考点14 二次根式的概念（专项训练）数学新教材苏科版八年级下册

**基本信息** 以“概念-性质-化简”为逻辑主线，通过易错点剖析与分层题型设计，系统构建二次根式认知体系，培养抽象能力与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |考点|3个核心考点|二次根式两要素判断、双重非负性应用、性质化简规则|从定义（含被开方数非负）到性质（平方与开方关系），再到化简（积商算术平方根）| |题型|10类分层题型|识别抓根指数与被开方数非负、求值先定取值范围、化简结合绝对值性质|基础识别→条件求值→综合化简→中考应用，覆盖概念理解到综合迁移|

考点14 二次根式的概念 考点一：二次根式的相关概念 1.二次根式 二次根式的定义：一般地，我们把形如（𝑎≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号，a叫做被开方数． 【易错易混】 1、二次根式的两个要素（判断依据）：含有二次根号“”，且根指数为2；被开方数为非负数； 2、二次根式定义中规定，任何非负数的算术平方根都是二次根式，不需要看化简后的结果，如：，-都是二次根式； 3、二次根式的被开方数a可以是一个数，也可以是一个式子，但都要满足𝑎≥0； 4、在具体问题中，如果已知是二次根式，相当于给出了𝑎≥0. 2.二次根式有意义的条件 1、单个二次根式，如有意义的条件是𝑎≥0； 2、二次根式作为分母时，如有意义的条件是𝑎>0； 3、二次根式与分式相加，如有意义的条件是𝑎≥0且b＞0. 考点二：二次根式的性质 二次根式的性质 1、式子（𝑎≥0）既表示二次根式，又表示非负数a的算术平方根（），所以具有双重非负性； 2、，即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身； 3、，即一个数平方的算术平方根等于它本身的绝对值. 考点三：二次根式的化简 二次根式的化简：1、利用二次根式的基本性质进行化简； 2、利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简． ， 【易错易混】 1.在使用 =• 时一定要注意 2.在使用（a≥0，b＞0）时一定要注意 题型一：二次根式的识别 只凭有根号就判定，忽视被开方数必须非负；忽略根指数为 2 的要求，混淆算术平方根与二次根式，易漏隐含取值条件。 1．下列是二次根式的是（ ） A． B． C． D． 2．下列式子中：，，，，，二次根式的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．下列式子①：②；③；④：⑤中，二次根式的个数为（        ） A．2 B．3 C．4 D．5 4．下列各式中①，②，③，④，⑤，二次根式的个数为（       ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型二：求二次根式的值 求值易忽略被开方数非负条件，盲目代入计算；混淆算术平方根正负性，化简出错，还易遗漏字母取值限制导致结果错误。 5．当时，二次根式的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 7．当x的值为_________时，的值最大，这个最大值为_________． 8．已知实数，满足，求的值． 题型三：根据二次根式有意义的条件求解 只单独考虑根式非负，忽略分母不为零、零次幂底数不为零；多根式题型漏写限制条件，解不等式出错，取值范围书写不规范。 9．已知函数，则自变量的取值范围是（    ） A． B． C． D． 10．函数自变量的取值范围是（    ） A． B． C． D． 11．函数中，自变量的取值范围是__________． 12．已知等式成立，求的值． 题型四：根据二次根式有意义的条件求参数 13．若成立，则的值可以是（    ） A． B． C．3 D．4 14．已知，则的平方根是______． 15．已知有理数，满足，则的算术平方根是___________． 16．已知为实数，且满足． (1)求的值； (2)求的平方根． 题型五：根据二次根式被开方数的非负性求值 不会利用被开方数互为相反数均非负列式，找不出隐藏相等关系；求出数值后代入计算粗心，忽略整体代换，容易算错结果。 17．化简的结果是（   ） A． B． C． D． 18．已知实数满足，则化简的结果是（    ） A． B． C．4 D． 19．若，则的值是（     ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 20．若，则的值为___________． 题型六：根据二次根式是整数求字母的值 21．已知是正整数，是整数，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 22．已知a是正整数，且的值是整数，则正整数a所有可能的值的和为（   ） A．136 B．131 C．100 D．94 23．若m为正整数，且满足，则________． 24．若 是整数，求自然数 n 所有可能的值． 题型七：利用二次根式的性质化简 混淆与用法，去绝对值不分正负；忽略字母取值范围乱开方，化简不彻底，符号判断频繁出错。 25．已知，则化简二次根式的结果是（    ） A． B． C． D． 26．如图，在中，对角线，相交于点O，若，则化简的结果为（    ） A．4 B． C． D． 27．若，则代数式的值为______． 28．【观察规律】 观察下列式子：，， ， 【类比分析】 (1)按照上述式子的书写格式，再接着写出两个同类型的式子； 【推理证明】 (2)用含n（，且n是正整数）的式子表示上述规律，并给出证明； 【创新应用】 (3)按此规律，若（a，b为正整数），求的值． 题型八：数轴与二次根式的化简问题 29．实数a在数轴上的位置如图所示，化简：（　　） A． B．2 C． D． 30．若实数在数轴上的位置如图所示，则代数式的化简结果为（    ） A． B． C． D． 31．已知实数a、b在数轴上的对应点如图所示，化简：=________ ． 32．阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件并回答下面的问题． 化简：． 解：隐含条件，解得：， ， 原式． 【启发应用】 (1)按照上面的解法，试化简； 【类比迁移】 (2)实数，在数轴上的位置如图所示，化简：． 题型九：根据含隐含条件的参数范围化简二次根式 33．已知，则的值是（    ） A．3 B． C． D． 34．把化简得（   ） A． B． C． D． 35．已知，化简 _____________ ． 36．计算的结果是______． 题型十：复合二次根式的化简 不会拆分凑完全平方，配方时系数搭配错误；分不清正负符号，开方后漏加绝对值，忽略式子取值范围导致结果符号出错。 37．阅读材料：一般地，我们把被开方数中含有二次根式的二次根式称为复合二次根式，例如：，，等都是复合二次根式．其中有一些特殊的复合二次根式可以进行化简，例如：．请利用上述运算法则化简：_____． 38．形如的化简，只要我们找到两个数，使，使得，那么． 例如：．根据上述材料中例题的方法，化简：___________． 39．【阅读材料】小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如：；； (1)填空： ， ． (2)进一步研究发现：形如的化简，只要我们找到两个正数，使，即，那么便有： ． 【拓展提升】 (3)化简：（请写出化简过程）． 40．综合与实践 【项目主题】 八年级同学在学习《二次根式》和《勾股定理及其逆定理》两章时，会遇到这种复杂形式的二次根式化简问题，如化简，，等，班级数学兴趣小组通过适当的变形帮助他们化简． 【项目准备】 简单介绍数学兴趣小组的数学变形方法．例如： ， ． 【项目实施】 帮助八年级同学完成如下任务： (1)化简； (2)化简． 1．（2026·广东广州·一模）要使式子有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·陕西安康·阶段检测）已知a是正整数，且二次根式的值是整数，则正整数a所有可能的值的和为（   ）． A．24 B．26 C．28 D．30 3．（2026·江苏南通·模拟预测）若x，y为有理数，且，则的值为 （     ） A．0 B． C．2 D．不能确定 4．（24-25八年级下·山东日照·阶段检测）已知、、在数轴上的对应点如图所示，化简：（    ） A． B． C． D． 5．（2026八年级上·江苏无锡·专题练习）若，，，则、、的大小关系是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级下·江苏宿迁·月考）已知，则______． 7．（25-26八年级上·上海青浦·期末）当时，化简_____． 8．（25-26八年级上·江苏南通·阶段检测）实数a、b在数轴上的对应点如图所示，化简代数式的值为_________． 9．（24-25八年级下·江苏南京·月考）已知实数a满足，那么的值是________． 10．（22-23八年级上·福建宁德·期中）若，则的值为__________． 11．（25-26八年级下·广东中山·月考）根据已知条件，求代数式的值 (1)已知x、y为实数，且，求的值； (2)已知，求代数式的值． 12．（21-22八年级下·江苏宿迁·月考）已知实数a、b在数轴上的位置如图所示：试化简． 13．（25-26八年级上·江苏南京·月考）计算： (1)； (2)． 14．（25-26八年级上·河南平顶山·月考）求代数式的值，其中．下面是小芳和小亮的解题过程，都是把含有字母式子先开方再进行运算的方法，请认真思考、理解解答过程，回答下列问题． 小芳：解：原式， 小亮：解：原式． (1)______的解法是错误的； (2)求代数式的值，其中． 15．（24-25八年级下·广西南宁·开学考试）【阅读材料】先来看一个有趣的现象：，这个根号里的2经过适当的演变，竟然可以“跑”到根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”．具有这现象的数还有许多，例如：等． 【猜想】（1） ； 【推理证明】（2）请你用一个正整数n（n为“穿墙”数，）表示含有上述规律的等式，并给出证明． 【创新应用】（3）按此规律，若（a，b为正整数），求的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 考点14 二次根式的概念 考点一：二次根式的相关概念 1.二次根式 二次根式的定义：一般地，我们把形如（𝑎≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号，a叫做被开方数． 【易错易混】 1、二次根式的两个要素（判断依据）：含有二次根号“”，且根指数为2；被开方数为非负数； 2、二次根式定义中规定，任何非负数的算术平方根都是二次根式，不需要看化简后的结果，如：，-都是二次根式； 3、二次根式的被开方数a可以是一个数，也可以是一个式子，但都要满足𝑎≥0； 4、在具体问题中，如果已知是二次根式，相当于给出了𝑎≥0. 2.二次根式有意义的条件 1、单个二次根式，如有意义的条件是𝑎≥0； 2、二次根式作为分母时，如有意义的条件是𝑎>0； 3、二次根式与分式相加，如有意义的条件是𝑎≥0且b＞0. 考点二：二次根式的性质 二次根式的性质 1、式子（𝑎≥0）既表示二次根式，又表示非负数a的算术平方根（），所以具有双重非负性； 2、，即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身； 3、，即一个数平方的算术平方根等于它本身的绝对值. 考点三：二次根式的化简 二次根式的化简：1、利用二次根式的基本性质进行化简； 2、利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简． ， 【易错易混】 1.在使用 =• 时一定要注意 2.在使用（a≥0，b＞0）时一定要注意 题型一：二次根式的识别 只凭有根号就判定，忽视被开方数必须非负；忽略根指数为 2 的要求，混淆算术平方根与二次根式，易漏隐含取值条件。 1．下列是二次根式的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：二次根式的定义为：形如的式子叫做二次根式． ∵ 选项A中，被开方数，∴ 不是二次根式，排除A； ∵ 选项B中，的符号不确定，当时，被开方数为负数，∴ 不是二次根式，排除B； ∵ 对任意实数，都有，∴ ，被开方数恒为非负数，∴ 是二次根式； ∵ 选项D中，当时，，被开方数为负数，∴ 不是二次根式，排除D． 2．下列式子中：，，，，，二次根式的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】二次根式的定义为：形如的式子叫做二次根式，需要同时满足根指数为2、被开方数非负两个条件，逐个判断统计个数即可． 【详解】解：∵的根指数为2，且，满足条件，∴是二次根式； ∵的被开方数，不满足条件，∴不是二次根式； ∵的根指数为3，不满足条件，∴不是二次根式； ∵的根指数为2，且，满足条件，∴是二次根式； ∵的根指数为2，且，满足条件，∴是二次根式； 综上，符合条件的二次根式共3个． 3．下列式子①：②；③；④：⑤中，二次根式的个数为（        ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据二次根式的定义逐个判断每个式子，统计符合条件的个数即可得到答案． 【详解】解：①：根指数为2，被开方数，是二次根式； ②：被开方数，在实数范围内无意义，不是二次根式； ③：根指数为2，，，满足被开方数非负，是二次根式； ④：根指数为3，属于三次根式，不是二次根式； ⑤：根指数为2，被开方数，是二次根式； 综上，符合条件的二次根式共3个，故选B． 4．下列各式中①，②，③，④，⑤，二次根式的个数为（       ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】先明确二次根式的定义，二次根式需要同时满足两个条件：根指数为2，且被开方数（式）为非负数，再逐个判断各式得到二次根式的个数． 【详解】解：①是二次根式； ②在中，由于a的取值未定，不能保证被开方数为非负数，故不是二次根式； ③是二次根式； ④不是二次根式； ⑤不是二次根式； 综上，符合要求的二次根式共2个，故选B． 题型二：求二次根式的值 求值易忽略被开方数非负条件，盲目代入计算；混淆算术平方根正负性，化简出错，还易遗漏字母取值限制导致结果错误。 5．当时，二次根式的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】将给定的x值代入二次根式，化简计算即可得到结果． 【详解】解：∵ ， ∴． 6．已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了立方根的性质，相反数的性质，二次根式的求值，由立方根的性质可得与互为相反数，即得，得到，再代入二次根式计算即可求解，由立方根的性质得到是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴与互为相反数， ∴， ∴， ∴， 故选：． 7．当x的值为_________时，的值最大，这个最大值为_________． 【答案】 0 1 【分析】本题主要考查二次根式的性质，掌握是解题的关键， 当最小时，的值最大，求出答案即可． 【详解】解：因为的值最大， 所以最小时，符合题意， 即当时，，此时的值最大， 所以当x的值为0时，的值最大，最大值为1． 故答案为：0，1． 8．已知实数，满足，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质，积的乘方的逆用，同底数幂乘法的逆用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先结合二次根式的非负性，得，即，又因为，得，整理，最后代入数值计算，即可作答． 【详解】解：结合二次根式有意义的性质，得， ∴， 即， ∴， 则 ． 题型三：根据二次根式有意义的条件求解 只单独考虑根式非负，忽略分母不为零、零次幂底数不为零；多根式题型漏写限制条件，解不等式出错，取值范围书写不规范。 9．已知函数，则自变量的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，据此列不等式求解即可． 【详解】解：∵二次根式的被开方数必须为非负数， ∴， 解得． 10．函数自变量的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查函数自变量取值范围的求解，需要结合二次根式有意义的条件和分式分母不为0的条件分析计算． 【详解】解：∵ 函数中，二次根式的被开方数需非负，且分母不能为0， ∴ ， 解得 ． 11．函数中，自变量的取值范围是__________． 【答案】且 【分析】根据同时满足二次根式被开方数非负、分式分母不为零列不等式组求解即可． 【详解】解：∵函数有意义， ∴，解得：且， ∴函数中自变量的取值范围是且． 12．已知等式成立，求的值． 【答案】 【分析】根据二次根式有意义的条件求出m的值，进而求出n的值，最后代入所求式子中求值即可． 【详解】解：∵等式成立， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型四：根据二次根式有意义的条件求参数 13．若成立，则的值可以是（    ） A． B． C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查二次根式与分式有意义的条件，根据二次根式除法的性质列出不等式组，求解得到的取值范围，再结合选项即可得到答案． 【详解】解：因为等式成立，根据二次根式有意义的条件和分式分母不为0的要求，可得 解不等式，得， 解不等式，得， 因此的取值范围为， 对照选项，只有符合取值范围，故选B． 14．已知，则的平方根是______． 【答案】 【分析】根据二次根式有意义的条件可得，则有，然后根据平方根可进行求解． 【详解】解：由可知：， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∵25的平方根是， ∴的平方根是． 15．已知有理数，满足，则的算术平方根是___________． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的非负性、解一元一次方程以及代数式的化简与求值，由二次根式的非负性得出的值，进而求出的值，再将，的值代入即可求出． 【详解】解：由二次根式的非负性可知，解得， ， ， 解得， ． 16．已知为实数，且满足． (1)求的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)； (2)的平方根为． 【分析】（1）由二次根式有意义的条件，可得，，即可得的值； （2）由（1）得，结合已知可得，可得，即可得的平方根． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的平方根为． 题型五：根据二次根式被开方数的非负性求值 不会利用被开方数互为相反数均非负列式，找不出隐藏相等关系；求出数值后代入计算粗心，忽略整体代换，容易算错结果。 17．化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由二次根式有意义的条件确定的取值范围，然后根据二次根式的性质解题即可． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴要求被开方数非负，即，得， ∵， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ． 18．已知实数满足，则化简的结果是（    ） A． B． C．4 D． 【答案】B 【分析】利用二次根式有意义的条件确定的取值，然后代入二次根式化简． 【详解】解：根据题意得， 解得， ∴， ∴． 19．若，则的值是（     ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 【答案】C 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，绝对值的化简，能够熟练使用相关的运算法则是解题的关键． 先根据二次根式有意义的条件确定x的取值范围，再利用绝对值的性质化简原式，整理后即可求出答案． 【详解】解：∵有意义， ∴， 即， ∴， ∴， 则， 整理得， 两边平方得， 移项得． 20．若，则的值为___________． 【答案】4 【分析】本题考查了完全平方公式，非负数的性质． 将化为，利用非负数的性质，得到两个方程并求解，进而代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，且， ∴和， 即和， 解得，， ∴． 故答案为：． 题型六：根据二次根式是整数求字母的值 21．已知是正整数，是整数，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的化简及完全平方数的性质，关键是熟练应用知识点解题；先将化简，再根据结果为整数的条件确定的最小值. 【详解】解：∵， 又∵是整数，是正整数， ∴必须是整数，即为完全平方数， ∴最小为时，是完全平方数， ∴的最小值是， 故选：C． 22．已知a是正整数，且的值是整数，则正整数a所有可能的值的和为（   ） A．136 B．131 C．100 D．94 【答案】B 【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟记二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．根据是整数，求出a的取值范围，再根据a是正整数，即可得出答案． 【详解】解：∵a是正整数，的值是整数， ∴ 当时，即， 当时，即， 当时，即， 当时，即， 当时，即， 当时，即， 综上所述，正整数a的值可以是31，30，27，22，15，6， ∴所有可能的a之和为． 23．若m为正整数，且满足，则________． 【答案】10 【分析】先利用不等式的性质得到的取值范围，再估算出的取值范围，结合为正整数即可求解． 【详解】解：∵， ∴，即， ， ， ， 为正整数，且满足， ． 24．若 是整数，求自然数 n 所有可能的值． 【答案】2， 13， 22， 29， 34， 37， 38 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，准确熟练地进行计算是解题的关键． 根据二次根式的性质进行计算即可解答． 【详解】解：∵n是自然数， 是整数， ∴，，且是平方数， ∴， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； ∴自然数 n 所有可能的值为2， 13， 22， 29， 34， 37， 38． 题型七：利用二次根式的性质化简 混淆与用法，去绝对值不分正负；忽略字母取值范围乱开方，化简不彻底，符号判断频繁出错。 25．已知，则化简二次根式的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据二次根式有意义的条件求出x、y的正负，再化简二次根式即可． 【详解】解：∵有意义， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 26．如图，在中，对角线，相交于点O，若，则化简的结果为（    ） A．4 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行四边形的性质求出，，根据三角形三边的关系求出，则，，然后根据二次根式的性质，绝对值的意义等化简即可. 【详解】解：∵在中，对角线，相交于点O，， ∴，， ∴，即， 又， ∴， ∴，， ∴ . 27．若，则代数式的值为______． 【答案】 【分析】由已知可得，即得，得到，再整体代入计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴． 28．【观察规律】 观察下列式子：，， ， 【类比分析】 (1)按照上述式子的书写格式，再接着写出两个同类型的式子； 【推理证明】 (2)用含n（，且n是正整数）的式子表示上述规律，并给出证明； 【创新应用】 (3)按此规律，若（a，b为正整数），求的值． 【答案】(1) ， (2) （，为正整数），证明见解析 (3) 【分析】（1）按照给定格式，可得符合规律的两个式子； （2）先根据已知式子的特征总结出通用规律，再利用二次根式的化简性质证明规律； （3）由总结的规律可知，，，即可求得答案． 【详解】（1）解：按照给定格式，可得符合规律的两个式子： ， ； （2）解：规律为：（，为正整数）， 证明： ∵左边，右边， ∴左边右边，等式成立； （3）解：由（2）可知，（，为正整数）， ∵（a，b为正整数）， ∴，， ∴， ． 题型八：数轴与二次根式的化简问题 29．实数a在数轴上的位置如图所示，化简：（　　） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】由数轴可得，则，，再根据绝对值的性质和二次根式的性质进行化简即可． 【详解】解：由数轴可得， ∴，， ∴ ． 30．若实数在数轴上的位置如图所示，则代数式的化简结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由图得出，根据二次根式性质化简，再化简绝对值，最后合并即可. 【详解】解：由数轴可知 ， ，， 原式 . 31．已知实数a、b在数轴上的对应点如图所示，化简：=________ ． 【答案】/ 【分析】由数轴可知，，进而判断式子的正负，再根据绝对值和二次根式的性质化简即可． 【详解】解：由数轴可知，， ，， ． 32．阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件并回答下面的问题． 化简：． 解：隐含条件，解得：， ， 原式． 【启发应用】 (1)按照上面的解法，试化简； 【类比迁移】 (2)实数，在数轴上的位置如图所示，化简：． 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）先根据题意得到，据此化简二次根式即可； （2）先根据数轴得到，，据此化简二次根式和绝对值即可． 【详解】（1）解：∵有意义， ∴，即， ∴ ； （2）解：由题意得，， ∴， ∴ ． 题型九：根据含隐含条件的参数范围化简二次根式 33．已知，则的值是（    ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【分析】先计算的值，再开方得到最终结果． 【详解】解：根据完全平方公式可得， 把代入上式得， 对等式两边开平方得． 34．把化简得（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据二次根式有意义的条件确定的取值范围，再利用二次根式的性质化简即可得到结果． 【详解】解：∵ 二次根式中被开方数非负， ∴ ， 解得， ∴． 35．已知，化简 _____________ ． 【答案】 【详解】解：，有意义， ， ， ． 36．计算的结果是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件、二次根式的性质，由二次根式的被开方数非负，得出 ，再根据二次根式的性质进行化简． 【详解】解：二次根式的被开方数必须是非负数， ， 解得： ， ． 故答案为： 题型十：复合二次根式的化简 不会拆分凑完全平方，配方时系数搭配错误；分不清正负符号，开方后漏加绝对值，忽略式子取值范围导致结果符号出错。 37．阅读材料：一般地，我们把被开方数中含有二次根式的二次根式称为复合二次根式，例如：，，等都是复合二次根式．其中有一些特殊的复合二次根式可以进行化简，例如：．请利用上述运算法则化简：_____． 【答案】 【分析】将被开方数变形凑成完全平方公式的形式，再利用二次根式的性质化简即可. 【详解】解： . 38．形如的化简，只要我们找到两个数，使，使得，那么． 例如：．根据上述材料中例题的方法，化简：___________． 【答案】/ 【分析】把化为，再进行化简即可． 【详解】解：． 39．【阅读材料】小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如：；； (1)填空： ， ． (2)进一步研究发现：形如的化简，只要我们找到两个正数，使，即，那么便有： ． 【拓展提升】 (3)化简：（请写出化简过程）． 【答案】(1)，； (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的性质，完全平方公式的应用，解题的关键是掌握完全平方公式，把式子正确转化为完全平方公式的形式． （1）根据完全平方公式对式子进行配方，求解即可； （2）根据题意，将式子配成完全平方式的形式，求解即可； （3）分别对，进行化简，变成完全平方式的形式，然后根据二次根式的性质进行化简，求解即可． 【详解】（1）解：， ， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵两个正数 ∴ ∴； （3）解：， 同理可得， ∴， ， ， ． 40．综合与实践 【项目主题】 八年级同学在学习《二次根式》和《勾股定理及其逆定理》两章时，会遇到这种复杂形式的二次根式化简问题，如化简，，等，班级数学兴趣小组通过适当的变形帮助他们化简． 【项目准备】 简单介绍数学兴趣小组的数学变形方法．例如： ， ． 【项目实施】 帮助八年级同学完成如下任务： (1)化简； (2)化简． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先对根号下数字变形为完全平方式，再利用二次根式的性质化简即可； （2）先对根号下数字变形为完全平方式，再利用二次根式的性质化简即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 1．（2026·广东广州·一模）要使式子有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次根式有意义的条件为．据此列出不等式求解即可． 【详解】解：∵式子有意义， ∴， 解得：， ∴的取值范围是． 2．（25-26八年级下·陕西安康·阶段检测）已知a是正整数，且二次根式的值是整数，则正整数a所有可能的值的和为（   ）． A．24 B．26 C．28 D．30 【答案】B 【分析】根据是整数，求出a的取值范围，再根据a是正整数，即可得出答案． 【详解】解：∵a是正整数，的值是整数， ∴， 当时，即， 当时，即， 当时，即， 当时，即， 综上所述，正整数a的值可以是10，9，6，1， ∴所有可能的a之和为． 3．（2026·江苏南通·模拟预测）若x，y为有理数，且，则的值为 （     ） A．0 B． C．2 D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查二次根式有意义的条件．先根据被开方数非负求出x的值，再代入求出y的值，最后计算即可． 【详解】解：∵，且， ∴，解得， 将代入中得：． ∴． 故选:C． 4．（24-25八年级下·山东日照·阶段检测）已知、、在数轴上的对应点如图所示，化简：（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由图可知，，，， ∴，，， ∴ ， ， ， ． 5．（2026八年级上·江苏无锡·专题练习）若，，，则、、的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次根式的性质与化简，因式分解的应用，实数的大小比较，熟练掌握二次根式的性质与化简，完全平方公式，二次根式的比较大小进行求解是解决本题的关键． 分别计算、、的值并比较大小，通过提取公因数简化，利用平方差公式简化，通过完全平方公式简化． 【详解】解：， ， ， ， 故选C． 6．（24-25八年级下·江苏宿迁·月考）已知，则______． 【答案】 【分析】根据算术平方根的非负数性质解答即可． 【详解】解：由题意得，， 解得，， 所以． 故答案为：． 7．（25-26八年级上·上海青浦·期末）当时，化简_____． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的性质和化简，根据二次根式的性质进行化简即可． 【详解】解：要使根式有意义，则， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 8．（25-26八年级上·江苏南通·阶段检测）实数a、b在数轴上的对应点如图所示，化简代数式的值为_________． 【答案】 【分析】分析,的取值范围，进而根据二次根式的性质以及绝对值的性质判断即可． 本题考查的是实数与数轴的关系，熟练掌握二次根式的性质是解题关键． 【详解】解：由数轴可知，, 则,,, 故答案为：． 9．（24-25八年级下·江苏南京·月考）已知实数a满足，那么的值是________． 【答案】2026 【分析】根据二次根式的有意义的条件，化简绝对值，后计算解答即可． 本题考查了二次根式的被开方数的非负性，绝对值的化简，有理数的乘方，熟练掌握非负性是解题的关键． 【详解】解：根据题意得， 解得， ， ， ， ， ， 故答案为：2026. 10．（22-23八年级上·福建宁德·期中）若，则的值为__________． 【答案】2025 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，代数式求值，二次根式化简求值等知识点，掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件得到的取值范围，再根据的取值范围去绝对值和二次根式的性质进而得到，即，最后整体代入计算即可． 【详解】解：∵有意义， ∴，解得：， ， ， ， ， 故答案为：2025． 11．（25-26八年级下·广东中山·月考）根据已知条件，求代数式的值 (1)已知x、y为实数，且，求的值； (2)已知，求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据二次根式被开方数的非负性质可求得x的值，进而求得y的值，再代入即可求得值； （2）先利用二次根式的性质把代数式化简，再整体代入求值即可． 【详解】（1）解：已知x、y为实数，且， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴x，y都是正数， ∴ ． 12．（21-22八年级下·江苏宿迁·月考）已知实数a、b在数轴上的位置如图所示：试化简． 【答案】 【分析】由数轴可知，，进而根据非负数的性质计算即可． 【详解】解：由数轴可知，， ∴，， ∴ ． 13．（25-26八年级上·江苏南京·月考）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)3 (2) 【分析】本题考查了算术平方根与立方根的计算，算术平方根的性质等知识；掌握这些知识是关键； （1）根据算术平方根、立方根、算术平方根的性质依次计算即可； （2）根据算术平方根、立方根、算术平方根的性质依次计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 14．（25-26八年级上·河南平顶山·月考）求代数式的值，其中．下面是小芳和小亮的解题过程，都是把含有字母式子先开方再进行运算的方法，请认真思考、理解解答过程，回答下列问题． 小芳：解：原式， 小亮：解：原式． (1)______的解法是错误的； (2)求代数式的值，其中． 【答案】(1)小亮 (2) 【分析】本题考查的是二次根式的性质、完全平方公式，掌握是解题的关键． （1）根据题意得到，根据二次根式的性质计算即可； （2）根据二次根式的性质把原式化简，代入计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴小亮的解法是错误的， 故答案为：小亮； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴ ， 当时，原式． 15．（24-25八年级下·广西南宁·开学考试）【阅读材料】先来看一个有趣的现象：，这个根号里的2经过适当的演变，竟然可以“跑”到根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”．具有这现象的数还有许多，例如：等． 【猜想】（1） ； 【推理证明】（2）请你用一个正整数n（n为“穿墙”数，）表示含有上述规律的等式，并给出证明． 【创新应用】（3）按此规律，若（a，b为正整数），求的值． 【答案】（1）   （2），证明见解析   （3）71 【分析】本题考查二次根式的化简与求值，熟练掌握二次根式的化简是解题的关键， （1）根据题中“穿墙”的定义，写出符合定义的数即可； （2）根据“穿墙”的定义，用表示即可； （3）根据“穿墙”的定义，分别求出，的值即可得到答案． 【详解】解：（1），证明如下， ， 故答案为：； （2），证明如下， ； （3）∵ ∴根据（2）规律可得：， 解得：， ∴． 故答案为：． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $