11.3等腰三角形 同步自主达标测试题 2025-2026学年鲁教版（五四制）七年级数学下册

**基本信息** 鲁教版七年级数学《等腰三角形》同步测试，通过选择、填空、解答题（8+8+8题，24+24+72分）覆盖性质、判定、折叠及实际应用，以跳绳情境（第3题）、折叠最值（第7题）等设计，体现几何直观与推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/24|等腰三角形性质（第1题两腰高相等）、折叠问题（第4题）|结合生活情境（跳绳绳长计算）| |填空题|8/24|反证法（第9题）、角度计算（第10题）|注重基础概念辨析| |解答题|8/72|作图（第17题）、综合证明（第24题等边三角形动态问题）|分层设计，从基础作图到创新应用|

2025-2026学年鲁教版（五四制）七年级数学下册《11.3等腰三角形》 同步自主达标测试题（附答案） 一、单选题（满分24分） 1．下列命题中，是真命题的是（   ） A．等腰三角形两腰上的高相等 B．到三角形三边距离相等的点是三条高的交点 C．等腰三角形的角平分线、中线和高重合D．有一个角等于的三角形是等边三角形 2．如图，中，，D为BC上一点，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．如图，在跳绳时，小红按照体育老师教的方法确定适合自己的绳长：双脚踩住绳子的中央，手肘靠近身体，两肘弯曲，小臂水平转向两侧，两手将绳拉直，绳长即合适长度．将图抽象成图，若两手握住的绳柄两端的距离约为，小臂到地面的距离约为，则适合小红的绳长为（    ） A． B． C． D． 4．如图，在中，，将三角形折叠，使点与点重合，折痕为．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．如图，中，已知，，，分别平分，，，，则的周长为（    ） A．12 B．13 C．14 D．15 6．如图，，是射线上的定点，是射线上的动点，要使为等腰三角形，则满足条件的点共有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 7．如图，将等边三角形折叠，使得点恰好落在边上的点处，折痕为，为折痕上一动点，若，，则周长的最小值是（   ） A．8 B．7 C．6 D．5 8．“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的．借助如图①所示的“三等分角仪”能三等分任意一角．如图②，这个“三等分角仪”由两根有槽的棒组成，两根棒在点相连并可绕转动，点固定，点可在槽中滑动，．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 二、填空题（满分24分） 9．利用反证法证明命题“三角形的三个内角至少有一个角大于”时，应先假设___________ 10．已知一个等腰三角形的顶角是底角的倍，则它的顶角的度数为_____． 11．如图，中，，，是的中线，点E在边上，，则等于______． 12．如图，在中，，，，点，分别在和边上．若，，则的长为_____． 13．如图，在中，，D为中点，，于点C，且，延长线于点F，则的面积_____． 14．如图，上午8时，一条船从海岛出发，以30海里时的速度向正北航行，上午10时到达海岛处．分别从，望灯塔，测得，．若该船继续向正北航行，当该船与灯塔的距离最短时，则该船行驶了 ____小时． 15．如图，若和均为等腰直角三角形，且，点A，D，E在同一条直线上，为中边上的高，连接，若，，则___________． 16．如图，已知等腰中，，，E是上的一个动点，将沿着折叠到处，再将边折叠到与重合，折痕为，当是等腰三角形时，的长是 ______________________． 三、解答题（满分72分） 17．（8分）如图，点D在的边上． (1)利用直尺和圆规过点B作的平行线，交的延长线于点F；（不要求写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）所作的图中，若是边上的高，判断的形状，并说明理由． 18．（8分）如图，在中，，是上一点，过点作于，的延长线交延长线于． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，，，求的长． 19．（8分）如图，在中，D为边上一点，F为延长线上一点，交的延长线于点E，，． (1)求证：； (2)求证：． 20．（8分）如图，四边形的对角线，相交于点，，，点在上，． (1)求证：； (2)若，求证：． 21．（8分）如图，在中，，D是上一点，且，且，连接、、． (1)求的度数； (2)证明：是等边三角形． 22．（10分）在中，，，点在上，连接，在的上方作，且，连接．作点关于的对称点，连接，交于点． (1)补全图1，连接，并写出___________（用含的式子表示）； (2)如图2，当时， ①求证：； ②写出与的数量关系，并证明． 23．（10分）如图，在中，，，点D在边上（点D不与点A重合）． (1)如图1，若点D在边时，延长至点G，，过点D作，交于点E，过G作交延长线于点H．求证：． (2)如图2，过点A作，垂足为F，射线交于点N，点Q在射线上，且，求证：． 24．（12分）已知，等边，为直线上一点，点为直线上一点，且． (1)如图，若为的中点，，求的长． (2)如图，若点为上任意一点，过作交于点，探究线段与的数量关系，并说明理由． (3)如图，当运动到延长线上，为中点，交于点，，求的长． 参考答案 1．A 【分析】本题考查真假命题的判断，涉及等腰三角形的性质、角平分线的性质、等边三角形的判定等知识点，需根据相关定义和性质逐项分析判断． 【详解】解：A、∵等腰三角形的面积腰长×腰上的高，且两腰长相等，三角形面积固定∴两腰上的高相等，该命题是真命题，故本选项符合题意． B、∵到三角形三边距离相等的点是三角形三条角平分线的交点，而非三条高的交点∴该命题是假命题，故本选项不符合题意． C、∵等腰三角形只有顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高互相重合，并非所有的角平分线、中线和高都重合∴该命题是假命题，故本选项不符合题意． D、∵有一个角等于60°的等腰三角形才是等边三角形，普通三角形有一个角为60°不一定是等边三角形∴该命题是假命题，故本选项不符合题意． 故选：A． 2．B 【分析】设，利用等腰三角形的性质可得，从而利用三角形的外角性质可得，再利用等腰三角形的性质可得，然后利用三角形内角和定理列出关于x的方程，进行计算即可解答． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 3．C 【分析】过点作于，则，由等腰三角形“三线合一”的性质得，然后根据勾股定理即可求得，即可得解． 【详解】解：如图，过点作于，则， 由题意可知，，， ∴， ∴， ∴适合小红的绳长为． 4．B 【分析】此题考查了等腰三角形的性质、折叠的性质，熟记折叠的性质是解题的关键． 由等腰三角形性质可得，由折叠得到，即可． 【详解】解：∵，， ∴， 由折叠得， ∴． 故选：B． 5．A 【分析】本题考查了平行线的性质，等角对等边，角平分线的定义，先根据，，以及，分别平分，，得出，则，，则的周长，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，分别平分，， ∴， ∴， ∴，， ∴的周长， 故选：A 6．C 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，熟练掌握等腰三角形的定义是解此题的关键．分两种情况：当为底时，当为腰时，分别画出图形，即可得出答案． 【详解】解：如图， 当为底时，为等腰三角形， 当为腰时，，，均是以为腰的等腰三角形， 满足条件的点共有个． 故选：C． 7．A 【分析】本题考查了等边三角形的性质，翻折变换，几何最值问题，利用轴对称的性质：连接，周长为，由，求出，若周长最小，只要最小，即B，M，C三点共线即可． 【详解】解：连接，如图所示： ∵将等边折叠，使点C落在边上的点D处，折痕为， 由题意可得：点C、D关于直线对称， ∴， 在等边中，， ∴， ∴的周长为， ∵， ∴要使的周长最小，只需使的值最小•， ∴当点B、M、C三点共线时，， ∴周长的最小值为， 故选：A． 8．C 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理等知识，熟练掌握三角形外角的性质是解题的关键． 设，根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质可得，再根据三角形内角和定理即可解决问题． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 9． 三角形三个内角都不大于 【分析】根据反证法的要求，需先假设原命题的结论不成立，找出原结论的反面即可. 【详解】解：∵原命题结论为：三角形的三个内角中至少有一个角大于， 其相反结论为：三角形三个内角都不大于. 10． 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质和三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形两底角相等的性质以及三角形内角和为是解题的关键． 利用等腰三角形两底角相等的性质，设底角为度，则顶角为度，根据三角形内角和定理列方程求解． 【详解】解：设底角为度，则顶角为度． 根据三角形内角和定理，得，即， 解得． 所以顶角为度． 故答案为：． 11．/20度 【分析】本题考查了等腰三角形三线合一的性质，等腰三角形两底角相等的性质及三角形内角和定理，由等腰三角形三线合一性质得，，又，则有，然后通过角度和差即可求解． 【详解】解：∵，，是的中线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 12． 【分析】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理的应用，全等三角形的性质与判定，勾股定理求得，进而可得，证明，进而得出，证明，即可求解． 【详解】解：∵在中，，，， ∴ ∵， ∴ ∴ 如图，过点作交于点， ∵， ∴ ∴，即 又∵ ∴ ∴ ∵ ∴，即 设 ∵ ∴ 又∵， ∴ ∴ ∴ ∴ 故答案为：． 13．9 【分析】此题考查全等三角形的判定与性质，三线合一，关键是证明． 由三线合一得到，，，证明，进而利用全等三角形的性质和三角形面积公式解答即可． 【详解】解：∵，D为中点， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴的面积． 故答案为：9． 14． 【分析】本题主要考查了方向角问题，等腰三角形的判定、三角形外角的性质、含角的直角三角形的性质、垂线段最短，熟练掌握等腰三角形的判定、三角形外角的性质、含角的直角三角形的性质、垂线段最短是解决本题的关键． 根据三角形的外角的性质，得，那么，得到，过点作于点，根据垂线段最短求得，根据三角形内角和定理，得，根据含角的直角三角形的性质，在中，，得海里，那么海里，即可求解时间． 【详解】由题意得∶(海里)， (海里)． 从海岛B到灯塔C的距离为海里． 如图，过点作于点． 根据垂线段最短，线段的长为小船与灯塔的最短距离，． 又 在中，， ， ， 航行的时间为(时)． 故答案为：． 15．/ 【分析】本题考查了全等三角形性质和判定，等腰三角形性质和判定，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 先证明，结合全等三角形性质推出，再利用等腰三角形性质和判定，分析求解，即可解题． 【详解】解： ， ，， ， ， ，， ， ， 为中边上的高， ， ， ； 故答案为：． 16．5或或或10 【分析】本题考查了翻折变换，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质等知识，由折叠的性质可得，分三种情况讨论，利用全等三角形的性质和勾股定理可求解． 【详解】解：∵将沿着折叠到处，再将边折叠到与重合，折痕为， ∴， ①当时，且点F在边上时，是等腰三角形，如图1， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设， ∴， ∴， ∴， ∴； 当点在的延长线上时，是等腰三角形，如图， 由折叠得：，，，， ∴， ∴，即， ∵， ∴， 又， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； ②当时，如图2，作，连接，延长交于N， ∵， ∴， ∴， ∵将沿着折叠到处，再将边折叠到与重合，折痕为， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴，且， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴； ③若，如图3，过点A作于H，延长交于M， 同理可求， ∴， 故答案为：5或或或10． 17．(1)见详解 (2)是等腰三角形，理由见详解 【分析】（1）根据“同位角相等，两直线平行”尺规作一个角等于已知角即可； （2）由是边上的高，根据“三线合一”可证明，根据可得，进而得即可证明结论． 【详解】（1）解：延长，以为圆心，任意长为半径画弧，分别交射线，边于，，以为圆心，为半径画弧，交于，以为圆心，为半径画弧，两弧交于点，作直线，交射线于，直线即为所求作的； （2）解：是等腰三角形， 理由： 是边上的高， ， ， ， ， ， 是等腰三角形． 18．(1)见解答 (2) 【分析】（1）先根据等腰三角形的性质可得，再根据垂直定义可得，从而可得，，可得：，然后根据对顶角相等可得，从而可得，然后根据等角对等边可得，即可解答； （2）利用（1）的结论可得：，从而可得是等边三角形，然后利用等边三角形的性质可得，，从而可得，最后在中，利用含角的直角三角形的性质可得，从而利用线段的和差关系进行计算即可解答． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ，， ， ， ， ， 是等腰三角形； （2）解：， ， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， ． 19．(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据平行线的性质得到，再根据已知，即可证明； （2）根据全等三角形的性质得到，，再利用角的和差关系及平行线的性质得到，利用等腰三角形的性质即可证明结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴． （2）证明：∵， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 20．(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由等量代换可得，通过角边角证明； （2）由可得，，根据等腰三角形三线合一的性质可得，从而证明． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴； （2）证明：由（1）可得， ∴，， ∵， ∴， ∴． 21．(1) (2)见解析 【分析】（1）根据等角对等边、三角形内角和定理和两直线平行同位角相等，求得和利用“”证得，然后根据全等三角形对应角相等即可解答； （2）根据全等三角形对应边和对应角相等，求得，再根据有一个内角是的等腰三角形为等边三角形即可证得结论． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴是等边三角形． 22．(1)补全图见解析， (2)①见解析；②，证明见解析 【分析】（1）根据三角形内角和定理可得到，再利用对称的性质得到，即可得到答案； （2）①连接，，根据、都是等边三角形，易证得，进而得到，再根据点A关于的对称点是点F，可得到； ②在上取点，使，连接，先证明，再证明，则，得到，即可证明． 【详解】（1）解：如图，    中，，， 点A关于的对称点F， ∴； （2）解：①连接，，    ，，，， 是等边三角形，是等边三角形， ，，， ． 即， ， ， ， ， ， 点A关于的对称点是点F， ， ∴， ， ． ②，如图    在上取点，使，连接， 由①得，，， ∵， ∴ ∴，， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵对称， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴，即 ∵ ∴ ． 23．(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用证明即可得结论； （2）过C作交延长线于点E，先利用证明，可得，再证明，可得，进而根据线段的和差即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ 在和中， ， ∴， ∴； （2）证明：如图，过C作交延长线于点E， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 24．(1)； (2)，理由见解析； (3)． 【分析】（1）结合等边三角形性质、三线合一定理得出，，再结合等边对等角、三角形外角的性质可得，由等角对等边即可得解； （2）先结合等边对等角、平行线的性质证明是等边三角形，再结合等边三角形性质推得，由全等三角形性质可证； （3）过点作交延长线于点，先证是等边三角形，再结合等边三角形性质推得，得出，后，再证，可得． 【详解】（1）解：等边中，为的中点， ，， ，， ， ， 是的外角， ， ； （2）解：，理由如下： ， ， ， ，， ，是等边三角形， ， ， 即， ， ， 即， 在和中， ， ， ， ； （3）解：过点作交延长线于点， ，， 是等边三角形，， ， ， ， ，由平行线可得：， ， 在和中， ， ， ， 为中点， ，， 等边中，， ， 在和中， ， ， ， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $