精品解析：陕西省镇安中学2026届高三模拟预测数学试题

数学 注意事项 1．本场考试120分钟，满分150分.试卷共6页.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 2．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区. 3．回答选择题时，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如果改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.非选择题必须使用黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清楚. 4．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数，则z在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【详解】复数， 所以复数z在复平面内对应的点位于第二象限. 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】集合， 则，因此. 3. 已知双曲线的渐近线方程为，则双曲线的焦点到渐近线的距离为（ ） A. B. 3 C. 6 D. 9 【答案】B 【解析】 【详解】由双曲线，可得， 又渐近线方程为，所以， 所以双曲线的焦点到渐近线的距离为. 4. 已知函数，正数满足，则的最小值为（ ） A. 2 B. 5 C. 8 D. 9 【答案】D 【解析】 【详解】因为函数的定义域为，，所以是奇函数； 又，所以， 又，所以在上单调递增，所以，即； 又均为正数，所以 ， 当且仅当时，即，时等号成立， 故的最小值为9，故D正确. 5. 已知向量在向量方向上的投影向量为，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由投影向量公式求出，再结合向量的数量积公式与运算律即可求解. 【详解】设， 由题意得，解得， 则. 6. 一个高为，上、下底面半径分别是1cm和4cm的封闭圆台容器（容器壁厚度忽略不计）内有一个铁球，则当该铁球体积最大时，该铁球的体积与圆台的体积的比值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】作出圆台轴截面，分析可知当球与相切时，其体积最大，再计算出球的体积和圆台的体积即可得比值. 【详解】如图，作出圆台的轴截面，可知当球与相切时体积最大， 由切线性质可得，作，垂足分别为， 可知，所以，又， 所以，则， 设球的半径也即圆的半径为，由 可得，解得，因为， 所以该球是存在的，此时球的体积为， 圆台的体积为，所求比值为. 7. 若圆上总恰好存在两个点到点的距离为，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件，将问题转化成圆与圆有两个交点，再由圆与圆的位置关系，即可求解. 【详解】圆的圆心为，半径为3， 以为圆心，为半径的圆的方程为， 由题意可知，两圆有两个公共点，即两圆相交，所以， 解得，即或． 所以实数b的取值范围是． 8. 已知为函数的导函数，且对任意，．若，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设函数，结合条件判断函数的单调性，结合单调性解不等式可得结论. 【详解】设函数， 则． 由对任意，，得，则函数在上单调递减． 因为，所以，即． 由，得，所以，解得， 所以不等式的解集为，选项A正确. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 甲、乙、丙、丁4个人到3个国家进行学术交流，每人只去1个国家，每个国家都要有人去，则不同的安排方法有72种 B. 若A，B两组成对数据的样本相关系数分别为，则A组数据的相关性比B组数据的强 C. 数据11，13，5，6，8，1，3，9的第25百分位数是4 D. 若事件C，D满足，且，则C，D相互独立 【答案】CD 【解析】 【分析】利用分组分配结合排列组合计算判断A，根据相关系数的概念即可判断B，利用百分位数即可判断C，利用事件的独立性和条件概率即可判断D. 【详解】对于A：甲、乙、丙、丁4个人到3个国家进行学术交流， 每人只去一个国家，每个国家都需要有人去， 则不同的安排方法有种，故A错误； 对于B：由，所以组数据的相关性比组数据的强，故B错误； 对于C：数据从小到大排列1，3，5，6，8，9，11，13， 由，所以第25百分位数是，故C正确； 对于D：由，所以， 所以C，D相互独立，故D正确. 10. 已知数列满足，记数列的前n项和为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】首先分析数列中项的规律：奇数项构成等差数列，偶数项构成等比数列，通过等差、等比数列的通项公式及分组求和可逐一判断. 【详解】因为， 所以当为奇数时，， 即数列的奇数项按先后顺序构成首项为，公差为1的等差数列， 记为数列，则； 当为偶数时，，且， 即数列的偶数项按先后顺序构成首项为，公比为2的等比数列， 记为数列，则. 对于A，因为，所以是数列的第3项， 是数列的第3项，所以，，所以，故A正确. 对于B，当时，，，所以； 当时，，，所以， 综上，，故B正确. 对于C， ， 故C正确. 对于D，由C知， 所以， 故D错误. 11. 已知抛物线，过抛物线的焦点的直线与抛物线交于，两点，则（ ） A. 抛物线的准线方程为 B. 若，则 C. 的最大值为 D. 为钝角 【答案】BD 【解析】 【分析】对A和B，利用抛物线的定义及性质，即可求解；对C，设直线的方程为，，联立直线与抛物线方程，利用抛物线的定义得，即可求解；对D，根据数量积的运算及选项C中的结果，得到，即可求解. 【详解】对于A，抛物线的焦点为，准线方程为，所以A错误； 对于B，因为，所以，故B正确； 对于C，易知直线的斜率不为，设直线的方程为， 由，消去得，则，， 所以，， 所以， 又，则，所以没有最大值，故C错误， 对于D，由选项C知，，则为钝角，故D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的图象在处的切线方程为______． 【答案】 【解析】 【详解】∵ 函数解析式为， ∴ ，即切线经过点. . ∴ 切线的斜率. 由点斜式可得切线方程为，整理得. 13. 已知数列满足，当时，为的展开式中的系数，则数列的前项和______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据二项式定理得到数列的通项公式，从而得到数列的通项公式，再利用裂项相消法和分组求和法得到数列的前项和. 【详解】已知，当时，为的展开式中的系数， 根据二项式定理，的展开式的通项公式为， 令，此时对应的项为，因此的系数为， 所以，当时，， 检验一下的情况，代入公式得，这与不符， 因此，数列的通项公式为， 由于， 当时，， 当时，， 则数列的前项和， 由于，， 因此. 14. 小明同学抛掷一枚质地不均匀的正方体骰子，并记向上的面的点数为X，若 ，则的最小值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据离散型随机变量分布列的性质和期望的定义分析求解即可. 【详解】设，则，且， 由，得， 因为， 当且仅当时，等号成立， ，即， 此时，， ，符合题意， 所以的最小值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，内角，，的对边分别为，，，且满足 ． （1）求； （2）若，的面积为，求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由 利用两角和与差的公式化简得到求解； （2）结合，由的面积为，求得，再利用余弦定理求解. 【小问1详解】 因为， 所以， 整理得． 又，所以． 又因为，所以． 【小问2详解】 由（1）知， 由的面积为，得， 解得． 由余弦定理，得 ， 解得， 所以的周长为． 16. 某影城想了解观众性别与喜欢的电影类型是否有关，随机调查了300名观众，得到下表： 喜欢生活片 喜欢战争片 男性观众 70 80 女性观众 90 60 （1）根据的独立性检验，分析观众性别与喜欢的电影类型是否有关； （2）从这300名观众中随机选择2名，在已知其中至少有1名女性观众条件下，求这2名观众都喜欢生活片的概率． 参考公式：，其中． 临界值表： 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）观众性别与喜欢的电影类型无关 （2） 【解析】 【分析】（1）计算卡方值并与临界值比较，即可得出结论； （2）根据条件概率的公式计算得解. 【小问1详解】 零假设：观众性别与喜欢的电影类型无关. 因为. 因此依据的独立性检验，没有充分证据不成立，即两者无关. 【小问2详解】 设事件"选出的2人中至少1名女性"，事件"选出的2人都喜欢生活片"， 由列联表知，; ，因此. 17. 如图，平面平面，四边形为矩形，且，，，，G为线段上的动点（不含端点）． （1）证明：平面． （2）设 ，记二面角的平面角为，用t表示的值，并求出当时实数t的值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先用面面垂直的性质定理推导出，再利用勾股定理逆定理证得底面内，得证； （2）基于第一问的线面垂直关系建立空间直角坐标系，通过向量法求出两平面法向量夹角的余弦值，再转化为正切表达式并代入特定角度解出参数. 【小问1详解】 平面平面ABCD，且平面平面于， 因为四边形ABEF为矩形，所以， 平面，所以平面， 平面，所以， 因为，，易得， 过向作垂线，交于点，易得且， 则四边形为矩形，，则，， 因为，所以， 因为，平面，所以平面ABEF． 【小问2详解】 由（1）知，两两垂直，以为原点，为轴正方向建立坐标系如图： 易得，且， 则，则，即，， 设点，因为，则有， 解得，即， 易得平面的法向量可以取， 设平面的法向量为， 因， 则， 不妨令，则， 由图象可得为锐角， ， 则， 因为且，所以且，则， 当时，，解得. 18. 由半个椭圆和两个相同的半圆组成的形如心脏的曲线称为“类心脏曲线”．如图，在平面直角坐标系中，类心脏曲线的两个半圆和的圆心恰好分别是半椭圆的左、右焦点和，且点，分别为的左、右顶点．已知半圆和的半径均为1． （1）求半椭圆的方程和离心率； （2）若直线交曲线C于A，B两点，动点S在曲线C上，求面积的最大值； （3）如图，分别过点，作两条平行线，，分别与，和，交于点M，N和点P，Q，求的最小值． 【答案】（1）， （2）最大值． （3）5 【解析】 【分析】（1）由半圆的半径求解，，即可求解半椭圆的方程与离心率； （2）设点A在x轴下方，点B在x轴上方，直线与椭圆联立，再由点S在半圆上以及 可得的面积最大即可求解； （3）由题意知， ，再由，由对称性求解所截得弦的长，直线与椭圆联立，由韦达定理的代入求解即可. 【小问1详解】 设半椭圆的方程为（，且）． 由半圆的半径为1，得，， 故，，，，所以，， 所以，解得， 所以半椭圆的方程为， 所以半椭圆的离心率． 【小问2详解】 如图，不妨设点A在x轴下方，点B在x轴上方， 由，得，解得或， 所以，则直线的方程为 ， 又等于半径1，所以． 显然，当点S在半圆 上且 时，的面积最大． 因为点到直线的距离， 所以点S到直线的距离， 故， 所以面积的最大值． 【小问3详解】 由题意知， ． 因为，所以由对称性可知，为椭圆截直线所得弦的长． 设，且与椭圆交于点和． 由，得，则， 所以，， 所以， 所以当时，取得最小值， 所以的最小值为． 19. 已知函数，． （1）当时，试证明函数存在唯一零点，并求出该零点． （2）当时，设，且数列的前n项和为，求证： （i）； （ii）． 【答案】（1）证明见解析，零点为1． （2）（i）证明见解析；（ii）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求导，得到函数在上单调递增求解； （2）（i）易证，当时，，从而得到，即求解．（ii）当时，由放缩法得 ，从而，再结合（i）的结论得到，利用裂项相消法求解. 【小问1详解】 因为，， 所以函数的定义域为，． 令，则 ． 因为，所以 恒成立， 所以恒成立，即恒成立， 所以函数在上单调递增． 又因为 ， 所以函数存在唯一零点，且零点为1． 【小问2详解】 证明：（i）先证明． 令，则， 所以当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以，所以，即． 当时，． 因为，所以，所以． 又，所以． （ii）当时，由放缩法得 ，所以． 由（i）知， 所以当时， ， 即． 又当时， ，满足， 所以成立． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学 注意事项 1．本场考试120分钟，满分150分.试卷共6页.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 2．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区. 3．回答选择题时，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如果改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.非选择题必须使用黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清楚. 4．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数，则z在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知双曲线的渐近线方程为，则双曲线的焦点到渐近线的距离为（ ） A. B. 3 C. 6 D. 9 4. 已知函数，正数满足 ，则的最小值为（ ） A. 2 B. 5 C. 8 D. 9 5. 已知向量在向量方向上的投影向量为，且，则（ ） A. B. C. D. 6. 一个高为，上、下底面半径分别是1cm和4cm的封闭圆台容器（容器壁厚度忽略不计）内有一个铁球，则当该铁球体积最大时，该铁球的体积与圆台的体积的比值为（ ） A. B. C. D. 7. 若圆上总恰好存在两个点到点的距离为，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知为函数的导函数，且对任意，．若，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 甲、乙、丙、丁4个人到3个国家进行学术交流，每人只去1个国家，每个国家都要有人去，则不同的安排方法有72种 B. 若A，B两组成对数据的样本相关系数分别为，则A组数据的相关性比B组数据的强 C. 数据11，13，5，6，8，1，3，9的第25百分位数是4 D. 若事件C，D满足，且，则C，D相互独立 10. 已知数列满足，记数列的前n项和为，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知抛物线，过抛物线的焦点的直线与抛物线交于，两点，则（ ） A. 抛物线的准线方程为 B. 若，则 C. 的最大值为 D. 为钝角 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的图象在处的切线方程为______． 13. 已知数列满足，当时，为的展开式中的系数，则数列的前项和______． 14. 小明同学抛掷一枚质地不均匀的正方体骰子，并记向上的面的点数为X，若 ，则的最小值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，内角，，的对边分别为，，，且满足 ． （1）求； （2）若，的面积为，求的周长． 16. 某影城想了解观众性别与喜欢的电影类型是否有关，随机调查了300名观众，得到下表： 喜欢生活片 喜欢战争片 男性观众 70 80 女性观众 90 60 （1）根据的独立性检验，分析观众性别与喜欢的电影类型是否有关； （2）从这300名观众中随机选择2名，在已知其中至少有1名女性观众条件下，求这2名观众都喜欢生活片的概率． 参考公式：，其中． 临界值表： 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 17. 如图，平面平面，四边形为矩形，且，，，，G为线段上的动点（不含端点）． （1）证明：平面． （2）设 ，记二面角的平面角为，用t表示的值，并求出当时实数t的值． 18. 由半个椭圆和两个相同的半圆组成的形如心脏的曲线称为“类心脏曲线”．如图，在平面直角坐标系中，类心脏曲线的两个半圆和的圆心恰好分别是半椭圆的左、右焦点和，且点，分别为的左、右顶点．已知半圆和的半径均为1． （1）求半椭圆的方程和离心率； （2）若直线交曲线C于A，B两点，动点S在曲线C上，求面积的最大值； （3）如图，分别过点，作两条平行线，，分别与，和，交于点M，N和点P，Q，求的最小值． 19. 已知函数，． （1）当时，试证明函数存在唯一零点，并求出该零点． （2）当时，设，且数列的前n项和为，求证： （i）； （ii）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $