培优01 二次根式（9大重难题型+强化训练）数学新教材苏科版八年级下册

培优01二次根式9大重难题型+强化训练 题型1二次根式有意义的取值范围题型 二次根式有意义，被开方数必须非负；若在分母位置，分母不能为零。 多个根式或分式组合时，分别列不等式，最后取解集公共部分即可。 1．（2025八年级下·江苏苏州·专题练习）如果代数式有意义，那么x的取值范围是（   ） A． B． C． D．且 2．（25-26八年级上·江苏扬州·月考）等腰三角形的两边a，b满足，则它的周长是（   ） A．17 B．13或17 C．13 D．15 3．（24-25八年级下·江苏镇江·期末）若代数式有意义，则a的取值范围应是（　　） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·江苏宿迁·月考）若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是______． 5．（24-25八年级下·江苏宿迁·月考）若，则__________． 6．（24-25八年级下·江苏无锡·月考）已知，为等腰三角形的两条边长，且，满足，求此三角形的周长． 题型2二次根式化简与性质应用题型 先拆分被开方数，开出完全平方因式；含字母或数轴题先判正负，利用绝对值去根号化简；最终化成被开方数无分母、无开得尽方因式的最简二次根式。 1．（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）化简二次根式结果是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·江苏南通·月考）若，则可化简为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·江苏宿迁·月考）已知，则______． 5．（25-26八年级上·江苏连云港·期末）已知、满足，求的值． 6．（24-25八年级下·江苏泰州·期末）实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简 题型3最简二次根式与同类二次根式判别题型 最简、同类二次根式判别 解题大招 最简二次根式满足两个条件：被开方数不含分母，且没有能开得尽方的因数或因式。 同类二次根式先全部化成最简二次根式，只要**被开方数相同，就是同类二次根式。 判别时一定要先化简再判断，不能直接看原式表面形式。 1．（24-25八年级下·江苏连云港·期末）下列根式是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·江苏宿迁·月考）下列二次根式与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·江苏镇江·期末）若和最简二次根式是同类二次根式，则的值为（    ） A． B． C．1 D． 4．（24-25八年级下·江苏宿迁·月考）最简根式与是同类根式，则___________． 5．（24-25八年级下·江苏宿迁·月考）二次根式，，，，中是最简二次根式的是______． 6．（24-25八年级下·江苏·月考）把下列二次根式化为最简二次根式： (1) (2) (3) (4) 题型4二次根式加减运算题型 先把所有二次根式化成**最简二次根式**，再找出被开方数相同的**同类二次根式**； 只需合并同类二次根式的系数，根式部分保持不变，非同类根式不能合并； 运算过程先化简、再归类、后合并，结果保留最简形式。 1．（25-26八年级下·江苏·课后作业）下列计算结果正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·江苏·期末）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·江苏南京·中考真题）计算：_____________． 4．（24-25八年级下·江苏南京·月考）计算：______． 5．（25-26八年级下·江苏扬州·月考） 计算： (1)； (2) 6．（25-26八年级上·江苏泰州·月考）计算： (1)； (2)． 题型5二次根式乘除运算题型 二次根式相乘除，被开方数内部乘除、外部系数单独乘除；运算前后都化成最简二次根式。 乘法可直接合并根号，除法先写成分式形式再化简，有负号先定符号再运算。 含字母根式先保证被开方数非负，再利用根式性质约分、开方，最后整理成最简形式。 1．（24-25八年级下·江苏·期中）计算结果为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·江苏·期中）计算：的结果是（    ） A． B． C．40 D．7 3．（25-26八年级上·江苏苏州·期末）下列计算结果正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（22-23八年级下·江苏盐城·期末）计算的结果为______． 5．（22-23八年级上·江苏苏州·期中）______． 6．（24-25八年级下·江苏常州·期末）计算：的结果是______． 7．（24-25八年级下·江苏徐州·月考）计算： (1)． (2) 题型6二次根式混合运算题型 先算乘方开方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里；能套用整式乘法公式直接简便运算。 运算中随时化简二次根式，先化成最简根式，再合并同类二次根式。 遇多项式相乘、平方差、完全平方优先用公式，减少计算量，结果必须化为最简形式。 1．（24-25八年级下·江苏·期末）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·江苏盐城·月考）计算： (1)； (2)． 3．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）计算： (1)； (2)． 4．（25-26八年级下·江苏南通·月考）计算： (1)； (2)． 5．（25-26八年级下·江苏扬州·期中）计算： (1)； (2)． 题型7分母有理化 二次根式分母有理化 解题大招 单项分母乘自身根式，两项分母利用**平方差公式**，分子分母同乘有理化因式； 有理化前先把根式化为最简，能约分先约分，再进行分母有理化； 牢记分母单根配单根、分母和差配共轭，做完一定化简到最简形式。 1．（25-26八年级上·江苏·期中）无理数的倒数是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·江苏扬州·一模）若 ，则下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·江苏泰州·月考）实数的倒数是（　　） A． B． C． D． 4．（2025·江苏南京·模拟预测）化简的结果是______． 5．（24-25八年级上·江苏苏州·月考）计算：______． 6．（24-25八年级下·江苏盐城·月考）观察下列等式： ； ； ； 回答下列问题： (1)______； (2)______；为正整数 (3)利用上面所揭示的规律计算：． (4)拓展升华：若求的 题型8二次根式的比较 比较二次根式可采用平方法、外因式移入根号法，直接比被开方数大小；也可用作差法判正负、正数用作商法和1比较；正数根式平方大则值大，负数根式绝对值越大数值越小。 1．（24-25八年级下·江苏·期中）已知，，，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·江苏·期末）比较的大小，正确的是（  ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·江苏南京·月考）比较大小：______（填“＞”、“＜”或“=”）． 4．（24-25八年级下·江苏南京·月考）比较大小：________．（填>，<，=） 5．（23-24八年级下·江苏宿迁·月考）比较下列实数的大小： ______． 6．（25-26八年级上·江苏南京·月考）已知：，求证： 题型9二次根式的应用 先把实际问题转化为二次根式列式，按题意列出算式；再利用二次根式性质化简、计算求值，遵循先化简后运算原则。 几何边长、距离类题型多用勾股定理构造根式，结果保留最简二次根式。 最后检验取值是否符合实际意义，舍去不合理的负值与无意义取值。 1．（23-24八年级下·江苏镇江·期末）高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛物下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式（不考虑风速的影响）．记从75 m高空抛物到落地所需时间为．从100 m高空抛物到落地所需时间为，则的值是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·江苏镇江·期末）如图所示，小雅同学将一张正方形彩纸剪成四个部分，用其中的面积为和的两个小正方形分别做了纸飞机，原正方形边长为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）如图，长方形内有两个相邻的白色正方形，其面积分别为3和12，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C．3 D．4 4．（23-24八年级下·江苏泰州·月考）如图，从一个大正方形中截去面积分别为8和18的两个小正方形，则图中阴影部分面积为_________． 5．（23-24八年级上·江苏徐州·期末）如图，将长、宽的长方形剪拼成一个正方形，则正方形边长为___________． 6．（25-26八年级上·江苏宿迁·期末）某学校有一块长方形的文化长廊区域（如图），该区域的长为米，宽为米，现计划在区域中间放置一个正方形展台（阴影部分），展台的边长为米． (1)求该长方形文化长廊区域的周长；（结果保留根号） (2)除去放置展台的区域，其余区域全部需要贴上装饰画，若所贴装饰画的售价为10元平方米，则购买装饰画需要花费多少元？（结果保留根号） 一、单选题 1．（25-26八年级下·江苏扬州·期中）下列二次根式，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·江苏宿迁·月考）下列二次根式与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·江苏扬州·月考）下列算法正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·江苏苏州·月考）下列各式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（23-24八年级上·江苏南通·期末）如图，从一个大正方形中截去面积分别为8和18的两个小正方形，则图中阴影部分面积为（　　） A．20 B．22 C．24 D．26 二、填空题 6．若在实数范围内有意义，则的取值范围是__________． 7．（2015·江苏徐州·一模）计算：___________． 8．（2015·江苏扬州·二模）计算：______． 9．（2025·江苏淮安·中考真题）计算：______． 10．（24-25八年级下·江苏宿迁·月考）比较大小： ______．（填“”、“”或“”） 三、解答题 11．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）计算： (1)； (2)． 12．（24-25八年级下·江苏镇江·期末）已知：，．求的值． 13．（24-25八年级下·江苏徐州·月考）计算： (1)； (2)． 14．先化简再求值：，其中． 15．（23-24八年级下·江苏南通·期中）某小区有一块长方形绿地，长为米，宽为米，现在要在长方形绿地中修建两个形状大小相同的小长方形花坛（即图中阴影部分），每个小长方形花坛的长为米，宽为米． (1)求长方形绿地的周长； (2)除花坛外，其他地方全修建成通道，通道需铺上造价为55元/平方米的地砖，则购买地砖需要多少钱？ 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 培优01二次根式9大重难题型+强化训练 题型1二次根式有意义的取值范围题型 二次根式有意义，被开方数必须非负；若在分母位置，分母不能为零。 多个根式或分式组合时，分别列不等式，最后取解集公共部分即可。 1．（2025八年级下·江苏苏州·专题练习）如果代数式有意义，那么x的取值范围是（   ） A． B． C． D．且 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件． 根据二次根式中被开方数非负和分式分母不为零的条件求解即可 【详解】解：∵代数式有意义， ∴分子有意义且分母， ∴且． 故选：D． 2．（25-26八年级上·江苏扬州·月考）等腰三角形的两边a，b满足，则它的周长是（   ） A．17 B．13或17 C．13 D．15 【答案】A 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、绝对值性质和二次根式的性质，准确计算是解题的关键． 根据绝对值和二次根式的性质求出a，b，再根据等腰三角形的性质判断即可； 【详解】解：∵， ∴， 解得， ∵a，b是等腰三角形的两边， ∴当为腰时，三边分别为7，7，3，符合三角形三边关系， 此时三角形的周长； 当为腰时，三边为3，3，7，由于，故不符合三角形的三边关系； ∴三角形的周长为17． 故选：A． 3．（24-25八年级下·江苏镇江·期末）若代数式有意义，则a的取值范围应是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据被开方数必须是非负数求解即可． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴a是非负数，即． 故选：D． 4．（24-25八年级下·江苏宿迁·月考）若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是______． 【答案】且 【详解】解：二次根式有意义的条件：被开方数非负，即，解得 ； 分式有意义的条件：分母不为0，即，解得； 综上，的取值范围是且． 5．（24-25八年级下·江苏宿迁·月考）若，则__________． 【答案】 【分析】先根据二次根式的定义求出的取值范围，从而确定与的值，再计算的值即可． 【详解】解：根据二次根式有意义的条件，可得， 解得， ∴， ∴， ∴． 6．（24-25八年级下·江苏无锡·月考）已知，为等腰三角形的两条边长，且，满足，求此三角形的周长． 【答案】10或11 【分析】由二次根式的定义可求得、的值，再求得其周长即可． 【详解】解：， 且， ， ， 当为等腰三角形的腰时，，可以组成三角形，则此三角形周长为， 当为等腰三角形的腰时，，可以组成三角形，则此三角形周长为． 题型2二次根式化简与性质应用题型 先拆分被开方数，开出完全平方因式；含字母或数轴题先判正负，利用绝对值去根号化简；最终化成被开方数无分母、无开得尽方因式的最简二次根式。 1．（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）化简二次根式结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的性质，掌握是解题的关键． 先判断a的正负，再根据二次根式的性质化简． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选：B． 2．（24-25八年级上·江苏南通·月考）若，则可化简为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的性质，绝对值化简，掌握二次根式的性质是解题的关键．根据二次根式的性质，绝对值化简，再合并同类项即可； 【详解】解：∵ ， ∴ ， 故选：． 3．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的性质，求不等式的解集，根据列出关于x的不等式求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选B． 4．（24-25八年级下·江苏宿迁·月考）已知，则______． 【答案】 【分析】根据算术平方根的非负数性质解答即可． 【详解】解：由题意得，， 解得，， 所以． 故答案为：． 5．（25-26八年级上·江苏连云港·期末）已知、满足，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，解题的关键是掌握二次根式的双重非负性和二次根式混合运算顺序与运算法则．先根据二次根式的非负性得出，解之求得、的值，再代入计算可得． 【详解】解：， ， 解得， ． 6．（24-25八年级下·江苏泰州·期末）实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简 【答案】 【分析】本题考查整式的加减，算术平方根，利用数轴得到，再利用算术平方根的性质进行化简，然后去括号，合并同类项进行计算． 【详解】解：由数轴得：，则             ∴原式=               =               = 题型3最简二次根式与同类二次根式判别题型 最简、同类二次根式判别 解题大招 最简二次根式满足两个条件：被开方数不含分母，且没有能开得尽方的因数或因式。 同类二次根式先全部化成最简二次根式，只要**被开方数相同，就是同类二次根式。 判别时一定要先化简再判断，不能直接看原式表面形式。 1．（24-25八年级下·江苏连云港·期末）下列根式是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的性质是解题的关键． 根据最简二次根式的性质判断即可．当二次根式满足一下条件即为最简二次根式：①被开方数不含开的尽方的数或式；②根号内没有分母． 【详解】解：A．，不是最简二次根式，故该选项不符合题意； B．，不是最简二次根式，故该选项不符合题意； C．，是最简二次根式，故该选项符合题意； D．，不是最简二次根式，故该选项不符合题意． 故选：C． 2．（24-25八年级下·江苏宿迁·月考）下列二次根式与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先把各个根式化为最简二次根式，再判断． 【详解】解：、是最简二次根式，，， 与是同类二次根式的是． 3．（24-25八年级下·江苏镇江·期末）若和最简二次根式是同类二次根式，则的值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】本题考查同类二次根式，化简二次根式， 根据同类二次根式的定义，化简后根号内的数相同，由此建立方程求解． 【详解】∵和最简二次根式是同类二次根式， ∴ ∴． 故选：C． 4．（24-25八年级下·江苏宿迁·月考）最简根式与是同类根式，则___________． 【答案】2 【分析】根据同类二次根式的定义求解即可． 【详解】解：∵最简根式与是同类根式， ∴． 5．（24-25八年级下·江苏宿迁·月考）二次根式，，，，中是最简二次根式的是______． 【答案】 【分析】根据最简二次根式的定义，逐一判断即可解答． 【详解】解：，，，， 二次根式，，，，中是最简二次根式的是． 6．（24-25八年级下·江苏·月考）把下列二次根式化为最简二次根式： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了二次根式的性质，最简二次根式，熟练掌握二次根式的性质是解答本题的关键． （1）根据二次根式的性质化简即可． （2）根据二次根式的性质化简即可． （3）根据二次根式的性质化简即可． （4）根据二次根式的性质化简即可． 【详解】（1） （2） （3） （4） 题型4二次根式加减运算题型 先把所有二次根式化成**最简二次根式**，再找出被开方数相同的**同类二次根式**； 只需合并同类二次根式的系数，根式部分保持不变，非同类根式不能合并； 运算过程先化简、再归类、后合并，结果保留最简形式。 1．（25-26八年级下·江苏·课后作业）下列计算结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的加减运算，利用二次根式的性质化简，正确的计算是解题的关键. 通过直接计算每个选项，验证其正确性即可. 【详解】解：A、∵ > ， ∴A错误，不符合题意； B、∵ ≠ ， ∴B错误，不符合题意； C、∵ = = , ∴C正确，符合题意； D、∵ = , = , ∴ = , 则 = ≠ 1， ∴ D错误，不符合题意. 故选：C. 2．（25-26八年级下·江苏·期末）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的加减运算，只有根号内的数相同时才能直接合并系数．对此一一计算即可得出答案． 【详解】解：∵二次根式加减时，需被开方数相同才能合并， 选项A：与被开方数不同，不能合并，故错误； 选项B：，故错误； 选项C：与被开方数不同，不能合并，故错误； 选项D：，正确． 故选D． 3．（2024·江苏南京·中考真题）计算：_____________． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的减法运算，需先简化每个根式，再合并同类二次根式即可． 【详解】解：． 故答案为：． 4．（24-25八年级下·江苏南京·月考）计算：______． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式的加减，先将二次根式化简再合并即可 【详解】解：， 故答案为： 5．（25-26八年级下·江苏扬州·月考） 计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先化简，再合并同类二次根式即可； （2）先化简，再进行加减运算即可. 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式. 6．（25-26八年级上·江苏泰州·月考）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了利用二次根式的性质化简以及二次根式的加减运算，注意计算的准确性即可； （1）利用二次根式的加减运算法则即可求解； （2）利用二次根式的性质化简后再计算即可； 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 题型5二次根式乘除运算题型 二次根式相乘除，被开方数内部乘除、外部系数单独乘除；运算前后都化成最简二次根式。 乘法可直接合并根号，除法先写成分式形式再化简，有负号先定符号再运算。 含字母根式先保证被开方数非负，再利用根式性质约分、开方，最后整理成最简形式。 1．（24-25八年级下·江苏·期中）计算结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的乘除运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据二次根式的乘除法则计算即可． 【详解】解： ， 故选：B． 2．（24-25八年级下·江苏·期中）计算：的结果是（    ） A． B． C．40 D．7 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的乘除混合运算，根据运算顺序逐步计算，即可判断． 【详解】解： ． 故选：D． 3．（25-26八年级上·江苏苏州·期末）下列计算结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的运算，掌握二次根式的乘除和加减运算法则是解题的关键． 根据二次根式的运算法则，逐一判断各选项的正确性即可． 【详解】解： 选项A：与并非同类二次根式，不可合并计算，故A错误，不符合题意； 选项B：与并非同类二次根式，不可合并计算，故B错误，不符合题意； 选项C：根据二次根式的乘法法则，，且为最简二次根式，故C正确，符合题意； 选项D：根据二次根式的除法法则，，故D错误，不符合题意； 故选C． 4．（22-23八年级下·江苏盐城·期末）计算的结果为______． 【答案】6 【分析】根据二次根式的乘除混合计算法则求解即可． 【详解】解： ， 故答案为：6． 【点睛】本题主要考查了二次根式的乘除混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键． 5．（22-23八年级上·江苏苏州·期中）______． 【答案】 【分析】利用二次根式的性质进行乘除运算． 【详解】解： ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的乘除运算，解题的关键是掌握二次根式的乘除运算法则． 6．（24-25八年级下·江苏常州·期末）计算：的结果是______． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的计算，根据二次根式的乘法进行计算，然后合并同类二次根式即可求解． 【详解】解： ， 故答案为：． 7．（24-25八年级下·江苏徐州·月考）计算： (1)． (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的乘除混合运算，掌握运算法则是解题的关键． （1）根据二次根式的乘除混合运算法则计算即可； （2）根据二次根式的乘除混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型6二次根式混合运算题型 先算乘方开方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里；能套用整式乘法公式直接简便运算。 运算中随时化简二次根式，先化成最简根式，再合并同类二次根式。 遇多项式相乘、平方差、完全平方优先用公式，减少计算量，结果必须化为最简形式。 1．（24-25八年级下·江苏·期末）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的运算，根据二次根式的性质，二次根式的乘法、二次根式的加法运算计算，逐一进行判断即可，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 【详解】、，原选项运算错误，不符合题意； 、与不可以进行合并，不符合题意； 、，原选项运算错误，不符合题意； 、，原选项运算正确，符合题意； 故选：． 2．（24-25八年级下·江苏盐城·月考）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)24y2 【分析】（1）根据二次根式乘除法运算法则进行计算； （2）根据二次根式乘除法运算法则进行计算． 【详解】（1）解： （2） ＝3×8 ＝ ＝ ＝ ＝ 【点睛】本题主要考查了根式的混合运算，熟练掌握二次根式乘除法运算法则，是解题的关键． 3．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先化简二次根式，再根据二次根式的加减运算法则求解即可； （2）先化简括号内的二次根式，再计算括号内的减法，接着计算乘除法，最后计算加法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 4．（25-26八年级下·江苏南通·月考）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先计算二次根式的乘法，再根据二次根式的性质化简，最后计算加减法即可； （2）先计算完全平方公式和平方差公式，再计算加减法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 5．（25-26八年级下·江苏扬州·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用二次根式的性质进行化简，再计算加减即可得出结果； （2）根据二次根式的混合运算法则计算即可得出结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型7分母有理化 二次根式分母有理化 解题大招 单项分母乘自身根式，两项分母利用**平方差公式**，分子分母同乘有理化因式； 有理化前先把根式化为最简，能约分先约分，再进行分母有理化； 牢记分母单根配单根、分母和差配共轭，做完一定化简到最简形式。 1．（25-26八年级上·江苏·期中）无理数的倒数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了倒数，无理数，分母有理化，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 根据倒数的意义结合分母有理化求解． 【详解】解：的倒数是， 故选：D． 2．（2025·江苏扬州·一模）若 ，则下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了二次根式的分母有理化和无理数的估算．先利用分母有理化化简二次根式，再进行无理数估算即可． 【详解】解：； ∵， ∴， 即； 故选：A． 3．（23-24八年级下·江苏泰州·月考）实数的倒数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了倒数和分母有理化，掌握分母有理化的做法的是解题关键．根据倒数的定义，分母有理化即可． 【详解】解：实数的倒数是， 故选：C． 4．（2025·江苏南京·模拟预测）化简的结果是______． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，先将被开方数化为假分数，再根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：， 故答案为：． 5．（24-25八年级上·江苏苏州·月考）计算：______． 【答案】 【分析】此题考查了二次根式的分母有理化和二次根式的混合运算．分子分母同乘以，利用平方差公式进行计算即可． 【详解】解： ． 故答案为： 6．（24-25八年级下·江苏盐城·月考）观察下列等式： ； ； ； 回答下列问题： (1)______； (2)______；为正整数 (3)利用上面所揭示的规律计算：． (4)拓展升华：若求的值 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】此题考查了二次根式的化简求值，数字规律，完全平方公式变形求值； （1）各式分母有理化，计算即可求出值； （2）分母有理化，计算即可求出值； （3）根据规律化简原式各项后，计算即可求出值； （4）原式利用完全平方公式化简后，把x与y的值代入计算即可求出值． 【详解】（1）解：； 故答案为：； （2）， 故答案为：； （3）解： ； （4）解：， ， ∴，， 则． 题型8二次根式的比较 比较二次根式可采用平方法、外因式移入根号法，直接比被开方数大小；也可用作差法判正负、正数用作商法和1比较；正数根式平方大则值大，负数根式绝对值越大数值越小。 1．（24-25八年级下·江苏·期中）已知，，，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了实数大小比较的方法，二次根式大小比较，首先分别求出的平方，并比较出它们的平方的大小关系，然后根据两个正实数，平方大的这个数也大，判断出的大小关系即可，解答此题的关键是要明确：正实数负实数，两个正实数，平方大的这个数也大． 【详解】解： ，，， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 2．（24-25八年级下·江苏·期末）比较的大小，正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将根号外边的数移入到根号里面可进行大小比较． 【详解】解：， ， 即：； 故选：A． 【点睛】此题考查了实数的大小比较．注意：两个负数，绝对值大的反而小． 3．（24-25八年级下·江苏南京·月考）比较大小：______（填“＞”、“＜”或“=”）． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的大小比较、无理数的估算，通过比较两个数平方的大小来间接比较这两个数的大小即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：，， ， ∵， ∴，即， ∴， ∴， 故答案为：． 4．（24-25八年级下·江苏南京·月考）比较大小：________．（填>，<，=） 【答案】 【分析】本题考查了实数大小比较，首先比较出和的平方的大小关系，然后根据：哪个数的平方大，则哪个数也大，判断出它们的大小关系即可． 【详解】解：，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 5．（23-24八年级下·江苏宿迁·月考）比较下列实数的大小： ______． 【答案】 【分析】本题考查了实数的大小比较和二次根式的性质等知识点．把根号外的因式平方后移入根号内，比较结果的大小，即可求出答案． 【详解】解：，， ， ， 故答案为：． 6．（25-26八年级上·江苏南京·月考）已知：，求证： 【答案】见解析 【分析】本题考查比较二次根式的大小关系，通过比较与的大小，即可得出结论． 【详解】证明：∵， ∴，，， ∵，， 又∵， ∴， ∴． 题型9二次根式的应用 先把实际问题转化为二次根式列式，按题意列出算式；再利用二次根式性质化简、计算求值，遵循先化简后运算原则。 几何边长、距离类题型多用勾股定理构造根式，结果保留最简二次根式。 最后检验取值是否符合实际意义，舍去不合理的负值与无意义取值。 1．（23-24八年级下·江苏镇江·期末）高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛物下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式（不考虑风速的影响）．记从75 m高空抛物到落地所需时间为．从100 m高空抛物到落地所需时间为，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式应用，将和，代入关系式，求出的值，再进行计算即可． 【详解】解：当时，， 当时，， ∴； 故选C． 2．（23-24八年级下·江苏镇江·期末）如图所示，小雅同学将一张正方形彩纸剪成四个部分，用其中的面积为和的两个小正方形分别做了纸飞机，原正方形边长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的应用，解题的关键是数形结合，计算出两个小正方形的边长即可求解． 【详解】解：两个小正方形的面积分别为和， 两个小正方形的边长为：，， 原正方形边长为：， 故选：B． 3．（23-24八年级下·浙江杭州·期中）如图，长方形内有两个相邻的白色正方形，其面积分别为3和12，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查二次根式混合运算的实际应用，根据二次根式的性质求出正方形的边长即可求解，解答本题的关键是明确题意，求出大小正方形的边长，利用数形结合的思想解答． 【详解】解：由题意得，大正方形的边长， 小正方形的边长， ∴阴影部分的面积， 故选：C． 4．（23-24八年级下·江苏泰州·月考）如图，从一个大正方形中截去面积分别为8和18的两个小正方形，则图中阴影部分面积为_________． 【答案】24 【分析】此题考查了二次根式的应用，利用二次根式化简求出两个小正方形的边长，得到大正方形的边长，求出大正方形的面积，即可得到阴影面积，正确掌握二次根式的化简是解题的关键． 【详解】解：两个小正方形的边长分别为和， ∴大正方形的边长为， ∴大正方形的面积为， ∴图中阴影部分面积为 故答案为24． 5．（23-24八年级上·江苏徐州·期末）如图，将长、宽的长方形剪拼成一个正方形，则正方形边长为___________． 【答案】 【分析】本题主要考查图形的拼接，根据正方形的面积等于长方形的面积进行计算即可． 【详解】解：∵长方形的长、宽 ∴长方形的面积为：， ∵正方形是由这样的长方形拼接面成的， ∴正方形的面积为， 因此正方形的边长为， 故答案为：． 6．（25-26八年级上·江苏宿迁·期末）某学校有一块长方形的文化长廊区域（如图），该区域的长为米，宽为米，现计划在区域中间放置一个正方形展台（阴影部分），展台的边长为米． (1)求该长方形文化长廊区域的周长；（结果保留根号） (2)除去放置展台的区域，其余区域全部需要贴上装饰画，若所贴装饰画的售价为10元平方米，则购买装饰画需要花费多少元？（结果保留根号） 【答案】(1)该长方形的文化长廊区域的周长为米 (2)购买装饰画大约需要花费元 【分析】本题考查二次根式混合运算的实际应用，理解题意是解决本题的关键． （1）利用长方形周长公式及二次根式的运算法则计算即可； （2）长方形面积减去小正方形面积求出装饰画面积，乘以单价即为所求． 【详解】（1）解：由题得， （米）， 答：该长方形的文化长廊区域的周长为米； （2）解：由题意得，其余区域的面积为 平方米， ∴总花费为元， 答：购买装饰画大约需要花费元． 一、单选题 1．（25-26八年级下·江苏扬州·期中）下列二次根式，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据最简二次根式的定义判断，最简二次根式需满足两个条件：被开方数不含分母，被开方数不含能开得尽方的因数或因式，逐个化简判断即可． 【详解】解：A、，被开方数含能开得尽方的因数，故不是最简二次根式，不符合题意； B、，被开方数含分母，故不是最简二次根式，不符合题意； C、的被开方数是正整数，且不含能开得尽方的因数，满足最简二次根式的条件，故是最简二次根式，符合题意； D、，被开方数含分母，故不是最简二次根式，不符合题意． 2．（24-25八年级下·江苏宿迁·月考）下列二次根式与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先把各个根式化为最简二次根式，再判断． 【详解】解：、是最简二次根式，，， 与是同类二次根式的是． 3．（25-26八年级下·江苏扬州·月考）下列算法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次根式的四则运算法则求解判断即可． 【详解】解：A、，原式计算正确，符合题意； B、与不是同类二次根式，不能合并，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意． 4．（25-26八年级上·江苏苏州·月考）下列各式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次根式的性质．根据二次根式的性质逐一判断选项解答即可． 【详解】解：A、，等号右边无意义，故本选项错误，不符合题意； B、，故本选项错误，不符合题意； C、，故本选项正确，符合题意； D、与的大小关系无法确定，故本选项错误，不符合题意； 故选：C 5．（23-24八年级上·江苏南通·期末）如图，从一个大正方形中截去面积分别为8和18的两个小正方形，则图中阴影部分面积为（　　） A．20 B．22 C．24 D．26 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次根式的应用．依据题意，直接利用正方形的性质得出两个小正方形的边长，进而得出大正方形的边长，即可得出答案． 【详解】解：∵两个小正方形面积为8和18， ∴大正方形边长为：． ∴大正方形面积为． ∴留下的阴影部分面积和为：． 故选：C． 二、填空题 6．若在实数范围内有意义，则的取值范围是__________． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件，被开方数必须大于或等于零，据此建立不等式求解，即可解题． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴， ∴， 故答案为． 7．（2015·江苏徐州·一模）计算：___________． 【答案】 【分析】本题考查的是二次根式的化简，将18分解为，进一步进行简化即可． 【详解】解：, 故答案为:． 8．（2015·江苏扬州·二模）计算：______． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式乘法运算，平方差公式，利用平方差公式进行运算即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 9．（2025·江苏淮安·中考真题）计算：______． 【答案】 2 【分析】利用平方根的乘法性质，将两个平方根合并为一个平方根，再计算根号内的表达式． 本题考查了二次根式的运算，熟练掌握二次根式乘法法则是解决关键． 【详解】解：根据平方根的性质，， 所以 ， 计算 ， 因此 ． 故答案为：2． 10．（24-25八年级下·江苏宿迁·月考）比较大小： ______．（填“”、“”或“”） 【答案】 【分析】先进行分母有理化，再比较大小即可． 【详解】解：，， ∵， ∴， ． 三、解答题 11．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）先根据二次根式的性质进行化简，再计算加减即可得解； （2）先根据二次根式的性质进行化简以及计算二次根式的乘法，再计算二次根式的减法即可得解． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 12．（24-25八年级下·江苏镇江·期末）已知：，．求的值． 【答案】97 【分析】本题考查二次根式的化简求值，求出的值，利用整体代入法进行求值即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴． 13．（24-25八年级下·江苏徐州·月考）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键． （1）根据二次根式性质和二次根式加减运算法则，进行计算即可； （2）根据二次根式性质，平方差公式，二次根式混合运算法则，进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 14．先化简再求值：，其中． 【答案】， 【分析】先将原式中二次根式化为最简二次根式再合并，根据二次根式被开方数为非负数的性质分别求出、，最后代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴， 原式 当，时， 原式 ． 【点睛】本题考查的是二次根式的化简、二次根式的加减运算、二次根式有意义的条件．解题的关键是能熟练把二次根式化为最简二次根式． 15．（23-24八年级下·江苏南通·期中）某小区有一块长方形绿地，长为米，宽为米，现在要在长方形绿地中修建两个形状大小相同的小长方形花坛（即图中阴影部分），每个小长方形花坛的长为米，宽为米． (1)求长方形绿地的周长； (2)除花坛外，其他地方全修建成通道，通道需铺上造价为55元/平方米的地砖，则购买地砖需要多少钱？ 【答案】(1)米 (2)3080元 【分析】此题考查了二次根式的四则混合运算的应用，读懂题意，熟练掌握运算法则和顺序是解题的关键． （1）根据长方形的周长公式计算即可； （2）先利用长方形的绿地面积减去花坛的面积，再用化简结果乘以地砖的单价即可． 【详解】（1）解：(米）， ∴长方形的周长为米． （2）解：(平方米)， 则(元)， ∴要铺完整个通道，则购买地砖需要花费3080元． 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 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