精品解析：甘肃兰州市东方中学2025-2026学年第二学期期中考试卷高一数学

兰州东方中学2025-2026学年度第二学期期中考试卷 高一数学 试卷满分：150；考试时间：120分钟； 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 2. A. B. C. D. 3. 已知向量，，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 已知中已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 海上有三个小岛，，，则得，，，若在，两岛的连线段之间建一座灯塔，使得灯塔到，两岛距离相等，则，间的距离为 A. B. C. D. 6. 已知平面向量，，，若，，则在方向上的投影数量为（ ） A. B. C. D. 7. 已知锐角 满足，则 A. B. C. D. 8. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，使所得，则角B的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列两个向量，能作为平面中一组基底的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 10. 设复数在复平面内对应的点为，则下列说法正确的有（ ） A. 若，则或 B. 若，则的最小值为 C. 若，则 D. 若，则点的集合所构成图形的面积为 11. 在中，是的内切圆圆心，内切圆的半径为，则（ ） A. B. C. 的外接圆半径为 D. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知平面向量，则，的夹角为________． 13. 若，为实数，则的最小值为________． 14. 在中，角，，的对边分别为，，．若，，且该三角形有两解，则的取值范围是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 已知向量满足，与的夹角为 （1）求； （2）设向量与的夹角为，求的值． 16. 根据要求完成下列问题： （1）关于的方程有实根，求实数的值； （2）若复数的共轭复数对应的点在第一象限，求实数的集合. 17. 在中，内角、、所对的边分别为、、，若． （1）求角； （2）若，的周长为，求的面积． 18. 如图，在梯形中，，，E为上一点，且． （1）若，求的值； （2）已知． ①求的长； ②若，设P是线段上的一个动点（含端点），求的最大值． 19. 在中，角的对边分别为，向量，，满足. （1）求角的大小； （2）设有最大值为，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 兰州东方中学2025-2026学年度第二学期期中考试卷 高一数学 试卷满分：150；考试时间：120分钟； 注意事项： 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的四则运算可得复数，进而可得. 【详解】由，得， 即， 解得， 所以， 故选：B. 2. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据诱导公式及两角和的余弦公式计算即可求解. 【详解】， ， 故选：D 【点睛】本题主要考查了诱导公式，两角和的余弦公式，属于中档题. 3. 已知向量，，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用平面向量共线的坐标表示求出的值，再利用平面向量数量积的坐标运算可求得结果. 【详解】因为，则，因此，. 故选：D. 4. 已知中已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由同角三角函数的关系求得，再由诱导公式与二倍角公式可得结果. 【详解】因为中已知， 所以， ，故选A. 【点睛】本题主要考查同角三角函数的关系、诱导公式以及二倍角的正切公式的应用，属于中档题. 5. 海上有三个小岛，，，则得，，，若在，两岛的连线段之间建一座灯塔，使得灯塔到，两岛距离相等，则，间的距离为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：设由余弦定理可得, ，故选B． 考点：解三角形． 6. 已知平面向量，，，若，，则在方向上的投影数量为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据垂直和平行向量的坐标表示求出，，得到和的坐标，即可利用向量投影的公式进行求解. 【详解】由得． 由得，所以，． 所以，，，， 所以在方向上的投影数量为. 故选：B． 7. 已知锐角 满足，则 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据辅助角化简得，再由角的范围求得，从而利用同角三角函数间的关系可得答案. 【详解】因为， 所以， ，， 又，则 ，则 , 所以. 故选：B. 8. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，使所得，则角B的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由，利用正弦定理、和差公式、同角三角函数基本关系式化为：tanAtanC＝3+2．再利用基本不等式的性质、和差公式即可得出． 【详解】， 由正弦定理可得：（2+2）sinBcosAcosC＝sinAcosBcosC+sinCcosBcosA， ∴（2+2）sinBcosAcosC＝cosB（sinAcosC+sinCcosA）＝cosBsin（A+C）＝cosBsinB， ∵sinB≠0， ∴（2+2）cosAcosC＝cosB＝﹣cos（A+C）， ∴角A，B，C都为锐角， 化为：tanAtanC＝3+2． ∴tanA+tanC≥222（1），当且仅当tanA＝tanC1时取等号． ∴tanB＝﹣tan（A+C）1， B∈（0，π）， ∴B． ∴角B的最小值为． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了正弦定理、和差公式、同角三角函数基本关系式、基本不等式的性质、和差公式、三角函数的单调性，考查推理能力与计算能力，属于中档题． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列两个向量，能作为平面中一组基底的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】AD 【解析】 【分析】判断两向量是否平行，如平行则不可以作为基底. 【详解】对于A，因为，则，不平行，故，能作为基底； 对于B，零向量和任意向量平行，所以，不能作为基底； 对于C，，所以，平行，不能作为基底； 对于D，因为，则，不平行，故，能作为基底. 故选：AD. 10. 设复数在复平面内对应的点为，则下列说法正确的有（ ） A. 若，则或 B. 若，则的最小值为 C. 若，则 D. 若，则点的集合所构成图形的面积为 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A，利用列举反例的方法，结合模长公式，可得答案； 对于B，根据复数的几何意义，写出点的轨迹方程，根据圆外一点到圆上点的最短距离，可得答案； 对于C，根据复数的模长公式，可得答案； 对于D，根据模长的几何意义作图，结合圆的面积公式，可得答案. 【详解】对于A，当时，，故A错误； 对于B，设对应的点为，则其轨迹方程为， 由原点到的距离为，如下图： 易知当对应的点为时，取得最小值，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，由题意可作图如下： 点的集合所构成图形为图中的阴影部分，面积，故D正确. 故选：BD. 11. 在中，是的内切圆圆心，内切圆的半径为，则（ ） A. B. C. 的外接圆半径为 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据内心的性质判断A；由余弦定理求出，再由等面积法求出内切圆的半径，即可判断B，利用正弦定理判断C，依题意设，则，同理可设，再由平面向量基本定理得到方程组，求出，即可判断D. 【详解】因为内心是三角形内角平分线的交点， 所以在中，，故A错误； 由余弦定理可得， 因为的面积， 所以，故B正确； 设的外接圆半径为，则，故，故C正确； 对于D：方法一：因为在的平分线上， 所以可设，则， 同理可设，则， 得， 又、不共线，根据平面向量基本定理得，解得， 即，故D正确； 方法二：利用内心的性质结论，有， 即，所以， 即，故D正确. 故选：BCD 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知平面向量，则，的夹角为________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出的坐标，然后利用向量的夹角公式求解即可 【详解】因为，所以 所以， 因为 所以，的夹角为． 故答案为： 13. 若，为实数，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【详解】由可知，复数在复平面内对应的点的轨迹是以点为圆心，半径的圆. 为实数，故对应复平面内的点在实轴上. 表示圆上动点到实轴上动点的距离，设为到实轴的距离. 圆心到实轴的距离为，因此. 14. 在中，角，，的对边分别为，，．若，，且该三角形有两解，则的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】由正弦定理可得，依题意可得且，即可得到，从而求出的取值范围. 【详解】由正弦定理可得，即， 因为三角形有两解，所以且，则，即，所以， 即的取值范围是. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 已知向量满足，与的夹角为 （1）求； （2）设向量与的夹角为，求的值． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用数量积的定义及运算律列式求解. （2）利用数量积的运算律求出，再利用夹角公式求解. 【小问1详解】 由，与的夹角为，得， 所以. 【小问2详解】 由（1）得，，而， 所以. 16. 根据要求完成下列问题： （1）关于的方程有实根，求实数的值； （2）若复数的共轭复数对应的点在第一象限，求实数的集合. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设方程的根为，并代入方程中，根据复数相等得到方程组，可得答案； （2）写出的共轭复数，根据对应的点在第一象限，列出不等式组，可得答案. 【小问1详解】 设是其实根，代入原方程变形为， 由复数相等的定义，得， 解得； 【小问2详解】 由题意得，且对应的点在第一象限， ∴，即，解得， 故实数的集合为. 17. 在中，内角、、所对的边分别为、、，若． （1）求角； （2）若，的周长为，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理、两角和的正弦公式化简得出的值，结合角的取值范围可求得角的值； （2）由已知条件得出的值，结合余弦定理可得出的值，再利用三角形的面积公式可求得的面积. 【小问1详解】 由及正弦定理得 ， 因为、，所以，可得，则， 故. 【小问2详解】 因为，，所以， 由余弦定理可得， 所以，因此，的面积为. 18. 如图，在梯形中，，，E为上一点，且． （1）若，求的值； （2）已知． ①求的长； ②若，设P是线段上的一个动点（含端点），求的最大值． 【答案】（1） （2）①；②． 【解析】 【分析】（1）根据向量的线性运算，结合图形的几何性质，可得答案； （2）①利用同一组基底表示向量，根据数量积的运算律，可得答案； ②设，利用基底计算，根据二次函数性质求最值. 【小问1详解】 因为，，所以， 所以 ， 又，与不共线，所以，， 则． 【小问2详解】 ①由（1）知，， ， 所以 ． 又，所以，解得． ②设， 则， ． 又因为∠BAD＝，，， 所以 ． 因为，函数的对称轴为， 所以时，的最大值为． 19. 在中，角的对边分别为，向量，，满足. （1）求角的大小； （2）设有最大值为，求的值. 【答案】（1）； （2）或1． 【解析】 【分析】（1）等式平方得，由数量积坐标表示后利用正弦定理化角为边，再由余弦定理可得； （2）计算出后，化为的二次函数形式，分类讨论可得． 【小问1详解】 因为，所以， 即， 所以， 所以， 由正弦定理得，即， 所以，又，所以； 【小问2详解】 由题意， 又，所以，， 若，即，则，解得， 若，即，则，． 综上，或1． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $