微专题03 三角形内的动点问题（专项训练）数学新教材鲁教版五四制七年级下册

**基本信息** 聚焦三角形动点问题，分存在性、求值、定值三类题型，提炼分类讨论、方程思想等方法，构建“概念-方法-应用”递进逻辑链，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |特殊三角形存在性|6题|分类讨论（按腰/直角顶点）、方程建立（勾股定理）、范围验证|从等腰/直角三角形定义出发，通过几何性质转化为代数方程求解| |动点求值|6题|用t表线段、几何性质建方程、代入计算|结合运动过程，将动态问题静态化，培养模型意识| |定值问题|6题|寻找不变量、几何定理证明、特殊值验证|通过不变量（如等边三角形内角）推导恒定关系，发展逻辑推理能力|

微专题03 三角形内的动点问题 题型1 特殊三角形存在性问题 存在性问题：判断或求解动点位置使特定条件成立 定义：动点运动过程中，是否存在某一位置，使得形成的图形（如等腰三角形、直角三角形、全等三角形）满足题目给定的条件。 常见场景： 1. 等腰三角形存在性：动点运动过程中，是否存在点P，使得△PBC为等腰三角形（如PA＝PB、PA＝AB、PB＝AB）； 2. 直角三角形存在性：动点运动过程中，是否存在点P，使得△PBC为直角三角形（如∠P＝90°、∠B＝90°、∠C＝90°）； 3. 全等三角形存在性：两个动点运动过程中，是否存在某一时刻，使得两个三角形全等（如对应边相等、对应角相等）。 解题方法： 1. 分类讨论：根据等腰三角形的“腰”或直角三角形的“直角顶点”进行分类（如等腰三角形的三种情况：PA＝PB、PA＝AB、PB＝AB）； 2. 建立方程：利用勾股定理、全等三角形的性质建立方程，求解动点的位置（如时间t）； 3. 验证合理性：检查解是否在动点的运动范围内（如t≥0且不超过边的长度除以速度）。 1．（25-26八年级上·山西晋中·期中）综合实践： 【项目背景】小明在手工课上制作了一个长方形纸片，并将其放置在平面直角坐标系中进行研究．如图，将纸片的长边、短边分别落在轴、轴的正半轴上，连接，并将沿着对角线翻折，点落在点处，发现折叠后与轴交于点．已知纸片的尺寸为：，． 【项目任务】请你作为“数学探索小组成员”，帮助小明完成以下三项挑战． (1)挑战一：定位点坐标 任务：直接写出各点坐标（___________，___________）、（___________，___________）、（___________，___________） (2)挑战二：定位线位置 任务：请你从以下两个任务中任选一个进行探究 ①试确定纸片折痕所在直线的函数关系式； ②请你探究求出折叠后与轴的交点的坐标； (3)挑战三：动点的存在性探究 任务：请你从以下两个任务中任选一个进行深入探究 ①若点是折线上一动点，是否存在点，使得的面积是9，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，说明理由． ②若点是线段上一动点，是否存在点，使得是等腰三角形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)、、； (2)①；② (3)①存在点，使得的面积是9，的坐标为或； ②存在点，使得是等腰三角形，的坐标为或或； 【分析】（1）由纸片的长边、短边分别落在轴、轴的正半轴上，，，可得答案； （2）①先求出、的坐标，然后用待定系数法求解即可； ②先证明；设，则，在直角中，，则，求出得到的长即可求解； （3）①分别根据三角形的面积公式和割补法，判断点在和上满足条件的位置即可； ②分、、三种情况，根据等腰三角形的性质判断点位置即可． 【详解】（1）解：因为纸片的长边、短边分别落在轴、轴的正半轴上，，， 所以各点坐标为、、； （2）①设直线解析式为， ∴，解得：， ∴所在直线的函数关系式为； ②∵长方形中，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设，则， 在直角中，， 则， 解得：； 则， 则； （3）①存在； 点在上时，的高是3，面积是9，底是线段的长度； 设：的坐标为 则即 解得 则的坐标为； 点在上时， 设：的坐标为 ， 解得， 则的坐标为； 所以的坐标为或； ②当时，为等腰三角形，此时的坐标为； 当时，为等腰三角形，点在的垂直平分线上，，此时的坐标为； 当时，为等腰三角形，点在的垂直平分线上，，为中点，，，，， 作 设， 在中， 解得 此时的坐标为 所以存在点，使得是等腰三角形，的坐标为、、 【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式，三角形面积，坐标与图形，勾股定理与折叠，等腰三角形的性质与判定，平行线的性质等等，解题的关键在于熟练掌握相关知识进行求解． 2．（25-26八年级上·重庆黔江·期末）如图，的顶点，，所对的边分别为，，． (1)若，试说明是直角三角形； (2)在（1）的条件下，边所在的直线上是否存在一点，使得是等腰三角形？若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)存在，5或8或18或 【分析】本题考查了非负数的性质，勾股定理及其逆定理，等腰三角形的性质等知识点． （1）先根据非负数性质求解，再由勾股定理逆定理求解即可； （2）分三种情况讨论，根据等腰三角形的性质以及勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）解：， ∴ ，， ， ∴， ∴ 是直角三角形 （2）解：存在， ①时，以为圆心，长为半径画弧，交直线于点， ∵ ∴； ②时，以为圆心，长为半径画弧，交直线于点、， ∴；； ③时，作的垂直平分线交直线于点，设，则 ∵， ∴， ∴ 解得，即 综上：的值为5或8或18或． 3．（25-26七年级上·山东济南·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、，点在轴的负半轴上，若将沿直线折叠，点恰好落在轴正半轴上的点处． (1)点的坐标是______，点的坐标是______，的长为______； (2)求点的坐标； (3)在第一象限内是否存在点，使为等腰直角三角形，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；；5 (2) (3)存在，点的坐标为或或． 【分析】（1）直接利用直线求得点和点的坐标，则可得到、的长，然后依据勾股定理可求得的长； （2）由折叠的性质可得到，，利用可得的坐标，然后依据勾股定理即可求解； （3）分三种情况：①若 ；②若；③若；分别利用全等三角形的判定及性质求解即可. 【详解】（1）解：令得 ∴； ， 令得 解得 ∴， ， 在中，， 故答案为：，，5； （2）解：由折叠的性质可知，， ， 设，则， 在中，，则， 解得：， ， ； （3）解：存在，理由如下： ①若， 如图，过点作轴交轴于点， ， ， ， ， ， ∴，， ， ∴此时点的坐标为； ②若， 如图，过点作轴交轴点， 同理可得，此时点的坐标为； ③若， 如图，过点作轴交轴于点，作轴交轴于点， ， ， ， ， ， ， 设点的坐标为， ， 解得：， ∴此时点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或或． 【点睛】本题主要考查的是一次函数的综合应用，解答本题主要应用了翻折的性质、勾股定理、待定系数法求函数解析式，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，解答时求三角形全等是解题的关键． 4．（25-26八年级上·湖南长沙·月考）如图，在平面直角坐标系中，已知点，动点P从原点开始沿着x轴负半轴运动，运动的过程中始终以线段为一边，在其下方作等边三角形．当点P在原点O处时，记Q的位置为B． (1)①求点B的坐标；②当时，求的度数； (2)求证：当点P在x轴负半轴运动时（P不与O重合），始终等于； (3)是否存在点P，使得是直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)①；② (2)见解析 (3)存在；点P的坐标为或 【分析】（1）①过点B作轴，根据为等边三角形求出点B的坐标即可； ②根据勾股定理求出，得出，根据等腰三角形的性质求出； （2）根据等边三角形的性质得出，，，证明，得出即可； （3）根据，得出，，说明点Q在过点B垂直于的直线上，求出，得出当为直角三角形时，只能或，然后分两种情况，根据勾股定理求出结果即可． 【详解】（1）解：①过点B作轴于点C，如图所示：    ∵，为等边三角形， ∴，， ∴， 故． ②∵，，， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵和为等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：存在； 根据解析（2）可得：， ∴，， ∴点Q在过点B垂直于的直线上， ∵在等边中，， ∴， ∴当为直角三角形时，只能或， 当时，∵， ∴， ∴， ∴， ∴此时点P的坐标为； 当时，∵， ∴， 根据勾股定理得：， 即， 解得：，负值舍去， ∴此时点P的坐标为； 综上，点P的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形，勾股定理，三角形全等的判定和性质，直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． 5．（2025八年级·全国·竞赛）如图，在直角坐标系中，点，，，，且a、b满足． (1)直接写出A、B、C、D四点的坐标； (2)当时，求证：； (3)当时，在坐标轴上是否存在点M，使得是等腰三角形，若存在，请求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)见解析； (3)存在；或或或或或． 【分析】本题考查了直角坐标系下点的坐标，完全平方公式，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理解三角形．需熟练掌握全等三角形的判定定理，对于等腰三角形中的腰进行分类讨论是解决本题的关键． （1）将整理为完全平方式，求出a与b的值即可求解坐标； （2）由边角边的方法证明和全等，由此可得，再由边角边的方法证明和全等，由此可证； （3）根据等腰三角形的性质，分类讨论腰，即，，三种情况求解即可． 【详解】（1）解：， 整理得， ， ； （2）证明：由（1）可得四边形是正方形． 如图1，在的延长线上找一点F，使，连接， 在和中， ， ， ， 又， ， ， ， 在和中， ， ， ； （3）解：有3种情况共6个点： ①当时，如图2， 中，， ， ； ②当时，如图3， ， ， 在中，， ， ； ③当时，如图4， ， ， 综上，点M的坐标为：或或或或或． 6．（25-26八年级上·广东佛山·期中）如图1，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点在第一象限内，且使得，． (1)直接判断的形状：是_____三角形； (2)求点的坐标； (3)在第二象限内是否存在一点，使得是以为腰的等腰直角三角形，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (4)如图2，点为线段上一动点，点为线段上一动点，且始终满足．请直接写出的最小值． 【答案】(1)直角 (2) (3)存在，点P坐标为或，理由见解析 (4) 【分析】（1）先求出，然后利用勾股定理的逆定理求解即可； （2）设点B的坐标为，利用等面积法有，解出，再根据，且点在第一象限内，由此求解出，即可求解； （3）当，分别过点B，P作轴于E，轴于F，根据（2）可知，，再利用证明，可得，，即可求得点P的坐标；当，分别过点B，P作轴于E，的延长线于F，交y轴于D，同理即可求得点P坐标； （4）过点O作以为腰，的等腰直角三角形，利用证明，可得，则当三点共线时，最小，即有最小值为的长，由此求解即可． 【详解】（1）解：点的坐标为， ， ，， ， 是以B为直角顶角的直角三角形 故答案为：直角； （2）设点B的坐标为， ， 即， ， 而， 即， 又点在第一象限内， ， 则点B的坐标为； （3）存在，点P坐标为或，理由如下： 如图，当，分别过点B，P作轴于E，轴于F， ， 由（2）可知：，， ， ，， ， 在与中， ， ， ，， 在第二象限， ； 如图，当，分别过点B，P作轴于E，的延长线于F，交y轴于D， 同理可得：，， 同理可证得：， ，， ，， 在第二象限， ， 综上，存在点P，使得是以为腰的等腰直角三角形，点P的坐标为或； （4）如图，过点O作以为腰，的等腰直角三角形， ，， 又， ， ， ， 要使最小，则最小， 当三点共线时，最小，即有最小值为的长， 由（3）知，， ， 即有最小值为． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 题型2 动点求值问题 求值问题：计算具体的数量（如时间、长度、角度）： 定义：动点运动过程中，求某一时刻的时间、线段的长度或角度的大小。 常见场景： 1. 求时间：动点P从A出发沿AB运动，求某个三角形为等腰三角形时的时间t； 2. 求长度：动点P从A出发沿AB运动，求某条线段的长度（用含t的代数式表示）； 3. 求角度：动点P从A出发沿AB运动，求某个角的大小（用含t的代数式表示）。 解题方法： 1. 用t表示线段长度：根据动点的速度和时间，用含t的代数式表示线段长度； 2. 利用几何性质：利用三角形的内角和、勾股定理、全等三角形的性质建立方程，求解t或长度； 3. 代入计算：将t代入方程，计算出具体的长度或角度。 1．（25-26八年级上·福建漳州·月考）如图，直线，平分，过点B作交于点C；动点E，D同时从A点出发，其中动点E以的速度沿射线方向运动，动点D以的速度在直线上运动．已知，设动点D，E的运动时间为． (1)求的度数； (2)若，求动点D，E的运动时间t的值； (3)动点D，E在运动过程中，是否存在某个时间t，使得？若存在，请求出时间t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)t的值为或 (3)存在， 【分析】本题考查几何问题(一元一次方程的应用)，等腰直角三角形的性质、角平分线的性质定理、全等三角形的判定和性质、三角形的面积等知识，解题的关键是学会构建方程解决问题． （1）根据直线，平分，得出，结合即可得出的度数； （2）作，则，根据可得的值，分类讨论：①当点E在点左侧时，②当点在点右侧时，逐个分析求解即可； （3）当点在点上方时，易得时，，分别用表示，即可求得的值． 【详解】（1）解：，平分， ， ， ， ； （2）解：作，， ∵平分，则， ， ， ①当点E在点左侧时，有 ，， ， 解得：； ②当点在点右侧时，有 ，， ， 解得． ∴t的值为或． （3）解：存在，．理由如下： ，， 当时，， 即，或， 解得：或舍弃， 答：存在，． 2．（25-26八年级上·广西柳州·期末）如图，在中，已知直线动点从点开始以每秒的速度运动到点，动点也同时从点开始沿射线方向以每秒的速度运动． (1)问动点运动多少秒时，并说明理由； (2)设动点运动时间为秒，请用含的代数式来表示的面积； (3)动点运动多少秒时，与的面积比为． 【答案】(1)动点运动2秒时，，见解析 (2) (3)动点运动秒时，与的面积比为 【分析】本题考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定、三角形面积的计算及一元一次方程的应用，关键是结合动点运动速度表示线段长度，利用几何性质建立等量关系求解． （1）已知，结合等腰直角三角形性质可得，根据全等判定定理，只需，据此列方程求解运动时间； （2）先求出等腰直角三角形斜边上的高，再用含的式子表示的底边，利用三角形面积公式得出面积表达式； （3）先通过几何关系求出的面积表达式，再根据面积比为列方程求解运动时间． 【详解】（1）解：设动点运动秒时，． ， 是等腰直角三角形，． ， ， ， ． 动点的速度为，动点的速度为， ，，． 要使，需，即，解得． 验证：当时，，，且， ． 故动点运动2秒时，； （2）解：过点作于， 是等腰直角三角形，， ． ，， 的面积； （3）解：由（2）知， ， 的边上的高， 的面积． ， ，解得：． 答：动点运动秒时，与的面积比为． 3．（25-26八年级上·全国·单元测试）（综合探究）点是边长为3cm的等边的边上的动点，点从点出发，沿线段向点运动． (1)如图1，若另一动点从点出发，沿线段向点运动，动点，都以的速度同时出发，设运动时间为，连接，交于点，连接． ①当为何值时，是直角三角形？ ②在，运动的过程中，会发生变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数； (2)如图2，若另一动点从点出发，沿射线方向运动，连接交于点，动点，都以的速度同时出发，设运动时间为，连接，当为何值时，是等腰三角形？ 【答案】(1)①或；②不会发生变化， (2)1 【分析】本题考查了全等三角形的判定方法，一元一次方程动点问题，等腰三角形的判定，较为综合，根据题意分情况讨论是本题的关键． （1）①当是直角三角形时，分或时两种情况列方程，即可算出t的值；②根据证得，得到，根据三角形外角的性质得到，即可证明； （2）当是等腰三角形时，，然后即可证明，即可根据题意求出t的值． 【详解】（1）解：①∵等边的边长为3cm， ∴，， 根据题意得：，， ∵是直角三角形， 当时，， ∴， ∴， 解得； 当时，， ∴， ， 解得． 当的值为1或2时，是直角三角形． ②不会发生变化，． 是等边三角形， ，． 在和中， ， ， ． ， ． 故不会发生变化，． （2）解：， 当是等腰三角形时，， ． ， ， ，即． ， ，解得． 故当的值为1时，是等腰三角形． 4．（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，直线，平分，过点作交于点；动点、同时从点出发，其中动点以的速度沿射线方向运动，动点以的速度沿直线上运动；已知，设动点，的运动时间为． (1)若，试求动点的运动时间的值； (2)试问当动点，在运动过程中，是否存在某个时间，使得与全等？若存在，请求出时间的值；若不存在，请说出理由． 【答案】(1)动点的运动时间或； (2)或时，与全等． 【分析】本题是三角形综合题，考查等腰直角三角形的性质、角平分线的性质定理、全等三角形的判定和性质、三角形的面积等知识，解题的关键是学会构建方程解决问题． （1）作，则，根据可得的值，分别用表示，即可求得的值，即可解题； （2）当点在点上方时，易得时，，分别用表示，即可求得的值；当点在点下方时，进行求解即可． 【详解】（1）解：作，，则， ， ， 当点在点左侧时， ∴, 即， 解得：； 当点在点右侧时，， ∴，解得， 综上动点的运动时间或； （2）当点在点上方时， ，， ∴当时，， 即或， 解得：或（舍去）， 当点在点下方时， ， ∴， ， ∴； 答：或时，与全等． 5．（25-26八年级上·内蒙古乌兰察布·期中）在等边三角形中，E是折线上的动点，D为射线上任意一点，且． (1)如图①，当动点E在边上时，连接、，求证：； (2)如图②，当动点E是边的中点时，判断的形状，并说明理由； (3)如图③，当动点E在边上时，求证：； (4)连接，若，是直角三角形，直接写出的长． 【答案】(1)见解析 (2)是等腰三角形，见解析 (3)见解析 (4)或 【分析】本题考查了三角形综合应用，涉及全等三角形判定与性质，等边三角形性质及应用，直角三角形性质及应用；解题的关键是掌握等边三角形性质及全等三角形判定定理． （1）由是等边三角形，得，，而，知是等边三角形，有，，可得，，再由边角边的证明方法证明即可； （2）由E为的中点，是等边三角形，得，，又，故，有知，是等腰三角形： （3）过点E作，证明是等边三角形，可得，，即可证，得，从而； （4）分两种情况：当时，由（1）可知，，可得；当时，由（3）可知，，可得． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴，即， ∵， 即， 在和中， ， ∴； （2）解：是等腰三角形，理由如下： ∵E为的中点，是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰三角形； （3）证明：过点E作，如图， ∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴，即， ∵， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴； ∴， ∴； （4）解：当时，如图， ∴是的中线， ∴， 由（1）知，， ∴； 当时，如图， ∴ ∴， ∴， 由（3）知，， ∴； 综上，的长为或． 6．（24-25八年级下·河南·月考）在中，，是边上的动点，过点作交于点，将沿折叠，点A的对应点为点F． (1)如图1，若点F恰好落在边上，判断的形状，并证明； (2)如图2，若点F落在内，且的延长线恰好经过点C，，求的度数； (3)如图3，当点F恰好落在外，交于点，连接，若，，在中，动点P以每秒1个单位长度的速度从点B出发沿边向点D运动，同时动点Q以每秒2个单位长度的速度从点D出发沿边向点F运动，当动点P运动到点D时，动点Q停止运动．设运动时间为t秒，请求出当为直角三角形时，t的值． 【答案】(1)等边三角形，证明见解析； (2)； (3)t的值为或． 【分析】（1）平行线的性质，得到，折叠得到，进而得到，三角形内角和得到，即可得出结论； （2）同（1）可得：，进而得到，折叠，等边对等角，结合三角形的外角推出，求解即可； （3）分或，两种情况，利用含30度角的直角三角形的性质，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：是等边三角形，证明如下： ∵， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形； （2）解：同（1）法可得：， ∴， ∴， ∵折叠， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：同（2）可知：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， ∴， ∴， 由题意，得：，，则： ∴当运动到点时，点恰好运动到点， 当为直角三角形时，或， ①当时， ∵， ∴， ∴， ∴，解得：； ②当，则：，    ∴， ∴，解得：， 综上：或． 【点睛】本题考查折叠问题，等边三角形的判定，等边对等角，三角形的内角和定理，三角线的外角，含30度角的直角三角形，熟练掌握相关知识点，是解题的关键． 题型3 定值问题 定值问题：证明或计算恒定不变的数量： 定义：动点运动过程中，某一数量（如角度、线段长度的比值）始终保持不变，证明其定值或计算其值。 常见场景： 1. 角度定值：动点P在BC上运动，证明两角和为定值（利用三角形内角和）； 2. 线段比值定值：动点P在BC上运动，证明两条线段比值为定值（利用整式的乘除进行化简）。 解题方法： 1. 寻找不变量：在动点运动过程中，某些量是不变的（如等边三角形的内角60°、等腰三角形的腰长）； 2. 利用几何定理：利用三角形内角和、全等三角形的性质证明定值； 3. 特殊值验证：取动点运动过程中的特殊位置（如中点、端点），计算定值，再推广到一般情况。 1．（24-25七年级下·陕西汉中·期末）【新知】在中，若，则，即是等腰三角形． 【解决问题】如图，已知正方形中点E为边上异于点A、B的一动点，，交于点，连接．点为延长线上一定点，满足．的延长线与交于点，连接．（备注：正方形的四条边都相等，四个角都是直角） (1)判断的形状； (2)试说明：； (3)探究是否为定值？如果是定值，请说明理由，并求出该定值；如果不是定值，请说明理由． 【答案】(1)是等腰直角三角形 (2)见解析 (3)是定值，为，理由见解析 【分析】（1）先求出，再根据平行线的性质可得，从而得到，即可解答； （2）根据，，可得，再由，可得，即可解答； （3）在取点M使，连接，证明，可得，从而得到，进而得到为等腰直角三角形，即可解答． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ∵， ∴是等腰直角三角形； （2）解：∵， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∵，，， ∴； （3）解：是定值，为，理由如下： 如图，在取点M使，连接， 由（2）得：， ∴， ∴， 即， 在和中， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 即， ∴为等腰直角三角形， ∴． 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质是解题的关键． 2．（25-26八年级上·广东惠州·期末）问题背景： 《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽著作，是数学发展史的一个里程碑，在该书的第2卷“几何与代数”部分，记载了很多利用几何图形来论证的代数结论，其中把几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方式计算同一个图形的面积，可以得到一个等式，借助几何给人以强烈印象，将抽象的逻辑规律体现在具体的图形之中， (1)请根据图①写出一个等式：__________； (2)如图②，点在线段上，分别以、为边作正方形和正方形，连接、．若，，请求出阴影部分的面积； 拓展应用： (3)如图③，在等腰直角三角形中，，为的中点，点为边上任意一点（不与端点重合），过点作长方形分别交于点，交于点，过点作交的延长线于点，记与的面积之和为，与的面积之和为，请问的值是否为定值？若为定值，请求出这个定值；若不是定值，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)是定值 【分析】（1）由大正方形面积等于两个小正方形和两个矩形的面积之和，写出等式； （2）设，，则，，通过完全平方公式变形求出．利用割补法，将阴影面积转化为和正方形的面积之和减去的面积，代入求值即可； （3）先证明图中的三角形均为等腰直角三角形，设，，用、的代数式表示出和，求比值即可． 【详解】（1）解：由图①可知，大正方形的面积等于两个小正方形和两个矩形的面积之和， ∴等式为：； （2）解：设，， 由题意可知，，， ∴， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：∵在等腰直角三角形中，，为的中点， ∴， ∴，是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴，是等腰直角三角形， ∵ ∴ ∵ ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， 设，， ∴，， ∴， ∴，， ∴为定值． 【点睛】本题考查完全平方公式的在几何图形中的应用，利用完全平方公式的变形求值，等腰直角三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，正方形的性质，熟练掌握相关知识并运用数形结合思想是解题关键． 3．（25-26八年级上·河南周口·月考）如图，在中，，，，D是线段的中点，动点E，F分别在线段上运动，且始终有，连接． (1)判断是否是等腰直角三角形，并说明理由； (2)下列结论中，正确的有______（填序号），请从中选择一个正确的结论并说明理由． ①四边形的周长为定值； ②四边形的面积为定值； ③的值不为定值． 【答案】(1)是等腰直角三角形，见解析； (2)②，见解析 【分析】本题考查的是等腰三角形的判定与性质、全等三角形判定与性质，熟练掌握相关判定与性质是解题关键， （1）连接，证明、都是等腰直角三角形，再证明得出，，即可证明结论； （2）得出，根据，求出即可得出结论． 【详解】（1）解： 是等腰直角三角形．理由如下： 如图，连接． ∵，，， ∴是等腰直角三角形． ∴． ∵D是线段的中点， ∴． ∴． ∴，． ∴． ∴是等腰直角三角形，． ∵， ∴． ∴，． ∴． ∴是等腰直角三角形． （2）解：②，理由如下： ∵， ∴． 又∵D是线段的中点， ∴． ∵， ∴． ∴四边形的面积为定值； ∵动点E，F分别在线段上运动， ∴的长是变量， 故四边形的周长不是定值；的值不为定值． 4．（25-26七年级下·河南焦作·期中）如图，，，P为射线上一动点，连接，作平分交于点C，作平分交于点D． (1)如图1，当时，则_________；如图2，当时，则_________． (2)请说明在点P的运动过程中，的值是否为定值．若是定值，请求出的度数，若不是定值，请说明理由． (3)若点P运动到使为等腰三角形，请直接写出的度数． 【答案】(1)； (2) (3)或 【分析】（1）由于可得．根据平行线的性质可得 ．进而推出．再利用角平分线的性质得到．由于可得．根据平行线的性质可得，，再利用角平分线的性质得到，根据平行线的性质可得，可推出，再由平分，； （2）由平行线的性质得到，从而得到，再由角平分线的性质得到从而得到，即可得以，由于，，的值为定值． （3）由为等腰三角形，再分三种情况讨论即可． 【详解】（1）解： ． ∵， ． ， ， ． 平分， ． ． ∵， ， ， 平分， ， ∵， ， ， ， 平分， ． （2）解：的值是定值，理由如下： ∵， ， ， 平分平分， ， ， ， ，即， ∵， ， 是定值，． （3）解：∵为等腰三角形， 当时，则设， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴； 当时，则设， ∴， ∴， ∴， 当时，则设， ∴，， ∴舍去， 综上：为或． 5．（25-26八年级上·广东东莞·期末）如图，的顶点是平面内一动点，始终保持，分别以，为边，向外作等边三角形和等边三角形，连接交于点，连接交于点，与交于点，连接． (1)求证：； (2)求的度数； (3)在点运动过程中． ①求，与之间的数量关系； ②是否为定值？如果你认为是定值，请证明它，如果你认为不是定值，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)①；②是定值，证明见解析 【分析】 （1）由等边三角形的性质可得，，，利用可证得，由全等三角形的性质即可得出结论； （2）由（1）可知，于是可证得，过点分别作，垂直于，，且垂足分别为点，点，再利用角平分线的判定即可得出答案； （3）①在上取一点，使，连接，利用可证得，于是可得，即可得出结论； ②在上取一点，使，连接，利用可证得，于是可得，即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵等边三角形和等边三角形， ，，， ， ， ； （2）解：由（1）可知：， ， ∵， ， ， ， 如图1，过点分别作，垂直于，，且垂足分别为点，点， ， ， 平分， ， ； （3）解：①如图2，在上取一点，使，连接， ， ∴为等边三角形， ∴，且， ∴，又， ∴， ∴， ∴； ②是为定值． 证明：如图3，在上取一点，使，连接， ， 为等边三角形， ，， ， ， ， ， ． 【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的判定，等边三角形的判定与性质，三角形的内角和定理等知识点，利用证明是解题的关键． 6．（24-25八年级上·江苏连云港·月考）（1）【课本再现】苏科版数学八年级上册第67页习题2．5第10题：如图1，和都是等边三角形，且A、C、E在一条直线上．与相等吗？证明你的结论． （2）【初步探究】如图2，若BE与AD交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．以下结论：①；②；③是等边三角形；④．恒成立的结论有（   ） A．①④    B．③④    C．①②③    D．①②③④ （3）【深入探究】如图3，若A、C、E不在一条直线上．其他条件不变，是否是定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． （4）【拓展应用】如图4，和是以和为直角的等腰直角三角形，，，连接AE、BD，判断的值是否为定值？若是，请直接写出定值；若不是，请说明理由． 【答案】（1），见解析 （2）C （3）是， （4）是， 【分析】（1）证明，即可得出结论； （2）证明，得，可判定①成立，，又，可得是等边三角形，可判定③成立；，则，可得，可判定②成立；由于点O不一定是的中点，可判定④不是恒成立； （3）设交于M，由（1）知：，又，，则∴，即可求得． （4）连接交于N，连接交于M，交，由等腰直角 三我性质与勾股定理求得，，再证明，得，从而求得 ，由勾股定理得，，，，即可由求解． 【详解】解：（1）， 证明：和均为等边三角形， ，，． ∴ ． 在和中， ， ． ． （2）和均为等边三角形， ∴． ∴， ∴， 由（1）知： ∴ 又∵ ∴ ∴，故①成立； ∵ ∴ ∵ ∴是等边三角形，故③成立； ∴ ∴ ∴，故②成立； 由于点O不一定是的中点，故④不是恒成立； 故选：C． （3）设交于M，如图3， 由（1）知： ∵，， ∴ ∴． （4）是，。 理由：连接交于N，连接交于M，交，如图4， ∵和是以和为直角的等腰直角三角形， ∴，，， ∴，， ∴，即， ∴， ∴， ∵， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∴． ∴，是定值． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形内角和与外角的性质，熟练掌握“手拉手”模型是解题的关键． / 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 微专题03三角形内的动点问题 特殊三角形存在性问题 三角形内的动点问题 动点求值问题 定值问题 常点型破 题型1特殊三角形存在性问题 妹方法 存在性问题：判断或求解动点位置使特定条件成立 定义：动点运动过程中，是否存在某一位置，使得形成的图形（如等腰三角形、直角三角形、全等三角形） 满足题目给定的条件。 常见场景： 1.等腰三角形存在性：动点运动过程中，是否存在点P,使得△PBC为等腰三角形（如PA=PB、PA=AB 、PB=AB): 2. 直角三角形存在性：动点运动过程中，是否存在点P,使得△PBC为直角三角形（如∠P=90°、∠B= 90°、∠C=90°)： 3. 全等三角形存在性：两个动点运动过程中，是否存在某一时刻，使得两个三角形全等（如对应边相等、 对应角相等)。 解题方法： 1.分类讨论：根据等腰三角形的“腰”或直角三角形的“直角顶点”进行分类（如等腰三角形的三种情况： PA=PB、PA=AB、PB=AB); 2. 建立方程：利用勾股定理、全等三角形的性质建立方程，求解动点的位置（如时间）； 3.验证合理性：检查解是否在动点的运动范围内（如≥0且不超过边的长度除以速度）。 1.(25-26八年级上山西晋中期中)综合实践： 【项目背景】小明在手工课上制作了一个长方形纸片OABC，并将其放置在平面直角坐标系中进行研究. 如图，将纸片的长边OA、短边OC分别落在x轴、y轴的正半轴上，连接AC,并将ABC沿着对角线 AC翻折，点B落在点D处，发现折叠后CD与x轴交于点E.已知纸片的尺寸为：OA=9,OC=3. / 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B 【项目任务】请你作为“数学探索小组成员”，帮助小明完成以下三项挑战. (1)挑战一：定位点坐标 任务：直接写出各点坐标A( B )、C (2)挑战二：定位线位置 任务：请你从以下两个任务中任选一个进行探究 ①试确定纸片折痕AC所在直线的函数关系式： ②请你探究求出折叠后CD与x轴的交点E的坐标； (3)挑战三：动点的存在性探究 任务：请你从以下两个任务中任选一个进行深入探究 ①若点P是折线CB-BA上一动点，是否存在点P,使得△CPE的面积是9，若存在，请直接写出点P的 坐标；若不存在，说明理由。 ②若点P是线段CB上一动点，是否存在点P,使得△CPE是等腰三角形，若存在，请直接写出点P的 坐标；若不存在，说明理由 2.(25-26八年级上重庆黔江·期末)如图，ABC的顶点A,B,C所对的边分别为Q,b,c. (1)若(a-5)+b-12+Vc-13=0,试说明ABC是直角三角形； (②)在(1)的条件下，BC边所在的直线上是否存在一点D,使得△ABD是等腰三角形？若存在，请直 接写出CD的值；若不存在，请说明理由. 3.(25-26七年级上山东济南期末)如图，在平面直角坐标系中，直线AB:y=-三x+3与轴、y轴分别交 4 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 于点A、B,点C在x轴的负半轴上，若将ABC沿直线BC折叠，点A恰好落在y轴正半轴上的点D处. D 图 备用图 (1)点A的坐标是，点B的坐标是 ，AB的长为； (2)求点C的坐标； (3)在第一象限内是否存在点P,使△PAB为等腰直角三角形，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在， 请说明理由 4.(25-26八年级上湖南长沙月考)如图，在平面直角坐标系中，己知点A(0,4),，动点P从原点开始沿着 x轴负半轴运动，运动的过程中始终以线段AP为一边，在其下方作等边三角形APQ.当点P在原点O 处时，记Q的位置为B. (1)①求点B的坐标；②当AP=4√2时，求∠0AP的度数； (2)求证：当点P在x轴负半轴运动时(P不与O重合)，BQ始终等于OP; (3)是否存在点P,使得△BOQ是直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由， 5.(2025八年级全国竞赛)如图，在直角坐标系中，点A(a,0),B(a,a),C(0,a),D(0,b),且a、b满足 a2+b2-6a-2V3b=-12. E (1I)直接写出A、B、C、D四点的坐标： 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2)当∠DAE=45°时，求证：OD+BE=DE; (3)当LOAD=30°时，在坐标轴上是否存在点M,使得△ADM是等腰三角形，若存在，请求出所有符合 条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由， 6.(25-26八年级上·广东佛山期中)如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标为5,0)，点B在第一象限 内，且使得AB=4,OB=3. B 图1 图2 (1)直接判断AOB的形状：AOB是三角形； (2)求点B的坐标： (3)在第二象限内是否存在一点P,使得POB是以OB为腰的等腰直角三角形，若存在，求出点P的坐 标；若不存在，请说明理由； (4)如图2，点C为线段OB上一动点，点D为线段BA上一动点，且始终满足OC=BD.请直接写出 AC+OD的最小值. 题型2动点求值问题 煤方法 求值问题：计算具体的数量（如时间、长度、角度）： 定义：动点运动过程中，求某一时刻的时间、线段的长度或角度的大小。 常见场景： 1. 求时间：动点P从A出发沿AB运动，求某个三角形为等腰三角形时的时间t: 2.求长度：动点P从A出发沿AB运动，求某条线段的长度（用含t的代数式表示）； 3.求角度：动点P从A出发沿AB运动，求某个角的大小（用含t的代数式表示）。 解题方法： 1.用t表示线段长度：根据动点的速度和时间，用含t的代数式表示线段长度： 2.利用几何性质：利用三角形的内角和、勾股定理、全等三角形的性质建立方程，求解t或长度； 3. 代入计算：将t代入方程，计算出具体的长度或角度。 1.(25-26八年级上·福建漳州·月考)如图，直线AM⊥AN,AB平分∠MAN,过点B作BC⊥BA交AN于 点C;动点E,D同时从A点出发，其中动点E以2cm/s的速度沿射线AN方向运动，动点D以1cm/s的 速度在直线AM上运动.已知AC=6cm,设动点D,E的运动时间为s, 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 M M 备用图 (I)求∠ACB的度数； (2)若S△4BD:SAREC=2:3,求动点D,E的运动时间t的值； (3)动点D,E在运动过程中，是否存在某个时间t,使得△ADB≌△CEB？若存在，请求出时间t的值； 若不存在，请说明理由 2.(25-26八年级上·广西柳州期末)如图，在ABC中，已知AB=AC,∠BAC=90°，BC=6cm,直线 CM⊥BC,动点D从点C开始以每秒2cm的速度运动到B点，动点E也同时从点C开始沿射线CM方向 以每秒1cm的速度运动. M B (I)问动点D运动多少秒时，△ABD≌△ACE,并说明理由； (2)设动点D运动时间为x秒，请用含x的代数式来表示△ABD的面积S; (3)动点D运动多少秒时，△ABD与△ACE的面积比为3：1. 3.(25-26八年级上全国·单元测试)（综合探究）点P是边长为3cm的等边ABC的边AB上的动点，点P 从点A出发，沿线段AB向点B运动. M D 图1 图2 (I)如图1，若另一动点9从点B出发，沿线段BC向点C运动，动点P,Q都以1cm/s的速度同时出发， 设运动时间为ts,连接AQ,CP交于点M,连接PQ. 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ①当t为何值时，△PBQ是直角三角形？ ②在P,Q运动的过程中，∠CMQ会发生变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数； (2)如图2，若另一动点Q从点C出发，沿射线BC方向运动，连接P9交AC于点D,动点P,Q都以 1cm/s的速度同时出发，设运动时间为t(s,连接PC,当t为何值时，△DCQ是等腰三角形？ 4.(24-25七年级下·四川成都·期中)如图，直线AM1AN,AB平分∠MAN,过点B作BC⊥BA交AN于 点C;动点E、D同时从A点出发，其中动点E以2cm/s的速度沿射线AN方向运动，动点D以1cm/s 的速度沿直线AM上运动；己知AC=6cm,设动点D,E的运动时间为t. M M B B D 备用图 (1)若SABD:SEc=2:3,试求动点D,E的运动时间t的值； (2)试问当动点D,E在运动过程中，是否存在某个时间t,使得aADB与BEC全等？若存在，请求出 时间t的值；若不存在，请说出理由. 5.(25-26八年级上·内蒙古乌兰察布·期中)在等边三角形ABC中，E是折线BA-AC上的动点，D为射线 BC上任意一点，且ED=EB. D 图① 图② 图③ 备用图 (I)如图①，当动点E在边BA上时，连接CE、AD,求证：△AED≌aCDE: (②)如图②，当动点E是边AC的中点时，判断△CDE的形状，并说明理由； (3)如图③，当动点E在边AC上时，求证：AE=CD; (④)连接AD,若AB=I0cm,△BAD是直角三角形，直接写出AE的长. 6.(24-25八年级下·河南月考)在ABC中，∠B=60°，D是边AB上的动点，过点D作DE∥BC交AC于 点E,将ADE沿DE折叠，点A的对应点为点F. / 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A DA D 图1 图2 图3 (1)如图1，若点F恰好落在边BC上，判断BDF的形状，并证明： (2)如图2，若点F落在ABC内，且DF的延长线恰好经过点C,CF=-EF,求∠A的度数； (3)如图3，当点F恰好落在ABC外，DF交BC于点G,连接BF,若BF⊥AB,AB=9,在BDF中， 动点P以每秒1个单位长度的速度从点B出发沿边BD向点D运动，同时动点Q以每秒2个单位长度的 速度从点D出发沿边DF向点F运动，当动点P运动到点D时，动点Q停止运动.设运动时间为t秒， 请求出当DPQ为直角三角形时，t的值. 题型3定值问题 嫦方法 定值问题：证明或计算恒定不变的数量： 定义：动点运动过程中，某一数量（如角度、线段长度的比值）始终保持不变，证明其定值或计算其值。 常见场景： 1. 角度定值：动点P在BC上运动，证明两角和为定值（利用三角形内角和）； 2.线段比值定值：动点P在BC上运动，证明两条线段比值为定值（利用整式的乘除进行化简）。 解题方法： 1.寻找不变量：在动点运动过程中，某些量是不变的（如等边三角形的内角60°、等腰三角形的腰长）； 2. 利用几何定理：利用三角形内角和、全等三角形的性质证明定值； 3. 特殊值验证：取动点运动过程中的特殊位置（如中点、端点），计算定值，再推广到一般情况。 1.(24-25七年级下·陕西汉中期末)【新知】在ABC中，若∠B=∠C,则AB=AC,即ABC是等腰三 角形， 【解决问题】如图，己知正方形ABCD中点E为边AB上异于点A、B的一动点，EF∥AC,交BC于点 F,连接DF.点G为DA延长线上一定点，满足AG=AD,GE的延长线与DF交于点H,连接BH, (备注：正方形的四条边都相等，四个角都是直角) 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 G (1)判断△BEF的形状； (2)试说明：△AGE≌△CDF; (3)探究∠EHB是否为定值？如果是定值，请说明理由，并求出该定值；如果不是定值，请说明理由， 2.(25-26八年级上·广东惠州期末)问题背景： 《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽著作，是数学发展史的一个里程碑，在该书的第2卷 “几何与代数”部分，记载了很多利用几何图形来论证的代数结论，其中把几个图形拼成一个新的图形， 再通过两种不同的方式计算同一个图形的面积，可以得到一个等式，借助几何给人以强烈印象，将抽象 的逻辑规律体现在具体的图形之中， B b B F 图① 图② 图③ (1)请根据图①写出一个等式： (2)如图②，点C在线段BP上，分别以BC、CP为边作正方形ABCD和正方形CPEF,连接BD、BE.若 BC+CP=10,BC·CP=20,请求出阴影部分的面积； 拓展应用： (3)如图③，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，D为BC的中点，点E为边AC上任意一点（不 与端点重合)，过点E作长方形EHDG分别交AD于点H,交BC于点G,过点B作BF∥AC交EG的延 6BFG与ACEG的面积之和为S,△ABD与△AEH的面积之和为S, 为定值？若为定值，请求出这个定值；若不是定值，请说明理由 3.(25-26八年级上河南周口·月考)如图，在RtaA0B中，∠A0B=90°，0A=4,0B=4,D是线段AB 的中点，动点E,F分别在线段OA,OB上运动，且始终有AE=OF,连接EF, 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D B (I)判断△DEF是否是等腰直角三角形，并说明理由； (2)下列结论中，正确的有 （填序号)，请从中选择一个正确的结论并说明理由. ①四边形OEDF的周长为定值： ②四边形OEDF的面积为定值； ③∠OEF+LBDF的值不为定值. 4.(25-26七年级下·河南焦作·期中)如图，∠A=60°，AM∥BN,P为射线AM上一动点，连接BP,作 BC平分∠PBA交AM于点C,作BD平分∠PBN交AM于点D. ACP D M DM B 图1 图2 (1)如图1，当BP⊥AM时，则∠ABC= ;如图2，当BC⊥AM时，则∠PBD= (2)请说明在点P的运动过程中，∠PCB+∠PDB的值是否为定值.若是定值，请求出∠PCB+∠PDB的 度数，若不是定值，请说明理由 (3)若点P运动到使△BCP为等腰三角形，请直接写出∠BPC的度数. 5.(25-26八年级上·广东东莞期末)如图，ABC的顶点C是平面内一动点，始终保持∠ACB<120°，分 别以AC,BC为边，向外作等边三角形ACD和等边三角形BCE,连接BD交AC于点F,连接AE交 BC于点G,BD与AE交于点O,连接OC· D D 备用图 (I)求证：BD=AE; 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)求∠A0C的度数： (3)在点C运动过程中. ①求OA,0C与0D之间的数量关系； ②0E-oc OB 是否为定值？如果你认为是定值，请证明它，如果你认为不是定值，请说明理由 6.(24-25八年级上江苏连云港·月考)(1)【课本再现】苏科版数学八年级上册第67页习题2.5第10题： 如图I,ABC和aCDE都是等边三角形，且A、C、E在一条直线上，AD与BE相等吗？证明你的结论. 图1 (2)【初步探究】如图2，若BE与AD交于点O,AD与BC交于点P,BE与CD交于点Q,连接PQ.以 下结论：①AP=BQ;②PQ∥AE;③△PCQ是等边三角形；④OB=OE.恒成立的结论有() B 图2 A.①④B.③④C.①②③D.①②③④ (3)【深入探究】如图3，若A、C、E不在一条直线上.其他条件不变，∠AOE是否是定值？若是， 请求出这个定值；若不是，请说明理由 B 图3 (4)【拓展应用】如图4，ABC和△CDE是以∠ACB和∠DCE为直角的等腰直角三角形，AC=8, CE=6,连接AE、BD,判断AE?+BD的值是否为定值？若是，请直接写出定值；若不是，请说明理 由. 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B 图4