△ABD和△AED中， AB=AE,∠BAD=∠DAC,AD=AD △ABD≌△AED(_①_)， ∠B=∠AED,BD=DE. ∠B=2∠C, 21/25 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠AED=2∠C :∠AED是△DEC的一个外角， .∠AED=∠C+∠EDC, ∠EDC=∠C, ②，（③_） .BD=CE ∴.AB+BD=AE+EC=AC (2)请利用“截长补短”法，解决如下问题：如图③，在四边形ABCD中，已知∠BAD=60°， ∠D=1I0,∠ACD=40°，∠ACB=80°，CE是△ABC的高，AD=8,EB=2.求AB的长. 2.(25-26八年级上·河北秦皇岛期末)【方法初探】截长补短法是初中几何题中一种添加辅助线的方法， 也是把几何题化难为易的一种策略. 问题：如图1，在△ABC中，AD L BC于点D,若CD=DB+AB,求证：∠B=2LC, 解题思路：我们可以采用“截长补短法”解决该问题，如图2，辅助线做法在CD上截取DE=DB,从 而证明出结论， (1)请你根据上述解题思路，写出证明过程. 【方法应用】 (2)如图3，己知：等腰直角三角形ABC中，∠B=90°，AD是△ABC的角平分线，交BC边于点 D.求证：AC=AB+BD 【实际应用】 (3)如图4，在四边形ABCD中，已知∠BAD=50°，∠D=110°，∠ACD=45°，∠BCA=85°，CE是 △ABC的高，AD=12,EB=3,则AB的长为 D B D E 图1 图2 图3 图4 3.(25-26八年级下·广东梅州期中)阅读材料 “截长补短法”是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法.截长就是在长边上截取一条线段与某一 短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一短边相等，从而解决问题.当题目中有等腰 三角形、角平分线等条件，可用“截长补短法”构造全等三角形来进行解题， 22/25 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E B B D D 图① 图② 图③ 【问题解决】 (I)如图①，在△ABC中，∠ACB=2∠B,∠C=90°，AD为∠BAC的角平分线，在AB上截取 AE=AC,连接DE.请写出线段AB,AC,CD之间的数量关系并说明理由： 【拓展延伸】 (2)如图②，在△ABC中，∠ACB=2∠B,∠C≠90°，AD为∠BAC的角平分线.请判断线段AB,AC CD之间的数量关系并说明理由： (3)如图③，在△ABC中，∠ACB=2∠B,∠ACB≠90°，当AD为∠BAC的补角的角平分线时，(2) 中AB,AC,CD之间存在的数量关系是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出线段 AB,AC,CD之间的新数量关系，不必说明理由. 4.(25-26八年级上·云南昆明期末)截长补短源于《九章算术》“以盈补虚”思想，古匠造殿梁长不足， 截他木续之，发现截补后两梁端点重合、角线相符，遂悟可证全等.明代木工将此经验总结为“截长 补短法”，后经徐光启引入《几何原本》体系，成为证明三角形全等的重要辅助手段，体现了中国传 统技艺与西方逻辑推理的融合. 在四边形ABCD中，E是AD边的中点. E 图① 图② 图③ (I)如图①，若BE平分∠ABC,∠ABC=120°，∠BEC=90°，则∠BCE的度数是； (2)如图②，若BE平分∠ABC,∠BEA+∠CED=90°，则线段BC、AB、CD的长度满足怎样的数量 关系？写出结论并证明： (3)如图③，若∠BEA+∠CED=60°，AD=CD=12,AB=7,求线段BC长度的最大值. 5.(2425九年级上·湖南邵阳期末)【问题呈现】小刚在数学兴趣小组活动中遇到一个几何问题：如图 l,△ABC,△ECD均为等边三角形，AC与BE交于点M,AD与CE交于点N,AD与BE交于点P, 23/25 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 连接CP.探究AP、CP、BP之间的数量关系. 【问题分析】小刚通过截长补短法先构造等边三角形，再利用三角形全等，将线段进行转换，进而解 决上述问题（注：截长补短法是把几何题化难为易的一种思路，这种方法常用于证明两条短线段之和 等于第三条长线段) 【问题解决】如图2，在BP上取点F,使得PF=AP,连接AF,在【问题呈现】的条件下，完成下列 问题： M 图1 图2 (I)求证：△BCE≌△ACD: (2)求证：∠APM=60°： (3)试探究AP,CP,BP之间的数量关系，并说明理由， 6.(25-26八年级上江苏苏州：月考)小刚在数学兴趣小组活动中，通过小组合作解决了一个几何问题： 如图①，等腰△ABC中，AB=AC.点D是AC上一动点，点E、P分别在BD延长线上，且AB=AE, CP=EP 图① 图② 图③ (I)问题思考在图①中，求证：∠BPC=∠BAC: (2)问题再探若∠BAC=60°，如图②，探究线段AP、BP、EP之间的数量关系，并证明. 小刚发现：用截长补短法先构造等边三角形，再利用三角形全等，将线段进行转换，进而可以解决上 述问题 (注：截长补短法是把几何题化难为易的一种思路，这种方法常用于证明两条短线段之和等于第三条 长线段.) 24/25 而学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 EP (③)间题拓展，若∠BAC=90°，且BD平分∠ABC,如图③，请直接写出BD的值为 25/25