广西玉林市高一数学下学期阶段测试2025-2026学年（人教A版必修第二册第六、七章）

**基本信息** 高一数学月考卷聚焦复数、向量与解三角形，通过几何应用与费马点情境设计，考查数学抽象、逻辑推理与模型构建能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|复数共轭、向量共线、圆的弦长|基础概念辨析，如向量投影与充要条件判断| |多选题|3/18|复数几何意义、直角梯形向量运算|多选项分层赋分，考查推理严谨性| |填空题|3/15|复数运算、三角形解的个数|强调运算准确性，如已知两边及对角解三角形| |解答题|5/77|菱形向量计算、平面四边形解三角形、费马点应用|以几何图形为载体，融合向量与三角知识，如费马点问题体现文化传承与创新应用|

2026年春季期3月考试 高一数学 试题 考试时间：120分钟 满分：150分 命题人： 一、单选题:本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知复数满足，则共轭复数的虚部为（    ） A． B． C． D． 2．已知平面向量，，若与共线，则实数的值为（    ） A．2 B． C．8 D． 3．已知和的夹角为，且，则（    ） A．1 B． C．3 D．-1 4．已知平面向量，是不共线的两个向量，，，，则（   ） A．，，三点共线 B．，，三点共线 C．，，三点共线 D．，，三点共线 5．已知线段是圆的一条长为4的弦，则（ ）. A．4 B．6 C．8 D．16 6．已知单位向量，满足，则在上的投影向量为（ ）. A． B． C． D． 7．记为的内角的对边，则“为直角三角形”是“”的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 8．如图，在中，，是的中点，若， 则（ ）. A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题的选项中，有多项符合题目要求．（答案有两个选项只选一个对得3分，错选不得分；答案有三个选项只选一个对得2分，只选两个都对得4分，错选不得分）. 9．若复数为的共轭复数，则以下正确的是（    ） A．在复平面对应的点位于第四象限 B． C． D．为纯虚数 10.在直角梯形中，，，，，E为线段的中点，则（ ） A． B． C． D． 11．已知向量，，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．向量与夹角的取值范围是 C．与共线的单位向量为 D．存在，使得 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．是虚数单位，复数_____________． 13．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则______． 14．若满足，，的有两个，则实数的取值范围为 ． 4、 解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．如图，在菱形中，. (1)若，求的值； (2)若，，求. 16．已知向量. （1）若，求； （2）若，求. （3）若的夹角是锐角，求的取值范围。 17．如图为平面四边形中的角平分线，的面积为 (1)求边BC的长度； (2)若的外接圆直径求△ACD的周长. 18.在中，内角，，的对边分别为，，，且. (1)求角的大小； (2)若，的面积为，求的周长； (3)若为锐角三角形，求的取值范围. 19.正等角中心亦称费马点，是三角形的巧合点之一．“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答，当中的三个内角均小于时，使得的点O即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知的内角所对的边分别为，若． (1)求A； (2)若，求的面积； (3)设点P为的费马点，求． 高一数学试题第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 高一数学试题第1页 （共4页） ◎ 第2页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 答案第1页，共2页 高一数学试题答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年春季期3月考高一数学 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B D D C B B D ABD ACD 题号 11 答案 ABD 1．B 【分析】根据复数得到共轭复数，即可得到虚部. 【详解】已知复数满足，则， ∴的虚部为. 2．A【分析】先计算出向量的坐标，即，再根据向量共线解出的值. 【详解】由题意可得， 因为与共线， 所以，解得，故A正确. 3．D.【分析】利用向量数量积的运算律及数量积的定义即得. 【详解】因为和的夹角为，，， 所以.故选：D. 4．D 【分析】利用平面向量共线向量定理求解即可. 【详解】由题意，，，， 不存在唯一的实数使得，所以，，三点不共线，故A错误， 由于， 所以，则，，三点共线，故D正确. 由于， 不存在唯一的实数使得， 不存在唯一的实数使得，故BC错误， 故选：D. 5．C 【详解】取中点，连接， 易知，所以.故选：C． 6．B【详解】因为，，所以在上的投影向量为 故选：B. 7．B 【分析】根据给定条件，利用正弦定理边化角，结合和角的正弦化简确定三角形形状，再利用充分条件、必要条件的定义判断. 【详解】在中，由及正弦定理，得 ，则， 而，则，两边平方整理得，而， 于是，，因此为直角三角形； 反之，为直角三角形，或或， 所以“为直角三角形”是“”的必要不充分条件，B正确. 故选：B 8．D【详解】因为，所以，因为是的中点，所以，所以， 又，所以，，即.故选：D. 9．ABD 【分析】根据复数的几何意义，乘除法运算，共轭复数，复数模的运算公式，可判断各个选项. 【详解】对A，，复数在复平面内对应的点为，复数在复平面内对应的点位于第四象限，故A正确； 对B，根据复数模的公式，，故B正确； 对C，，而，故C错误； 对D，，，故D正确. 故选：BD. 10．ACD【详解】A项，，故A正确； B项，，故B不正确；C项，因为与反向共线，，所以，故C正确； D项， ，故D正确．故选：ACD． 11．ABD 【分析】对于A，利用三角函数的商数关系求解即可；对于B，利用向量夹角的余弦公式与三角函数的性质即可求解；对于C，利用共线单位向量的定义求解即可；对于D，利用向量积的运算法则，结合三角函数的商数关系即可得解. 【详解】对于A，若，则，即， 又，则，故A正确； 对于B，设向量与的夹角为， 则， 因为，则，所以，即， 又，所以，即向量与夹角的取值范围是，故B正确； 对于C，与共线的单位向量为或，即或，故C错误； 对于D，假设存在，使得， 则，即，则， 所以，即，又，则，故D正确. 故选：ABD. 12.【分析】利用复数的除法化简可得结果. 【详解】.故答案为：. 13．1 【分析】根据余弦定理计算即可. 【详解】, 故答案为：1. 14．【详解】解：∵，，，∴由正弦定理得， ∵，，若，即时，三角形只有一解；若，即时，三角形有两解；若，即时，三角形只有一解；综上可得的范围为. 故答案为： .15．(1) (2) 【分析】（1）由题意可知，即可求解； （2），从而即可求解. 【详解】（1）因为在菱形中，. 故，………………4分 故，所以.………………2分 （2）显然，………………1分 所以 ①，………………2分 因为菱形，且，， 故，. 所以.………………2分 故①式.………………2分 故. 16．（1）26；（2）. 【详解】（1）因为，所以，………………1分 解得，………………1分 所以，………………1分 则.………………2分 （2） 因为，所以，………………1分 解得，……………………1分 所以………………1分 则………………2分 （3） 夹角为锐角，且不同向，………………1分 ，………………2分 解得：，………………1分 k的取值范围为.………………1分 17．1．(1) (2) 【分析】（1）利用三角形的面积公式与余弦定理求解即可； （2）先用正弦定理求，进而利用余弦定理可求，从而可得周长. 【详解】（1）由为的角平分线及，知.………………1分 ，即，得.………………2分 .………………3分 故边BC的长度为. （2）由的外接圆直径，得，则.………………2分 由余弦定理知，，………………1分 设，则，即，………………2分 ，解得（舍去）或，则.………………2分 所以△ACD的周长为.………………2分 18.(1) (2) (3) （1）由正弦定理，………1分， 所以.………1分 由余弦定理，，………2分 且为三角形内角，所以.………1分 （2）由余弦定理，.………1分 又.………2分 所以， .………2分 所以△ABC的周长为.………1分 （3）因为△ABC为锐角三角形，且，所以，且，………2分 所以………1分 .………1分 因为，所以，所以， 所以.………2分 19．5．(1) (2) (3) 【分析】（1）由正弦定理角化边和余弦定理化简即可求出； （2）由三角形的面积公式即可得出答案； （3）费马点定义结合三角形的面积公式和向量数量积的定义式计算可得. 【详解】（1）由正弦定理得，即，………………1分 所以，………………2分 又，所以.………………2分 （2）因为，若，………………1分 则的面积为：.………………3分 （3）易知的三个角都小于，由费马点定义可知：， 设，由得：………………2分 ，整理得，………………3分 则.………………3分 答案第1页，共2页 高一数学试题答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $Sheet1 题号 题型 分值 知识点 难度系数 1 单选题 5 复数、共轭复数 0.90 2 单选题 5 向量的坐标计算 0.85 3 单选题 5 向量数量积、运算律 0.8 4 单选题 5 平面向量共线向量定理应用 0.75 5 单选题 5 向量数量积应用 0.75 6 单选题 5 投影向量 0.7 7 单选题 5 正弦定理边化角、充分条件必要条件 0.6 8 单选题 5 平面向量基本定理、三点共线 0.55 9 多选题 6 复数的几何意义，乘除法运算，共轭复数，复数模的运算公式 0.85 10 多选题 6 向量数量积、向量的线性运算、基地、相反向量 0.75 11 多选题 6 三角函数的商数关系、向量夹角的余弦公式与三角函数的性质、共线单位向量、向量积的运算法则 0.6 12 填空题 5 复数“实数化”、共轭复数 0.85 13 填空题 5 余弦定理 0.8 14 填空题 5 正弦定理、三角形解的个数 0.4 15 解答题 13 向量数量积、运算律、平面向量基本定理 0.85 16 解答题 15 向量的坐标计算、向量的平行垂直、向量的夹角 0.8 17 解答题 15 三角形的面积公式、余弦定理、正弦定理 0.65 18 解答题 17 余弦定理正弦定理的综合运用、解三角、三角形的面积公式、三角函数 0.5 19 解答题 17 向量新定义、正弦定理角化边和余弦定理化简、三角形的面积公式、费马点定义、三角形的面积公式、向量数量积 0.35 Sheet2 Sheet3 $