精品解析：江苏省常州市溧阳市实验初级中学2025-2026学年九年级新课结束考试数学试卷

2025-2026学年九年级新课结束考试试卷 数学2026年3月 一、选择题（共8小题，满分16分，每小题2分） 1. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了关于原点对称的点的性质，直接利用关于原点对称的点的坐标特征“横坐标和纵坐标都互为相反数”的性质解答即可，正确记忆横纵坐标的关系是解题关键． 【详解】∵关于原点对称的点的坐标特征为：横坐标和纵坐标都互为相反数， ∴点关于原点对称的点的坐标为， 故选：B． 2. 某校给足球队的十一位运动员每人购买了一双运动鞋，尺码及购买数量如下表：则这十一双运动鞋尺码的众数和中位数分别为（ ） 尺码/码 40 41 42 43 44 购买数量/双 2 4 2 2 1 A. 40，41 B. 41，42 C. 42，43 D. 41，41 【答案】D 【解析】 【分析】根据中位数和众数的定义求解：众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个；找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数． 【详解】由表可知41出现次数最多，所以众数为41， 因为共有2+4+2+2+1=11个数据， 所以中位数为第6个数据，即中位数为41， 故选：D． 【点睛】本题考查了确定一组数据的中位数和众数的能力．一些学生往往对这个概念掌握不清楚，计算方法不明确而误选其它选项，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数． 3. 已知的半径r为，圆心O到直线l的距离d为，直线l与的公共点个数为（　　） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 以上都不对 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是圆与直线的位置关系，圆与直线的位置关系有相离，相交，相切，熟悉三种位置关系对应的公共点的个数是解本题的关键．圆的半径为r 圆心到直线的距离为d，当时，圆与直线相离，直线与圆没有交点，当时，圆与直线相切，直线与圆有一个交点，当时，圆与直线相交，直线与圆有两个交点，根据原理可得答案． 【详解】解：∵的半径r为，圆心O到直线l的距离d为， 即圆心O到直线l的距离大于圆的半径， ∴直线l和相离， ∴直线l与没有公共点． 故选：A． 4. 方程的解是（ ） A. B. C. ， D. 无实数根 【答案】C 【解析】 【分析】利用因式分解法即可解答． 【详解】∵ 移项得 提取公因式得 ∴或 解得． 5. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：抛物线的顶点坐标是． 6. 一定质量的氧气，它的密度与它的体积成反比例关系．当时，，则此时与之间的函数关系式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的实际应用，利用待定系数法求解反比例函数关系式即可. 【详解】解：∵与成反比例关系， ∴设（k为常数，）. ∵当时，， ∴将，代入得：， 解得 ∴与V之间的函数关系式为 故选：A. 7. 如图，是的内接三角形，，，连接，，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据圆周角定理可得，根据可得，作，由题意可得，设，则，由勾股定理可得，，求解即可． 【详解】解：作，如下图， ∵，， ∴， ∵，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 设，则， 由勾股定理可得，，即，解得， 则， 的长为， D选项符合题意． 8. 如图，是以正方形的顶点为圆心，为半径的弧上的点，连接，，将线段绕点顺时针旋转后得到线段，连接．若，则的最大面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理；过点Q作于点E，过点C作交延长线于点F，连接交弧于点，则可得到，即可得到，根据垂线段最短和三角形三边关系得到，即可得到点P在时，的值最大为长，利用勾股定理和三角形的面积公式计算解答即可． 【详解】解：过点Q作于点E，过点C作交延长线于点F，连接交弧于点， 则， 又∵， ∴， ∴， 由旋转得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即当点P在时，的值最大为长， ∵是正方形， ， ∴， ∴的值最大为， ∴的最大面积是， 故选：C． 二、填空题（共10小题，满分20分，每小题2分） 9. 在中，已知为锐角，，则的度数是______． 【答案】60 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值．根据特殊角的三角函数值，，且角A为锐角，因此角A等于． 【详解】解：∵，且在中，是锐角，， ∴． 故答案为：60． 10. 已知：一元二次方程（d为常数）有一个根为3，则另一根为________． 【答案】5 【解析】 【详解】解：由题意可得，将代入原方程得：， 解得， ∴原方程为， ∴， 解得， ∴另一个根为5． 11. 超市举办某饮料促销活动，在一箱该饮料（24瓶）中有4瓶的瓶盖内印有“奖”字，小明买了一箱这种饮料，他打开一瓶饮料中奖的概率是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查概率的基本计算，解题的关键是掌握概率的定义（概率等于所求情况数与总情况数的比值）． 根据概率的定义，用中奖瓶数除以总瓶数即可得到中奖概率． 【详解】总瓶数为24，中奖瓶数为4，故中奖概率为． 故答案为：． 12. 如图，正八边形和正方形有一边重合，则为________度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正多边形的性质，多边形内角和定理的计算，掌握其计算公式是关键．根据正多边形的性质，多边形内角和定理（是多边形的边数），得到正八边形，正方边形的每个内角的度数即可求解． 【详解】解：正八边形的每个内角的度数为， 正方边形的每个内角的度数为， ∴， 故答案为：． 13. 如图，在圆内接四边形中，若，则的度数为______度． 【答案】140 【解析】 【分析】根据圆内接四边形的性质解答即可． 【详解】解：∵四边形为圆内接四边形， ∴， ∵， ∴． 14. 如图，直线与直线交于点，则关于的方程组的解是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，解题的关键是理解两直线的交点坐标与方程组解的对应关系． 明确一次函数与二元一次方程组的联系：两条直线的交点坐标同时满足两个直线对应的函数解析式；因此方程组的解就是两直线交点的坐标；已知直线与交于点，该点坐标即为方程组的解． 【详解】∵直线与直线交于点， ∴点A的坐标同时满足两个函数的解析式， 即方程组的解为点A的坐标． 故答案为：． 15. 某班需要从甲、乙两位同学中选拔一位同学参加学校举办的竞赛，已知甲、乙两位同学的5次选拔成绩如统计图所示，两位同学的平均成绩相等，若从他们的稳定性考虑，应该选择参赛的同学是______． 【答案】乙 【解析】 【分析】本题考查了方差，根据统计图中数据计算出两位同学成绩的方差，即可进行判断． 【详解】解：甲同学成绩的平均数为：（分） 甲同学成绩的方差为； 乙同学成绩的平均数为：（分） 乙同学成绩的方差为 由此可得，甲乙同学成绩的平均数相同，乙同学成绩的方差小于甲同学成绩的方差， 所以选择乙参加比赛， 故答案为：乙． 16. 如图，小树在路灯的照射下形成投影，若树高，树影，树与路灯的水平距离，则路灯的高度为____________m． 【答案】9 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质． 根据题意得出相等角，判定出，得出对应边成比例，然后代数求解即可． 【详解】解：根据题意得，， ∴， 又∵， ∴， ∴ ∴， 故答案为：9． 17. 如图，将的按下面的方式放置在一把刻度尺上，顶点O与尺下沿的端点重合，与尺下沿重合，与尺上沿的交点B在尺上的读数为，若按相同的方式将的放置在该刻度尺上，则与尺上沿的交点C在尺上的读数是________ （结果精确到，参考数据，，） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解三角形的应用． 取尺子O点正上方的点为D，根据题意可得，，根据正切函数的定义求解即可． 【详解】解：取尺子O点正上方的点为D，如图所示， ∵， ∴ ∴为等腰直角三角形，且，， 在中， ， 即， ， 点C在尺上的读数约为， 故答案为：． 18. 已知如图，正方形中，点从出发，沿着的路线到停止运动，若点的运动时间为秒，速度为每秒个单位长度，的面积为，关于的函数图像如图所示，则 ________．（用含有a，b的代数式表示） 【答案】 【解析】 【分析】依据题意得，正方形的边长为，当点在上时，可得，根据图知：当时，，代入可得答案． 【详解】解：由题意得：正方形的边长为， 当点在上时，如图， ∴， 由图知：当时，， ∴． 三、解答题（共10小题，满分84分，第19，23题6分，第20，21，22，24题每题8分，第25题每题9分，第26，27题每题10分，第28题11分） 19. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了特殊角三角函数值的混合运算，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． 先代入特殊角的三角函数值，然后化简计算即可． 【详解】解：原式 ． 20. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：， ， ∵， ∴， ∴， 即； 【小问2详解】 解：， ， ， 解得：． 21. 在“趣味化学实验室”课上，张老师用毛笔蘸取透明无色液体，并在白纸上书写，立即显现出红色的文字，这是酚酞产生的神奇变化．酚酞是化学领域重要的酸碱指示剂，它遇碱变红，遇酸或中性溶液不变色．现有四个完全相同且无标签的滴瓶，里面分别装有四种无色溶液． A.酚酞 B.氢氧化钠溶液（碱性） C.盐酸溶液（酸性） D.蒸馏水（中性） （1）小明同学从中随机拿出一瓶，选中酚酞的概率是________． （2）张老师从这四瓶无色液体中随机选取两瓶，并分别取一定量的溶液混合均匀，请利用画树状图或列表的方法求混合后溶液变红的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查列表法、概率公式求概率，解决本题的关键是理解题目意义． （1）直接由概率公式求解即可； （2）列表可得出所有等可能的结果数以及混合后的溶液变红色的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：由题意知，共有4种等可能的结果，其中选中酚酞的结果有1种， ∴小明同学从中随机拿出一瓶，选中酚酞的概率是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：列表如下． 共有12种等可能的结果，其中混合后的溶液变红色的结果有，，共2种， 混合后的溶液变红色的概率为． 22. 2025世界智能大会在上海举行，本届大会的主题是“智能时代，同球共济”．大会的举办掀起了人工智能热，学校计划组织七年级学生参观本地举办的智能科技展，其中5个展区的主题分别是：A．人工智能、B．工业互联网、C．智能交通、D．智慧生活、E．数字健康．为了解同学们的参展意向，学校随机抽取了七年级的部分学生进行了问卷调查，问卷全部收回，并将调查结果绘制成如下所示的统计图（均不完整） 请根据上面的信息，解答下列问题： （1）本次调查所抽取的学生人数有__________人． （2）请把条形统计图补充完整． （3）求扇形统计图中“C智能交通”对应的扇形圆心角的度数． （4）根据以上调查，请估计该校七年级1200名学生参观意向为“A人工智能”的人数． 【答案】（1）80 （2）见解析 （3） （4）300 【解析】 【分析】本题考查的是从条形图与扇形图中获取信息，补全条形统计图，抽样调查的合理性，利用样本估计总体，掌握以上统计基础知识是解本题的关键． （1）由人工智能的人数除以其占比即可得总人数， （2）先求解选择“C智能交通”的学生人数，再补全图形即可； （3）由选择智能交通的人数除以总人数，得到比例，再求圆心角即可； （4）由样本估计总体直接求解即可． 【小问1详解】 解：总人数为：（人）， 故答案为：80； 【小问2详解】 由； 补全图形如下： 【小问3详解】 所调查的学生中选择“C智能交通”的学生人数占调查总人数的 ， 故所对的圆心角度数为； 【小问4详解】 七年级总人数为1200人，根据以上调查，“A人工智能”的学生占， 所以估计全校参观意向为“A人工智能”的学生人数约为：人． 23. 图①，图②，图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．线段的端点均在格点上．（利用网格，只用无刻度的直尺作图，保留适当的作图痕迹） （1）在图①中找一格点C，使为直角三角形，且的正切值为； （2）在图②中找一格点D，使为直角三角形，且的正切值为； （3）在图③中找一格点E，在线段上找一点P，使为锐角三角形，且的正切值为2．（作出一种即可） 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】（）取格点C，连接，即可； （）取格点D，连接，即可； （）取格点E，F，连接交于点P即可． 【小问1详解】 解：如图， 由网格可知：，， ∴， ∴点即为所求； 【小问2详解】 解：如图， 由网格可知：，，， ∴， ∴， ∴， ∴点即为所求； 【小问3详解】 解：如图， 由（）得， 根据网格可知：， ∴， ∴， ∴点即为所求． 24. 已知抛物线（b，c为常数）． （1）若抛物线经过，时， ①求该抛物线的顶点坐标． ②将该抛物线向下平移个单位得到的新抛物线过点，且，请求出h的取值范围． （2）若当时，y的最小值为6；当时，y的最小值为2．求该抛物线的表达式． 【答案】（1）①；② （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图像性质，熟练掌握二次函数的图像性质是解题的关键． （1）①将，代入，求得抛物线解析式，将其改写为顶点式，进而得到顶点坐标；②先根据平移规律得到新抛物线的表达式，再将点代入，得到h关于n的表达式，最后根据n的取值范围求出h的取值范围； （2）先确定抛物线的对称轴，再结合已知条件分情况讨论，根据二次函数的单调性求出b、c的值，进而得到抛物线的表达式． 【小问1详解】 ①解：将，代入解析式，得， 解得， 抛物线的解析式为， 该抛物线的顶点坐标为． ②解：根据题意可知，向下平移个单位得到的新抛物线的解析式为， 将点代入，得，即， ， 当时，有最小值，最小值为， 当时，， 当时，， 的取值范围为． 【小问2详解】 解：抛物线开口向上，对称轴为， 当时，y的最小值为6；当时，y的最小值为2， ， 即当时，；当时，， 代入抛物线得， 解得或（不合题意舍去）， 该抛物线的解析式为． 25. 综合与实践 【概念生成】 将一个三角形的三个顶点分别关于各自对边所在直线作对称点，由这三个对称点确定的三角形叫做原三角形的“再生三角形”． 【特例感知】 （1）如图1，为等边三角形，利用尺规作出的“再生三角形”，其中点，，分别是点的对称点． 若的周长为，面积为，则“再生三角形”的周长是________，面积是________； 【深入研究】 （2）如图2，已知中，，，是的“再生三角形”，其中点，，分别是点A，B，C的对称点．求证：是等边三角形． 【反思拓展】 （3）小明认为所有的三角形都存在“再生三角形”，小华认为不是所有的三角形都存在“再生三角形”．你认为谁的判断是正确的？若所有的三角形都存在“再生三角形”，请说明理由；若不是所有的三角形都存在“再生三角形”，请画出反例示意图并进行必要的说明或标注． 【答案】（1）图见解析，，； （2）见解析； （3）小华的结论正确，理由见解析． 【解析】 【分析】本题考查轴对称的性质，等边三角形的性质和判定，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等，理解“再生三角形”的定义是解答本题的关键． （1）根据尺规作图分别作出相应的对称点，通过对称的性质可以得到是等边三角形，再利用相似三角形的性质求解即可； （2）连接交于点D，交于点O，连接，通过证明和是等腰直角三角形，得到，即可求证； （3）小华的结论正确，举例，中，，发现和的对应点重合，此时不存在“再生三角形”，即可求解． 【小问1详解】 解：如图，为等边三角形，为其“再生三角形”． 根据轴对称的性质，，，都与全等，均为等边三角形． ∴， ∴三点共线，且， ∴也是等边三角形． ∵与的相似比为， ∴周长为：， ∴面积为：． 故答案为：，； 【小问2详解】 证明：如图，连接交于点D，交于点O，连接， 对于等腰，，则， 根据轴对称的性质，，，， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， 在等腰中，， 则， ∴． ∴为等腰直角三角形， 又∵，， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴． 由于在的垂直平分线上，则，则， 故是等边三角形． 【小问3详解】 解：小华的结论正确：不是所有的三角形都存在“再生三角形”， 理由：如图，中，， 根据题意作出三点的对应点，可以发现和的对应点重合，此时不存在“再生三角形”，故小华的结论正确． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级新课结束考试试卷 数学2026年3月 一、选择题（共8小题，满分16分，每小题2分） 1. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 2. 某校给足球队的十一位运动员每人购买了一双运动鞋，尺码及购买数量如下表：则这十一双运动鞋尺码的众数和中位数分别为（ ） 尺码/码 40 41 42 43 44 购买数量/双 2 4 2 2 1 A. 40，41 B. 41，42 C. 42，43 D. 41，41 3. 已知的半径r为，圆心O到直线l的距离d为，直线l与的公共点个数为（　　） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 以上都不对 4. 方程的解是（ ） A. B. C. ， D. 无实数根 5. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 6. 一定质量的氧气，它的密度与它的体积成反比例关系．当时，，则此时与之间的函数关系式是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，是的内接三角形，，，连接，，则的长是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，是以正方形的顶点为圆心，为半径的弧上的点，连接，，将线段绕点顺时针旋转后得到线段，连接．若，则的最大面积是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共10小题，满分20分，每小题2分） 9. 在中，已知为锐角，，则的度数是______． 10. 已知：一元二次方程（d为常数）有一个根为3，则另一根为________． 11. 超市举办某饮料促销活动，在一箱该饮料（24瓶）中有4瓶的瓶盖内印有“奖”字，小明买了一箱这种饮料，他打开一瓶饮料中奖的概率是___________． 12. 如图，正八边形和正方形有一边重合，则为________度． 13. 如图，在圆内接四边形中，若，则的度数为______度． 14. 如图，直线与直线交于点，则关于的方程组的解是______． 15. 某班需要从甲、乙两位同学中选拔一位同学参加学校举办的竞赛，已知甲、乙两位同学的5次选拔成绩如统计图所示，两位同学的平均成绩相等，若从他们的稳定性考虑，应该选择参赛的同学是______． 16. 如图，小树在路灯的照射下形成投影，若树高，树影，树与路灯的水平距离，则路灯的高度为____________m． 17. 如图，将的按下面的方式放置在一把刻度尺上，顶点O与尺下沿的端点重合，与尺下沿重合，与尺上沿的交点B在尺上的读数为，若按相同的方式将的放置在该刻度尺上，则与尺上沿的交点C在尺上的读数是________ （结果精确到，参考数据，，） 18. 已知如图，正方形中，点从出发，沿着的路线到停止运动，若点的运动时间为秒，速度为每秒个单位长度，的面积为，关于的函数图像如图所示，则 ________．（用含有a，b的代数式表示） 三、解答题（共10小题，满分84分，第19，23题6分，第20，21，22，24题每题8分，第25题每题9分，第26，27题每题10分，第28题11分） 19. 计算： 20. 解方程： （1）； （2）． 21. 在“趣味化学实验室”课上，张老师用毛笔蘸取透明无色液体，并在白纸上书写，立即显现出红色的文字，这是酚酞产生的神奇变化．酚酞是化学领域重要的酸碱指示剂，它遇碱变红，遇酸或中性溶液不变色．现有四个完全相同且无标签的滴瓶，里面分别装有四种无色溶液． A.酚酞 B.氢氧化钠溶液（碱性） C.盐酸溶液（酸性） D.蒸馏水（中性） （1）小明同学从中随机拿出一瓶，选中酚酞的概率是________． （2）张老师从这四瓶无色液体中随机选取两瓶，并分别取一定量的溶液混合均匀，请利用画树状图或列表的方法求混合后溶液变红的概率． 22. 2025世界智能大会在上海举行，本届大会的主题是“智能时代，同球共济”．大会的举办掀起了人工智能热，学校计划组织七年级学生参观本地举办的智能科技展，其中5个展区的主题分别是：A．人工智能、B．工业互联网、C．智能交通、D．智慧生活、E．数字健康．为了解同学们的参展意向，学校随机抽取了七年级的部分学生进行了问卷调查，问卷全部收回，并将调查结果绘制成如下所示的统计图（均不完整） 请根据上面的信息，解答下列问题： （1）本次调查所抽取的学生人数有__________人． （2）请把条形统计图补充完整． （3）求扇形统计图中“C智能交通”对应的扇形圆心角的度数． （4）根据以上调查，请估计该校七年级1200名学生参观意向为“A人工智能”的人数． 23. 图①，图②，图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．线段的端点均在格点上．（利用网格，只用无刻度的直尺作图，保留适当的作图痕迹） （1）在图①中找一格点C，使为直角三角形，且的正切值为； （2）在图②中找一格点D，使为直角三角形，且的正切值为； （3）在图③中找一格点E，在线段上找一点P，使为锐角三角形，且的正切值为2．（作出一种即可） 24. 已知抛物线（b，c为常数）． （1）若抛物线经过，时， ①求该抛物线的顶点坐标． ②将该抛物线向下平移个单位得到的新抛物线过点，且，请求出h的取值范围． （2）若当时，y的最小值为6；当时，y的最小值为2．求该抛物线的表达式． 25. 综合与实践 【概念生成】 将一个三角形的三个顶点分别关于各自对边所在直线作对称点，由这三个对称点确定的三角形叫做原三角形的“再生三角形”． 【特例感知】 （1）如图1，为等边三角形，利用尺规作出的“再生三角形”，其中点，，分别是点的对称点． 若的周长为，面积为，则“再生三角形”的周长是________，面积是________； 【深入研究】 （2）如图2，已知中，，，是的“再生三角形”，其中点，，分别是点A，B，C的对称点．求证：是等边三角形． 【反思拓展】 （3）小明认为所有的三角形都存在“再生三角形”，小华认为不是所有的三角形都存在“再生三角形”．你认为谁的判断是正确的？若所有的三角形都存在“再生三角形”，请说明理由；若不是所有的三角形都存在“再生三角形”，请画出反例示意图并进行必要的说明或标注． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $